‘壹’ 有理数的混合运算方法
有理数混合运算的方法技巧
一、有理数混合运算的运算顺序：
①从高级到低级：先算乘方，再算乘除，最后算加减；
②从内向外：如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的.
③从左向右：同级运算，按照从左至右的顺序进行 二、应用四个原则：
1、整体性原则： 乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；加减混合运算按正负数分类，分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算。
2、简明性原则：计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来；运算中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。
3、口算原则：在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的重要方法之一，习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。 4、分段同时性原则： 对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运算。如何分段呢?主要有：
(1)运算符号分段法。有理数的基本运算有五种：加、减、乘、除和乘方，其中加减为第一级运算，乘除为第二级运算，乘方为第三级运算。在运算中，低级运算把高级运算分成若干段。一般以加号、减号把整个算式分成若干段，然后把每一段中的乘方、乘除的结果先计算出来，最后再算出这几个加数的和．把算式进行分段，关键是在计算前要认真审题，妥用整体观察的办法，分清运算符号，确定整个式子中有几个加号、减号，再以加减号为界进行分段，这是进行有理数混合运算行之有效的方法．
(2)括号分段法，有括号的应先算括号里面的。在实施时可同时分别对括号内外的算式进行运算。
(3)绝对值符号分段法。绝对值符号除了本身的作用外，还具有括号的作用，从运算顺序的角度来说，先计算绝对值符号里面的，因此绝对值符号也可以把算式分成几段，同时进行计算．(4)分数线分段法，分数线可以把算式分成分子和分母两部分并同时分别运算 三、掌握运算技巧
（1）、归类组合：将不同类数(如分母相同或易于通分的数)分别组合；将同类数(如正数或负数)归类计算。
（2）、凑整：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消。
（3）、分解：将一个数分解成几个数和的形式,或分解为它的因数相乘的形式。
（4）、约简：将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。 （5）、倒序相加：利用运算律，改变运算顺序,简化计算。 例 计算2+4+6+„+2000
分析：将整个式子记作S=2+4+„+1998+2000．将这个式子反序写出．得S=2000+1998+„+4+2，两式相加，再作分组计算． 解： (1)令S=2十4+„+1998+2000， 反序写出，有S=2000+1998+„+4+2， 两式相加，有2S=(2+2000)+(4+1998)+„+(1998+4)+(2000+2) =2002+2002+„+2002 l000个2002 =2002×1000-2002000 S=1001000
（6）、正逆用运算律：正难则反, 逆用运算定律以简化计算。乘法分配律a(b+c)=ab+ac在运算中可简化计算．而反过来，ab+ac=a(b+c)同样成立，有时逆用也可使运算简便. 四、理解转化的思想方法
有理数运算的实质是确定符号和绝对值的问题。
有理数的加减法互为逆运算，有了相反数的概念以后，加法和减法运算都可以统一为加法运算．其关键是注意两个变：(1)变减号为加号；(2)变减数为其相反数。另外被减数与减数的位置不变．
有理数的乘除也互为逆运算，有了倒数的概念后，有理数的除法可以转化为乘法。转化的法则是：除以一个数，等于乘以这个数的倒数。 乘方运算，根据乘方意义将乘方转化为乘积形式，进而得到乘方的结果(幂)。
因此在运算时应把握“遇减化加．遇除变乘，乘方化乘”，这样可避免因记忆量太大带来的一些混乱，同时也有助于学生抓住数学内在的本质问题。
总之，要达到转化这个目的，起决定作用的是符号和绝对值。把我们所学的有理数运算概括起来。可归纳为三个转化：一个是通过绝对值将加法、乘法在先确定符号的前提下，转化为小学里学的算术数的加法、乘法；二是通过相反数和倒数分别将减法、除法转化为加法、乘法；三
是将乘方运算转化为积的形式．若掌握了有理数的符号法则和转化手段，有理数的运算就能准确、快速地解决了．
例计算：（1） (-6)-(+5)+(-9)+(-4)-(-9) (2) (-2)÷1×(-4) (3) 22+(2-5)× [1-(-5)2]
解：
（1）原式=(-6) +(-5)+(-9)+(-4)+(+9) = -6-5-9-4+9=-15
(2) 原式=(－2)×(-4)=8
(3) 原式=4+(-3) × (-24) = 4+72 = 76
‘贰’ 有理数的应用
所以数轴的两大基本应用:知数画点和知点读数，数轴能形象地表示数,所有的有理数都可用数轴上的点表示,但数轴上的点所表示的数并不都是有理数。
因此不难理解，数轴是数形结合的“桥梁”，是解决数学问题的一种重要工具。
在有理数整个这一章里面，可以利用数轴更直观地理解一些重要的概念，可以利用数轴比较有理数的大小，可以利用数轴实现数和点的互相转化等等。
一、利用数轴更直观地理解一些重要的概念，如相反数，绝对值等等。
1、如图，四个有理数在数轴上的对应点M，P，N，Q，若点M，P表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最大的数的点是（）
二、利用数轴理解正负数、有理数的加减法等等。
3、点A表示－3，在数轴上与点A距离5个单位长度的点表示的数为 .
4、点A表示数轴上的一个点，将点A向右移动7个单位，再向左移动4个单位，终点恰好是原点，则点A表示的数是 ．
三、利用数轴比较有理数的大小。
四、利用数轴解决两点之间的距离问题。
五、利用数轴解决生活中的实际问题。
9、张同学家（记为A）与学校（记为B）、书店（记为C）依次位于南北走向的铁人路上，张同学家位于学校南边
‘叁’ 有理数的加减混合运算解决实际问题怎么做
有理数分为整数和分数。注意使用加法法则和减法法则就可以了的。
整数间的加减混合运算，通过使用加法和减法法则，使比较便于凑成整十、整百和零的整数先进行运算，可以增加效率、降低出错的可能性。
分数间的加减混合运算，也是通过法则的使用，先将可以凑成整数和零的分数进行运算，最后再算比较复杂和无法凑成整数或者零的分数。
整数和分数间的加减混合运算，大致上和上面的意思一样，只是更复杂和麻烦一些。只要细心地做，并且注意做好了之后的检查，就不会有什么问题的。
解决实际问题，主要在于把实际问题中的数目具体为可以计算的有理数。并且要注意单位的统一，因为不统一单位的有理数，在实际问题中是不能直接进行加减运算的。
‘肆’ 如何计算有理数
有理数的加法法则：
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加
绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值
有理数减法法则：
减去一个数等于加上这个数的相反数
减法可以化成加法，揭示事物之间相互转化的规律
有理数的乘法法则;
两数相乘，同号的正异号得负，并把绝对值相乘
有理数除法法则：
除以任何数等于乘以这个数的倒数
1、一般情况下，四则运算的计算顺序是：有括号时，先算括号里面的；只有同一级运算时，从左往右；含有两级运算，先算乘除后算加减。
2、由于有的计算题具有它自身的特征，这时运用运算定律，可以使计算过程简单，同时又不容易出错。
加法交换律：a+b=b+a
乘法交换律：a×b=b×a
加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）
乘法结合律：（a×b）×c=a×(b×c)
‘伍’ 七年级的学生在有理数混合运算中一直出错，怎么解决呢
有理数的运算法则很简单。
如果混合运算式很复杂，计算时，就很容易出错。
解决方法：训练！
每天练习，练习多种题型！渐渐地，就会做的又快又准确了。
数学中的所有复杂的计算都遵循这个道理，它是训练大脑计算的准确性的。
只有经常、反复的训练，大脑才能计算准确。
你一定看到：身边的同学，有的人计算的又快有准确，一方面是该同学的大脑的逻辑运算能力较强，另一方面，也是该同学训练的结果。
现在学生，学科太多，作业多，所以，一般知识只能理解。
数学不但要掌握知识，还要具有准确，迅速的计算能力。现在学校练习得太少，必须自己有计划的练习。
需要练习得很多，
数字的运算，字母的代入运算等，都是一点点训练出来的。
“计算得又快又准确”是大脑的一种能力，考试题多时，就显示出它的重要性了！
‘陆’ 初一有理数单元的解题技巧和数学思想方法方面。。。
有理数知识点小结
一、正数和负数的有关概念
（1）正数：比0大的数叫做正数；负数：比0小的数叫做负数；0既不是正数，也不是负数。注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断）
②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。
（2）正数和负数表示相反意义的量。比如：
零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃ （别忘加单位）
(3) 0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。
0不在仅仅表示没有，也表示实实在在的实物，比如0摄氏度，海拔0米。
二、有理数的概念及分类
有理数是整数和分数的统称。通常有两种分类：
注意：1.引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。2.有限小数和无限循环小数都是分数
总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）
②负整数、0统称为非正整数
③正有理数、0统称为非负有理数
④负有理数、0统称为非正有理数
三、有关数轴
⒈数轴的概念：规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
2.数轴上的点与有理数的关系
⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。
⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点π不是有理数）
3.利用数轴表示两数大小
⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；
⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；
⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。
4.数轴上特殊的最大（小）数
⑴最小的自然数是0，无最大的自然数；⑵最小的正整数是1，无最大的正整数；
⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数
5.数轴上点的移动规律
根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。（注意移动方向）
数轴经常和绝对值一起出题，特别是判断绝对值里面的符号。对此，我们一般用赋值法，就是数轴上的字母，根据实际情况给他赋一个具体的数，这样学生在解题时会感觉容易很多。
四、绝对值与相反数和倒数
（1）相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。
注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；
⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。
2.相反数的性质与判定
⑴任何数都有相反数，且只有一个；⑵0的相反数是0；
⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0
3.相反数的几何意义
在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。
4.相反数的求法
⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）；
⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b的相反数是-（5a+b）。化简得-5a-b）；
⑶求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5的相反数是
-（-5），化简得5)
5.相反数的表示方法
⑴一般地，数a 的相反数是-a，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。
当a>0时，-a<0（正数的相反数是负数）
当a<0时，-a>0（负数的相反数是正数）
当a=0时，-a=0，（0的相反数是0）
6.多重符号的化简 （同号为正，异号为负）
多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定最后化简结果；即：“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。
（2）绝对值
⒈绝对值的几何定义
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。
2.绝对值的代数定义
⑴一个正数的绝对值是它本身； ⑵一个负数的绝对值是它的相反数；⑶0的绝对值是0.
可用字母表示为：
可归纳为①：a≥0，<═> |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。）
②a≤0，<═> |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）
3.绝对值的性质
任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a取任何有理数，都有|a|≥0。即⑴0的绝对值是0；绝对值是0的数是0.即：a=0 <═> |a|=0；
⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0.即：|a|≥0；
⑶任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|≥a；
⑷绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a>0），则x=±a；
⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|；
⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则a=b或a=-b；
⑺若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。
（非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0）
4.有理数大小的比较
⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；
⑵利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。
5.绝对值的化简 （先判断绝对值号内是正是负，）
①当a≥0时， |a|=a ； ②当a≤0时， |a|=-a
6.已知一个数的绝对值，求这个数
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数。
（3）倒数
乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a·=1（a≠0），就是说a和互为倒数，即a是的倒数，是a的倒数。
注意：①0没有倒数；若a、b互为倒数，则a×b=1；
②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；
③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。（求一个数的倒数，不改变这个数的符号性质）；
④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。
绝对值、相反数和倒数三者经常会和乘法的分配率出现一些综合题，在这里要特别有整体意思。（互为相反数的两个数的和为0，互为倒数的两个数的乘积为1.要有整体代换的思想。）
本身之迷
①倒数是它本身的数是±1 ②绝对值是它本身的数是非负数（正数和0）
③平方等于它本身的数是0，1 ④立方等于经本身的数是±1，0
⑤偶数次幂等于本身的数是0、1 ⑥奇数次幂等于本身的数是±1，0
⑦相反数是它本身的数是0
数之最
①最小的正整数是1 ②最大的负整数是-1 ③绝对值最小的数是0
④平方最小的数是0 ⑤最小的非负数是0 ⑥最大的非正数0
⑦没有最大和最小的有理数 ⑧没有最大的正数和最小的负数
五、有理数加法 （先定符号，再定大小）
1.有理数的加法法则
⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
⑵异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；当两个加数绝对值相等时，两个加数互为相反数，和为零．
⑶互为相反数的两数相加，和为零；
⑷一个数与零相加，仍得这个数。
2.有理数加法的运算律
⑴加法交换律：a+b=b+a
⑵加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：
①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；
②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”；
③分母相同的数先相加——“同分母结合法”；
④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”；
⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。
3.加法性质
一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0后的和等于原数。即：
⑴当b>0时，a+b>a ⑵当b<0时，a+b<a ⑶当b=0时，a+b=a
六.有理数减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)。
七.有理数加减法统一成加法的意义
在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。
在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如：
(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.
和式的读法：①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和”
②按运算意义读作“负8减7减6加5”
八、有理数的乘法（定积的符号，在绝对值相乘）
1.有理数的乘法法则
法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）
法则二：任何数同0相乘，都得0；
法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；
法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0.
2.有理数的乘法运算律
⑴乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即ab=ba
⑵乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(ab)c=a(bc).
⑶乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加。即a(b+c)=ab+ac
九.有理数的除法法则
（1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。
（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
（3）0除以任何一个不等于0的数，都得0
十.有理数的乘除混合运算
（1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。
（2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行。
总结：积的符号的确定
几个有理数相乘，因数都不为0 时，积的符号由负因数的个数确定：当负因数有奇数个时，积为负；
当负因数有偶数个时，积为正。几个有理数相乘,有一个因数为零,积就为零。
十一、有理数的乘方
（1）求相同因数的积的运算叫做乘方.乘方运算的结果叫幂.
一般地，表示n个a相乘记作，读作：a的n次方，表示n个a相乘；其中，a是底数，n是指数，称为幂。
（2）表示： 个相乘。叫做底数，叫做指数，计算的结果叫做：幂
当为正数时，为任何数，计算结果都是正数
当为负数，是奇数时，结果是负数；是偶数是，结果是正数
当底数是负数或分数时，必须把底数加上括号
注意：的底数是 ，指数是 ，结果是 ；的底数是 ，指数是 ，结果是 。
计算：
（3）正数的任何次幂都是正数.
负数的奇数次幂是负数,
负数的偶数次幂是正数.
（4）一个数的平方为它本身,这个数是0和1；
一个数的立方为它本身,这个数是0、1和-1。
十二、有理数的混合运算
做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：
1.先乘方，再乘除，最后加减；
2.同级运算，从左到右进行；有乘除法时先统一成乘法。
3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。
十三、科学计数法
一般情况下，把大于10的数表示成（n为正整数）的形式时，为了统一标准，规定了a的范围，(1≤|a|＜10)，这种记数方法叫做科学记数法。
十四、近似数精确度有两种表示方法：精确到十分位也可表示成精确到0.1
用四舍五入法根据精确度取近似值时,先按要求找到相应的数位,再将紧跟在它后面的一位数字四舍五入.
带有记数单位的近似数,在确定精确到哪一位时要分两种情况:若记数单位前面的数是整数,则这个近似数就精确到“记数单位”位;若记数单位前面是小数,要先将这个近似数还原成原来的数,再看最后一位在原数中的位置.如近似数13亿,就精确到亿位;近似数2.43万,就精确到百位.用科学记数法形式表示的近似数, 在确定精确到哪一位时,同样要把它还原成原数,再从左到右看中的最后一位在原数的什么位置上,就说这个近似数精确到哪一位.如还原成原数为369.0,最后一位“0”在原数的十分位上,所以精确到十分位.
总结：比较两个有理数大小的方法有：
（1） 根据有理数在数轴上对应的点的位置直接比较；
（2） 根据规定进行比较：两个正数；正数与零；负数与零；正数与负数；两个负数，体现了分类讨论的数学思想；
（3） 做差法：a-b>0 ⇔a>b;
（4） 做商法：a/b>1，b>0 ⇔a>b.
（5）利用绝对值比较大小
两个正数比较：绝对值大的那个数大；
两个负数比较：先算出它们的绝对值，绝对值大的反而小。
典例分析：
出租车司机小石某天下午营运全是在东西走向的人民大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程（单位：千米）如下：
＋15，－3，＋14，－11，＋10，－12，＋4，－15，＋16，－18.
（1） 将最后一名乘客送到目的地时，小石距下午出发地点的距离是多少千米？
（2） 若汽车耗油量为a升/千米，这天下午汽车耗油共多少升？
分析：（1）求已知10个数的和，即得小石距下午出发地点的距离；
（2）要求耗油量，需求出汽车一共走的路程，与所行的方向无关，即求出10个数的绝对值的和，然后乘以a升即可。
注意两问的区别。
解：(1)（＋15）＋（－3）＋（＋14）＋（－11）＋（＋10）＋（－12）＋（＋4）＋（－15）＋（＋16）＋（－18）
=（15＋14＋10＋4＋16）＋【（－3）＋（－11）＋（－12）＋（－15）＋（－18）】
=59＋（－59）
=0（千米）
（2）
=118（千米）
118×a=118a(升)
答：（1）将最后一名乘客送到目的地时，小石距下午出发地点的距离是0千米，即回到出发地点；
（2）若汽车耗油量为a升/千米，这天下午汽车耗油共118a升。
典例分析：
在有关乘方的计算中，最易出现错误的是“符号问题”，解决问题的关键是准确理解幂的概念，头脑时刻保持清醒，不要随意的增减和变换符号，更不要“跳步”，严格按照运算法则进行。
解：
典例分析：
1、用科学记数法表示56420000万.
分析：需要注意以下两点：①在一些数据中会出现“万、亿”需引起重视；②科学记数法有其表示的标准形式：，其中，n为正整数。
解：56420000万=564200000000=
典例分析：
（1） 与原点距离等于4的点有几个？其表示的数是什么？
（2） 在数轴上点A表示的数是-3，与点A相距两个单位的点表示的数是什么？
分析：对于初学者，我们可以画出数轴，从数轴上观察，与原点距离等于4的点有两个，它们分别位于原点的两侧，它们所表示的数是+4和-4.千万不要忽略了原点左边的点即表示-4的点。这样第（2）问迎刃而解。
解：（1）与原点距离等于4的点有两个，它们表示的数是+4和-4.
（2）在数轴上点A表示的数是-3，与点A相距两个单位的点表示的数是-1和-5.
3、-（-3）的相反数是______。（解析：先化简-（-3），再去求出计算结果的相反数）
典例分析：
已知，求x,y的值。
分析：此题考查绝对值概念的运用，因为任何有理数a的绝对值都是非负数，即。
所以，而两个非负数之和为0，则这两个数均为0，所以可求出x,y的值。
解：∵ 又
∴，即
∴
典例分析：
如果规定△表示一种运算，且a△b=，求：3△（4△）的值.
‘柒’ 一般的，运用有理数加法解决实际问题的一般步骤怎样
1、根据题意得到算式，
2、根据有理数的加法法则，能通过交换律结合成简便运算的，进行结合，
3、根据同号或异号加法法则，先确定和的符号，再计算绝对值的和或差，
4、得到最后结果，
‘捌’ 有理数的四则运算
到了初中，我们在数学上学习的数更加广泛，比如有理数。既然要研究有理数首先要学习它的四则运算。
如果想研究有理数的四则运算，首先我们要将有理数分一个类，也就是正有理数，负有理数，和0。正有理数又包括了正整数和正分数，而负有理数又有负整数和负分数。接下来我就可以开始探索它们的四则运算。
首先我们来看一下有理数的加法。我们可以在探索之前将有理数的加法分成几类，如图：
可以分为这六类，正数乘正数我们以前已经学过，比如3+2，我们可以用数轴来解释，从零开始向右跳三个单位长度，跳到的位置是3，再从三开始向右跳两个单位长度，跳到的位置就是5，所以3+2也就等于5。那么问题来了，如果是负数加正数，该怎么办呢？我们以前是没有学过这一类加法的。但我想我们还可以哉数轴上来跳。比如-3+2，我们可以先找到负三的位置，就是从零开始向左跳三个单位长度，跳到负三，再向右跳两个单位长度，跳到的位置也就是负一。那么正数加负数又该怎么跳呢？如2+（-3）我们以前加的数都是一个正数，但这次加了一个负数，这该怎么跳？我们可以先找到二的位置，然后向左跳三个单位长度，跳到的位置是-1。但是为什么要向左跳，并且越加越小呢？我们以前学过的加法不都是往右跳，越加越大吗？但是我们可以利用反射变化来想一下，原来我们加的都是一个正数，加一个正数自然会越加越大，并且往右跳，但是现在加了一个负数，他就要再反一次了，也就是变成向左跳，而向左跳自然就会越跳越小。那么现在我们也可以得到一些规律，首先就是加一个正数，向右跳，越加越大，加一个负数，就是向左跳，并且越加越小。并且还有一个神奇的规律就是一个数加上一个负数，其实也就等于减去这个负数的相反数，这个也可以用我们刚才的反射变化完美的在数轴上解释。所以以后我们在计算负数加法的时候就不需要在数轴上一格一格的跳，可以直接应用这个规律。而负数加负数，其实也和正数加负数一样，加上一个负数，其实就等于减去它的相反数。0加负数和0加正数可以很轻易的得到了，0+任何数，其实就等于那个数的本身。现在我们就已经将所有有理数的加法分类解决了。今天我们可以总结一下规律就是加上一个负数等于减去他的相反数，同号两数相加，取相同的符号，将两数的绝对值相加。那么现在我们可以看一下什么情况下两数相加的时候结果会大于0，什么时候小于0，什么时候又等于0？如果两数都是正数，大于零数的话，他们的结果肯定是大于0，如果是负数加负数的话，他们结果可能大于0，可能小于0，如果后面的加数大于前面的加数结果就大于0，反之则小于0。正数加负数，如果正数的绝对值小于负数的绝对值，那么它们的结果也就小于零，如果正数的绝对值大于负数的绝对值，那么结果就大于0，但如果正数和负数绝对值相等的时候，结果就会等于0。
那么有理数的减法又该怎样运算呢？我们可以先将有理数的减法分成几类，如图：
我们可以把有理数减法分成这样的六类，正数减正数我们在小学的时候已经学过了，比如3-2，我们可以用数轴来解释。从零开始向右跳三个单位长度跳到三，然后再向左跳两个单位长度跳到的位置就是一。那么负数减正数的时候该怎么算呢，我们也可以用数轴来解释，比如负三减二，从零开始向左跳三个一跳到的位置是负三，再向左跳两个单位长度跳的位置，也就是负五。正数减负数，比如2减-3，我们可以从二开始，向右跳三个单位长度跳的位置，也就是五。但是这和我们以前所学过的也不一样，因为以前我们学过的减法是越减越小，并且是向左跳的，但是现在为什么是向右跳呢？我们也可以利用反射变化来解释，原来减的是一个正数，向左跳，现在减的是一个负数，就是向右跳。我们也可以总结一下，减去一个负数其实就等于加上他的相反数。负数减负数也是一样的可以利用反射变化解释。零减负数也就等于零加上他的相反数，零减一个正数自然也是这个正数的相反数。但是我想另外一种更简洁也更好，理解的方式可以解释有理数的减法，就是把有理数的减法转化成加法。3-2=3+（-2），-3-2=-3+（-2）。2-（-3）=2+3，-3-（-4）=3+4。0-（-3）=0+3，0-3=0+（-3）我们可以把所有有理数的减法都转换成加法，这样就非常得好理解并且也很方便运算了。
那么有理数的乘法该怎样运算，我们同样可以把它分成几类，如图：
正数乘正数我们以前就学过。可以利用几个几，几的几倍或者来得到。比如说，3×2就是三的二倍或二的三倍，或者三个二相加或二个三相加。或者我也可以利用跳数轴的方式来解决。 如果是负数乘正数，比如-3×2其实就是两个负三相加，也就是负六。正数乘负数也是一样的，比如二乘负三，其实也就是两个负三相加。那么负数乘负数就没有办法利用几个几，或者几的几倍来解决了，但是我们可以利用反射变化，比如-3×（-4）我们可以先把它转化成-3×4，也就是-12，但是这个-4也是负数，所以我再把它反射一次就变成了12，这其实也就是我们所说的负负得正，我们也利用反射变化完美的解释了他。当然0乘负数就是0，0乘正数也一样，因为0乘任何数都等于0。所以我们就可以总结一下负数乘法的规律，如果有偶数个负数相乘符号就可以相互抵消，再把这两个数的绝对值相乘。最后，0×任何数都等于零。
那么除法，我们又该怎么办呢？我们同样可以分一下类，如图：
正数除正数，我们以前是学过的，可以利用包含或者平均分来解决。比如10除5可以理解为把10平均分成五份每份是多少，或者十里面包含了几个五。我想我们也可以将所有的除法直接转化成乘法因为，以前我们学分数的时候总结出来了一个规律，就是除一个数就等于乘他的倒数，比如÷5我们就可以把它转化成五分之一。这样的话，我们遇到任意一个有理数除法的问题都可以把它转化成乘法，这样我们就可以直接轻松的解决，并且很好理解了。
到现在我们就将有理数的四则运算全部都解决了，在我的认知中，又多出了一个数系。就是有理数。
‘玖’ 有理数的加减混合运算解决实际问题怎么做
有理数分为整数和分数。注意使用加法法则和减法法则就可以了的。
整数间的加减混合运算，通过使用加法和减法法则，使比较便于凑成整十、整百和零的整数先进行运算，可以增加效率、降低出错的可能性。
分数间的加减混合运算，也是通过法则的使用，先将可以凑成整数和零的分数进行运算，最后再算比较复杂和无法凑成整数或者零的分数。
整数和分数间的加减混合运算，大致上和上面的意思一样，只是更复杂和麻烦一些。只要细心地做，并且注意做好了之后的检查，就不会有什么问题的。
解决实际问题，主要在于把实际问题中的数目具体为可以计算的有理数。并且要注意单位的统一，因为不统一单位的有理数，在实际问题中是不能直接进行加减运算的。