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數值計算方法強近似值和弱近似值

發布時間:2022-05-29 11:18:03

1. 數值計算方法的主要研究對象有哪些其常用基本演算法主要包括哪三個方面

數值計算方法的主要研究對象:研究各種數學問題的數值方法設計、分析、有關的數學理論和具體實現。其常用基本演算法在數值分析中用到迭代法的情形會比直接法要多。例如像牛頓法、二分法、雅可比法、廣義最小殘量方法及共軛梯度法等等。在計算矩陣代數中,大型的問題一般會需要用迭代法來求解。

許多時候需要將連續模型的問題轉換為一個離散形式的問題,而離散形式的解可以近似原來的連續模型的解,此轉換過程稱為離散化。

例如求一個函數的積分是一個連續模型的問題,也就是求一曲線以下的面積若將其離散化變成數值積分,就變成將上述面積用許多較簡單的形狀(如長方形、梯形)近似,因此只要求出這些形狀的面積再相加即可。

(1)數值計算方法強近似值和弱近似值擴展閱讀

數值分析也會用近似的方式計算微分方程的解,包括常微分方程及偏微分方程。

常微分方程往往會使用迭代法,已知曲線的一點,設法算出其斜率,找到下一點,再推出下一點的資料。歐拉方法是其中最簡單的方式,較常使用的是龍格-庫塔法。

偏微分方程的數值分析解法一般都會先將問題離散化,轉換成有限元素的次空間。可以透過有限元素法、有限差分法及有限體積法,這些方法可將偏微分方程轉換為代數方程,但其理論論證往往和泛函分析的定理有關。另一種偏微分方程的數值分析解法則是利用離散傅立葉變換或快速傅立葉變換。

2. 數值計算方法概述

在采礦工程中,數值模擬方法不僅能模擬岩體復雜的力學和結構特徵,還能很方便地解決現場監測過程中需要大量人力、物力而無法完成的、現有力學理論不能求解的復雜形體問題,並對礦山岩體穩定性進行預測與預報。

關於岩土工程的數值分析方法,很多學者都作過系統綜述[53,68,72],筆者只擬簡單介紹。岩土工程數值分析方法,主要分為三大類,如圖7-1所示。

圖7-1 邊坡工程數值分析方法

(1)連續介質數值分析方法

連續介質數值分析方法的理論基礎是彈(塑)性力學。因此,在該類數值分析方法公式的推導過程中,需要滿足基本方程和邊界條件。只是在求解手段上,採用了不同於彈性力學的各種近似解法。這類數值分析方法包括有限差分法、有限單元法和邊界單元法等,它適用於連續介質體的地下工程圍岩與結構的應力分析和位移求解。

(2)非連續介質數值分析方法

非連續介質數值分析方法的理論基礎是牛頓運動定律,它並不滿足結構的位移連續條件,但是可以求出結構在平衡狀態下的位移或者在不可能處於平衡狀態時的破壞模式。此外,盡管結構不受位移連續的約束,但應滿足給定的單元和交界面的本構定律。這類數值分析方法主要有離散單元法和不連續變形分析(DDA)。這些數值分析方法可用於分析節理岩體可能發生的不連續變形,如洞室圍岩附近岩塊的分離與滑落等。

(3)混合介質數值分析方法

混合介質數值分析方法是連續和不連續分析方法的耦合。在地下結構的某些區域(如洞室附近),圍岩體由於開挖影響而發生塊體的分離而不連續,在另外區域(如遠離洞室),則岩體一般仍相互聯系而處於連續狀態。因此,考慮兩種不同力學介質的耦合分析很必要。目前常見的耦合方法有有限元與離散元的耦合、邊界元與離散元的耦合等。混合介質吸取連續介質和非連續介質兩種數值分析方法中的優點,在可能發生不連續變形的岩體,採用非連續介質方法模擬,而遠離洞室的岩體一般仍處於連續狀態,可採用連續介質模型分析。

本章分別採用有限元強度折減法、有限元和離散元相結合的CDEM法、FLAC差分法,開展安家嶺露天礦露天井工聯合開採的數值模擬分析,研究露天開采和井工開採的相互作用及影響規律。

3. 在數值計算方法中,誤差是如何分類的

1.1 概述

1. 定義數值計算目標: 尋找一個能迅速完成的(迭代演算法)演算法,同時估計計算結果的准確度。

1.2 誤差分析基礎

1. 誤差來源:截斷誤差、舍入誤差、數學建模時的近似、測量誤差(數據誤差)

2. 誤差的分類:

絕對誤差e(\hat{x}) = \hat{x} - x ;誤差限

相對誤差 e_r(\hat{x}) = \frac{\hat{x} - x}{x} 或者 e_r(\hat{x}) = \frac{\hat{x} - x}{\hat{x}} ;相對誤差限

3. 定義有效數字:從左到右第一位非零數字開始的所有數字

定理:設x與其近似值\hat{x} 的第一位有效數字相同,均為d_0 ,若\hat{x} 有p位正確的有效數字,則其相對誤差滿足:

|e_r(\hat{x})| \leq \frac{1}{d_0} \times 10^{-p + 1}

定理:設對x保留p位有效數字後得到近似值 \hat{x} ,則相對誤差滿足:

|e_r(\hat{x})| = \frac{1}{2d_0} \times 10^{-p+1}

定理:設x的第一位有效數字為 d_0 ,若近似值\hat{x} 的相對誤差滿足 |e_r(\hat{x})| \leq \frac{1}{2(d_0 + 1)} \times 10^{-p + 1} 則\hat{x} 具有p位正確的有效數字,或者在保留p位有效數字後 \hat{x} = x

定理:若x的近似值在 \hat{x} 相對誤差滿足 |e_r(\hat{x})| \leq \frac{1}{2} \times 10^{-p} ,則 \hat{x} 至少有p位正確的有效數字,或者在保留p位有效數字後 \hat{x} = x

應用:可以不嚴謹的說如果相對誤差不超過 10^{-p} 怎有p位正確的有效數字

4. 區分:精度(precision):有效數字的位數有關

准確度(accuracy):與准確的有效數字的位數有關

5. 數據傳遞誤差與計算誤差:考慮 f(x), f(\hat{x}), \hat{f}(\hat{x})

計算誤差:計算過程中的近似引起的誤差,例 \hat{f}(\hat{x}) - f(\hat{x})

數據傳遞誤差:單純由輸入數據誤差引起的計算結果的誤差,例 f

4. 傳統的數值計算方法包括哪些內容現在的數值計算方法包括哪些內容

隨著計算機和計算方法的飛速發展,幾乎所有學科都走向定量化和精確化,從而產生了一系列計算性的學科分支,如計算物理、計算化學、計算生物學、計算地質學、計算氣象學和計算材料學等,計算數學中的數值計算方法則是解決「計算」問題的橋梁和工具。我們知道,計算能力是計算工具和計算方法的效率的乘積,提高計算方法的效率與提高計算機硬體的效率同樣重要。科學計算已用到科學技術和社會生活的各個領域中。
數值計算方法,是一種研究並解決數學問題的數值近似解方法, 是在計算機上使用的解數學問題的方法,簡稱計算方法。
在科學研究和工程技術中都要用到各種計算方法。 例如,在航天航空、地質勘探、汽車製造、橋梁設計、 天氣預報和漢字字樣設計中都有計算方法的蹤影。
計算方法既有數學類課程中理論上的抽象性和嚴謹性,又有實用性和實驗性的技術特徵, 計算方法是一門理論性和實踐性都很強的學科。 在70年代,大多數學校僅在數學系的計算數學專業和計算機系開設計算方法這門課程。 隨著計算機技術的迅速發展和普及, 現在計算方法課程幾乎已成為所有理工科學生的必修課程。
計算方法的計算對象是微積分,線性代數,常微分方程中的數學問題。 內容包括:插值和擬合、數值微分和數值積分、求解線性方程組的直接法和迭代法、 計算矩陣特徵值和特徵向量和常微分方程數值解等問題。

5. 一般來講,解決問題有經驗方法、理論方法、經驗對比法等,請問數值計算的方法

摘要 您好,很高興為您解答:

6. 數值計算方法

占個位,明天下午再看看。
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
一題:(你的題目中精度沒有說清楚,應當是公式復制過,丟失信息了)
你改一下精度和初始值吧(自己設計的迭代法的收斂與初值關系比較大)

f=inline('(x^2+2-exp(x))/3'); %注意這里是x(n+1)=**的迭代公式
acc=1e-8; %精度
x0=1.5;

%(1)迭代法
x1=x0;
for i_iter=1:10000 %迭代最大次數
x2=f(x1);
if (abs(x1-x2)<acc)
break;
end
x1=x2;
end
x2,i_iter

%(2)斯蒂芬森
x1_s=x0;
for i_steff=1:10000 %迭代最大次數
y=f(x1_s);
z=f(y);
x2_s=x1_s-(y-x1_s)^2/(z-2*y+x1_s);
if (abs(x1_s-x2_s)<acc)
break;
end
x1_s=x2_s;
end
x2_s,i_steff

%(3)牛頓法
syms x
fNew=x^2-3*x+2-exp(x);
df=diff(fNew); %導數
f_df=fNew/df;
x1_n=x0;
for i_New=1:10000 %迭代最大次數
x2_n=x1_n-subs(f_df,x1_n);
if (abs(x1_n-x2_n)<acc)
break;
end
x1_n=x2_n;
end
x2_n,i_New

============
二題、

syms x1 x2
f(1)=3*x1^2-x2^2;
f(2)=3*x1*x2^2-x1^3-1;
df=jacobian(f);
f_df=(df\f')';

acc=1e-6;
x0=[1,1];

xold=x0;
for i_New=1:1000 %迭代最大次數
xnew=xold-subs(subs(f_df,x1,xold(1)),x2,xold(2));
if (norm(xnew-xold)<acc)
break;
end
xold=xnew;
end
xnew,i_New

7. 【數學】!!!

首先這是超越函數,所以它的絕大部分數值都是超越數,即不是任何多項式方程的根。
誰說不能算具體的數值問題?
精確值就是y=根號[cos(sinx)]
近似值可以用各種方法逼近,在數值計算方法這門學科中算這個東西的方法很多的
但要注意,現實中用的都是近似值,精確值得不到,也沒意義(工程上的應用要求把數字表示成小數,但超越數連實數都不是,怎麼可能表示成小數呢?所以只能表示成近似值,但這也已經足夠了)
另外計算定義域和值域和你所謂的解數值問題根本就是兩回事,一個函數如果連定義域和值域都搞不清楚,那也沒什麼研究的價值了。這是基本的東西
就好比我們能研究地球是圓還是方,但是我們沒必要也沒能力去討論地球上有多少只螞蟻,這是不同層面上的問題

8. 數值分析怎麼計算根號112的近似值

先平方,例如,求√156
12的平方=144<156<169=13的平方
所以: 12< √156 <13

9. 數學常識中數值分析法有哪些特點

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在數值分析中用到迭代法的情形會比直接法要多。例如像牛頓法、二分法、雅可比法、廣義最小殘量方法(GMRES)及共軛梯度法等。在計算矩陣代數中,大型的問題一般會需要用迭代法來求解。許多時候需要將連續模型的問題轉換為一個離散形式的問題,而離散形式的解可以近似原來的連續模型的解,此轉換過程稱為離散化。例如求一個函數的積分是一個連續模型的問題,也就是求一曲線以下的面積若將其離散化變成數值積分,就變成將上述面積用許多較簡單的形狀(如長方形、梯形)近似,因此只要求出這些形狀的面積再相加即可。

利用離散化的方式,可以假設賽車在0:00到0:40之間的速度、0:40到1:20之間的速度及1:20到2:00之間的速度分別為三個定值,因此前40分鍾的總位移可近似為(2/3h×140km/h)=93.3公里。可依此方式近似二小時內的總位移為93.3公里 + 100公里 + 120公里 = 313.3公里。位移是速度的積分,而上述的作法是用黎曼和進行數值積分的一個例子。

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