限積分的計算方法

『壹』 有限積分法和有限差分法

1.1 概念
有限差分方法(FDM)是計算機數值模擬最早採用的方法，至今仍被廣泛運用。該方法將求解域劃分為差分網格，用有限個網格節點代替連續的求解域。有限差分法以Taylor級數展開等方法，把控制方程中的導數用網格節點上的函數值的差商代替進行離散，從而建立以網格節點上的值為未知數的代數方程組。該方法是一種直接將微分問題變為代數問題的近似數值解法，數學概念直觀，表達簡單，是發展較早且比較成熟的數值方法。

1.2 差分格式
（1）從格式的精度來劃分，有一階格式、二階格式和高階格式。
（2）從差分的空間形式來考慮，可分為中心格式和逆風格式。
（3）考慮時間因子的影響，差分格式還可以分為顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。

目前常見的差分格式，主要是上述幾種形式的組合，不同的組合構成不同的差分格式。差分方法主要適用於有結構網格，網格的步長一般根據實際地形的情況和柯朗穩定條件來決定。

1.3 構造差分的方法
構造差分的方法有多種形式，目前主要採用的是泰勒級數展開方法。其基本的差分表達式主要有三種形式：一階向前差分、一階向後差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計算精度，後兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式。

2. FEM

2.1 概述
有限元方法的基礎是變分原理和加權餘量法，其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內，選擇一些合適的節點作為求解函數的插值點，將微分方程中的變數改寫成由各變數或其導數的節點值與所選用的插值函數組成的線性表達式，藉助於變分原理或加權餘量法，將微分方程離散求解。採用不同的權函數和插值函數形式，便構成不同的有限元方法。

2.2 原理
有限元方法最早應用於結構力學，後來隨著計算機的發展慢慢用於流體力學、土力學的數值模擬。在有限元方法中，把計算域離散剖分為有限個互不重疊且相互連接的單元，在每個單元內選擇基函數，用單元基函數的線形組合來逼近單元中的真解，整個計算域上總體的基函數可以看為由每個單元基函數組成的，則整個計算域內的解可以看作是由所有單元上的近似解構成。在河道數值模擬中，常見的有限元計算方法是由變分法和加權餘量法發展而來的里茲法和伽遼金法、最小二乘法等。

根據所採用的權函數和插值函數的不同，有限元方法也分為多種計算格式。
（1）從權函數的選擇來說，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽遼金法；
（2）從計算單元網格的形狀來劃分，有三角形網格、四邊形網格和多邊形網格；
（3）從插值函數的精度來劃分，又分為線性插值函數和高次插值函數等。
不同的組合同樣構成不同的有限元計算格式。

對於權函數，伽遼金(Galerkin)法是將權函數取為逼近函數中的基函數；最小二乘法是令權函數等於餘量本身，而內積的極小值則為對代求系數的平方誤差最小；在配置法中，先在計算域內選取N個配置點。令近似解在選定的N個配置點上嚴格滿足微分方程，即在配置點上令方程餘量為0。插值函數一般由不同次冪的多項式組成，但也有採用三角函數或指數函數組成的乘積表示，但最常用的多項式插值函數。

有限元插值函數分為兩大類，一類只要求插值多項式本身在插值點取已知值，稱為拉格朗日(Lagrange)多項式插值；另一種不僅要求插值多項式本身，還要求它的導數值在插值點取已知值，稱為哈密特(Hermite)多項式插值。單元坐標有笛卡爾直角坐標系和無因次自然坐標，有對稱和不對稱等。常採用的無因次坐標是一種局部坐標系，它的定義取決於單元的幾何形狀，一維看作長度比，二維看作面積比，三維看作體積比。在二維有限元中，三角形單元應用的最早，近來四邊形等參元的應用也越來越廣。對於二維三角形和四邊形電源單元，常採用的插值函數為有Lagrange插值直角坐標系中的線性插值函數及二階或更高階插值函數、面積坐標系中的線性插值函數、二階或更高階插值函數等。

2.3 基本原理與解題步驟
對於有限元方法，其基本思路和解題步驟可歸納為：
(1)建立積分方程，根據變分原理或方程餘量與權函數正交化原理，建立與微分方程初邊值問題等價的積分表達式，這是有限元法的出發點。
(2)區域單元剖分，根據求解區域的形狀及實際問題的物理特點，將區域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。區域單元劃分是採用有限元方法的前期准備工作，這部分工作量比較大，除了給計算單元和節點進行編號和確定相互之間的關系之外，還要表示節點的位置坐標，同時還需要列出自然邊界和本質邊界的節點序號和相應的邊界值。
(3)確定單元基函數，根據單元中節點數目及對近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條件的插值函數作為單元基函數。有限元方法中的基函數是在單元中選取的，由於各單元具有規則的幾何形狀，在選取基函數時可遵循一定的法則。
(4)單元分析：將各個單元中的求解函數用單元基函數的線性組合表達式進行逼近；再將近似函數代入積分方程，並對單元區域進行積分，可獲得含有待定系數(即單元中各節點的參數值)的代數方程組，稱為單元有限元方程。
(5)總體合成：在得出單元有限元方程之後，將區域中所有單元有限元方程按一定法則進行累加，形成總體有限元方程。
(6)邊界條件的處理：一般邊界條件有三種形式，分為本質邊界條件(狄里克雷邊界條件)、自然邊界條件(黎曼邊界條件)、混合邊界條件(柯西邊界條件)。對於自然邊界條件，一般在積分表達式中可自動得到滿足。對於本質邊界條件和混合邊界條件，需按一定法則對總體有限元方程進行修正滿足。
(7)解有限元方程：根據邊界條件修正的總體有限元方程組，是含所有待定未知量的封閉方程組，採用適當的數值計算方法求解，可求得各節點的函數值。

3. 有限體積法

有限體積法（FiniteVolumeMethod）又稱為控制體積法。其基本思路是：將計算區域劃分為一系列不重復的控制體積，並使每個網格點周圍有一個控制體積；將待解的微分方程對每一個控制體積積分，便得出一組離散方程。其中的未知數是網格點上的因變數的數值。為了求出控制體積的積分，必須假定值在網格點之間的變化規律，即假設值的分段的分布的分布剖面。從積分區域的選取方法看來，有限體積法屬於加權剩餘法中的子區域法；從未知解的近似方法看來，有限體積法屬於採用局部近似的離散方法。簡言之，子區域法屬於有限體積發的基本方法。有限體積法的基本思路易於理解，並能得出直接的物理解釋。離散方程的物理意義，就是因變數在有限大小的控制體積中的守恆原理，如同微分方程表示因變數在無限小的控制體積中的守恆原理一樣。限體積法得出的離散方程，要求因變數的積分守恆對任意一組控制體積都得到滿足，對整個計算區域，自然也得到滿足。這是有限體積法吸引人的優點。有一些離散方法，例如有限差分法，僅當網格極其細密時，離散方程才滿足積分守恆；而有限體積法即使在粗網格情況下，也顯示出准確的積分守恆。就離散方法而言，有限體積法可視作有限單元法和有限差分法的中間物。有限單元法必須假定值在網格點之間的變化規律（既插值函數），並將其作為近似解。有限差分法只考慮網格點上的數值而不考慮值在網格點之間如何變化。有限體積法只尋求的結點值，這與有限差分法相類似；但有限體積法在尋求控制體積的積分時，必須假定值在網格點之間的分布，這又與有限單元法相類似。在有限體積法中，插值函數只用於計算控制體積的積分，得出離散方程之後，便可忘掉插值函數；如果需要的話，可以對微分方程中不同的項採取不同的插值函數。

4. 比較分析
有限差分法（FDM）:直觀，理論成熟，精度可眩但是不規則區域處理繁瑣，雖然網格生成可以使FDM應用於不規則區域，但是對區域的連續性等要求較嚴。使用FDM的好處在於易於編程，易於並行。
有限元方法（FEM）:適合處理復雜區域，精度可眩缺憾在於內存和計算量巨大。並行不如FDM和FVM直觀。不過FEM的並行是當前和將來應用的一個不錯的方向。
有限容積法:適於流體計算，可以應用於不規則網格，適於並行。但是精度基本上只能是二階了。FVM的優勢正逐漸顯現出來，FVM在應力應變，高頻電磁場方面的特殊的優點正在被人重視。

比較一下：
有限容積法和有限差分法：一個區別就是有限容積法的截差是不定的（跟取的相鄰點有關，積分方法離散方程），而有限差分就可以直接知道截差（微分方法離散方程）。有限容積法和有限差分法最本質的區別是，前者是根據積分方程推導出來的（即對每個控制體積分），後者直接根據微分方程推導出來，所以前者的精度不但取決於積分時的精度，還取決與對導數處理的精度，一般有限容積法總體的精度為二階，因為積分的精度限制，當然有限容積法對於守恆型方程導出的離散方程可以保持守恆型；而後者直接由微分方程導出，不涉及積分過程，各種導數的微分藉助Taylor展開，直接寫出離散方程，當然不一定有守恆性，精度也和有限容積法不一樣，一般有限差分法可以使精度更高一些。
當然二者有聯系，有時導出的形式一樣，但是概念上是不一樣的。

至於有限容積法和有限元相比，有限元在復雜區域的適應性對有限容積是毫無優勢可言的，至於有限容積的守恆性，物理概念明顯的這些特點，有限元是沒有的。目前有限容積在精度方面與有限元法有些差距。

有限元方法比有限差分優越的方面主要在能適應不規則區域，但是這只是指的是傳統意義上的有限差分，現在發展的一些有限差分已經能適應不規則區域。對於橢圓型方程，如果區域規則，傳統有限差分和有限元都能解，在求解效率，這里主要指編程負責度和收斂快慢、內存需要，肯定有限差分有優勢。

『貳』 二重積分一共有多少種計算方法，分別是什麼求歸納

二重積分一共一般有三種計算方法：變限求積分，直角坐標化極坐標，作圖構思取最簡單的微元。

當f(x,y)在區域D上可積時，其積分值與分割方法無關，可選用平行於坐標軸的兩組直線來分割D，這時每個小區域的面積Δσ=Δx·Δy，因此在直角坐標系下，面積元素dσ=dxdy。可以看出二重積分的值是被積函數和積分區域共同確定的。

(2)限積分的計算方法擴展閱讀：

對任意取定的x0∈[a，b]，過點（x0，0，0）作垂直於x軸的平面x=x0，該平面與曲頂柱體相交所得截面為區間，z=f（x0，y)為曲邊的曲邊梯形，由於x0的任意性。

其中y是積分變數在積分過程中視x為常數。上述曲頂柱體可看成平行截面面積S（x）從a到b求定積分的體積。

『叄』 積分上下限怎麼算

定積分的計算就是把一個函數通過積分公式積分,再把定積分的上下限代入積分後的式子中,用代入上限的值減去代入下限的值.
當上限和下限的值一樣時,代入上限的式子和代入下限的式子完全相同,相減就為0了.

『肆』 求問，這個變上限定積分是怎麼算出來的

分部積分法，不過一般被積變數和上下限的變數會選擇不同的表達，比如用t。

以分子為例，原本的定積分被積函數自變數是t，下限是0，上限是x。

令u=x-t，那麼當t=0的時候，u=x；當t=x的時候，u=0。

所以當原本下限是t=0的時候，在新的定積分中，就是對應u=x。

在原本上限是t=x的時候，在新的定積分中，就是對應u=0。

所以這並不是什麼上下限對調，而是根據u=x-t這個關系式，計算出當t=0和t=x的時候，u對應的值作為新的上下限。而這個「對調」，只是因為u=x-t這個關系的特殊性而已。

定積分

定積分的正式名稱是黎曼積分。用黎曼自己的話來說，就是把直角坐標繫上的函數的圖象用平行於y軸的直線把其分割成無數個矩形，然後把某個區間［a，b］上的矩形累加起來，所得到的就是這個函數的圖象在區間［a，b］的面積。實際上，定積分的上下限就是區間的兩個端點a，b。

『伍』 變上限積分公式到底是怎樣的

這里的意思就是
積分下限為a，下限是g(x)
那麼對這個變上限積分函數求導，
就用g(x)代替f(t)中的t，
再乘以g(x)對x求導，即g'(x)
所以導數為f[g(x)] *g'(x)

『陸』 求極限積分的計算方法

方法如下圖所示，
請認真查看，
祝學習愉快，
學業進步！

滿意請釆納！

『柒』 上限是無窮大的變限積分如何計算

上限無窮大的變限積分，先不管上下限，先把原函數寫出來，然後此時的原函數當變數取無窮大的時候就相當於是取極限為一個定值。

積分下限為a，下限是g(x) 那麼對這個變上限積分函數求導， 就用g(x)代替f(t)中的t， 再乘以g(x)對x求導。

即g'(x) 所以導數為f[g(x)]*g'(x)這里的意思就是積分下限為a，下限是g(x)，那麼對這個變上限積分函數求導，就用g(x)代替f(t)中的t，再乘以g(x)對x求導，即g'(x)所以導數為f[g(x)] *g'(x)。

積分變限函數是一類重要的函數，它最著名的應用是在牛頓一萊布尼茲公式的證明中．事實上，積分變限函數是產生新函數的重要工具，尤其是它能表示非初等函數，同時能將積分學問題轉化為微分學問題。積分變限函數除了能拓展我們對函數概念的理解外，在許多場合都有重要的應用。

(7)限積分的計算方法擴展閱讀

反常積分總共就分兩類：

1、積分上下限無界。

2、積分區域有界，函數在邊界有暇點。

針對第二類，有如下的計算技巧。

∫baf(x)dx∫abf(x)dx，設在(a,b]上，在a處是暇點。

limx→a+f(x)(x−a)δ存在,δ∈(0,1)limx→a+f(x)(x−a)δ存在,δ∈(0,1) ，則積分收斂。

設在[a,b)上，b處是暇點。

limx→b−f(x)(x−b)δ存在,δ∈(0,1)limx→b−f(x)(x−b)δ存在,δ∈(0,1) ，則積分收斂。

『捌』 極限與積分的計算

問題出在第2個等號，因為這是n項求和，然後n趨於∞的極限

即無窮多項求和。是不可以交換求和與取極限的順序的

這道題應該可以用定積分的定義以及夾逼定理來解，具體過程見圖片

另：利用定積分定義求極限的問題一般已知的是和式極限，將其化為定積分有一定技巧，需逆向思維，在轉化的過程中，關鍵要將和式中的每項化出一個1/n的因式

基本公式為

lim(n→∞)(1/n)∑f(k/n)=∫(0→1)f(x)dx(k=1→n)

『玖』 積分怎麼算

計算定積分常用的方法：

拓展資料：

定積分的數學定義：如果函數f(x)在區間[a,b]上連續，用分點xi將區間[a,b]分為n個小區間，在每個小區間[xi-1,xi]上任取一點ri（i=1,2,3„,n），作和式f(r1)+...+f(rn)，當n趨於無窮大時，上述和式無限趨近於某個常數A，這個常數叫做y=f(x)在區間上的定積計做/abf(x)dx即/abf(x)dx＝limn>00[f(r1)+...+f(rn)]，這里，a與b叫做積分下限與積分上限，區間[a,b]叫做積分區間，函數f(x)叫做被積函數，x叫做積分變數，f(x)dx叫做被積式。

幾何定義：可以理解為在Oxy坐標平面上，由曲線y=f(x)與直線x=a,x=b以及x軸圍成的曲邊梯形的面積值。（一種確定的實數值）

『拾』 變限積分求導公式是什麼

F(x) = ∫(a,x) xf(t) dt

F(x) = x∫(a,x) f(t) dt

F'(x) = ∫(a,x) f(t) dt + x * [x' * f(x) - a' * f(a)]

= (1/x)F(x) + x * [1 * f(x) - 0 * f(a)]，下限a的導數是0，所以整體都會變為0

= (1/x)F(x) + xf(x)

求導注意事項：

（1）區間a可為-∞，b可為+∞；

（2）此定理是變限積分的最重要的性質，掌握此定理需要注意兩點：第一，下限為常數，上限為參變數x（不是含x的其他表達式）；第二，被積函數f(x)中只含積分變數t，不含參變數x。

原函數存在定理

若函數f(x)在區間[a,b]上連續，則積分變上限函數就是f(x)在[a,b]上的一個原函數。