几何画板实例分析方法

‘壹’ 如何用几何画板进行概念教学

几何画板是一个功能强大、操作简便的教学软件,在初中数学教学中运用几何画板,能够有效提高教学的直观性和交互性,提高学生对数学知识的感知能力，使初中数学知识更加直观地展现在学生面前。巧用几何画板,展现函数知识的直观性 。
函数的教学如果单纯地采用公式和数字的教学模式,往往难以直观地展现函数知识的本质.所以,在函数教学中合理地运用几何画板能够起到很好的教学效果。

借助几何画板，能使抽象数学的概念直观化

数学中的概念对学生来说往往抽象难懂，是数学教学的一个难点，如能应用几何画板教学，可以把一些概念直观化，使知识简单、明了，让学生更易接受。如在学习“轴对称”概念时，使用几何画板作演示，既能吸引学生的注意力，又能掌握该学习知识。

‘贰’ 几何画板正三角形在正方形内滑动怎样做 要方法和作出的实例

你没有说清楚，如果是滑动，我理解为一个等长的线段在正方形的内部滑动，然后，以这条线段为等边三角形的一条边，制作出正三角形就可以了。请追问你的详细要求。我制作一个。

‘叁’ 如何使用几何画板求函数最值

利用几何画板绘制函数时，往往只绘制出了函数图象而没有分析函数的值域问题。如何用几何画板计算函数图象在某一区间内的最大值最小值呢?下面就介绍求几何画板函数最值的方法。
几何画板官方版下载
如何使用几何画板求函数最值
例如：求函数f(x)=x4-3x3+2x-2在区间[-1，3]的最大值与最小值。
具体操作如下：
1.选择“绘图”——“绘制新函数”，在函数编辑器中输入函数表达式，点击确定后出现函数图象。
使用“绘图”——“绘制新函数“命令绘制函数图象
2.选择自定义工具中——函数工具——极大/极小值。单击函数f(x)的表达式，将鼠标移动到函数图象上，出现极限点标示时松开鼠标，一个极大值或极小值就记录下来。下图显示的是一个极小值坐标。
利用自定义工具中的“极小/极大值”命令得到一个极小值点
3.反复这样操作，可以求出另两个极值点坐标。这样，所有的三个极值点都已经求出来了。
利用自定义工具中的“极小/极大值”命令得到所有的极值点
4.选择“数据”——“计算”，单击函数表达式，在编辑框内就自动输入f()，在括号内输入-1，单击确定左侧出现函数值。同样方法计算出函数在x=3处的函数值。
分别计算出区间左端点和右端点的函数值
5.对五个y值进行比较，结论是：函数在[-1,3]区间上的最大值为4，最小值为-6.14830。
提示：我们还可以调整精确度。选中数值，右击选择属性，单击值标签，在精确度下拉列表中选择一个精度，单击确定。
以上内容向大家介绍了几何画板求函数最值问题的解决方法，此过程中几何画板自定义工具的使用很重要，否则无法实现此过程。利用自定义工具可以简化很多图形的绘制，我们还可以对几何画板自定义工具添加常用图形，比如箭头，具体的教程可以参考如何在自定义工具中添加箭头工具。

‘肆’ 怎么用几何画板画出这个解析式的图像

在几何画板中，绘制函数图象有几种方法，最简单的方法就是知道解析式，画板自动绘制。已知图象不知道解析式，至少可以有两种方法绘制出函数图象，一种是根据图象制作沿着图象路径行走的动点，构造动点的轨迹来表示图象；另一种是使用标识笔，沿着图象做手绘线，然后，右键手绘线，定义绘图函数，再右键绘图函数表达式，绘制函数，则画出了图象。最后的方法使用数位板等手写输入手绘线，图象才能比较光滑。

‘伍’ 如何用几何画板做课程的演示

传统的数学课堂教学内容呈现方式单一，课堂容量小，效率低。现代信息技术的教学环境下，教学信息的呈现方式多样而有趣，在引入新课、突破教学重难点、培养学生的能力、激发学生学习兴趣、增加课堂容量等方面提高课堂教学效率，信息技术是首选的教学手段。信息技术毕竟是一种辅助教学手段，并非所有的教学内容都适合用多媒体技术辅助完成，这就需要教师必须把信息技术与传统教学的优势、数学课程资源有机地结合起来，充分发挥现代信息技术的优势，教师和学生才能和谐互动。笔者就如何在教学中寻找信息技术与数学教学的最佳结合点，巧妙地利用现代信息技术的优越性，提高课堂教学效率的做法阐述如下：
一、创设情境，激发学生学习兴趣。 把数学知识放在一个生动、活泼、贴近生活实际的情境中去学习，更容易激发学生探索知识、解决问题的兴趣，创设的情景要与学生的日常生活密切相关，同时要充分利用视频、音频、图片等多媒体技术来呈现问题，面对众多的信息呈现形式，学生将表现出强烈的好奇心，一旦这种好奇心发展为学习的兴趣和动力，将会表现出旺盛的求知欲，极大地提高课堂教学效率。
在多年的数学课堂教学中，我常利用多媒体等现代教学手段，结合学生实际，创设出与实际生活紧密联系的情境，从而使学生轻松愉悦地学习，激发学生探求新知的强烈欲望，达到调动学生学习兴趣的目的。如在概率的引入过程中，先利用多媒体播放商场中抽奖、体育彩票抽奖以及射击比赛中命中点数等学生感兴趣的视屏，引入概率的学习；又如，等腰三角形三线合一性质的动画演示；利用多媒体演示太阳和地平线的位置关系，引入圆与直线的位置；利用多媒体演示勾股定理三角形流沙原理，引入勾股定理；利用多媒体演示神州5号火箭升天的画面，展示第一宇宙速度计算的相关数据及公式，引入平方根的计算，这些情景的设置知情融合、气氛活跃，引发了学生学习数学的兴趣，大大提高了教学效率。
二、借助动画等技术突破抽象概念教学的难点。 数学学习的重难点主要是定理、法则、公式、结论等抽象概念。数学概念的学习关键是让学生经历和参与它们的形成过程，这些概念的建立往往需要严密的逻辑推理，多媒体技术能够把抽象的概念转化为学生熟悉的形象，把静态的知识转化为动态的图象，帮助学生更加清晰完整的认知概念，已达到提高课堂教学效率的目的。如在圆和直线的位置关系中，利用多媒体演示太阳和地平线的位置关系，通过多媒体的展示，动静相结合，不仅调动了学生的学习积极性，而且对鼓励学生主动参与学习、探究知识、动手操作、分析解决问题起到了推动作用。又如在探究“边边角”不能证明两三角形相似时，利用多媒体展示这样两个三角形，用不同颜色的线条标记出相等的量，学生通过观察很容易得出结论。又如，在探索正比例函数中y随x变化的规律时，可以通过几何画板演示正比例函数的函数图象，k任取不同的数值，观察图象的位置；给出图象上任意一点测量出此点的坐标；拖动此点变换它的位置，观察此点的横纵坐标的变化情况；引导学生探究、讨论、归纳得出正比例函数的性质。通过几何画板的演示，不仅帮助学生在动态中去观察、探索和发现变量之间的数量变化关系与结构关系，而且帮助学生从感性认识上升到理性认识，变抽象为直观，使“数”与“形”完美结合。
三、巧用多媒体技术解决生活中的数学问题。 新课程标准要求数学学习内容的素材要贴近学生生活实际，以更好地服务生活。教学中结合生活实际设计教学内容，创设各种情景，提出真实、有思考价值的问题，真正让数学进入生活，体验数学在生活中的作用。设计的场景利用多媒体技术呈现，学生看到熟悉的生活情景，就会置身其中，产生浓厚的探索欲望，积极动手操作、合作交流，从而更好地完成教学目标。通过解决一些生活中的实际问题，让学生体会到数学与实际生活是紧密联系的，从而增强他们渴求数学知识的欲望。如在矩形的性质中，可以引导学生从矩形的边、角、对角线三个方面进行探索、讨论，教师通过多媒体列举出实际生活中矩形的例子，演示平行四边形的活动框架，让学生观察角的变化，当一个角变为直角时，这时的平行四边形是矩形，由上面的探究，学生不难得出矩形的性质，教师进一步引导学生把矩形的性质和平行四边形的性质进行对比以加深理解。接下来通过多媒体课件给学生提供题型丰富多样、难度适中、由浅入深的练习题，进行练习。这样从生活实际出发帮助学生理解知识，不仅增加了课堂的容量，而且提高了课堂教学效率。又如在探究圆锥底面圆上一点A处一只蚂蚁绕圆锥爬一周后回到点A，怎么爬最近时，利用多媒体动画将圆锥侧面展开，学生利用两点之间线段最短就会发现怎么爬才会最近，这个难点突破后，后面的问题就引刃而解；在空间与图形这章内容中，《课程标准》要求通过实例认识图形、图形的变换，借助图形的直观探索轴对称、平移、旋转的基本性质，并能利用图形变换进行设计，强调内容的现实背景，联系学生生活经验，使学生理解图形的概念和性质。轴对称是生活中常见的图形的变换，教学中利用多媒体展示一些对称的自然景观、物质结构、建筑物、艺术品、日常生活用品、窗花等实际例子，让学生感受对称变换在生活中很多，离生活很近，通过观察这些图形，找出共同特征，提高课堂效率。
四、搜集资料，拓展学生的知识面，多方面提高学生的能力。 运用网络可以收集各个领域的很多素材，这些素材不仅能拓展学生的知识面，帮助学生更好地理解数学知识，而且为提高学生的多种能力提供丰富的教学资源和空间。在学习统计知识时，传统的课堂教学，容量小，效率低；运用多媒体不仅可以呈现大量的统计图表和题目，而且可以快捷、方便的画出标准、美观的统计图。我们可以指导学生用电子表格画统计图，如调查某班学生最喜爱节目的人数，并做出扇形统计图的操作过程是：（1）、问卷调查喜欢各类节目的人数，并作出统计；（2）、打开Excel软件，按列或行输入数据并选中它们；（3）、利用软件图表功能，打开“图表向导”窗口；（4）、在“标准类型”的“图表类型”中选择“饼图”，点击“下一步”，出现窗口；（5）、选择“列”，点击“下一步”，出现窗口；（6）、在“数据标志”的“数据标签包括”中选择“百分比(P)”，并点击完成，就可以作出扇形图。利用电子表格不仅能画出扇形图，还可以画出其他类型的统计图，还可以帮助我们求平均数、中位数、众数和方差等统计量。又如在画一次函数图象探究性质时，一般采用描点连线法，描出的点越多，画出的函数图象越准确。但是，仅靠手工作图，有时很难画出准确的图象，但用几何画板就很容易解决这个难题，如画y=5X-2图象，启动几何画板绘制函数图象的功能，输入函数y=5x-2的解析式，计算机便自动画出图象，学生通过观察能轻松总结得出性质，制图软件不但能帮助我们画出函数图象，而且能帮助我们研究函数的性质，课堂效率也得到了很大的提高。在探究圆与圆的位置与圆心距的关系时，利用几何画板可轻松的画出5种圆与圆的位置图，利用测量就可测出圆心距，节省出来的时间就可以让学生讨论圆与圆中量与形的关系。
五、增加课堂容量，提高学生分析问题解决问题的能力。 初中数学新课程中把部分内容删除了，部分内容进行了整合，但是解答部分题目却需要这些知识做铺垫，而常规的课堂教学在板书、引导等过程中耗时过多，教师想让学生了解这些知识的形成过程，却苦于没有时间。利用多媒体成功地突破了难点之后，部分教学程序就会简化，课堂效率得到了提高，随之才有可能增加课堂容量。如：相似三角形一节中，课本先安排让学生画图探究平行线分线段成比例定理，之后再学习相似三角形的判定方法，传统的课堂教学学生画图度量后只能得到：上比下等于上比下，上比全等于上比全，下比全等于下比全，这三个比例式，还要去探究判定三角形相似的方法，根本没有时间深入地探究平行线分线段成比例定理；而利用多媒体教学时，学生画图得出数据后，就可以在多媒体上用动态的图像生动形象地展示这一定理，得到相应的比例式，节约下来的时间就可以更加深入细致地探究比例的性质，让学生了解合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等相关的知识，让学生真正理解平行线分线段成比例定理的内涵，并用它们去解决问题。又如圆的切线长定理一节的练习题中有一道习题，题目的图形就是切割线定理的图形，证明过程用到了证明切割线定理时添加辅助线的方法，这道题目如果不处理，大多数同学无法准确添加辅助线并完成证明，只能在课堂上利用多媒体让学生认识切割线，了解证明切割线定理添加辅助线的方法。在学习梯形的性质时，在学习相关概念后就要探究梯形的性质，但性质的证明就形成了难点，利用多媒体教学，在展示认知基本概念后，用多媒体展示证明梯形问题常用的添加辅助线的6种方法，之后证明性质时学生就能轻松添加辅助线，难点轻松被突破。
总之，利用现代教育技术提高数学课堂教学效率要吃透教材，熟知这些教育媒体的长处，找准课程资源与现代教学媒体的结合点，根据实际选好教法，让数学课堂充满乐趣、充满激情、充满活力、充满挑战，以构建高效率的数学课堂。

‘陆’ 几何画板的实例

一、制作效果
如图，无论是改变两圆的大小，还是圆心距，直线和圆的关系保持不变，即直线始终是两圆的外公切线。
二、思路分析
我们在寻求外公切线的作法以前，先看看下图，是否能想起过圆外一个作圆的切线的的尺规作法
以PO为直径作圆（先作线段OP的中点，找到圆心）→作两圆的交点C、D（这一步可省）→作直线PC、PD。是不是很简单？是不是想起外公切线的尺规作图（其实质就是把两圆的外公切线转化为内公切线），想不起试着分析一下。
如果还不行的话，就看下面的操作步骤吧。
三、操作步骤
1． 任画两圆（A,D）（B，C）
2． 度量两圆的半径，并计算它们的差
3． 以AB为直径画圆
4． 画圆（A，（半径⊙AD）－（半径⊙BC=0.94厘米）），与以AB为直径画的圆交于E（其中一个交点）。
5． 作直线BE；作直线（A，E）交圆（A,D）于F
6． 作平行线（F，直线BE）
7． 作直线FG关于线段BA的对称直线
四、拓展研究
1．这样尺规作图外公切线的作法，有缺点，当⊙AD的半径小于半径⊙BC时，外公切线不见了（您知道为什么吗？），如何完善？
只要在大圆内重复上述步骤，就搞定了，具体如下
(1)、计算两圆半径的差（注意是大圆半径减小圆半径）
(2)、画圆（B，（半径⊙BC）－（半径⊙AD=0.94厘米）），与以AB为直径画的圆交于I（其中一个交点）。
(3)、作直线(A,I)；作直线（B，I）交圆（B,C）于H
(4)、作平行线（H，直线AI）
(5)、作已作切线关于线段BA的对称直线，即另一条切线。如下图
就算这样作，仍不完善，当两圆半径相等时，切线会不见了。您能继续完善吗？
2．尺规作图得分三种情况（半径之间大于、小于、等于），有没有更简单的作法，有，下面讲一种非尺规作图的方法
如上图，分析一下作法。两圆半径固定，位置固定→确定∠BAF→确定F→确定G→确定一条切线→另一条切线。具体步骤如下
(1)、度量AB即圆心距
(2)、计算
(3)、B点饶A为中心以计算结果为旋转角旋转得到
(4)、作射线（A， ）交圆AD于H
(5)、作平行线（B，射线AH），交圆BC于I
(6)、作直线（H，I）即两圆的一条外公切线
(7)、作直线HI关于AB对称的直线，得到另一条切线。
试一试 您能否作圆的内公切线（分别用代数构造和几何构造） 一、制作结果
如图：单击“动画”按钮，D点在圆周上运动，从而圆（C，D）的大小和位置不断发生改变，但始终和圆C1和圆C2相切，圆心C的轨迹是双曲线。圆C1和圆C2的圆心和半径都能改变，轨迹也会改变，甚至不是双曲线。
二、思路分析
如果按尺规作图的思路，和已知两圆相切要分为同时外切、内切、一内一外。几何画板号称动态几何，其构造的思路会复杂吗？我们先来看其中一种情况：已知两圆和圆C2上任一点D，求作一圆和两已知圆都外切。看看下图，是如何确定圆心C的？分析分析作图步骤
三、操作步骤
1． 构造两已知圆的半径画一条水平直线AB，在直线上画三点C、D、E；隐藏点A、B。→画线段（D，C）(D，E),并把线段DC和线段DE的标签分别改为R、r（想一想为什么在直线上画点，而不直接画线段）
2． 构造圆心 画一条水平直线FG，隐藏点F、G→在直线上画点H、I（这两点就是已知圆的圆心）
3． 构造已知圆 画圆（H，线段R）画圆（I，线段r）
4． 构造辅助圆 画直线（I，J），其中J为圆I上任一点J→画圆（J，线段R）→画圆J和直线IJ的交点为L。
5． 构造所求圆 作线段（H，L）→作线段HL的中垂线→作直线IJ和中垂线的交点K→作圆（K，J）
6． 作轨迹（K，J）
7． 作J点的动画
8． 隐藏辅助线，修饰课件。
四、拓展研究
通过移动点C、E、H、I，改变两已知圆的大小和位置，我们惊喜的发现，这种构造方法，竟是一箭三雕－同外切；同内切；一外一内，尽在其中。 一、制作结果
单击“动画”按钮，线段的端点始终在坐标轴上运动，运动过程中线段保持等长。
二、思路分析
我们先思考，构造哪一点运动，从而带动线段运动？如图，线段和坐标轴围成的是直角三角形，线段的长不变，即斜边的长不变，则斜边上的中线保持不变。所以线段运动，其中点的轨迹是圆。您不难想到下面的构造：画圆（A,H）→画半径（AG）→画圆（G,A）→画线段（E,F）。（这实际上就是就是尺规作图：已知直角和中线作直角三角形）拖动G点到二、三、四象限，线段没有了。
此种构造不成功，我们换个思路构造直角三角形EAF，如上左图，只要能构造等腰三角形AGF，就能构造出直角三角形AEF。想想如何构造△AGF？
作垂线j（G,x轴）→点 （A关于直线j的反射点）→射线（ ，G）→线段（ ，I）
再拖动G点试试，成功！
换个思路我们再思考，当我们看到直角三角形及斜边上中线的图形，熟悉初中几何教学的你不难想到“中线加倍”，如下图：当线段BD运动时，AC也运动且长度不变，则点C的轨迹是圆（点，线段AC）。并且四边形ABCD是矩形（为什么？），您知道如何构造等长线段在坐标轴上的运动了吗？如不明白，请看操作步骤。
三、操作步骤
1． 建立直角坐标系
2． 画圆（A,E）
3． 画点C C为圆上任意一点
4． 作垂线（点C，x轴，y轴）
5． 画线段（点B，点D）
6． 作点C动画
7．隐藏不必要对象。
四、拓展研究
1）制作等长线段在坐标轴上的运动，这里讲了两种方法，可能还有其它方法，但几乎都不如这两种方法简洁。
2）坐标轴可用两条垂直的直线代替。更妙的是第二种构造，坐标轴甚至可用两条相交直线代替。第二种构造称为“刘天翼构造”，他是东北育才中学的学生的杰作。
旋转对象 运行结果：
画一个正方形，拖动任一顶点改变边长或改变位置，都能动态地保持图形是一个正方形。
基本思路：
本例将学习按固定的角度来旋转对象，
1．画一条线段，用来做正方形的一边
2．双击左端点，标记为中心，选中线段和右端点，绕标记的中心旋转900（逆时针方向），得第二条边
3．双击第一条线段的右端点，标记为中心，选择第一条线段和它的左端点，绕标记的中心旋转－90度（顺时针方向），得第三条边
4．连结出第四条边。
操作步骤：
1．画线段AB。
2．用选择工具双击点A，点A被标记为中心。
3．用选择工具选取点B和线段AB，由菜单“变换”---“旋转”，在弹出的“旋转”对话框中作设置。
4．双击点B，标记新的中心。
5．连结上方两个顶点得第四边。
拓展应用：
1．本例的方法可以用来作任意的正多边形，只要计算出正多边形的内角，旋转时按内角度数进行即可，但这并不是最方便的方法，具体请参阅深度迭代画正多边形。
2．并不是每次用正方形都要从头来画，事实上可以把这个画图的过程创建成一个自定义工具，请参考相关的章节。
3．画正方形的方法比较多，本例介绍的是较为简便的一种，其余方法请自行尝试 运行结果：
拖动点F，使∠DEF从00到1800变化，
中间结果
最后结果
基本思路：
本例将在前面学习的基础上，学习“按标记的角”旋转对象，同时能通过改变角的大小来动态演示对象的旋转过程。
1．为了方便观察，连结对称中心和各关键点间的虚线段，让研究对象和虚线段绕对称中心旋转180度，形成中心对称，
2．画一个角并标记这个角
3．再次选择原来的对象及虚线段，按标记的角旋转
4．拖动标记的角为0度，观察到的图形为中心对称，拖动标记的角从0度到180度，可以看到旋转180度后重合的过程。
操作步骤：
1．准备工作。
2．用选择工具双击点O，标记为中心。
3．同时选择点A、B、C，线段AB、AC、BC、OA、OB、OC，绕点O旋转180度。
4．用选择工具确保按顺序点D、E、F选中这三点，并注意不要多选其它对象，由菜单“变换”---“标记角”，如果标记成功，会看到一段小动画。
5．同时选择点A、B、C，线段AB、AC、BC、OA、OB、OC，由菜单“变换”---“旋转”，在弹出的对话框中作设置。
6．为便于观察，改按角度旋转所得的所有对象为红色。
7．拖动点F，使线段EF与ED重合，可以看到红色三角形与△ABC重合。
说明：本例中标记的角度是图形，这种情况要注意选取三个点的顺序，按“边上的点、顶点、边上的点”来选，如果选择时按逆时针方向，标记的是正角；按顺时针方向，标记的是负角，这将影响对象的旋转方向。
标记的角也可以是度量角所得的度数（这时只能是正角），还可以是由计算器计算出来的度数（可正可负）。
练习：
1．用旋转交换的方法画一个正三角形，并与前面用工具画正三角形的方法比较，你觉得哪种方法简便些？
几何画板---平移对象
平移是指：对于两个几何图形，如果在它们的所有点与点之间可以建立起一一对应关系，并且以一个图形上任一点为起点，另一个图形上的对应点为终点作向量，所得的一切向量都彼此相等，那么 其中一个图形到另一个图形的变换叫做平移。平移是一个保距变换，又是一个保角变换。
几何画板中，平移可以按三大类九种方法来进行，其中的有些方法事先要标记角、标记距离或标记向量。
在极坐标系中最多可以组合出四种方法
在直角坐标系中可以组合出四种方法
按标记的向量平移有一种方法 运行结果：
得到一个半径为 cm的圆，无论如何移动位置，半径保持不变。
基本思路：
根据勾股定理，让一个点在直角坐标系中按水平方向、垂直方向都平移1cm，得到的点与原来的点总是相距 cm，然后以圆心和圆周上的点画圆即可。
操作步骤：
1．画一个点A。
2．选取点A，由菜单“变换”---“平移”， 在弹出的对话框中作如图10的设置，平移。
3．选中这两点，（先选的为圆心），由菜单“构造”---“以圆心和圆周上的点绘圆”。
4．最后，无论如何移动，圆的半径固定为 cm。 运行结果：
拖动点F在线段DE上移动，可演示两个三角形重合和分开，可用来说明全等形。
基本思路：
本例学习根据标记的向量平移对象，
1．画好一个三角形。
2．另画一条线段（为方便观察，画成水平线）。
3．在线段上画一点。
4．标记线段左端点到线段上一点的向量。
5．将三角形按标记的向量平移。
操作步骤：
1．画△ABC。
2．画线段DE，在DE上画一点F
3．用选择工具先选取点D，后选取点F，由菜单“变换”---“标记向量”，标记从点D到F的向量。
4．选取△ABC的三边和三个顶点，由菜单“变换”---“平移”，在弹出的对话框中作如图14的设置（如果标记好向量，会自动设置为按标记的向量平移）。
5．用文本工具标记新三角形的三个顶点。 前面在学习构造菜单时，我们学习过根据平行四边形的定义，用构造平行线的方法来画一个平行四边形，这种画法对于一般情况下是没有问题的，但如果你想用来说明向量加法的平行四边形法则，你会发现当两个向量共线时，无法构造平行线的交点，因而就无法正确表示两个向量的和。
本例介绍根据标记的向量平移的方法来画平行四边形，这样的平行四边形可以正确演示向量加法的平行四边形法则。
操作步骤：
1．新建一个几何画板文件。
2．用“画线段”工具和“文本工具”先完成。
3．用“选择工具”按顺序选取点A、B，由菜单“变换”---“标记向量”标记一个从点A指向点B的向量。
4．确保只选中线段AD和点D，由菜单“变换”---“平移”，设置线段AD和点D按向量AB平移。
5．作出第四条边，改第四顶点标签为C。 利用几何画板验证勾股定理的方法有很多种，通过当场演示，让学生体会到动手实践在解决数学问题中的重要性，同时也让学生体会到用面积法验证公式的直观性、普遍性，从而形成一种等积带换的思想，为以后的学习奠定基础。
第1步，启动几何画板，单击工具箱上的“直尺”工具，按住“shift”不放，在操作区绘制出一条水平线段AB。在其被选中状态下，依次单击“构造”→“中点”菜单命令，作出线段AB的中点，并用“文本”工具，修改标签为O。
第2步，单击工具箱上的“选择箭头”工具，选中点O和点A，依次单击“构造”→“以圆心和圆周上点绘圆”，作出圆O。单击工具箱上的“点”工具，移动光标至圆上，当圆呈现高亮度时，单击鼠标左键，绘制出在圆上的一点，修改标签为C。按快捷键“ctrl+L”，分别作出线段AC和线段BC，绘制出直角三角形ABC。
第3步，单击工具箱上的“选择箭头”工具，单击操作区空白处，释放所选择对象。然后选中圆O，按快捷键“ctrl+L”，隐藏圆O。
第4步，移动光标至点B，双击点B，标记为中心点，选中点A和线段AB，依次单击“变换”→“旋转”菜单命令，弹出对话框，按照图87所示输入参数值，按“旋转”按钮，绘制出线段BA'，修改标签“A'”为“E”。同法，以点E为中心点，旋转BE绘制出EB'，修改标签为F，单击工具箱上的“直尺”工具，连接点A和点F，绘制出线段FA。
第5步，单击工具箱上的“选择箭头”工具，同时选中点A、点B、点E和点F，依次单击“构造”→“多边形内部”菜单命令，绘制正方形内部。用同样上述方法，绘制边AC和边BC对应的正方形ACGH和正方形BCIJ，并分别绘制正方形内部。
第6步，同时选中3个正方形，依次单击“度量”→“面积”菜单命令，在操作区显示3个度量值。选中两条直角边对应的正方形的面积度量值，单击“度量”→“计算”菜单命令，计算两个度量值的和。选中操作区中显示的两直角边对应的正方形面积的和的度量值和斜边对应的正方形的面积度量值，单击“图表”→“制表”菜单命令，绘制出表格。

‘柒’ 几何画板制作图形平移和旋转教程

网上的这方面的东西很多，可以参考
几何画板教程
第一章 用工具作图

第一节 几何画板的启动和绘图工具的介绍

1、启动几何画板：单击桌面左下角的【开始】按钮，选择【所有程序】|【GSP4.05】应用程序后，启动几何画板。
如图1所示，是打开一个几何画板文件的截图。


图1
几何画板的窗口是不是和其他Windows应用程序窗口十分类似？有控制菜单、最大/最小化以及标题栏，画板窗口的左侧是画板工具栏，画板的右边和下边可以有滚动条可以使小画板处理更大的图形。
画板的左侧是画板工具箱，把光标移动到工具的上面，一会儿就会显示工具的名称，看看它们分别是什么？它们分别是【选择箭头工具】、【点工具】、【圆规工具】、【直尺工具】、【文本工具】、【自定义画图工具】。
和一般的绘图软件相比，你会不会感觉它的工具是不是少了点？几何画板的主要用途之一是用来绘制几何图形。而几何图形的绘制，我们通常是用直尺和圆规，它们的配合几乎可以画出所有的欧氏几何图形。因为任何欧氏几何图形最后都可归结为“点”、“线”、“圆”。这种公里化作图思想因为“三大作图难题”曾经吸引无数数学爱好者的极大兴趣从而在数学历史上影响重大，源远流长。从某种意义上讲几何画板绘图是欧氏几何“尺规作图”的一种现代延伸。因为这种把所有绘图建立在基本元素上的做法和数学作图思维中公里化思想是一脉相承的。
按住工具框的边缘，可随意拖动到画板窗口的任何位置，不同位置形状不同。试一试，能否拖到某一个地方，工具框变成图2所示的形状？

图2
顾名思义，猜测一下它们都有何功能？
：选择对象 这是它的主要功能，当然还有其他
：画点 可以在画板绘图区任何空白的地方或“线”上画点。“线”可以是线段、射线、圆、轨迹、函数图像
：画圆 只能画正圆不能画椭圆，是不是有点遗憾？（几何画板也能画椭圆，请看第二章）
：画线 直尺工具当然用于画线段，还不仅仅如此！
：加标注（即说明性的文字）或给对象标标签
：自定义工具 如果你觉得上述工具不够（如：不能直接画正方形），你可以定义新的工具
选择某项绘图工具时，用鼠标单击一下该工具即可。
试一试 能否画出如图3所示的图形

图3
画点：单击【点工具】，然后将鼠标移动到画板窗口中单击一下，就会出现一个点。
画线：单击【直尺工具】，然后拖动鼠标，将光标移动到画板窗口中单击一下，再拖动鼠标到另一位置松开鼠标，就会出现一条线段。
画圆：单击【圆规工具】，然后拖动鼠标，将光标移动到画板窗口中单击一下（确定圆心），并按住鼠标拖动到另一位置（起点和终点间的距离就是半径）松开鼠标，就回出现一个圆。
画交点：单击【选择箭头工具】，然后拖动鼠标将光标移动到线段和圆相交处（光标由变成横向 ，状态栏显示的是“点击构造交点”）单击一下，就会出现交点。如图4所示：

图4
交点只能由线段（包括直线、射线）间、圆间、线段（（包括直线、射线））与圆之间点击构造。
绘图工具的使用是不是比操作直尺和圆规更容易？
如果你细心的话，你会发现【选择箭头工具】，和【直尺工具】的右下角都有一个小三角，用鼠标按住它约一秒，看看会发生什么？

【选择箭头工具】展开如图5所示，有三个工具，分别是：“移动”，“旋转”，“缩放”，其用途键下一节。

图5

【直尺工具】展开，也有三个工具，如图6所示，分别是：“线段”“射线”“和直线”。线段的画法，我们知道了，如何用它来画射线直线呢？

图6

画射线：移动光标到【直尺工具】上，按住鼠标不放，待【直尺工具】展开后，不要松开鼠标，继续移动光标到射线工具上，松开鼠标，直尺工具变为。然后在画板绘图区单击鼠标并按住鼠标拖动，到适当位置松开，就画出一条射线，如图7所示

图7

（在几何画板里是看不见射线上的箭头，它向一端是无限延伸的）
画直线：依样画葫芦，请你画如图8所示的一条直线。

图8
（在几何画板里同样也是看不见直线上的箭头，它向两端是无限延伸的）
你还会发现，用几何画板画出的线段、直线、射线和画圆，分别多了两点。一方面构造它们只要两点就够了，另一方面，它们可以被拖动。如，单击【选择箭头工具】按钮，移动光标到线段的端点处（注意光标会变水平）拖动鼠标，线段的长短和方向就会改变；正因为多出了“点”，才使它们有被改变的可能。
移动光标到线段的端点之间任何地方（光标成水平状）拖动鼠标，就可以移动线段。分别拖动一下直线、射线的点和线，尝试改变它们一下。
试一试 画一个圆，看能否改变圆的大小和位置。
（提示：圆是由两个点来决定的，鼠标按下去的点即为圆心，松开鼠标的点即为圆上的一点。改变这两个点中的任意一点都可以改变圆。分别拖动圆心和圆周上的点，可改变圆的大小，拖动圆周，可移动圆。）
所以说，你不觉得几何画板所画图形是动态的图形？
几何画板绘制的图形也非常容易加上标签。（你不妨和word的绘图比较一下）
单击文本工具，光标由前头变为手形然后分别移动鼠标，当光标移到对象处，变为单击鼠标，对象显示出标签。
请将图3中的所有对象添上标签。去掉标签也容易，只需对上图的每一个对象，单击，标签就没有了。在几何画板中的每个几何对象都对应一个“标签”。当您在画板中构造几何对象时，系统会自动给您画的对象配标签。文本工具就是一个标签的开关，可以让几何画板中每个几何对象的标签显示和隐藏。

用绘图工具绘制简单的组合图形

下面我们用绘图工具来画一些组合图形，希望通过一下范例的学习，你能够熟悉绘图工具的使用，和一些相关技巧。
三角形（一）
一、制作结果 如图所示，拖动三角形的顶点，可改变三角形的形状、大小
这个三角形是动态的三角形，它可以被拖成下列三角形之一，如图9所示。

图9
二、要点思路 熟悉“直尺工具”的使用，拖动图中的点改变其形状。
三、操作步骤 观察图10，你能明白三角形就是用【直尺工具】画三条首尾相接的线段所组成的图形。

图10
打开几何画板，建立新绘图
单击【直尺工具】，将光标移到在绘图区，单击并按住鼠标拖动，画一条线段，松开鼠标。
在原处单击鼠标并按住拖动，画出另一条线段，松开鼠标。（注意光标移动的方向）
在原处单击鼠标并按住拖动，画出第三条线段，光标移到起点处松开鼠标。（注意起点会变色）
5、将该文件保存为“三角形.gsp”
拓展：你也可以将光标移到在绘图区，单击并松开鼠标拖动，画一条线段，单击鼠标。在原处再单击鼠标并松开拖动，画出另一条线段，单击鼠标。在原处单击鼠标并松开拖动，画出第三条线段，光标移到起点处单击鼠标。
例2三角形（二）
一、制作结果 三角形三边所在的线分别是直线、射线和线段，拖动三角形的顶点可以改变三角形的大小和形状，如图11所示。在讲解三角形的外角时，就可构造此图形。


图11
二、知识要点 学会使用【线段工具】、【直线工具】、【射线工具】以及它们相互之间的切换。
三、操作步骤
打开几何画板，建立新绘图。
选择画直线工具 将光标移动到【直尺工具】上按住鼠标键不放，移动光标到【直线工具】上，松开鼠标，如图12所示。

图12

画直线 将鼠标移动到画板中，按下鼠标键，向右拖曳鼠标后松鼠标键。
选择画射线工具 用鼠标对准【直线工具】，按下鼠标键并拖曳到【射线工具】处松鼠标，如图13所示。

图13
画射线 将鼠标对准定义直线的左边一点（在按下鼠标左键之前请注意窗口左下角的提示），按下鼠标键，向右上拖曳鼠标后松鼠标键。
选择画线段工具 用鼠标对准画线工具，按下鼠标键并拖曳到线段工具处松鼠标。如图14所示。

图14
画线段 将鼠标对准定义射线的右上一点C（注意窗口左下角的提示信息），按下鼠标键，向定义直线的右边一点B拖动（注意提示），匹配上这一点后松鼠标。
将该文件保存为“三线三角形.gsp”

例3、圆内接三角形
一、制作结果 如图15所示所示，拖动三角形的任一个顶点，三角形的形状会发生改变，但始终与圆内接。

图15
二、要点思路 学会使用画线工具在几何对象上画线段
三、操作步骤 如图16所示

图16
打开几何画板，建立新绘图。
画圆 单击【圆规工具】按钮，然后拖动鼠标，将光标移动到画板窗口中单击一下按住并拖动鼠标到另一位置，松开鼠标，就会出现一个圆。
画三角形 单击【直尺工具】按钮，移动光标到圆周上（圆会变淡蓝色）单击并按住鼠标向右移到圆周上松开鼠标；在原处单击并按住鼠标向左上方移动到圆周上松开鼠标；在原处单击并按住鼠标向左下方移动到圆周上线段起点处松开鼠标。
将该文件保存为“圆内接三角形.gsp”
注意：画线段时，起点不要与圆周上的点重合；光标移动到圆上时，圆会变淡蓝色，注意状态栏的提示。
试一试：画一个过同一点的三个圆，并保存文件为“共点的三圆.gsp”（希望你能试一试，后面要用到）
例4、等腰三角形（画法一）

制作结果 拖动三角形的顶点，三角形形状和大小会发生改变，但始终是等腰三角形，如图17所示，这就是几何的不变规律。

图17
要点思路 利用“同圆半径相等”来构造等腰，如图18所示。

图18
三、操作步骤
1、打开几何画板，建立新绘图。
2、画圆
3、画三角形 单击【直尺工具】按钮，移动光标到圆周上的点处（即画圆时的终点，此时点会变淡蓝色），单击并按住鼠标向右移动到圆周上松开鼠标；在原处单击并按住鼠标向左上方移动到圆圆心处松开鼠标；在原处单击并按住鼠标向左下方移动到起点处松开鼠标。
4、隐藏圆 按“Esc”键（取消画线段状态）单击圆周后，按“Ctrl+H”快捷键隐藏圆。
5、将该文件保存为“等腰三角形1.gsp”
线段的垂直平分线
一、制作结果 如图19所示，无论你怎样拖动线段，竖直的线为水平线段的垂直平分线。

图19
要点思路 学会使用【直尺工具】，画线段和直线，学会等圆的构造技巧，如图20所示。

图20
操作步骤
1、打开几何画板，建立新绘图，画线段 。
2、画等圆 单击【圆规工具】，然后拖动鼠标，将光标移动到画板线段的左端点单击一下按住并拖动鼠标到线段的右端点，松开鼠标；在原处单击并按住鼠标向左拖动到起点（即开始构造圆的起点）松开鼠标。
3、画直线 选择【直线工具】，移动光标到两圆相交处单击并按住鼠标拖动到另一个两圆相交处单击后松开鼠标。（光标到两圆相交处，两圆会同时变为淡蓝色）
4、隐藏两圆及交点 按“Esc”键，取消画线段状态，单击圆周和交点后，按“Ctrl+H”
5、保存文件 将该文件保存为“垂直平分线.gsp”
你能否由上述作法联想到等边三角形的作法？
拓展：等边三角形的画法（一）
要点思路 学会等圆的构造方法，使用“同圆半径相等”构造等边，如图21所示。

图21
二、操作步骤
1、打开几何画板，建立新绘图。
2、画等圆 单击【圆规工具】，然后拖动鼠标，将光标移动到画板窗口中单击一下按住并拖动鼠标到另一位置，松开鼠标；在原处单击并按住鼠标向左拖动到起点（即开始构造圆的起点）松开鼠标。
3、画三角形 在画线段时，光标移到两圆相交处，两圆同时变淡蓝色才可单击鼠标。
4、隐藏两圆 按“Esc”键，取消画线段状态，单击圆周后，按“Ctrl+H”快捷键隐藏圆。
将该文件保存为“等边三角形1.gsp”

例6、直角三角形（画法一）

一、制作结果 拖动左边和上边的点可改变三角形的大小和形状，但始终是直角三角形。拖动右边的点和三边可改变直角三角形的位置，如图22所示。


图22
二、要点思路 学会使用【画射线工具】；使用【选择工具】画交点；在圆上画线段；搞清楚画直角的原理是：直径所对的圆周角是直角
三、操作步骤
1、打开几何画板，建立新绘图
2、画射线：移动光标到【直尺工具】上，按住鼠标不放，待【直尺工具】展开后，不要松开鼠标，继续移动光标到射线工具上，松开鼠标，直尺工具变为。然后在画板绘图区单击鼠标并按住鼠标拖动，到适当位置松开，就画出一条射线，如图23所示。


图23
3、画圆及射线的交点：移动光标到射线和圆的交点处，单击，如图24所示。

图24
注意：光标到射线和圆的交点处，射线和圆都会变为淡蓝色，状态提示栏的提示是：“单击构造交点”。
4、画直角边 单击【直尺工具】按钮，移动光标到射线的端点处（端点会变淡蓝色）单击并按住鼠标向右上移动到圆周上松开鼠标；在原处单击并按住鼠标向右下方移动到圆与射线的交点处松开鼠标，如图25所示。

图25
5、隐藏射线和圆及圆心 连续单击圆、圆心、射线后按快捷键“Ctrl+H”，如图26所示。


图26
6、画斜边 单击【直尺工具】，移动光标到左边点处单击并按住鼠标向右移动到右边点处松开鼠标。
可能你会说，怎么这么繁，为什么不直接用【直尺工具】画一个直角三角形，但这样画出的直角三角形，由于没有定义几何关系，拖动任一顶点和边，不能保证它始终是直角三角形。
7、将该文件保存为“直角三角形.gsp”
从以上几个实例不知你是否意识到：
1）用几何画板绘制几何图形，首先得考虑对象间的几何关系，不是基本元素（点、线、圆）的简单堆积。
2）点不仅可作在画板的空白处，也可以作在几何对象（除“内部”外）上。线段和圆的起点和终点也如此，即不仅可作在画板的空白处，也可以作在几何对象上，即构造“点”与“线”的几何关系。
3）【选择箭头工具】不仅用于选择，还可用来构造交点。
4）在画点（或画圆、、直线、线段、射线）时，光标移到几何对象（点和线）处，几何对象会变为淡蓝色，此时单击鼠标才能保证“点”、“点”重合，“点”在“线”上。
5）对于绘制图形的辅助线，一般情况下不能删除，要不然相关对象都被删除了。只能选定按快捷键“Ctrl+H”隐藏。

第三节：对象的选取、删除、拖动

前面的叙述已涉及到对象的选取、拖动。几何画板虽然是windows软件，但它的有些选择对象的选择方式，又与一般的windows绘图软件又不同，希望你在学习过程中能意识和注意到这一点。也希望通过本节的讲解，你对此有比较系统全面的了解
一、选择
在进行所有选择（或不选择）之前，需要先单击【选择箭头工具】按钮，使鼠标处于选择箭头状态。
1、选择一个：用鼠标对准画板中的一个点、一条线、一个圆或其它图形对象，单击鼠标就可以选中这个对象。图形对象被选中时，会加重表示出来。如下图所示：
选择对象 过   程   描   述 选前状态 选后状态
一个点 用鼠标对准要选中的点，待光标变成横向时 ，单击鼠标左键。
一条线 用鼠标对准线段的端点之间部分（而不是线段的端点），待鼠标变成横向的黑箭头时，单击鼠标左键。
一个圆 用鼠标对准圆周（而不是圆心或圆上的点），待鼠标变成横向的黑箭头时，单击鼠标左键。

2、再选另一个：当一个对象被选中后，再用鼠标单击另一个对象，新的对象被选中而原来被选中的对象仍被选中（选择另一对象的同时，并不需按住“Shift”键，与一般的windows软件的选择习惯不同）。
3、选择多个：连续单击所要选择的对象（注意：在单击过程中，不得在画板的空白处单击（或按“Esc”键）。
4、取消某一个：当选中多个对象后，想要取消某一个，只需单击这个对象，就取消了对这个对象的选择。
都不选中：如果在画板的空白处单击一下（或按“Esc”键），那么所有选中的标记就都没有了，没有对象被选中了。
选择所有：如果你选择了画板工具箱中的选择工具，这时在编辑菜单中就会有一个“选择所有”的项；如果当前工具是画点工具，这一项就变成选择“所有点”；如果是画线工具或画图工具，这一项就变成“选择所有线段（射线、直线）或“选择所有圆”。它的快捷键是“Ctrl+A”（请注意和反复练习这种选择同类对象的方式）
选择对象的父母和子女：选中一些对象后，选择【编辑】|【选择父对象】命令，如图27所示，就可以把已选中对象的父母选中。类似地，也可以选择子对象。如果一个对象没有父母，那么几何画板认为它自己是自己的父母；同样，如果一个对象没有子女，那么它自己是自己的子女。 所谓“父母”和“子女”，是指对象之间的派生关系。如：线段是由两点派生出来的，因此这两点的“子女”就是线段，而线段的“父母”就是两个点。

图27
注意：画板最后构造对象，是处于选择状态。在选择对象之前最好在在画板的空白处单击一下（或按“Esc”键）
小技巧：选择多个对象还可以用拖框的方式，（和一般的windows软件相同）如图28所示：

图28
你想要画图快捷，最好熟悉这种选择方式。
选择对象的目的是为了对这个对象进行操作。这是因为在windows中，所有的操作都只能作用于选中的对象上，也就是说：必须先选择对象，然后才能进行有关的操作。在几何画板中，对选中的对象可以进行的操作有：删除、拖动、构造、测量、变换等。 在这里，我们先介绍删除和拖动操作。
二、删除
删除就是把对象（点、线或圆）从屏幕中清除出去。方法是：先选中要删除的对象，然后再选择“编辑”菜单中的“清除”项，或按键盘上的“Delete”键。请注意，这时与该对象有关的所有对象均会被删除，和一般的windows软件又不同，和数学思想倒很相近，“皮之不存，毛将附焉”。
三、拖动
用鼠标可以选择一个或多个对象，当你用鼠标拖动已经选中的对象在画板中移动时，这些对象也会跟着移动。由于几何面板中的几何对象都是通过几何定义构造出来的，而且几何画板的精髓就在于“在运动中保持几何关系不变”，所以，一些相关的几何对象也会相应地移动。
当你拖动画板中的图形时，可以感受到几何画板的动态功能。请注意：在拖动之前，请按“Esc”键，或点击【选择箭头工具】后，选定要移动的对象。
试一试 按下面的步骤进行拖动操作，注意观察图形变化的情况。
  拖动前的图形 拖动操作 拖动后的图形 解    释
1  向下拖动点B 线段受点B控制，所以要随着运动。
2 拖动线段AB 线段的方向不变，位置发生改变，由于点A、B是线段的父母，必须保持相应关系，所以两点也随之运动。
3 拖动点B 点B是圆的父母，所以圆的大小随着点B的移动而变化。由于点A是自由的，不受点B控制，所以点A位置保持不变。
4 拖动点A 点A是圆的父母，所以圆的大小和圆心的位置随着点A的移动而变化。由于点B是自由的，不受点A控制，所以圆总保持过点B。
5 圆由AB两点定义，点C为圆上另一点，拖动点C。 由于点C是圆的子女，受圆的控制，所以，这个点只能在圆上运动。
6 画两条相交线段，用选择工具画出它们的交点（请注意状态条的提示），之后拖动线段CD。 当两线段不相交后，交点就不显示了（此时交点无数学意义）。
在前面学习中，你是不是用画圆工具画了三个过同一点的圆，并把它保存为“共点的三圆。gsp”的文件。现在请大家把这个文件调出来（选择【文件】|【打开】命令，选中文件名后，按【确定】按钮）。 请大家任意选中一个圆随意拉动，看这三个圆是否还能“过同一点”？ 拖动结果可能如图29所示：



图29
为什么图形会“散架”，可能作图过程是这样的（下面列出最典型的初学者“画三个过一点的圆”的方法，可能受传统作图方式如黑板上的绘图或一般绘图软件的影响），如图30所示。

图30
在拖动过程中，几何画板能够保持所有给定的几何关系，因为它就是根据几何关系来设计的！那么，你思考一下，上述方法在画圆时，到底给定了什么样的几何关系？
我们知道，圆是由两个点来决定的，鼠标按下去的点即为圆心，松开鼠标的点即为圆上的一点。改变这两个点中的任意一点都可以改变圆。
而在我们刚才的操作中，我们所给的几何关系是：每个圆都是由两个完全自由的点来决定的（请大家观察一下，图中共一个圆，六个自由点）。根据这样的几何关系，每个圆都可以随意地改变。这就表明：在几何画板中，不能再象在黑板上那样，随手画出图来，而每时每刻都得考虑几何关系。
那么怎么能保证它们过同一个点呢？你按下面的步骤做做看？
步骤 过  程  描  述 作图结果
1 选择画圆工具。 （无）
2 画第一个圆：圆心为A，圆上一点为B。
3 画第二个圆；在任意一点处按下鼠标键即规定了圆心C，拖动鼠标，对准点B（注意状态栏的提示），并在B点松开鼠标，即圆上的点为B。
4 画第三个圆：在任意一点处按下鼠标键即规定了圆心D，拖动鼠标，对准点B（注意状态栏的提示），并在B点松开鼠标，即圆上的点为B。

‘捌’ 几何画板怎样画圆柱展开图

几何画板作为数学老师必备的课件制作工具，可以制作图形动态变换课件进行演示，下图就是用几何画板制作的圆柱展开动画；

1.按下“展开”键，圆柱侧面从左至右依次展开，直至完全伸展开来。

2.按下“回归”键，圆柱侧面从右到左像卷轴一样卷起来，最后回到原来的位置。

3.按下“反复”演示键，圆柱侧面会反复伸展卷起。

4.圆柱侧面展开时可以观察到当侧面完全展开时，圆柱的侧面是一个长方形。

以上内容是对几何画板圆柱侧面展开动画课件的介绍，这样让圆柱的展开形象直观，避免了抽象地去想象，更易于学生的理解。

‘玖’ 几何画板实际应用

1.1几何画板是什么
The Geometer s Sketchpad是美国优秀的教育软件，由美国Nicholas Jackiw设计，Nicholas Jackiw和Scott Steketee程序实现, Key Curriculum出版社出版.它的中文名是《几何画板——21世纪的动态几何》.
几何画板是一个优秀的专业学科平台软件，代表了当代专业工具平台类教学软件的发展方向．它是以数学为根本，以＂动态几何＂为特色来动态表现设计者的思想，供用户探索几何奥秘的一个新的工具．该软件短小精悍，功能强大，开发的软件具有精确的数字化描述和动态的参数交互功能，能够动态表现相关对象的关系，适合教师根据教学需要自编微型课件.
1.电子作图工具
几何画板可以作为一个电子作图工具，利用它的工具箱提供的工具，模拟直尺、三角板、圆规，做出点、线段、射线、直线、圆等几何图形，并可以在各几何元素旁标注字母，也可以在画板上任何地方注释文字.
由于计算机的快速精确计算和图形处理功能，使几何画板软件作作图既快又精确.但它又与一般图形软件不同，在大部分几何图形中，一些几何元素之间是有一定关系的，例如垂直、平行、相交等.在几何画板中，可以利用“作图”菜单中提供的各种功能，由系统自动产生出交点、平行线、垂直线、圆弧、抛物线等几何图形.
2.动态演示工具
几何画板能够准确的、动态地表现几何问题，为充分发展几何元素在运动状态下保持几何关系的不变性，提供了方便的动态演示.使传统教学中只能在黑板上静态表现的结果变成动态的展示过程，从而使学生对一些几何性质和定理理解得更快、更深刻。例如“任意三角形”这一概念，过去教师只能在黑板上画几个三角形，再用语言补充，但是画得再多也是有限的。而用几何画板可以拖动三角形的任意一顶点，动态地演示出“任意三角形”这一概念真实情况.
例如任意三角形三条中线交于一点，这个性质我们可以在课前制作一个课件存盘.课堂上把这文件调出、运行即可（文件：三角形中线.gsp）.可以手动也可以自动.
3.显示和探求轨迹的工具
轨迹是几何中一个重要知识点，且又是一个难点.难就难在需要用动态的观点来看几何图形.但过去的课堂教学一般是借助于静态的图形或简单的教具进行讲解，学生只能根据对问题的分析和最终的结果去想象出轨迹生成的过程，如果学生的想象能力差一些，理解这部分的内容就更难.而利用几何画板的动态功能，可直观地演示出轨迹生成过程，不仅使分析、过程、结果都一目了然，而且便于整体把握数学内在规律，还可以由此发现许多新的规律.
例如斜边为定长的直角三角形直角顶点的轨迹是圆.
例如当一条线段的一个端点在圆上运动时，其垂直平分线的轨迹是什么？这是个比较难的问题.但利用几何画板这个问题就很容易解决了，如图1.1所示.
4.课件开发工具
几何画板又可以作为课件开发工具，帮助教师大大扩展几何教学的能力.在备课时，用这个软件事先编制好要讲的内容，以文件形式存在磁盘中.讲课时，调出该文件就可以自动进行演示.
但它与一般的CAI写作工具软件不同.一般的CAI写作工具，需要有一定的编程能力，一些几何关系编程者自己必须在程序中定义.而几何画板不需要教师有程序设计知识，她所需要的仅仅是一定的数学知识，特别是几何构建思想.只要教师在“画板”上画出和定义课堂上要讲解的实际内容，系统自动记录绘制的过程和内容，然后把它们存在文件，上课时调出，系统就会自动重复教室制作的过程。
特别是，利用系统的动画功能可以制作动态的教学过程，使有些原本抽象、枯燥的内容变得具体、生动、活泼，充分展现数学的美。
5.良好的学具
几何画板为学生提供了一个自由的、开阔的、十分理想的“做数学”的环境。几何画板本身就是一个很好的几何情景，它可以作为学生研究几何关系，猜测、发现和验证几何方法，探索几何规律的一个电子“实验室”。在这个“实验室”中，学生可以在画板上画出各种几何图形，系统利用它所在存储的几何定理和公式，自动显示出这些图形之间的关系，学生从中旧可以验证有关的几何性质，接受并理解相关的知识。
如“n等分线段”这一命题，教科书上一般都是用比例线段作平行线的方法。是否还有其他方法？美国两个初中学生用几何画板发现了新的方法。

‘拾’ 几何画板

几何画板是一个通用的数学、物理教学环境，提供丰富而方便的创造功能使用户可以随心所欲地编写出自己需要的教学课件。软件提供充分的手段帮助用户实现其教学思想，只需要熟悉软件的简单的使用技巧即可自行设计和编写应用范例，范例所体现的并不是编者的计算机软件技术水平，而是教学思想和教学水平。可以说几何画板是最出色的教学软件之一。系统要求很低：PC486以上兼容机、4M以上内存、Windows3.X或Windows95简体中文版。
一、几何画板简介
《几何画板》软件是由美国Key Curriculum Press公司制作并出版的优秀教育软件，1996年该公司授权人民教育出版社在中国发行该软件的中文版。正如其名“21世纪动态几何”，它能够动态地展现出几何对象的位置关系、运行变化规律，是数学与物理教师制作课件的“利剑”！
1.窗口组成
由题标栏、菜单栏、工具栏、状态栏、绘图窗口和记录窗口等组成。
2.工具栏组成
工具栏依次是选择工具（实现选择，及对象的平移、旋转、缩放功能）、画点工具、画线工具、画圆工具、文本工具和对象信息工具。在选择工具和画线工具按钮上按住鼠标左键停留片刻，会弹出更多的类型工具；选择对象的方法可以选择点按、按Shift点按或拖动等方式选中对象。
3.对象之间的关系
几何画板中对象之间的关系如同生活中父母与子女关系。如果改变“父母”的位置或大小，为了保持与父母的几何关系，作为“子女”对象也随之变化。例如，我们先作出两个点，再作线段，那么作出的线段就是那两个点的“子女”。又如，先作一个几何对象，再基于这个对象用某种几何关系（平行、垂直等）或变换（旋转、平移等）作出另一个对象，那么后面作出的几何图形就是前面的“子女”。
4.了解对象信息
选择“信息工具”，然后在某个对象上单击或双击，即可显示有关信息或弹出该对象信息对话框。
二、基本操作
1.点的生成与作用
例1 画三角形
先画三个点（可按住Shift键连续画点）；然后利用“作图”菜单中的“线段”命令画出三角形。
注：用按住Shift键的方法，最大的好处是三个顶点都被选中。
例2 画多边形
先画多个点（可按住Shift键连续画点）；然后利用“作图”菜单中的“线段”命令（或直接按CtrL+L）画出多边形。
注：选取顶点的顺序是十分重要的，不同的顺序会得出不同的多边形。
2.线的作法
“画线工具”有三种线段、直线和射线，选中后在绘图窗口中进行画图即。
例3 制作验证三角形的三边的垂直平分线相交于一点的课件（初步进行作图练习）
3.画圆的方法
画圆有3种方法
用画圆工具作圆；通过两点作圆；用圆心与半径画圆（这种方法作的圆定长不变，除非改变定长时，否则半径不变）
4.画圆弧的方法
画圆弧也有3种方法
按一定顺序选定三点然后作弧（按逆时针方向从起点到终点画弧）；选取圆及圆上2点作弧（从第一点逆时针方向到第二点之间的一段弧）；选取圆上三点作弧（与法2相似，只是无需选中圆，作完弧后，可以隐藏原来的圆，可见新作的弧）
5.扇形和弓形
与三角形内部相似（先选中三个顶点），扇形和弓形含有“面”，而不仅仅只有“边界”。扇形和弓形的画法类似：
用上述方法作圆弧，选择该弧，用“作图”菜单中的“扇形内部”（或“弓形内部”）命令作出扇形或弓形（阴影部分）。
6.度量、计算与制表
[度量] 选中三角形内部后，在“度量”菜单中“面积”和“周长”命令，度量三角形面积与周长。利用“显示”菜单中“参数选择”命令，可以进行“对象参数”设置。
[计算] “度量”菜单的“计算”命令可以对对象的值进行运算，求得所需要的结果，我们以“相交弦定理”验证为例进行说明。
①画一个圆及两条相交的弦；②度量出四条线段的长度（距离）；③分别选择同一直线上的两条线段的距离值，利用“度量”菜单中的计算命令，依次计算出两者之积④拖动动点，观察规律：相交弦定理。
[制表] 在“度量”菜单中“制表”命令。选择上例中“四条线段的长度”，利用“制表”命令，制出表格。变化图形，增加表格项的方法有3种：选中表格菜单中“加项”命令；选中表格利用CtrL+E快捷键；双击表格。
7.变换
“变换”包括平移、旋转、缩放、反射等命令。各标记命令允许指定决定变换的几何对象、几何关系，或度量值。也可以通过组合平移、旋转、缩放、反射等变换定义自己的变换。
标记中心和标记镜面命令确定了几何变换的类型。旋转和缩放需要一个中心点，所以在实施这两种变换前要先确定一个中心点。同样，反射需要一个镜面，在反射前要先确定一个镜面。
8.标签
所谓标签，也就是给作出的点、线、圆、圆弧等几何图形起个名字。用几何画板作出的几何对象，一般都由系统自动配置好标签。利用“标签”工具双击标签文本可以进行重命名操作。
三、提高操作
1.如何快速完成几何图形的绘制
①利用快捷键
如绘制多边形时，可先利用画点工具，画若干个点（顶点）。画点时按住Shift键，使之均处于选中状态，然后利用作线段快捷键命令CtrL+L，来快速完成多边形的绘制。
②直接使用键盘命令创建图形对象
其实《几何画板》中提供了通过键盘命令（几个标点符号键）直接输入几何图形的方法。
句号( • ) —— 绘制点
逗号( ， ) —— 绘制圆
斜杠( / ) —— 绘制线（包括线段、射线和直线，它们各类型之间可通过重复点击来切换）
分号( ；) —— 绘制圆弧
撇号( ’） —— 绘制多边形
下面以绘制多边形（4边形）为例来说明：
按下撇号( ')键，此时位于《几何画板》窗口左下角的工具状态框中，显示“绘出多边形”；
输入“A B C D”，每个字母间加入一个空格，状态框中显示“绘出多边形A，B，C，D”；最后回车，多边形（四边形）绘制完毕。可以拖动各顶点，进行调整。
2.如何导入外部图片
制作课件时，往往需要导入《几何画板》以外的美丽图片，来提高课件的质量。下面介绍两种导入外部图片的方法。
①插入的方法
“编辑”菜单中“插入对象”命令 —>选中“BMP图象”类型—> 自动启动《画图》程序—>利用《画图》程序“编辑”菜单中的“粘贴自”命令，读入所需图片文件，最后利用“文件”菜单中的“退出并返回……”命令，回到《几何画板》编辑窗口。
②粘贴的方法
把所需的图片复制到Windows的“剪贴板”上，再利用《几何画板》中的“粘贴”命令直接导入一幅图片到课件中。这种方法看来比较简单，但制作课件中若用到多个图片时，此方法的优势就显现不出来了。
注：若要使导入的图片参与动画运动，可以先选中一点，然后利用上述方法导入图片。这样导入的图片就被固定在指定点的位置，该点运行轨迹就是此图片的运动路径。
3.如何输入数学符号或数学公式
①导入法
象导入外部图片一样，将Word或WPS中的数学公式或符号，导入到《几何画板》课件中。
②“编辑数学格式文本”法
其实《几何画板》中提供了输入常用数学公式或符号命令（参见下表1），只是初学者不大会用。这里以一个具体的例子来说明这些命令的使用方法。
例如：标识5的算术平方根（根式）
按下[Num Lock]键不放开，再双击A点的标签，弹出“编辑数学格式文本”对话框（如图1）；在“数学格式”栏中输入{V：5}，确定即可。
注：单独使用的“文本”工具，创建的“注释”类型文本，不能进行数学格式编辑。只有对象标签或度量的文本才可以进行“数学格式编辑”。
四、对象的移动与动画
几何画板画出的各类对象可以运动，这是它之所以称为“动态几何”的原因。几何画板中的对象“动”的方法有3种，前面学习过一种是：拖动对象的某一部分（或一点、一线），使得由于各种几何关系连接起来的图形整体一起变化。还有两种就是对象的移动与动画。
1.对象的移动
[例]制作“两圆的位置关系”演示课件
制作两个圆，一个运动的圆，一个静止的圆，在静止的圆的外部和内部各画一个，让运动的圆的圆心分别向这两个点移动，达到两圆相切和相交的效果（当然两圆的内含、内切也可同样作出。只是要特别注意：选择顺序，先选运动的点，再选目标点）。具体操作如下：
①用“以圆心与半径作圆”的方法作两个相离的圆，可以给它们设置不同的颜色；
②在静止圆的外部适当位置画一个点A，在其内部适当位置画一个点B；
③先运动圆的圆心，再选A点，选择“编辑”菜单的“操作类按钮”项的“移动”命令，并选择“慢速”，然后确定。这时《几何画板》窗口出现“移动”按钮，可以用“标签”工具把文字改为“外切”；
④同样方法可以作出“相切”运动效果，双击按钮可以播放动画，按CtrL+Z使得圆回到原来位置。
注：双击某个按钮，就会产生相应的运动。如果动圆所到的位置不够准确，可以调整目标点的位置。为了避免使用时误操作，可以适当隐藏若干对象。
如果用其他两种画圆的方法，圆心运动时会改变圆半径的大小。此法所作的圆的大小，只有作为半径的线段改变时，圆的大小才会改变。
2.动画
移动虽有比较好的运动效果，但移动一次后便需恢复到原位，而《几何画板》中的动画功能却能很生动地连续表现运动效果。用动画可以非常方便地描画出运动物体的运动轨迹，而且轨迹的生成是动态的、逐步的，表现出轨迹产生的全过程。
[例]制作“同底等高的三角形面积相等”课件
①作一个三角形ABC；
②依次选中A、B、C三点，利用“作图”菜单中的“多边形内部”命令，选择三角形内部；
③选择“度量”菜单中的“面积”命令，度量出三角形的面积；
④过顶点A作BC的平行线，再在该直线上取一点D，作三角形DBC；
⑤选中点D和BC的平行线，作D点在该线上运动动画。
五、记录
“记录”可以把你做的每一步记录在一个文件里，以后如果需要就可以调出相应的记录文件，自动做出以前的工作。记录的最大好处也许是可以合给人看到作图的每一步过程，这不但对不了解作图过程的人是一个启示，而且对作者本人，在时间长久遗忘的情况下也好比救命的菩萨。一般来说，启用一个记录必须有前提高条件。
1.用已存在的作图生成记录
在上例“同底等高的三角形面积相等”课件中，进行了一系列的作图操作，如果需要把它记录下来，也是完全可以的。
①选中所有对象；用“工作”菜单的“生成记录”命令，生成记录；
②新建一个绘图窗口，绘出三个点（满足前提条件），执行“播放”命令，在新的绘图窗口中，便会依次重复我们以往的操作。
注：如果选择记录窗口中的“快进”按钮，所作图形会一步作出，而不是逐步作出。如果记录文件需要保存，可按一般的文件存盘方法进行。记录文件的扩展名是.gss；绘图文件的扩展名是.gsp。
2.先打开记录再作图
利用“文件”菜单的“新记录”命令，出现“记录”窗口，点击“记录”窗口中的“录制”按钮，然后按部就班作图，作图结束，按“记录”窗口中的“停止”按钮停止录制，可以将记录文件存盘。
3.循环记录
《几何画板》中的“循环”概念与数学里的极限是非常类似的，而且它完全可以用来演示数学里的极限问题，比如记录得出三角形里的三角形，再选定小三角形，再用一次记录……
简言之，《几何画板》的循环就是“图画”中的“图画”，循环记录可以用无限循环来定义，但是当你播放这些记录时，先要指定循环的深度，以确定有多少次重复，否则，记录文件的播放将不会停止。
[例]作“以三角形三边中点为顶点的三角形”的课件
新建“记录”与“绘图”——录制记录——画三点，并组成三角形，作三边的中点，连接三边顶点成新三角形——此时（“记录”窗口中多出一个“循环”按钮）——先选中新三角形三个顶点再按“循环”按钮——结束录制。
播放时，前提是绘制三个点；给定“深度”——循环次数。《几何画板》将按指定的次数循环地画出“以三角形三边中点为顶点的三角形”的图形。
六、坐标与函数
作为一个有力的几何作图工具，自然要有坐标和坐标系，自然也就可以把各类函数的图形在坐标系中准确地描画出来。《几何画板》中的常用函数在用“度量”菜单的“计算”命令打开的“计算器”中。
[例]作一个反比例函数Y=2/X 的图像
①在“图表”菜单中利用“建立坐标轴”命令建立坐标系；
②在横轴上任取一点，“度量”出它的“坐标”，“计算”出它的横坐标；
③先选中该点的横坐标，利用“计算”命令输入解析式2/X ，计算出它对应的纵坐标；
④选中横纵坐标值，利用“图表”菜单中“绘出（x,y）”命令，绘出该；
⑤选中X轴上的点与刚绘出的点，利用“作图”中的“轨迹”命令作出所求作的反比例函数图像——双曲线。
两圆的外公切线
一、制作效果
如图，无论是改变两圆的大小，还是圆心距，直线和圆的关系保持不变，即直线始终是两圆的外公切线。
二、思路分析
我们在寻求外公切线的作法以前，先看看下图，是否能想起过圆外一个作圆的切线的的尺规作法
以PO为直径作圆（先作线段OP的中点，找到圆心）→作两圆的交点C、D（这一步可省）→作直线PC、PD。是不是很简单？是不是想起外公切线的尺规作图（其实质就是把两圆的外公切线转化为内公切线），想不起试着分析一下。
如果还不行的话，就看下面的操作步骤吧。
三、操作步骤
1、 任画两圆（A,D）（B，C）
2、 度量两圆的半径，并计算它们的差
3、 以AB为直径画圆
4、 画圆（A，（半径⊙AD）－（半径⊙BC＝0.94厘米）），与以AB为直径画的圆交于E（其中一个交点）。
5、 作直线BE；作直线（A，E）交圆（A,D）于F
6、 作平行线（F，直线BE）
7、 作直线FG关于线段BA的对称直线
四、拓展研究
1、这样尺规作图外公切线的作法，有缺点，当⊙AD的半径小于半径⊙BC时，外公切线不见了（您知道为什么吗？），如何完善？
只要在大圆内重复上述步骤，就搞定了，具体如下
(1)、计算两圆半径的差（注意是大圆半径减小圆半径）
(2)、画圆（B，（半径⊙BC）－（半径⊙AD＝0.94厘米）），与以AB为直径画的圆交于I（其中一个交点）。
(3)、作直线(A,I)；作直线（B，I）交圆（B,C）于H
(4)、作平行线（H，直线AI）
(5)、作已作切线关于线段BA的对称直线，即另一条切线。如下图
就算这样作，仍不完善，当两圆半径相等时，切线会不见了。您能继续完善吗？
2、尺规作图得分三种情况（半径之间大于、小于、等于），有没有更简单的作法，有，下面讲一种非尺规作图的方法
如上图，分析一下作法。两圆半径固定，位置固定→确定∠BAF→确定F→确定G→确定一条切线→另一条切线。具体步骤如下
(1)、度量AB即圆心距
(2)、计算
(3)、B点饶A为中心以计算结果为旋转角旋转得到
(4)、作射线（A， ）交圆AD于H
(5)、作平行线（B，射线AH），交圆BC于I
(6)、作直线（H，I）即两圆的一条外公切线
(7)、作直线HI关于AB对称的直线，得到另一条切线。
试一试 您能否作圆的内公切线（分别用代数构造和几何构造）
和两圆都相切的圆心的轨迹
一、制作结果
如图：单击“动画”按钮，D点在圆周上运动，从而圆（C，D）的大小和位置不断发生改变，但始终和圆C1和圆C2相切，圆心C的轨迹是双曲线。圆C1和圆C2的圆心和半径都能改变，轨迹也会改变，甚至不是双曲线。
二、思路分析
如果按尺规作图的思路，和已知两圆相切要分为同时外切、内切、一内一外。几何画板号称动态几何，其构造的思路会复杂吗？我们先来看其中一种情况：已知两圆和圆C2上任一点D，求作一圆和两已知圆都外切。看看下图，是如何确定圆心C的？分析分析作图步骤
三、操作步骤
1、 构造两已知圆的半径 画一条水平直线AB，在直线上画三点C、D、E；隐藏点A、B。→画线段（D，C）(D，E),并把线段DC和线段DE的标签分别改为R、r（想一想为什么在直线上画点，而不直接画线段）
2、 构造圆心 画一条水平直线FG，隐藏点F、G→在直线上画点H、I（这两点就是已知圆的圆心）
3、 构造已知圆 画圆（H，线段R）画圆（I，线段r）
4、 构造辅助圆 画直线（I，J），其中J为圆I上任一点J→画圆（J，线段R）→画圆J和直线IJ的交点为L。
5、 构造所求圆 作线段（H，L）→作线段HL的中垂线→作直线IJ和中垂线的交点K→作圆（K，J）
6、 作轨迹（K，J）
7、 作J点的动画
8、 隐藏辅助线，修饰课件。
四、拓展研究
通过移动点C、E、H、I，改变两已知圆的大小和位置，我们惊喜的发现，这种构造方法，竟是一箭三雕－同外切；同内切；一外一内，尽在其中。
等长线段在坐标轴上的运动
一、制作结果
单击“动画”按钮，线段的端点始终在坐标轴上运动，运动过程中线段保持等长。
二、思路分析
我们先思考，构造哪一点运动，从而带动线段运动？如图，线段和坐标轴围成的是直角三角形，线段的长不变，即斜边的长不变，则斜边上的中线保持不变。所以线段运动，其中点的轨迹是圆。您不难想到下面的构造：画圆（A,H）→画半径（AG）→画圆（G,A）→画线段（E,F）。（这实际上就是就是尺规作图：已知直角和中线作直角三角形）拖动G点到二、三、四象限，线段没有了。
此种构造不成功，我们换个思路构造直角三角形EAF，如上左图，只要能构造等腰三角形AGF，就能构造出直角三角形AEF。想想如何构造△AGF？
作垂线j（G,x轴）→点 （A关于直线j的反射点）→射线（ ，G）→线段（ ，I）
再拖动G点试试，成功！
换个思路我们再思考，当我们看到直角三角形及斜边上中线的图形，熟悉初中几何教学的你不难想到“中线加倍”，如下图：当线段BD运动时，AC也运动且长度不变，则点C的轨迹是圆（点，线段AC）。并且四边形ABCD是矩形（为什么？），现在您知道如何构造等长线段在坐标轴上的运动了吗？如不明白，请看操作步骤。
三、操作步骤
1、 建立直角坐标系
2、 画圆（A,E）
3、 画点C C为圆上任意一点
4、 作垂线（点C，x轴，y轴）
5、 画线段（点B，点D）
6、 作点C动画
7、隐藏不必要对象。
四、拓展研究
1）制作等长线段在坐标轴上的运动，这里讲了两种方法，可能还有其它方法，但几乎都不如这两种方法简洁。
2）坐标轴可用两条垂直的直线代替。更妙的是第二种构造，坐标轴甚至可用两条相交直线代替。第二种构造称为“刘天翼构造”，他是东北育才中学的学生的杰作。
旋转对象
例1 画一个正方形
运行结果：
画一个正方形，拖动任一顶点改变边长或改变位置，都能动态地保持图形是一个正方形。
基本思路：
本例将学习按固定的角度来旋转对象，
1、画一条线段，用来做正方形的一边；
2、双击左端点，标记为中心，选中线段和右端点，绕标记的中心旋转900（逆时针方向），得第二条边；
3、双击第一条线段的右端点，标记为中心，选择第一条线段和它的左端点，绕标记的中心旋转－900（顺时针方向），得第三条边；
4、连结出第四条边。
操作步骤：
1、画线段AB。
2、用选择工具双击点A，点A被标记为中心。
3、用选择工具选取点B和线段AB，由菜单“变换”---“旋转”，在弹出的“旋转”对话框中作设置。
4、双击点B，标记新的中心。
5、用选择工具选取点A和线段AB，由菜单“变换”---“旋转”，在弹出的“旋转”对话框中作设置。
6、连结上方两个顶点得第四边。
拓展应用：
1、本例的方法可以用来作任意的正多边形，只要计算出正多边形的内角，旋转时按内角度数进行即可，但这并不是最方便的方法，具体请参阅深度迭代画正多边形。
2、并不是每次用正方形都要从头来画，事实上可以把这个画图的过程创建成一个自定义工具，请参考相关的章节。
3、画正方形的方法比较多，本例介绍的是较为简便的一种，其余方法请自行尝试
例2 中心对称
运行结果：
拖动点F，使∠DEF从00到1800变化，
中间结果
最后结果
基本思路：
本例将在前面学习的基础上，学习“按标记的角”旋转对象，同时能通过改变角的大小来动态演示对象的旋转过程。
1、为了方便观察，连结对称中心和各关键点间的虚线段，让研究对象和虚线段绕对称中心旋转1800，形成中心对称，；
2、画一个角并标记这个角；
3、再次选择原来的对象及虚线段，按标记的角旋转；
4、拖动标记的角为00，观察到的图形为中心对称，拖动标记的角从00到1800，可以看到旋转1800后重合的过程。
操作步骤：
1、准备工作。
2、用选择工具双击点O，标记为中心。
3、同时选择点A、B、C，线段AB、AC、BC、OA、OB、OC，绕点O旋转1800。
4、用选择工具确保按顺序点D、E、F选中这三点，并注意不要多选其它对象，由菜单“变换”---“标记角”，如果标记成功，会看到一段小动画。
5、同时选择点A、B、C，线段AB、AC、BC、OA、OB、OC，由菜单“变换”---“旋转”，在弹出的对话框中作设置。
6、为便于观察，改按角度旋转所得的所有对象为红色。
7、拖动点F，使线段EF与ED重合，可以看到红色三角形与△ABC重合。
说明：本例中标记的角度是图形，这种情况要注意选取三个点的顺序，按“边上的点、顶点、边上的点”来选，如果选择时按逆时针方向，标记的是正角；按顺时针方向，标记的是负角，这将影响对象的旋转方向。
标记的角也可以是度量角所得的度数（这时只能是正角），还可以是由计算器计算出来的度数（可正可负）。