留數的計算方法

1. 如何用留數計算

分享一種解法。設f(z)=1/(z²sinz)。顯然，在丨z丨=1的域內，z=0是其一個三階極點。
∵sinz=z-z³/6+z^5/(5!)+…+[(-1)^n]z^(2n+1)/[(2n+1)!]+…，n=0,1,2，…，∞，
∴f(z)=(1/z³)/∑[(-1)^n]z^(2n)/[(2n+1)!]。
而，1/∑[(-1)^n]z^(2n)/[(2n+1)!]=1/[1-z²/6+z^4/(5!)+…]=1+z²/6+7z^4/360+…，
根據留數的定義，n=-1時，系數an即f(z)的留數。∴Res[f(z),0]=1/6。
∴由柯西積分定理，原式=(2πi)Res[f(z),0]=πi/3。
供參考。

2. 復變函數（留數的計算）

由於被積函數f(z)=tanπz=sinπz/cosπz的奇點是分母等於0的點，而使分母cosπz=0又在c:|z|=1內的點只有l兩個點：
z=1/2和z=-1/2；再根據孤立奇點的分類判定可知：z=1/2和z=-1/2是被積函數f(z)=tanπz的一級極點.
利用一級極點求留數的方法可以知道：
Res(tanπz,1/2)=- sin(π/2)/[πsin(π/2)]=-1/π；
Res(tanπz,-1/2)=- sin(-π/2)/[πsin(-π/2)]=-1/π；
因此利用留數基本定理可知：
∮tanπzdz=2πi [Res(tanπz,1/2)+Res(tanπz,-1/2)]
=2πi [-1/π+(-1/π)]
=-4i.
祝周末愉快！

3. 用留數方法計算復積分

∮c (2z^2-z+1)/(z^2-1)dz
=(2Pi*i)(Res[(2z^2-z+1),1]+Res[2z^2-z+1,-1])}
=(2Pi*i)(2+4)}
= 12Pi*i

4. 利用留數方法計算

5. 復變函數 關於留數的計算

兩種都可以啊，
結果也都是-1

第一種，
Res(2kπi)=lim(z->2kπi) (z-2kπi)/(1-e^z)=lim(z->2kπi) 1/(-e^z)= -1
其中k=0，±1、、、、、、、、

第二種，p(z)=1，q(z)=1-e^z
直接帶入後可得到留數為-1

6. 利用留數方法計算這個積分

7. 利用留數法計算拉普拉斯逆變換，為什麼逆變

如圖所示：

8. 留數計演算法求Z變換

在c內(|z|=2)，z=0是f(z)=[ln(1+z)]/z的孤立奇點，但z=-1不是f(z)的孤立奇點，ln(1+z)在z=-1以及小於-1的負實軸上不解析，所以f(z)在z=-1以及小於-1的負實軸上也不解析，所以無法應用留數定理計算積分∮f(z)dz，自然也無法計算f(z)在-1處的留數res[f(z)，-1]。

9. 留數法是什麼

留數法是復變函數中的一個重要概念。指解析函數沿著某一圓環域內包圍某一孤立奇點的任一正向簡單閉曲線的積分值除以2πi。留數數值上等於解析函數的洛朗展開式中負一次冪項的系數。根據孤立奇點的不同，採用不同的留數計算方法。留數常應用在某些特殊類型的實積分中，從而大大簡化積分的計算過程。

數學：

數學是研究數量、結構、變化、空間以及信息等概念的一門學科。數學是人類對事物的抽象結構與模式進行嚴格描述的一種通用手段，可以應用於現實世界的任何問題，所有的數學對象本質上都是人為定義的。從這個意義上，數學屬於形式科學，而不是自然科學。不同的數學家和哲學家對數學的確切范圍和定義有一系列的看法。