分式方程平方計算方法

A. 分式方程的運算技巧

分式運算技巧

分式運算,一要准確,二要迅速,其中起著關鍵作用的就是通分. 但對某些較復雜的題目，使用一般方法有時計算量太大，導致出錯，有時甚至算不出來，對於分式的通分,要講究技巧.下面介紹幾種常用的通分技巧.
一、逐步通分法
例1 計算
分析：此題若採用將各項一起通分後相加的方法，計算量很大．注意到前後分母之間存
在著平方差關系，可逐步通分達到目的．
解：原式= =
評註：若一次通分，計算量太大，利用分母間的遞進關系，逐步通分，避免了復雜的計算．依次通分構成平方差公式，採用逐步通分，則可使問題簡單化。
二、整體通分法
例2 計算
分析 題目中既有分式又有整式，不相統一，我們可以尋求到可以做為整體的部分，那麼計算起來就可以簡便一些.
解：原式=
評註：此題是一個分式與多項式的和，若把整個多項式看作分母為1的分式，再通分相
加，使得問題的解法更簡便．
三、分裂整數法
例3. 計算：
分析 如果幾個分母不同通分時可使用分裂整數法，對分子降次後再通分.

評註：當算式中各分式的分子次數與分母次數相同次數時，一般要先利用分裂整數法對分子降次後再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整數法。
四、裂項相消法
例4 計算
分析 我們看到題目中每一個分式的分母是兩個因數之積，而分子又是一個定值時，可將每一個分式先拆成兩項之差，前後相約後再通分.
解：原式= =
評註：本題若採用通分相加的方法，將使問題變的十分復雜，注意到分母中各因式的關
系，再逆用公式 ，各個分式拆項，正負抵消一部分，再通分。在解某些分式方程中，也可使用拆項法。
五. 見繁化簡法
例5. 計算：
分析 分式加減時，如果分母不同要先分解因式，再找到公分母，把每個分式的分母都化為公分母的形式
解：原式

評註：若運算中的分式不是最簡分式，可先約分，再選用適當方法通分，可使運算簡便。
在分式運算中，應根據分式的具體特點，靈活機動，活用方法。方能起到事半功倍的效率。

六、挖掘隱含條件，巧妙求值
例6 若 ，則 =___________。
解：∵ ，∴
但考慮到分式的分母不為0，故x=3
所以，原式
說明：根據題目特點，挖掘題中的隱含條件，整體考慮解決方案是解決本類題目的關鍵。

七、巧用特值法求值
例7 已知 ，則 =_____________。
解：此題可直接令x=4，y=5，z=6，代入得：
原式

說明：根據題目特點，給相關的字母賦予特定的數值，可簡化求解過程。

八、巧設參數（輔助未知數）求值
例8 已知實數x、y滿足x:y=1:2，則 __________。
解：設 ，則 ， ，故原式
說明：在解答有關含有比例式的題目時，設參數（輔助未知數）求解是一種常用的方法。

九、 整體代入
例9 若 =5，求 的值．
分析：將 =5變形，得x-y=-5xy,再將原式變形為 ，把x-y=-5xy代入，即可求出其值．
解：因為 =5，所以x-y=-5xy.
所以原式= = = =
說明：在已知條件等式的求值問題中，把已知條件變形轉化後，通過整體代入求值，可避免由局部運算所帶來的麻煩．

十、倒數法
例2已知a+ =5．則 =__________.
分析：若先求出a的值再代入求值，顯然現在解不出．如果將 的分子、分母顛倒過來，即求 =a2+1+ 的值，再進一步求原式的值就簡單很多．
解：因為a+ =5，
所以（a+ ）2=25，a2+ =23.
所以 =a2+1+ =24，
所以 =

B. 分式計算的方法與技巧

分式計算的方法與技巧內容如下：

一、分段分步法：若一次通分，計算量太大，注意到相鄰分母之間，依次通分構成平方差公式，採用分段分步法，則可使問題簡單化。

總結：分數運算的技巧主要表現在兩方面，一是，所有的整數、小數計算技巧全都可以在分數的巧算上加以應用，例如乘法的運算定律、提取公因式、字母替換等常用方法；二是，分數簡算中獨有的方法，包括分數裂項、整體約分法等。

注意事項：異分母分數相加減：要先通分，化成相同的分母，再加減，計算結果能約分的要約分；在計算過程中要注意統一分數單位；比較分數與小數大小時，要先統一他們的表現形式。再將分數轉化為小數或者將小數轉化為分衫困數；分數化成小數的方法：用分子除以分母所得的商即可，除不盡時通常保留三位小數。