链式法则求导的简单方法

1. 关于偏导数的链式法则

这里面∂w/∂u表示w对变量u求偏导数，然后∂u/∂x表示变量u对变量x求偏导数。∂w/∂v同理。这个分数线其实不是写在一起的，∂w/∂u是一个整体，是一个函数，∂u/∂x是一个整体，是另外一个函数。所以两个是不能约掉的。再说了你约掉不就没办法求未知的∂w/∂x了= =

2. 链式法则求复合函数导数

【解】
复合函数求导步骤：
①先简化函数，令u=x^2，则y=sin
u。y对u求导得dy/=cos
u
②再u对x求导得
/dx=2x
总的导数就等于上述各步的导数的乘积，就是
dy/dx=dy/
*
/dx=cosu
*
2x=cosx^2
*
2x

3. 链式法则是什么意思

微积分中的求导法则，用于求一个复合函数的导数，在微积分的求导运算中一种常用的方法。复合函数的导数将为构成复合这有限个函数在相应点的导数的乘积，称链式法则。

链式法则在积分中的应用：

链式法则：

(3)链式法则求导的简单方法扩展阅读

例题

求导y=sin（x²+1）链式求导：令f（x）=sinx，g（x）=x²+1

则（f（g（x）））’=f’（g（x））g’（x）=[sin（x²+1）]’·2x=2cos（x²+1）x即可求得。

在实际应用中，可将dy/dx=（dy/dz）·（dz/dx）看作为分数的约分过程，这种用法在求不定积分中会更广泛地使用。这个结论可推广到任意有限个函数复合到情形，于是复合函数的导数将是构成复合这有限个函数在相应点的 导数的乘积，就像锁链一样一环套一环，故称链式法则。

4. 什么是链式法则

链式法则是微积分中的求导法则，用于求一个复合函数的导数，是在微积分的求导运算中一种常用的方法。

具体形式是这样：f(g(x))其实这个表达形式应该都不会陌生，然而此类函数的导数则变成了这样：(f(g(x)))’那么这个小撇就是要求导的意思也等于dy/dx，y’，或者Dxy。那么巴朗书上的公式是这样表述的，

(f(g(x)))’=f’(g(x))*g’(x)=f’(u)*g’(x)=(dy/)*(/dx)

其实以上是用了三种不同的形式表达出了链式法则，第一个比较好理解就是对外面的函数先求导，求出结果再与里面的函数的导数相乘，需要注意的是在对外面函数求导的过程中我们不需要改变其里面函数(g(x))的形式。

第二个则是用了u-substitution将中间的g(x)替换成了u。最后一个看起来比较复杂，但是如果知道dy/dx是y对于x求导，那么根据形式第三条就是y先对u求导，所得结果再乘以u对于x求导的值。

(4)链式法则求导的简单方法扩展阅读

例题：

f(x)=cos^3(2x),findf’(x).

把它换成(cos(2X))^3，接下来把cos(2x)替换为u，则设u=cos(2x)，那么原方程变成了u^3，新的结果变成了(u^3)’*u’注意这里的’是对于x求导的。那么所得结果就是(3*u^2)*u’由于是对于x求导因此最后需要把u换回成x：

f’（x）=(3*(cos(2x))^2)*(cos(2x))’ =(3*(cos(2x))^2)*(-sin(2x))

原表达式中的u=cos(2x)，在cos的里面其实又有一次链式法则的运用，所以需要再设u=2x，然后求cos(u)的导数。

因此(cos(2x))’=(cos(u))’*u’=-sin(u)*u’

替换为x的形式

=-sin(2x)*(2x)’

=-sin(2x)*2

所以最后的f’(x)其实是等于

f’(x)=(3*cos(2x))^2)*(-sin(2x)*2)

5. 链式法则的证明

下面介绍一种最简单的证明方法：
链式法则的最简单的证明方法是用积法则和归纳法进行证明。
微积分的求导积法则：
剩下只需要把原函数代入积法则即可求证。
以下再介绍两种较为复杂的方法：
证法一：先证明个引理
f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内，存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f'(x0)=H(x0)
证明：设f(x)在x0可导，令 H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心邻域)；H(x)=f'(x0),x=x0
因lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0)
所以H(x)在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)
反之，设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)
因存在极限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f(x)=H(x0)
所以f(x)在点x0可导，且f'(x0)=H(x0)
引理证毕。
设u=φ(x)在点u0可导，y=f(u)在点u0=φ(x0)可导，则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导，且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)
证明：由f(u)在u0可导，由引理必要性，存在一个在点u0连续的函数H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)
又由u=φ(x)在x0可导，同理存在一个在点x0连续函数G(x),使φ'(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0)
于是就有，f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0)
因为φ，G在x0连续，H在u0=φ(x0)连续，因此H(φ(x))G(x)在x0连续，再由引理的充分性可知F(x)在x0可导，且
F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)
证法二：y=f(u)在点u可导，u=g(x)在点x可导，则复合函数y=f(g(x))在点x0可导，且dy/dx=(dy/)*(/dx)
证明：因为y=f(u)在u可导，则lim(Δu->0)Δy/Δu=f'(u)或Δy/Δu=f'(u)+α*lim(Δu->0),(α=0)
当Δu≠0，用Δu乘等式两边得，Δy=f'(u)Δu+αΔu
但当Δu=0时，Δy=f(u+Δu)-f(u)=0,故上等式还是成立。
又因为Δx≠0,用Δx除等式两边，且求Δx->0的极限，得
dy/dx=lim(Δx->0)Δy/Δx=lim(Δx->0)[f'(u)Δu+αΔu]/Δx=f'(u)lim(Δx->0)Δu/Δx+lim(Δx->0)αΔu/Δx
又g(x)在x处连续(因为它可导),故当Δx->0时，有Δu=g(x+Δx)-g(x)->0
则lim(Δx->0)α=0
最终有dy/dx=(dy/)*(/dx)

6. 求导的链式法则

链式法则是微积分中的求导法则，用以求一个复合函数的导数。
所谓的复合函数，是指以一个函数作为另一个函数的自变量。
如f(x)=3x，g(x)=x+3，g(f(x))就是一个复合函数，并且g(f(x))=3x+3

链式法则(chain rule)：

若h(x)=f(g(x))，则h'(x)=f'(g(x))g'(x)
链式法则用文字描述，就是“由两个函数凑起来的复合函数，其导数等于里边函数代入外边函数的值之导数，乘以里边函数的导数。

举例：

f(x)=x²,g(x)=2x＋1, 则

{f[g(x)]}'

=2[g(x)]×g'(x)

=2[2x＋1]×2

=8x＋4

7. 链式求导法则

链式法则（英文chain rule）是微积分中的求导法则，用以求一个复合函数的导数，是在微积分的求导运算中最常用的方法。

向左转|向右转

8. 极限链式法则公式

f'(x)=f'(u）g'(x)，这里设u=g(x)为中间变量。

如设f(x)=3x，g(x)=x+3，g(f(x))就是一个复合函数，并且g(f(x))=3x+3 链式法则(chain rule)

若h(x)=f(g(x))

则h'(x)=f'(g(x))g'(x)

f'（x）=df/dx，这里d表示增量，并且这个增量趋向于零，也就是：函数f（x）对x的导数，等于f的增量与x的增量的比值的极限。

f'（x）=df/dx（导数定义）

=（df/）*（/dx）

=f'（u）u'（x）（导数定义）

=f'（u）u'（x）（因为u=g（x））

链式法则

是微积分中的求导法则，用于求一个复合函数的导数，是在微积分的求导运算中一种常用的方法。复合函数的导数将是构成复合这有限个函数在相应点的 导数的乘积，就像锁链一样一环套一环，故称链式法则。

若对于上面考察的这些函数，令𝐠=（g1，g2，gp），𝒇=（f1，f2，fm），于是，𝐠是p维向量值函数（定义与𝑹m的子集上），𝒇是m维向量值函数（定义于𝑹n的子集上），按照定义，它们的导数是相应的雅可比矩阵。

9. 链式法则简单的问题

f'(g(x))相当于f'(x)在x=g(x)时的值
df(g(x))/dx相当于dz/dx，其中z=f(g(x))
需要注意f'(x)是导函数，是f(x)对x求导后的函数，它是一个函数
而df(g(x))/dx
则是f(g(x))对x求导后的函数
两者的求导对象就不一样