1. 自動控制系統中數學模型的作用及常見形式有哪些
在控制系統的分析和設計中，首先要建立系統的數學模型。控制系統的數學模型是描述系統內部物理量(或變數)之間關系的數學表達式。在靜態條件下(即變數各階導數為零)，描述變數之間關系的代數方程叫靜態數學模型；而描述變數各階導數之間關系的微分方程叫數學模型。如果已知輸入量及變數的初始條件，對微分方程求解就可以得到系統輸出量的表達式，並由此可對系統進行性能分析。因此，建立控制系統的數學模型是分析和設計控制系統的首要工作
建立控制系統數學模型的方法有分析法和實驗法兩種。分析法是對系統各部分的運動機理進行分析，根據它們所依據的物理規律或化學規律分別列寫相應的運動方程。例如，電學中有基爾霍夫定律，力學中有牛頓定律，熱力學中有熱力學定律等。實驗法是人為地給系統施加某種測試信號，記錄其輸出響應，並用適當的數學模型去逼近，這種方法稱為系統辨識。近幾年來，系統辨識已發展成一門獨立的學科分支，本章重點研究用分析法建立系統數學模型的方法。
在自動控制理論中，數學模型有多種形式。時域中常用的數學模型有微分方程、差分方程和狀態方程；復數域中有傳遞函數、結構圖；頻域中有頻率特性等。
2. 建立系統的數學模型有什麼辦法
建立控制系統微分方程的主要步驟有:
(1)明確要解決問題的目的和要求,確定系統的輸入變數和輸出變數.
(2)全面深入細致地分析系統的工作原理、系統內部各變數間的關系.在多數情況下,所研究的系統比較復雜,涉及到的因素很多,不可能把所有復雜的因素都考慮到.因此,必須抓住能代表系統運動規律的主要特徵,捨去一些次要因素,對問題進行適當的簡化,必要時還必須進行一些合理的假設.
(3)如果把整個控制系統作為一個整體，組成控制系統的各元器件及裝置則可以成為子系統。從輸入端開始，依照各子系統所遵循的物理定律或其他規律，寫出子系統的數學表達式.
(4)消去中間變數，最後得到描述輸入變數與輸出變數關系的微分方程式。
(5)寫出微分方程的規范形式，即所有與輸出變數有關的項應在方程左邊，所有與輸入變數有關的項應在方程右邊，所有變數均按降階排列。
系統微分方程的一般形式是
(2.1)式中：y為輸出變數；
x為輸入變數；和為方程的系數。
本書只討論線性定常系統，因此，這些系數均為常數。
由於控制系統的被控對象和控制元件都具有慣性，當輸入量發生變化時，輸出量不可能在瞬時完成對輸入量的響應，而必須經歷一個過渡過程即動態過程，所以我們把描述控制系統的微分方程又稱為動態方程。
3. 常見的建立數學模型的方法有哪幾種
—般說來建立數學模型的方法大體上可分為兩大類、一類是機理分析方法，一類是測試分析方法．機理分析是根據對現實對象特性的認識、分析其因果關系，找出反映內部機理的規律,建立的模型常有明確的物理或現實意義
4. 常用的系統建模方法的適用范圍和局限性
常用的系統建模方法的適用范圍和局限性？系統建模方法
2.1系統抽象與數學描述
2.1.1 實際系統的抽象
本質上講，系統數學模型是從系統概念出發的關於現實世界的一小部分或幾個方面的抽象的「映像」。
為此，系統數學模型的建立需要建立如下抽象:輸入、輸出、狀態變數及其間的函數關系。這種抽象過程稱為模型構造。抽象中，必須聯系真實系統與建模目標，其中描述變數起著很重要的作用，它可觀測，或不可觀測。
從外部對系統施加影響或干擾的可觀測變數稱為輸入變數。 系統對輸入變數的響應結果稱為輸出變數。
輸入、輸出變數對的集合，表徵著真實系統的「輸入-輸出」性狀(關系)。
綜上述，真實系統可視為產生一定性狀數據的信息源，而模型則是產生與真實系統相同性狀數據的一些規則、指令的集合，抽象在其中則起著媒介作用。系統數學建模就是將真實系統抽象成相應的數學表達式(一些規則、指令的集合)。
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(可觀測)
輸入變數 (可觀測) 輸出變數
ωt) 黑箱
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灰箱
白箱 ω(t)、ρ(t)---輸入輸出變數對
真實系統建模的抽象過程
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2.1.2 系統模型的一般描述及描述級(水平)
2.1.2.1 系統模型的一般描述:
一個系統的數學模型可以用如下七元組集合來描述:
S??T,X,?,Q,Y,?,??
其中:
T:時間基，描述系統變化的時間坐標，T為整數則稱為離散時間系統，為實數則稱為連續時間系統;
X:輸入集，代表外部環境對系統的作用。
?:輸入段集，描述某個時間間隔內的輸入模式，是?X,T?的一個子集。
Q:內部狀態集，描述系統內部狀態量，是系統內部結構建模的核心。 ?:狀態轉移函數，定義系統內部狀態是如何變化的，是一個映射。 Y:輸出集，系統通過它作用於環境。
?:輸出函數，是一個映射，給出了一個輸出段集。
2.1.2.2 系統模型描述級(水平):
按照系統論的觀點，實際系統可在某種級(水平)上被分解，因此系統的數學模型可以有不同的描述級(水平):
? 性狀描述級
性狀描述級或稱為行為描述級(行為水平)。在此級上描述系統是將
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系統堪稱黑箱，並施加輸入信號，同時測得輸出響應，結果是得出一個輸入-輸出對:(ω，ρ) 及其關系Rs={(ω，ρ):Ω，ω，ρ}。 - 3 -
因此，系統的性狀級描述只給出輸入-輸出觀測結果。其模型為五元組集合結構:
S=(T，X，Ω，Y， R)
當ω，ρ滿足ρ =f(ω)函數關系時，其集合結構變為: S=(T，X，Ω，Y， F)
黑箱
? 狀態描述級
在狀態結構級(狀態結構水平)上，系統模型不僅能反映輸入-輸出關系，而且應能反映出系統內部狀態，以及狀態與輸入、輸出間的關系。即不僅定義了系統的輸入與輸出，而且定義了系統內部的狀態集及狀態轉移函數
系統的數學模型對於動態結構可用七元組集合來描述:
S=(T，X，Ω，Q，Y，δ，λ)
對於靜態結構有:
S=(X，Q，Y，λ)
白箱
? 復合結構級
系統一般由若干個分系統組成，對每個分系統都給出行為級描述，被視為系統的一個「部件」。這些部件有其本身的輸入、輸出變數，以及部件間的連接關系和介面。於是，可以建立起系統在復合結構級(分解結構
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級)上的數學模型。
這種復合結構級描述是復雜系統和大系統建模的基礎。
應該強調:
? 系統分解為復合結構是無止境的，即每個分系統還會有自己的復合結構;
? 一個有意義的復合結構描述只能給出唯一的狀態結構描述， - 4 -
而一個有意義的狀態結構描述本身只有唯一的性狀(行為)描述;
? 系統上述概念必須允許分解停止，又允許進一步分解，既包含遞歸可分解性。
灰箱
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2.2 相似概念簡介
2.2.1 相似概念及含義
模擬的理論依據:相似論。
自然界中廣泛存在著「相似」概念，最普遍的是:
幾何相似:最簡單、最直觀，如多變形、三角形相似;
現象相似:幾何相似的拓展，如物理量之間存在的比例關系。 採用相似技術來建立實際系統的相似模型，這是相似理論在系統模擬中基礎作用的根本體現。
2.2.2 相似分類
絕對相似:兩個系統(如系統原型與模型)全部幾何尺寸和其他相應參數在時空域上產生的全部變化(或全部過程)都是相似的;
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完全相似:兩個系統在某一相應方面的過程上相似，如發電機的電流電壓問題，模型與原型在電磁現象方面是完全相似即可，而無需考慮熱工和機械方面的相似;
不完全相似(局部相似):僅保證研究部分的系統相似，而非研究和不要求部分的過程可能被歪曲，為研究目的所允許;
近似相似:某些簡化假設下的現象相似，數學建模要保證有效性。
不同領域中的相似有各自的特點，對領域的認識水平也不一樣: 環境相似(幾何相似、參量比例相似等):結構尺寸按比例縮小得到的模型-縮比模型，如風洞、水洞實驗所用的模型。
離散相似:差分法、離散相似法把連續時間系統離散化為等價的離散時間系統。
性能相似(等效、動力學相似、控制響應相似等):數學描述相同或者頻率特性相同，用於構造各類模擬的相似原則。
感覺相似(運動感覺、視覺、音響感覺等):耳、眼、鼻、舌、 - 6 -
身等感官和經驗，MIL模擬把感覺相似轉化為感覺信息源相似，培訓模擬器、VR均是利用這種相似原則。
思維相似:邏輯思維相似和形象思維相似(比較、綜合、歸納等)，專家系統、人工神經元網路。
系統具有內部結構和外部行為，因此系統的相似有兩個基本水平:結構水平和行為水平。
同構必具有行為等價的特性，但行為等價的兩個系統並不一定具有同構關系。
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5. 數學建模方法和步驟
數學建模的主要步驟:
第一、 模型准備
首先要了解問題的實際背景，明確建模目的，搜集必需的各種信息，盡量弄清對象的特徵。
第二、 模型假設
根據對象的特徵和建模目的，對問題進行必要的、合理的簡化，用精確的語言作出假設，是建
模至關重要的一步。如果對問題的所有因素一概考慮，無疑是一種有勇氣但方法欠佳的行為，所以
高超的建模者能充分發揮想像力、洞察力和判斷力，善於辨別主次，而且為了使處理方法簡單，應
盡量使問題線性化、均勻化。
第三、 模型構成
根據所作的假設分析對象的因果關系，利用對象的內在規律和適當的數學工具，構造各個量間
的等式關系或其它數學結構。這時，我們便會進入一個廣闊的應用數學天地，這里在高數、概率老
人的膝下，有許多可愛的孩子們，他們是圖論、排隊論、線性規劃、對策論等許多許多，真是泱泱
大國，別有洞天。不過我們應當牢記，建立數學模型是為了讓更多的人明了並能加以應用，因此工
具愈簡單愈有價值。
第四、模型求解
可以採用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運算、數值運算等各種傳統的和近代的數學方法，
特別是計算機技術。一道實際問題的解決往往需要紛繁的計算，許多時候還得將系統運行情況用計
算機模擬出來，因此編程和熟悉數學軟體包能力便舉足輕重。
第五、模型分析
對模型解答進行數學上的分析。"橫看成嶺側成峰，遠近高低各不?quot;，能否對模型結果作
出細致精當的分析，決定了你的模型能否達到更高的檔次。還要記住，不論那種情況都需進行誤差
分析，數據穩定性分析。
數學建模採用的主要方法有：
（一）、機理分析法：根據對客觀事物特性的認識從基本物理定律以及系統的結構數據來推導出模
型。
1、比例分析法：建立變數之間函數關系的最基本最常用的方法。
2、代數方法：求解離散問題（離散的數據、符號、圖形）的主要方法。
3、邏輯方法：是數學理論研究的重要方法，對社會學和經濟學等領域的實際問題，在決策，對策
等學科中得到廣泛應用。
4、常微分方程：解決兩個變數之間的變化規律，關鍵是建立「瞬時變化率」的表達式。
5、偏微分方程：解決因變數與兩個以上自變數之間的變化規律。
（二）、數據分析法：通過對量測數據的統計分析，找出與數據擬合最好的模型
1、回歸分析法：用於對函數f（x）的一組觀測值（xi,fi）i=1,2,…,n，確定函數的表達式，由
於處理的是靜態的獨立數據，故稱為數理統計方法。
2、時序分析法：處理的是動態的相關數據，又稱為過程統計方法。
3、回歸分析法：用於對函數f（x）的一組觀測值（xi,fi）i=1,2,…,n，確定函數的表達式，由
於處理的是靜態的獨立數據，故稱為數理統計方法。
4、時序分析法：處理的是動態的相關數據，又稱為過程統計方法。
（三）、模擬和其他方法
1、計算機模擬（模擬）：實質上是統計估計方法，等效於抽樣試驗。①離散系統模擬，有一組狀
態變數。②連續系統模擬，有解析表達式或系統結構圖。
2、因子試驗法：在系統上作局部試驗，再根據試驗結果進行不斷分析修改，求得所需的模型結構
。
3、人工現實法：基於對系統過去行為的了解和對未來希望達到的目標，並考慮到系統有關因素的
可能變化，人為地組成一個系統。