九章算術的數學思想與方法有哪些

⑴ 九章算術對學習數學有什麼幫助，什麼用

（一）數形結合
《九章算術》開創了中國古代數學中的數形結合研究方法，具體表現為用數的計算來解決形的理論問題，如其中的「方田」章；用形的直觀來解決數的演算法，如其中的「開方術」「開立方術」等。數形結合的思想有利於數學在各個領域的融會貫通，是現代數學特別強調的基本數學思想方法之一。
（二）演算法化
《九章算術》在各章內容中都有提出多樣的演算法，往往一種演算法可以解決類似的一系列生活實際問題，方便世人去運用，這種演算法化思想是由中國傳統數學實用性特徵所決定的。若處在當時的時代背景下，中國古代的這種演算法化數學思想，與西方國家相比較而言，更具有優勢。
（三）模型化
《九章算術》的大部分問題基本上是以問題為中心，以演算法為基礎，由問題到演算法的過渡則是藉助於思維中所建立的數學模型，故數學模型是為了解決數學原型的問題而設置的，是世人體會數學與外部世界的基本途徑。數學模型其實就是對現實生活中一些信息進行簡單化處理，通過嚴密的推理及計算，對所得的數據進行分析、預測和控制，再對結果在進行檢測，那麼就可以運用到生活實踐當中。

⑵ 賈憲講解《九章算術》的原理是什麼

賈憲對於《九章算術》中提出的問題，抽象分析，揭示數學本質;藉助程序化，講解方法的原理;提綱挈領，梳理知識脈絡;注重知識系統化，避免產生悖論。這些思想方法對宋元數學家有著很深的影響。

比如:楊輝著《詳解九章演算法》借鑒了賈憲的抽象和探索成果，對《九章》各題重新纂類;李冶著《測圓海鏡》就繼承並發揚了這些數學方法，建立了一個邏輯嚴密的演繹體系。

朱世傑著《四元玉鑒》也用到這些思想方法，成就了我國古代數學史上的巔峰之作;秦九韶著《數術大略》不言具體數字更是師法賈憲，可見其方法論的生命力。

當然，這些數學思想方法也並非賈憲獨創，也是歷代數學著述､研究､積累的結果，而賈憲又將其提煉和傳承。

總之，「賈憲三角」的發現及與之密切相關的「增乘開方法」的創立，對於我國古典數學於宋元時期達到高峰起到了重要的推動作用。

⑶ 九章算術的主要內容是什麼，其具有世界意義的數學成就又有哪些

《九章算術》是中國古代數學專著,承先秦數學發展的源流,進入漢朝後又經許多學者的刪補才最後成書,這大約是公元一世紀的下半葉.它的出現,標志著中國古代數學體系的形成.
後世的數學家,大都是從《九章算術》開始學習和研究數學知識的.唐宋兩代都由國家明令規定為教科書.1084年由當時的北宋朝廷進行刊刻,這是世界上最早的印刷本數學書.
《九章算術》共收有 246個數學問題,分為九章.分別是：方田、栗米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股.
《九章算術》是世界上最早系統敘述了分數運算的著作；其中盈不足的演算法更是一項令人驚奇的創造；「方程」章還在世界數學史上首次闡述了負數及其加減運演算法則.

⑷ 古代數學家劉徽是以怎樣的思想來豐富《九章算術》的內容的

劉徽認為，用數學方法解決實際問題，應在認識數學精理的基礎上盡量靈活運用各種數學方法，所謂「設動無方」，而不應「專於一端」，不知變通。他以《莊子》「庖丁解牛」的寓言作比喻，說「數，猶刃也。易簡用之則動中庖丁之理，故能和神愛刃，速而寡尤。」因此，他對一個問題常常提出幾種不同的解法，對一種解法，又提出不同的理解途徑，大大豐富了《九章算術》的內容。

⑸ 《九章算術》的主要內容是什麼

《九章算術》是《算經十書》中內容最豐富和最重要的一部。幾乎集中了過去和當時的全部數學知識，是中國最早的一部數學專著。《九章算術》經過了歷代各家的修訂和增補，逐漸成為定本。

《九章算術》是用問題集的形式編寫的。全書共收集了246個問題，分為九章，所以叫做《九章算術》。這九章分別是：

第一章「方田」，主要講述田畝面積的計算。

第二章「粟米」，講述各種比例問題，特別是各種糧谷之間的比例交換。

第三章「衰分」，「衰」是按比例，「分」是分配，講述按照比例分配的問題。

第四章「少廣」，「少」是多少，「廣」是寬廣。「少廣」就是已知面積和體積，反過來求某一邊的問題，其中講解了開平方、開立方的問題。

第五章「商功」，「商」是商量，「功」是工程。這是有關各種工程計算，主要是各種體積計算的問題。

第六章「均輸」，是計算如何按照人口多少、路程遠近等條件，合理安排各地區運輸賦粟和分派徭役等問題。

第七章「盈不足」，是用假設的方法來解決某些難以解決的問題。

第八章「方程」，講述關於一次方程組的解法。其中還有正負數的概念以及正負數加減法的法則。

第九章「勾股」，講述了勾股定理，以及相似直角三角形的解法。還提出了一般二次方程的解法。

⑹ 簡述九章算數的主要內容和歷史意義

《九章算術》是世界上最早系統敘述了分數運算的著作；其中盈不足的演算法更是一項令人驚奇的創造；「方程」章還在世界數學史上首次闡述了負數及其加減運演算法則。在代數方面，《九章算術》在世界數學史上最早提出負數概念及正負數加減法法則；中學講授的線性方程組的解法和《九章算術》介紹的方法大體相同。注重實際應用是《九章算術》的一個顯著特點。該書的一些知識還傳播至印度和阿拉伯，甚至經過這些地區遠至歐洲。
《九章算術》是幾代人共同勞動的結晶，它的出現標志著中國古代數學體系的形成．後世的數學家，大都是從《九章算術》開始學習和研究數學知識的。唐宋兩代都由國家明令規定為教科書。1084年由當時的北宋朝廷進行刊刻，這是世界上最早的印刷本數學書。可以說，《九章算術》是中國為數學發展做出的又一傑出貢獻。
在九章算術中有許多數學問題都是世界上記載最早的。例如，關於比例演算法的問題，它和後來在16世紀西歐出現的三分律的演算法一樣。關於雙設法的問題，在阿拉伯曾稱為契丹演算法，13世紀以後的歐洲數學著作中也有如此稱呼的，這也是中國古代數學知識向西方傳播的一個證據。
《九章算術》對中國古代的數學發展有很大影響，這種影響一直持續到了清朝中葉。《九章算術》的敘述方式以歸納為主，先給出若干例題，再給出解法，不同於西方以演繹為主的敘述方式，中國後來的數學著作也都是採用敘述方式為主。歷代數學家有不少人曾經注釋過這本書，其中以劉徽和李淳風的注釋最有名。
《九章算術》還流傳到了日本和朝鮮，對其古代的數學發展也產生了很大的影響。

⑺ 九章算術的主要特點

《九章算術》確定了中國古代數學的框架，以計算為中心的特點，密切聯系實際，以解決人們生產、生活中的數學問題為目的的風格。其影響之深，以致以後中國數學著作大體採取兩種形式：或為之作注，或仿其體例著書；甚至西算傳入中國之後，人們著書立說時還常常把包括西算在內的數學知識納入九章的框架。 然而，《九章算術》亦有其不容忽視的缺點：沒有任何數學概念的定義，也沒有給出任何推導和證明。魏景元四年（263年），劉徽給《九章算術》作注，才大大彌補了這個缺陷。
劉徽是中國數學家之一。他的生平知之甚少。據考證，他是山東鄒平人。劉徽定義了若干數學概念，全面論證了《九章算術》的公式解法，提出了許多重要的思想、方法和命題，他在數學理論方面成績斐然。
劉徽對數學概念的定義抽象而嚴謹。他揭示了概念的本質，基本符合現代邏輯學和數學對概念定義的要求。而且他使用概念時亦保持了其同一性。如他提出凡數相與者謂之率，把率定義為數量的相互關系。又如他把正負數定義為今兩算得失相反，要令正負以名之，擺脫了正為余，負為欠的原始觀念，從本質上揭示了正負數得失相反的相對關系。
《九章算術》的演算法盡管抽象，但相互關系不明顯，顯得零亂。劉徽大大發展深化了中算中久已使用的率概念和齊同原理，把它們看作運算的綱紀。許多問題，只要找出其中的各種率關系，通過乘以散之，約以聚之，齊同以通之，都可以歸結為今有術求解。
一平面（或立體）圖形經過平移或旋轉，其面積（或體積）不變。把一個平面（或立體）圖形分解成若幹部分，各部分面積（或體積）之和與原圖形面積（或體積）相等。基於這兩條不言自明的前提的出入相補原理，是中國古代數學進行幾何推演和證明時最常用的原理。劉徽發展了出入相補原理，成功地證明了許多面積、體積以及可以化為面積、體積問題的勾股、開方的公式和演算法的正確性。

⑻ 《九章算術》這本書講了哪些數學問題

《九章算術》是中國一部很古老的數學書，它系統總結了戰國、秦漢時期的數學成就，它的寫成，經過了很多人長時間修改刪補，到東漢時期才逐漸形成定本，其中的第十三題「五家共井」問題是當時世界上最早的研究不定式方程的問題。

《九章算術》的敘述方式以歸納為主，先給出若干例題，再列出解決這類問題的一般方法。這和古希臘數學的代表著作歐幾里得(約公元前330～前275年)的《幾何原本》以演繹為主的敘述方式有明顯的不同。它對我國後世數學的發展一直有很大的影響，曾經被歷代規定作為進行數學教育的教科書，是所謂「算經十書」之一。

《九章算術》全書收有246個數學問題，分為九大類，就是「九章」。第一章「方田」，主要講各種田畝面積的演算法；第二章「粟米」，主要講各種穀物按比例交換的演算法；第三章「衰分」，主要講按等級或比例進行分配的演算法；第四章「少廣」，主要講已知面積和體積反求它一邊的演算法；第五章「商功」，主要講有關土石方和用工量的各種工程的演算法：第六章「均輸」，主要講按人口多少和路途遠近等條件來攤派稅收和分派勞力(徭役)的演算法；第七章「盈不足」，主要講兩次假設來解決某些難解問題的演算法；第八章「方程」，主要講聯立一次方程組的解法和正負數的加減法法則；第九章「勾股」，主要講勾股定理的應用、直角相似三角形和一元二次方程的解法。

「五家共井」問題的內容是：五戶人家合用一口井，若用甲家的繩2條，乙家的繩1條接長；從井口放下去，正好抵達水面；另外或用乙家的繩3條，丙家的1條；或用丙家的4條，丁家的l條；或用了家的5條，戊家的1條：或用戊家的6條，甲家的1條接長，也都一樣正好抵達水面，問井的深度及各家的繩長各為多少?

由於原題包含有兩個以上的未知量，它沒有給出答案的范圍和別的特定條件，因此排出方程後有無窮多組解，這樣的方程就叫作「不定方程」。如果該題的長度單位為寸，那麼它的最小正整數解如下：

井深721寸，甲家的繩長為265寸，乙家的長191寸，丙家的長148寸，丁家的長129寸，戊家的長76寸。

西方最早研究不定方程的人是古希臘亞歷山大里亞城的丟番都，時間約在公元4世紀。他比《九章算術》的年代要遲300多年。到了13世紀，中國宋朝的數學家秦九韶在他所著的《數書九章》(1247年)中提出了「大衍求一術」，實際上這就是解一次不定方程的通法，而歐洲到了18世紀，才由瑞士數學家歐拉創立了一次不定方程的一般解法。

秦九韶的「大衍求一術」，不但遠比歐洲發明得早，有其歷史上的崇高地位，而且在方法上也比歐洲人的辦法來得簡潔、具體，易於作數值計算。直到現在，與現代數論里頭的「一次同餘式」的方法相比較，仍有其優越性。所以這個演算法一貫被歐美學者所推崇，稱為「中國的剩餘定理」。

⑼ 劉徽注《九章算術》充分體現了哪些內容

劉徽注《九章算術》，充分體現了他作為一個數學家應有的科學態度。他實事求是，不僅繼承了《九章算術》所開創的數學聯系實際的傳統，更重要的是他沒有盲目崇拜古人取得的成就。他在全面論證《九章算術》的公式、解法的同時，指出了其中的許多錯誤和不精確之處，並給以糾正或提出改善建議，他對許多問題的補充解法，大大豐富了《九章算術》的內容。但用對《九章算術》作注的形式展現自己的數學思想，在一定形式上也限制了劉徽的數學創造的展開及其數學思想對後世的影響，或許這該是最讓人引以為憾的事情了。

⑽ 《九章算術》的內容有哪些

《九章算術》的內容十分豐富，全書採用問題集的形式，收有246個與生產、生活實踐有聯系的應用問題，、它們的主要內容分別是：第一章「方田」：主要講述了平面幾何圖形面積的計算方法。包括長方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圓形、扇形、弓形、圓環這八種圖形面積的計算方法。另外還系統地講述了分數的四則運演算法則，以及求分子分母最大公約數等方法。第二章「粟米」：穀物糧食的按比例折換；提出比例演算法，稱為今有術；衰分章提出比例分配法則，稱為衰分術；第三章「衰分」：比例分配問題；介紹了開平方、開立方的方法，其程序與現今程序基本一致。這是世界上最早的多位數和分數開方法則。它奠定了中國在高次方程數值解法方面長期領先世界的基礎。第四章「少廣」：已知面積、體積，反求其一邊長和徑長等；第五章「商功」：土石工程、體積計算。

除給出了各種立體體積公式外，還有工程分配方法；第六章「均輸」：合理攤派賦稅；用衰分術解決賦役的合理負擔問題。今有術、衰分術及其應用方法，構成了包括今天正、反比例、比例分配、復比例、連鎖比例在內的整套比例理論。第七章「盈不足」：即雙設法問題；提出了盈不足、盈適足和不足適足、兩盈和兩不足三種類型的盈虧問題，以及若干可以通過兩次假設化為盈不足問題的一般問題的解法。第八章「方程」：一次方程組問題；採用分離系數的方法表示線性方程組，相當於現在的矩陣；解線性方程組時使用的直除法，與矩陣的初等變換一致。這是世界上最早的完整的線性方程組的解法。第九章「勾股」：利用勾股定理求解的各種問題。其中的絕大多數內容是與當時的社會生活密切相關的。