圓面的推理方法視頻

㈠ 圓的面積公式怎麼推導出來的

把圓平均分成若干份，可以拼成一個近似的長方形。長方形的寬就等於圓的半徑（r），長方形的長就是圓周長（C）的一半。長方形的面積是ab，那圓的面積就是：圓的半徑（r）乘以二分之一周長C，S=r*C/2=r*πr。

圓周長公式：圓周長（C）：圓的直徑（d），那圓的周長（C）除以圓的直徑（d）等於π，那利用乘法的意義，就等於 π乘以圓的直徑（d）等於圓的周長（C），C=πd。而同圓的直徑（d）是圓的半徑（r）的兩倍，所以就圓的周長（C）等於2乘以π乘以圓的半徑（r），C=2πr。

(1)圓面的推理方法視頻擴展閱讀：

扇形的面積公式：

在半徑為R的圓中，因為360°的圓心角所對的扇形的面積就是圓面積S=πR2;；，所以圓心角為n°的扇形面積：

S=（nπR2）÷360

扇形還有另一個面積公式

S=1/2lR （其中l為弧長，R為半徑 ）

本來S=（nπR2）÷360

按弧度制。2π=360度。因為n的單位為度.所以l為角度為n時所對應的弧長.即.l=θR=（n/180)π×R

∴s=(n/180)π*R*π*R/2π=1/2lR.

㈡ 圓面積公式的推導方法

公式推導圓周長公式的推導：圓周長（C）：圓的直徑（d）,那圓的周長（C）除以圓的直徑（d）等於π,那利用乘法的意義,就等於
π乘以圓的直徑（d）等於圓的周長（C）,C=πd.而同圓的直徑（d）是圓的半徑（r）的兩倍,所以就圓的周長（C）等於2乘以π乘以圓的半徑（r）,C=2πr.圓面積公式的推導：把圓平均分成若干份,可以拼成一個近似的長方形.長方形的寬就等於圓的半徑（r）,長方形的長就是圓周長（C）的一半.長方形的面積是ab,那圓的面積就是：圓的半徑（r）的平方乘以π,S=πrr.

㈢ 圓面積公式的推導過程

將一個圓形平均分成若干份，拼成一個近似的平行四邊形，平均分成的份數越多，越近似一個長方形。長方形的長是圓形周長的一半，長方形的寬是圓形的半徑，圓周長的一半乘圓的半徑就等於圓形的面積。

長方形的寬就等於圓的半徑（r），長方形的長就是圓周長（C）的一半。長方形的面積是ab，那圓的面積就是：圓的半徑（r）乘以二分之一周長C，S=r*C/2=r*πr。

(3)圓面的推理方法視頻擴展閱讀：

與圓相關的公式：

1、圓面積：S=πr²，S=π(d/2)²。（d為直徑，r為半徑）。

2、半圓的面積：S半圓=(πr^2)/2。（r為半徑）。

3、圓環面積：S大圓-S小圓=π(R^2-r^2)(R為大圓半徑，r為小圓半徑)。

4、圓的周長：C=2πr或c=πd。（d為直徑，r為半徑）。

5、半圓的周長：d+(πd)/2或者d+πr。（d為直徑，r為半徑）。

圓的性質

1、圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條通過圓心的直線。圓也是中心對稱圖形，其對稱中心是圓心。

2、垂徑定理：垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對的2條弧。

3、垂徑定理的逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的2條弧。

4、在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩個圓周角，兩組弧，兩條弦，兩條弦心距中有一組量相等，那麼他們所對應的其餘各組量都分別相等。

5、在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半（圓周角與圓心角在弦的同側）。

㈣ 圓的面積的推導過程

圓面積s=7(d/3)²

人們都清楚的認識到：正6邊形1次倍邊成的是正12邊形、2次倍邊成的是正24邊形、3次倍邊成的是正48邊形、……n次倍邊成的就給它叫正6×2ⁿ邊形(簡稱正n邊形)。「正n邊形的周長與過中心點的對角線之比(是3.1415926……比1)叫做正n邊率」。(n是一個不可丟失或忽略的0、1、2、3…無限無窮大的無極限的自然數)。

由於n是表示無限無窮大的無極限的自然數，所以正n邊率(3.1415926……所謂π值)也是一個無限無窮大無極限的數。

當圓的直徑與正n邊形過中心點的對角線重疊時，雖然直徑和對角線的長短相等。但是二者的周長並沒有重疊，只是近似、接近、趨近或相當於就是不等於。原因是任一條線上的點都是無限的，內接正n邊形周長上的點也就永久都不會與圓上的點完全重疊，

若內接正n邊形與圓分開，那麼求正n邊率還依然是正n邊率、求圓周率也依然是圓周率。

正n邊率不等於圓周率；圓周率也不等於正n邊率。

因為圓周率是指：「圓周長與直徑的比」，它們的比是6+2√3比3；而正n邊率是指：「正n邊形的周長與過中心點的對角線的比」，它們的比是3.1415926……比1。

為此，正n邊形的周長公式2πR只是代替圓周長公式，並非等於圓周長；正n邊形的面積公式πR²只是代替圓面積公式，並非等於圓面積。

從客觀上講：圓是圓，正n邊形是正n邊形。當正n邊形套上外接圓時，用圓內接正n邊形的周長公式2πR來計算周長、周長必然小於圓周長；當圓套上外切正n邊形時，用圓外切正n邊形的面積公式πR²來計算面積、面積必然大於圓面積(注意：其實πR²是圓的外切正n邊形面積與長方形面積的相互等積轉化，並非圓面積與長方形面積的相互等積轉化)。

為此π取正n邊率的同一個值時，會給公式2πR和πR²存在著：π要想滿足公式2πR,就會背離公式πR²；π要想滿足公式πR²,就會背離公式2πR的自相矛盾的問題。

根據愛因斯坦的「相對論」原理推出：「物質與物質聚集結合成一個(固、液、汽)整體叫物體；一個被空間包圍著的物體的大小所含單位立方的多少叫做體積。非物質與非物質聚集結合成一個完整的真空叫空間；一個被物體包圍著的空間的大小所含單位立方的多少叫做容積。」

由於物體與空間的區別是物質與非物質的區別，所以宇宙是由物質和非物質構建的、是物體和空間共同占據了大自然。

因此, 世上所有物體和所有空間都是與生俱有相對共存的。二者靜止狀態下，根本就不存在「物體占據空間或空間占據物體」的問題。只有物體與空間以等量的一個物體體積與一個空間容積對換位置、產生物體與空間互動，才會出現「物體占據空間的同時、空間又占據了物體」。因為物體體積和空間容積是相對的，所以體積與容積也是相對的。二者缺一不可，否則物體就無法運動或搬運。

由於體積與容積相對的最小極限是零(也就是幾何點是指：零體積或零容積、零面積或零空積、零長度或零距離的零點)；而物體的體積與空間的容積都大小無限不為零，(也就是：體積或容積、面積或空積、長度或距離都大於零)不存在最大或最小，大小無極限。

所以無限等份幾何中的體、面、線的每個無窮小依然是一個無限無窮小，無極限。無限無窮小就是無限無窮小，無限無窮小不等於最小的極限零點。

以上是「相對論」當中《正負幾何論》與「極限」的冰山一角。

因此，過去人們等份圓面、來等積轉化拼成長方形面的起點就是一個誤解。也就是圓面積s不等於長方形面積πR²，確切的講：「圓面積s=7(d/3)² 」(d表示直徑)。π取3.1415926……也不是圓的周長與直徑的比，准確的說：「它是正n邊形的周長與過中心點的對角線的比」。

那麼，為什麼說：「圓面積等於直徑三分之一平方的七倍」呢?

這得要從軟化等積變形說起。

例如：一塊長7米、寬1米、高1米的長方體橡皮泥，它的上面或下面的長方形面積分別都是7平方米。當7立方米的長方體橡皮泥等積變成高1米的一個圓柱體時，它的上底或下底圓面積會依然是7平方米。也就是一個7平方米的長方形面積軟化等積變成了一個7平方米的圓面積。如果把1個單位長用a表示，那麼一個7平方米的圓面積就是7a² 。為此任一個圓面積S都可以看做為7a²。

向左轉|向右轉

下面由棋盤上的每個方格為一個a²來分析：七個a² 軟化等積變成一個(圖-1)圓面積是7a²；圓面積7a²再軟化等積變成一個(圖-2)H形面積也是7a²；在(圖-2)H形上，另外增加兩個a²就拼成了一個(圖-3)大正方形面積9a²；把這三個圖形稱為(上三圖)。它們各自面積的大小都是一同隨著a的大小變化著的。

一個棋子為一個圓點,七個棋子就是七個圓點,圓點的直徑Q叫點徑。中間一個圓點,外圍六個圓點，圍繞一周排列相切構成一個(圖-4)圓形輪廓,輪廓的外切圓面積是s、直徑是3Q；再由七個圓點排列相切構成一個(圖-5）H形輪廓,輪廓的外切H形面積是7Q²；最後用九個圓點排列相切構成一個(圖-6)正方形輪廓,輪廓的外切正方形面積是9Q²。把這三個圖形稱為(下三圖),它們各自外切形面積的大小都是一同隨著點徑Q的大小變化著的。

以上六個圖形不難看出：

(圖-1)圓面積7a²和(圖-2)H形面積7a²分別都是(圖-3)大正方形面積9a²的九分之七，(圖-4)外切圓是(圖-6)外切正方形的內切圓。

從六個圖形的上下對著看：由於，第一組、（圖-1）圓與(圖-4）外切圓相似；第二組、(圖-2)H形與(圖-5)外切H形相似；第三組、(圖-3)大正方形與（圖-6）外切正方形相似。所以它們每一組相似形的面積和面積是否相等,都與a和Q有關；或a和Q是否相等,都與每一組相似形的面積和面積有關。

當a=Q時，很明顯：第二組和第三組的相似形都是：a和Q相等，相似形的面積與面積就相等(7a²=7Q²、9a²=9Q²)；或相似形的面積與面積相等(7a²=7Q²、9a²=9Q²)，a和Q就相等。

但第一組相似形是否a和Q相等、面積與面積就相等呢？

這得需要通過數據來推理證實：

已知：(圖-4)外切圓面積s是63平方厘米、a和Q又相等。此時(圖-4)這個63平方厘米的圓面積，它既鎖定了(下三圖)各自對應的面積也鎖定了(上三圖)各自對應的面積。

因為a等於Q，所以(圖-4) 63平方厘米的一個圓既是（圖-6）正方形的內切圓也是(圖-3)大正方形的內切圓。為此（圖-6）和(圖-3)的內切圓面積也分別都是63平方厘米。

由於(圖-3)大正方形能做為63平方厘米的圓的外切正方形，是根據大正方形的邊長3a等於內切圓的直徑3Q(內切圓的直徑3Q又是根據63平方厘米的圓面積產生的)。

所以(圖-3)內切圓面積的任意大小，都會改變(圖-3)大正方形的邊長3a的大小，使邊長3a不等於63平方厘米的圓的直徑3Q，(圖-3)大正方形也就不能做為63平方厘米的圓的外切正方形。

如果(圖-3)內切圓面積大於63平方厘米，那麼(圖-2) 7a²的H形和(圖-3)9a²的大正方形就會同時對應變大(7a²>7Q²、9a²>9Q²)。顯示出9a²的大正方形向外擴展，脫離了已知63平方厘米的內切圓)，產生邊長3a大於直徑3Q，違背了a等於Q。

如果(圖-3)內切圓面積小於63平方厘米，那麼(圖-2) 7a²的H形和(圖-3)9a²的大正方形就會同時對應變小(7a²<7Q²、9a²<9Q²)。顯示出9a²的大正方形向內收縮，也會脫離了已知63平方厘米的內切圓，產生邊長3a小於直徑3Q，也違背了a等於Q。

因此，只有(圖-3)內切圓面積等於(圖-4)外切圓面積63平方厘米，才能7a²=7Q²、9a²=9Q²，使9a²的大正方形作為63平方厘米的圓的外切正方形。同時大正方形的邊長3a也等於內切圓的直徑3Q，保持a與Q相等。所以(圖-3)大正方形的大小是根據已知63平方厘米的內切圓確定的。

由此可見：對任一個圓面積的大小都是如此。當(圖-1)圓與(圖-3) 63平方厘米的內切圓重疊時。

如果(圖-1)圓面積7a²大於63平方厘米，那麼(圖-2) 7a²的H形和(圖-3)9a²的大正方形就會同時對應變大(7a²>7Q²、9a²>9Q²)。顯示出9a²的大正方形向外擴展，脫離了已知63平方厘米的內切圓，產生邊長3a大於直徑3Q，出現a也大於Q。

如果(圖-1)圓面積7a²小於63平方厘米，那麼(圖-2) 7a²的H形和(圖-3)9a²的大正方形就會同時對應變小(7a²<7Q²、9a²<9Q²)。顯示出9a²的大正方形向內收縮,也會脫離了已知63平方厘米的內切圓,產生邊長3a小於直徑3Q，出現a也小於Q。

因此，只有(圖-1)圓面積7a²等於(圖-3)內切圓面積63平方厘米，才能7a²=7Q²、9a²=9Q²，使9a²的大正方形作為63平方厘米的圓的外切正方形。同時正方形的邊長3a也與63平方厘米的圓的直徑3Q相等，保持a等於Q。所以(圖-1)圓面積7a²的大小是根據(圖-3)內切圓面積確定的。

證實了：(圖-1)圓面積7a²等於(圖-4)外切圓面積s。也說明了：「圓面積是它外切正方形面積的9分之7」。

因為圓面積S=7a²，所以a=√s/7. 也就是說：如果(圖-3)正方形的內切圓面積是7平方厘米，那麼a=√7/7=1厘米。如果(圖-3)正方形的內切圓面積是28平方厘米，那麼a=√28/7=2厘米。如果(圖-3)正方形的內切圓面積是63平方厘米，那麼a=√63/7=3厘米。

上述證明了：第一組相似形同樣是：a和Q相等、相似形的面積與面積就相等。

為此，推出它們三組相似形：每一組相似形的面積和面積相等,a和Q就相等；或a和Q相等,每一組相似形的面積和面積就相等。

同時也發現了這樣一部公理：「如果圓面積是7a²，那麼它的外切正方形面積就是9a²」。

根據公理推出定理：「圓面積等於直徑三分之一平方的七倍」。

圓的面積公式：∵s=7a². d=3a.

∴s=7(d/3)². 向國慶「70」周年獻禮！

HPFYKG 一位不識字的數學發現 dongjingui二〇一四年六月二十七日

㈤ 圓是怎樣推理的

你問的是圓的周長嗎?

如圖所示:將圓平分成幾等份,利用等邊三角行的方法可以求出底邊.當將圓平分成無限份時,每個角所對的圓弧將無限接近底邊,那時圓就可看成是無數底邊組成,求底邊的和就是圓的周長.利用這個方法古人求得圓的圓周率為π.

㈥ 圓的面積推導過程

示意圖

推導過程：將圓等分成若干個扇形（偶數個），拼成的圖形接近於長方形，近似長方形的長相當於圓周長的一半（2πr/2），長方形的寬相當於半徑（r），長方形的面積=長x寬，即2πr/2*r=πr²。

㈦ 圓的面積推導過程是怎樣的

1、圓的面積推導過程一般是用極限推定法：
以圓心為起點，將圓分解成無數等分，當每一等分足夠小時，可看成是一個三角形。
則所有三角形的高為圓的半徑R。設每個三角形底邊長為L，則：
總面積S＝1/2（L1＋L2＋...＋LN）R
＝1/2（2πR）R
=πR²
推定完畢。
2、通俗和常用的推導方法是：
周長公式是利用繩子量大小不同的圓，發現周長總是圓的直徑的3倍多一些。還有的就是在尺子上滾動一圈，得到周長，也發現周長總是圓的直徑的3倍多一些。
於是得到圓的周長=圓周率*直徑=2*圓周率*半徑。
在厚紙片上作一個圓並分離出來，把圓片對折，分成兩個半圓，把每個半圓沿圓心等分成若干份（越多越好），拼成一個近似的長方形，長方形的長就是圓的周長的一半，寬就是圓的半徑。
面積=圓周率*半徑*半徑=圓周率*半徑的平方
（注意，聯系圓的周長=2*圓周率*半徑以及長方形面積公式來理解。）

㈧ 圓的面積公式是怎樣推導出來的

1、周長公式是利用繩子量大小不同的圓,發現周長總是圓的直徑的3倍多一些。還有就是在尺子上滾動一圈,得到周長,也發現周長總是圓的直徑的3倍多一些。

2、於是就得到圓的周長=圓周率*直徑=2*圓周率*半徑。面積公式是把圓片對這,分成兩個半圓，ba每個半圓沿圓心等分成若干份（越多越好），拼成一個近似的長方形，長方形的長就是圓的周長的一半，寬就是圓的半徑。面積=圓周率*半徑*半徑。

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推導歷史

4000多年前修建的埃及胡夫金字塔，底座是一個正方形，佔地52900平方米。它的底座邊長和角度計算十分准確，誤差很小，可見當時測算大面積的技術水平已經很高。而圓是最重要的曲邊形。古埃及人把它看成是神賜予人的神聖圖形。

如何求圓的面積，是數學對人類智慧的一次考驗。圓面積公式的常規推導思路是:先把一個圓平均分成若干份，然後將其拼成近似的長方形，最後根據長方形與圓的關系推導出圓的面積公式。當時人們認為既然正方形的面積容易求，只需要想辦法做出一個面積恰好等於圓面積的正方形。

但是怎樣才能做出這樣的正方形又成為了另外一個難題。古代三大幾何難題其中之一，便是化圓為方。這個起源於古希臘的幾何作圖題，在2000多年裡，不知難倒了多少能人，直到19世紀，人們才證明了這個幾何題，是根本不可能用古代人的尺規作圖法作出來的。