怎樣求軌跡方程的常用方法

『壹』 軌跡方程怎麼求

1．直接法

由題設所給(或通過分析圖形的幾何性質而得出)的動點所滿足的幾何條件列出等式，再用坐標代替這等式，化簡得曲線的方程，這種方法叫直接法．

例(1)求和定圓x2+y2=k2的圓周的距離等於k的動點P的軌跡方程；

(2)過點A(a，o)作圓O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割線，求割線被圓O截得弦的中點的軌跡．

對(1)分析：

動點P的軌跡是不知道的，不能考查其幾何特徵，但是給出了動點P的運動規律：|OP|=2R或|OP|=0．

解：設動點P(x，y)，則有|OP|=2R或|OP|=0．

即x2+y2=4R2或x2+y2=0．

故所求動點P的軌跡方程為x2+y2=4R2或x2+y2=0．對(2)分析：題設中沒有具體給出動點所滿足的幾何條件，但可以通過分析圖形的幾何性質而得出，即圓心與弦的中點連線垂直於弦，它們的斜率互為負倒數．由學生演板完成，解答為：

設弦的中點為M(x，y)，連結OM，則OM⊥AM．

∵kOM·kAM=-1，其軌跡是以OA為直徑的圓在圓O內的一段弧(不含端點)．

2．定義法

利用所學過的圓的定義、橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義直接寫出所求的動點的軌跡方程，這種方法叫做定義法．這種方法要求題設中有定點與定直線及兩定點距離之和或差為定值的條件，或利用平面幾何知識分析得出這些條件．

直平分線l交半徑OQ於點P(見圖2－45)，當Q點在圓周上運動時，求點P的軌跡方程．

分析：∵點P在AQ的垂直平分線上，

∴|PQ|=|PA|．

又P在半徑OQ上．

∴|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R．

故P點到兩定點距離之和是定值，可用橢圓定義

寫出P點的軌跡方程．

解：連接PA∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|．

又P在半徑OQ上．

∴|PO|+|PQ|=2．

由橢圓定義可知：P點軌跡是以O、A為焦點的橢圓．

3．相關點法

若動點P(x，y)隨已知曲線上的點Q(x0，y0)的變動而變動，且x0、y0可用x、y表示，則將Q點坐標表達式代入已知曲線方程，即得點P的軌跡方程．這種方法稱為相關點法(或代換法)．

例3 已知拋物線y2=x+1，定點A(3，1)、B為拋物線上任意一點，點P在線段AB上，且有BP∶PA=1∶2，當B點在拋物線上變動時，求點P的軌跡方程．

分析：P點運動的原因是B點在拋物線上運動，因此B可作為相關點，應先找出點P與點B的聯系．

解：設點P(x，y)，且設點B(x0，y0)

∵BP∶PA=1∶2，且P為線段AB的內分點．

向左轉|向右轉

(1)怎樣求軌跡方程的常用方法擴展閱讀：

符合一定條件的動點所形成的圖形，或者說，符合一定條件的點的全體所組成的集合，叫做滿足該條件的點的軌跡．

軌跡，包含兩個方面的問題：凡在軌跡上的點都符合給定的條件，這叫做軌跡的純粹性（也叫做必要性）；凡不在軌跡上的點都不符合給定的條件，也就是符合給定條件的點必在軌跡上，這叫做軌跡的完備性（也叫做充分性）．

平面軌跡一般是曲線，空間軌跡一般是曲面。【例如】A，B是兩個定點，k（>0）是一個常數，滿足MA:MB=k的動點M的軌跡：

在平面上表示一條直線（k=1）或一個圓周（k≠1）；

在空間內表示一條平面（k=1）或一個球面（k≠1）。

【軌跡方程】就是與幾何軌跡對應的代數描述。

求動點的軌跡方程的常用方法：

求軌跡方程的方法有多種，常用的有直譯法、定義法、相關點法、參數法和交軌法等.

⒈直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡後即得動點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法通常叫做直譯法.

⒉定義法：如果能夠確定動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程，這種求軌跡方程的方法叫做定義法.

⒊相關點法：用動點Q的坐標x,y表示相關點P的坐標x0、y0，然後代入點P的坐標（x0,y0）所滿足的曲線方程，整理化簡便得到動點Q軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做相關點法.

⒋參數法：當動點坐標x、y之間的直接關系難以找到時，往往先尋找x、y與某一變數t的關系，得再消去參變數t，得到方程，即為動點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做參數法.

⒌交軌法：將兩動曲線方程中的參數消去，得到不含參數的方程，即為兩動曲線交點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做交軌法.

*直譯法：求動點軌跡方程的一般步驟

①建系——建立適當的坐標系；

②設點——設軌跡上的任一點P（x，y）；

③列式——列出動點p所滿足的關系式；

④代換——依條件的特點，選用距離公式、斜率公式等將其轉化為關於X,Y的方程式，並化簡；

⑤證明——證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程。

『貳』 軌跡方程的求法

幾種常見求軌跡方程的方法1．直接法由題設所給(或通過分析圖形的幾何性質而得出)的動點所滿足的幾何條件列出等式，再用坐標代替這等式，化簡得曲線的方程，這種方法叫直接法．例1(1)求和定圓x2+y2=k2的圓周的距離等於k的動點P的軌跡方程；(2)過點A(a，o)作圓O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割線，求割線被圓O截得弦的中點的軌跡．對(1)分析：動點P的軌跡是不知道的，不能考查其幾何特徵，但是給出了動點P的運動規律：|OP|=2R或|OP|=0．解：設動點P(x，y)，則有|OP|=2R或|OP|=0．即x2+y2=4R2或x2+y2=0．故所求動點P的軌跡方程為x2+y2=4R2或x2+y2=0．對(2)分析：題設中沒有具體給出動點所滿足的幾何條件，但可以通過分析圖形的幾何性質而得出，即圓心與弦的中點連線垂直於弦，它們的斜率互為負倒數．由學生演板完成，解答為：設弦的中點為M(x，y)，連結OM，則OM⊥AM．∵kOM·kAM=-1，其軌跡是以OA為直徑的圓在圓O內的一段弧(不含端點)．2．定義法利用所學過的圓的定義、橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義直接寫出所求的動點的軌跡方程，這種方法叫做定義法．這種方法要求題設中有定點與定直線及兩定點距離之和或差為定值的條件，或利用平面幾何知識分析得出這些條件．直平分線l交半徑OQ於點P(見圖2－45)，當Q點在圓周上運動時，求點P的軌跡方程．分析：∵點P在AQ的垂直平分線上，∴|PQ|=|PA|．又P在半徑OQ上．∴|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R．故P點到兩定點距離之和是定值，可用橢圓定義寫出P點的軌跡方程．解：連接PA ∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|．又P在半徑OQ上．∴|PO|+|PQ|=2．由橢圓定義可知：P點軌跡是以O、A為焦點的橢圓．3．相關點法若動點P(x，y)隨已知曲線上的點Q(x0，y0)的變動而變動，且x0、y0可用x、y表示，則將Q點坐標表達式代入已知曲線方程，即得點P的軌跡方程．這種方法稱為相關點法(或代換法)．例3 已知拋物線y2=x+1，定點A(3，1)、B為拋物線上任意一點，點P在線段AB上，且有BP∶PA=1∶2，當B點在拋物線上變動時，求點P的軌跡方程．分析：P點運動的原因是B點在拋物線上運動，因此B可作為相關點，應先找出點P與點B的聯系．解：設點P(x，y)，且設點B(x0，y0)∵BP∶PA=1∶2，且P為線段AB的內分點．4．待定系數法求圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的方程常用待定系數法求．例4 已知拋物線y2=4x和以坐標軸為對稱軸、實軸在y軸上的雙曲曲線方程．分析：因為雙曲線以坐標軸為對稱軸，實軸在y軸上，所以可設雙曲線方ax2-4b2x+a2b2=0∵拋物線和雙曲線僅有兩個公共點，根據它們的對稱性，這兩個點的橫坐標應相等，因此方程ax2-4b2x+a2b2=0應有等根．∴△=1664-4Q4b2=0，即a2=2b．(以下由學生完成)由弦長公式得：即a2b2=4b2-a2．

『叄』 曲線與方程中求軌跡方程有哪幾種方法

直接法由題設所給的動點滿足的幾何條件列出等式，再把坐標代入並化簡，得到所求軌跡方程，這種方法叫做直接法。例1
已知動點P到定點F（1，0）和直線x=3的距離之和等於4，求點P的軌跡方程。解：設點P的坐標為（x，y），則由題意可得
。（1）當x≤3時，方程變為
，化簡得
。（2）當x>3時，方程變為
，化簡得
。故所求的點P的軌跡方程是
或
。二、定義法由題設所給的動點滿足的幾何條件，經過化簡變形，可以看出動點滿足二次曲線的定義，進而求軌跡方程，這種方法叫做定義法。例2
已知圓
的圓心為M1，圓
的圓心為M2，一動圓與這兩個圓外切，求動圓圓心P的軌跡方程。解：設動圓的半徑為R，由兩圓外切的條件可得：
，
。。∴動圓圓心P的軌跡是以M1、M2為焦點的雙曲線的右支，c=4，a=2，b2=12。故所求軌跡方程為
。三、待定系數法由題意可知曲線類型，將方程設成該曲線方程的一般形式，利用題設所給條件求得所需的待定系數，進而求得軌跡方程，這種方法叫做待定系數法。例3
已知雙曲線中心在原點且一個焦點為F（
，0），直線y=x－1與其相交於M、N兩點，MN中點的橫坐標為
，求此雙曲線方程。解：設雙曲線方程為
。將y=x－1代入方程整理得
。由韋達定理得
。又有
，聯立方程組，解得
。∴此雙曲線的方程為
。四、參數法選取適當的參數，分別用參數表示動點坐標，得到動點軌跡的參數方程，再消去參數，從而得到動點軌跡的普通方程，這種方法叫做參數法。例4
過原點作直線l和拋物線
交於A、B兩點，求線段AB的中點M的軌跡方程。解：由題意分析知直線l的斜率一定存在，設直線l的方程y=kx。把它代入拋物線方程
，得
。因為直線和拋物線相交，所以△>0，解得
。設A（
），B（
），M（x，y），由韋達定理得
。由
消去k得
。又
，所以
。∴點M的軌跡方程為
我只有這四種，應付高中數學足夠了
不懂得可以問我