有限元方法如何分析無限域問題

Ⅰ 什麼是有限元方法基本思想是什麼基本步驟

所謂有限元法（FEA），其基本思想是把連續的幾何機構離散成有限個單元，並在每一個單元中設定有限個節點，從而將連續體看作僅在節點處相連接的一組單元的集合體，同時選定場函數的節點值作為基本未知量並在每一單元中假設一個近似插值函數以表示單元中場函數的分布規律，再建立用於求解節點未知量的有限元方程組，從而將一個連續域中的無限自由度問題轉化為離散域中的有限自由度問題。
求解得到節點值後就可以通過設定的插值函數確定單元上以至個集合體上的場函數。對每個單元，選取適當的插值函數，使得該函數在子域內部、在子域分界面上以及子域與外界面上都滿足一定的條件。單元組合體在已知外載荷作用下處於平衡狀態時，列出一系列以節點、位移為未知量的線性方程組，利用計算機解出節點位移後，再用彈性力學的有關公式，計算出各單元的應力、應變，當各單元小到一定程度，那麼它就代表連續體各處的真實情況。

Ⅱ 什麼是有限元法

有限元法（finite element method）是一種高效能、常用的數值計算方法。科學計算領域，常常需要求解各類微分方程，而許多微分方程的解析解一般很難得到，使用有限元法將微分方程離散化後，可以編製程序，使用計算機輔助求解。有限元法在早期是以變分原理為基礎發展起來的，所以它廣泛地應用於以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各類物理場中（這類場與泛函的極值問題有著緊密的聯系）。自從1969年以來，某些學者在流體力學中應用加權余數法中的迦遼金法(Galerkin)或最小二乘法等同樣獲得了有限元方程，因而有限元法可應用於以任何微分方程所描述的各類物理場中，而不再要求這類物理場和泛函的極值問題有所聯系。基本思想：由解給定的泊松方程化為求解泛函的極值問題。

Ⅲ 如何進行有限元分析

有限元分析的基本步驟如下。
1)建立研究對象的近似模型。
在進行數值計算之前，需要建立研究對象的模型。建模過程主要依靠基礎實驗或者觀測的結果，需要大量學科領域知識。在進行有限元分析的時候很難把研究對象的
所有細節都 包括進來，有時是因為缺乏實驗觀測數據，有時是需要縮小計算模，因此需要對研究對象進行不同程度的簡化。通常在研究對象的幾何形狀、材料特性和邊界條件這三個方面做適當的化。
2)將研究對象分割成有限數量的單元 研究者很難從整體上分析對象系統，需要把對象系統分解成有限數量的、形式相同、相對簡單的分區或組成部分，這個過程也被稱為離散化。每個分區是一個由基本單元，把空間連續的問題轉化成由一些基本單元組成的離散問題。
3)用標准方法對每個單元提出一個近似解 研究者能夠比較容易地分析基本單元的行為，提出求解基本單元的方法。提出適用於所有單元的標准求解方法，就可以編制計算機程序求解所有的單元。
4)將所有單元按標准方法組合成一個與原有系統近似的系統 將基本單元組裝成一個近似系統，在幾何形狀和性能特徵方面可以近似地代表研究對象。通過分析近似系統，可以了解研究對象的性能特徵。找到某種標準的組裝方法，就可以 用計算機程序組裝數目巨大的單元。
5)用數值方法求解這個近似系統。 採用離散化之後，就不需要再求解復雜的偏微分方程組，而轉換為求解線性方程組。數學家提出了許多求解大規模線性方程組的數值演算法。
6)計算結果處理與結果驗證
由數值計算可以得到大量的數據，如何顯示、分析數據並找到有用的結論是人們一直關系的問題。目前，商用有限元軟體都具有後處理功能，可以實現數據的圖形化
顯示，如顯示物體的變形、溫度場分布等，使得計算結果變得更加直觀。也可以使用一些專用的數據可視化工具來處理計算結果。如何判定計算結果是否正確，是有限單元法應用中的關鍵問題。可 以採用與實驗或觀測數據對比、與簡化模型對比或與理論計算結果對比。研究者的領域知識也有助於正確理解計算結果

Ⅳ 請問有限元方法的基本原理是什麼

有限元方法的基本原理：將連續的求解域離散為一組單元的組合體，用在每個單元內假設的近似函數來分片的表示求解域上待求的未知場函數，近似函數通常由未知場函數及其導數在單元各節點的數值插值函數來表示。從而使一個連續的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題。

將連續的求解域離散為一組單元的組合體，用在每個單元內假設的近似函數來分片的表示求解域上待求的未知場函數，近似函數通常由未知場函數及其導數在單元各節點的數值插值函數來表達。從而使一個連續的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題。

(4)有限元方法如何分析無限域問題擴展閱讀：

有限元法常應用於流體力學、電磁力學、結構力學計算，使用有限元軟體ANSYS、COMSOL等進行有限元模擬，在預研設計階段代替實驗測試，節省成本。

用有限個單元將連續體離散化，通過對有限個單元作分片插值求解各種力學、物理問題的一種數值方法。有限元法把連續體離散成有限個單元：桿系結構的單元是每一個桿件；連續體的單元是各種形狀（如三角形、四邊形、六面體等）的單元體。

每個單元的場函數是只包含有限個待定節點參量的簡單場函數，這些單元場函數的集合就能近似代表整個連續體的場函數。根據能量方程或加權殘量方程可建立有限個待定參量的代數方程組，求解此離散方程組就得到有限元法的數值解。

有限元法已被用於求解線性和非線性問題，並建立了各種有限元模型，如協調、不協調、混合、雜交、擬協調元等。有限元法十分有效、通用性強、應用廣泛，已有許多大型或專用程序系統供工程設計使用。結合計算機輔助設計技術，有限元法也被用於計算機輔助製造中。

Ⅳ 有限元分析方法是指什麼

有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）利用數學近似的方法對真實物理系統（幾何和載荷工況）進行模擬。利用簡單而又相互作用的元素（即單元），就可以用有限數量的未知量去逼近無限未知量的真實系統。

有限元分析是用較簡單的問題代替復雜問題後再求解。它將求解域看成是由許多稱為有限元的小的互連子域組成，對每一單元假定一個合適的（較簡單的）近似解，然後推導求解這個域總的滿足條件（如結構的平衡條件），從而得到問題的解。

因為實際問題被較簡單的問題所代替，所以這個解不是准確解，而是近似解。由於大多數實際問題難以得到准確解，而有限元不僅計算精度高，而且能適應各種復雜形狀，因而成為行之有效的工程分析手段。

(5)有限元方法如何分析無限域問題擴展閱讀：

有限元方法與其他求解邊值問題近似方法的根本區別在於它的近似性僅限於相對小的子域中。20世紀60年代初首次提出結構力學計算有限元概念的克拉夫（Clough）教授形象地將其描繪為：「有限元法=Rayleigh Ritz法+分片函數」，即有限元法是Rayleigh Ritz法的一種局部化情況。

不同於求解（往往是困難的）滿足整個定義域邊界條件的允許函數的Rayleigh Ritz法，有限元法將函數定義在簡單幾何形狀（如二維問題中的三角形或任意四邊形）的單元域上（分片函數），且不考慮整個定義域的復雜邊界條件，這是有限元法優於其他近似方法的原因之一。

Ⅵ 有限單元法

有限單元方法（FEM）自20世紀50年代開始，已經在工程技術領域獲得了極為廣泛的應用，目前也成為處理岩土工程問題的有力工具；邊界元方法是20世紀70年代興起的一種數值方法，該方法具有降維作用，對於解決無限域或半無限域問題尤為理想^［2］。有限單元方法以連續介質力學為基礎，要考慮物質的連續性、介質物理力學性質的連續性及力學反應的連續性，將岩體在一定條件下視為連續介質或結合某種特殊單元（如節理單元）來模擬節理岩體的力學行為。

1.1.1.1 有限單元法的基本原理

有限單元法的基本原理用一彈性薄板為例來敘述說明，如圖1.1 所示。任意彈性薄板受到一定外力作用時，薄板內要產生相應的變形和應力，這種變形可用水平與垂直方向的位移分量 u、v 來表示，u、v 大小與位置（坐標）有關，即：

圖1.1 任意彈性薄板

u=u（x，y） v=v（x，y） （1.1）

由於u、v與位置有關，故將u、v稱為位移函數。

若求得上述的位移函數，則可由彈性力學的基本公式求得薄板中任一點的應變與應力，即：

非連續變形分析方法及其在地下工程中的應用

可見，若求得薄板中任一點的應力，必須先求得位移函數，這種通過位移函數求得應力的方法稱為「按位移求解」。

1.1.1.2 有限單元法的基本方程

從數學角度來看，有限單元法是把求解域內的連續場函數轉化為求解有限個離散點處的場函數值，顯然這種離散化的處理是一種近似，因此當單元劃分的適當時，才能保證求解精度。由於所劃分的單元足夠小，在一個微小的單元內，未知的場函數就可以採用十分簡單的代數多項式來近似地表示，即

非連續變形分析方法及其在地下工程中的應用

或

非連續變形分析方法及其在地下工程中的應用

式中：N為行函數矩陣，N=［N₁，N₂，N₃，N₄］，通常為坐標的函數；δ^e為單元的節點位移向量。

單元內的應變可由（1.2）式求得，即：

ε=Bδ^e=∑B_iδ_i （1.5）

式中B為應變矩陣，直接用節點位移來表示：

非連續變形分析方法及其在地下工程中的應用

同樣由（1.3）可求出單元應力矩陣：

σ=Eε=EBδ^e （1.6）

式中E為彈性矩陣：

非連續變形分析方法及其在地下工程中的應用

單元能量泛函為：

非連續變形分析方法及其在地下工程中的應用

根據最小勢能原理，在所有可能的位移函數中，真實位移使結構體系的總勢能有最小值，即：

非連續變形分析方法及其在地下工程中的應用

因此有 ∫_SB^TEBdSδ^e-f^e=0

令 k^e=∫_SB^TEBdS （1.8）

則 f^e=k^eδ^e （1.9）

嚴格地說，岩體是非連續介質，為了能應用連續介質力學原理解決岩體工程問題而提出了各種准則，如尺度相對性准則、主應力差效應准則等^［3］；孫廣忠^［4］認為完整結構岩體、斷續結構岩體、散體結構岩體以及碎裂結構岩體在一定條件下可當作連續介質。隨著對岩體的深入理解，逐步認識到岩體中包含的大量結構面對岩體力學特性和工程穩定起控製作用，並認為這是構成岩體和岩塊力學與工程特性差異的根本原因。

Ⅶ 請簡述有限元分析的基本概念用有限元法分析工程問題的一般步驟是什麼

有限元求解問題的基本步驟通常為：
第一步：問題及求解域定義：根據實際問題近似確定求解域的物理性質和幾何區域。
第二步：求解域離散化：將求解域近似為具有不同有限大小和形狀且彼此相連的有限個單元組成的離散域，習慣上稱為有限元網路劃分。顯然單元越小（網路越細）則離散域的近似程度越好，計算結果也越精確，但計算量及誤差都將增大，因此求解域的離散化是有限元法的核心技術之一。
第三步：確定狀態變數及控制方法：一個具體的物理問題通常可以用一組包含問題狀態變數邊界條件的微分方程式表示，為適合有限元求解，通常將微分方程化為等價的泛函形式。
第四步：單元推導：對單元構造一個適合的近似解，即推導有限單元的列式，其中包括選擇合理的單元坐標系，建立單元試函數，以某種方法給出單元各狀態變數的離散關系，從而形成單元矩陣（結構力學中稱剛度陣或柔度陣）。
為保證問題求解的收斂性，單元推導有許多原則要遵循。 對工程應用而言，重要的是應注意每一種單元的解題性能與約束。例如，單元形狀應以規則為好，畸形時不僅精度低，而且有缺秩的危險，將導致無法求解。
第五步：總裝求解：將單元總裝形成離散域的總矩陣方程（聯合方程組），反映對近似求解域的離散域的要求，即單元函數的連續性要滿足一定的連續條件。總裝是在相鄰單元結點進行，狀態變數及其導數（可能的話）連續性建立在結點處。
第六步：聯立方程組求解和結果解釋：有限元法最終導致聯立方程組。聯立方程組的求解可用直接法、選代法和隨機法。求解結果是單元結點處狀態變數的近似值。對於計算結果的質量，將通過與設計准則提供的允許值比較來評價並確定是否需要重復計算。
簡言之，有限元分析可分成三個階段，前處理、處理和後處理。前處理是建立有限元模型，完成單元網格劃分；後處理則是採集處理分析結果，使用戶能簡便提取信息，了解計算結果。

Ⅷ 如何學習有限元分析

ANSYS功能強大，也很吸引人，但真正是使其成為手中一把利劍的人少之又少。也許文章比較長，感謝你們有耐心把它讀完。

ANSYS，公認的難學、難用，但並非如我們想像的那樣難於上手，就像學習一門語言，與門之後在興趣的驅使下，還是能夠征服它的。

研究生階段，使用ANSYS完成了863項目子課題-尿素合成塔數值模擬系統的開發工作（開發平台-ANSYS）,有了這種經歷，自己也有膽出來把經驗分享出來了。

一：如何入門？

ANSYS難學，是因為入門難，目前國內有大量的ANSYS書籍，而且都有一個很挺的名字，但一個又一個的初學者發現，在學完這些擁有靚麗名字的ANSYS書籍之後，碰到問題依然是一頭霧水，不知道如何下手，心裡上首先產生了一種畏懼心理，以為是ANSYS軟體本身難學的原因，其實這本身並非是軟體的問題，也不是個人的不努力，而是努力的方向不對。

想要會用而不是學好ANSYS，首先，要加深對ANSYS的理解，也就是它是怎麼工作的，明白了這些再拿到問題就不會無從下手，而ANSYS是如何工作從國內這些大多數書籍上（很多是直接翻譯ANSYS英文幫助，這是一種誤人子弟和不負責任的做法）是學不到的。ANSYS這款軟體包括前處理、求解和後處理三部分，前處理主要是建立模型什麼的並不難理解，後處理是等計算完畢用來處理計算結果的，關鍵是在求解這一部分，把這一部分理解好了就會撥開迷霧見到陽光了。

ANSYS工作過程是這樣的：

（1）我們在前處理模塊建立模型也就是我們看到的工程系統的外形（稱為有限元實體模型）；

（2）建立出來模型之後，我們要將其轉化為有限元模型，在這部分我們需要選擇單元類型，輸入材料參數和匹配單元與模型相應部位的對應關系。ANSYS計算出來的都是變位（也就是模型的位移），然後通過位移導出應變，再使用應變值導出應力值（輸入材料參數就是為了使用應變算出應力值），當然這些都是在程序內部完成的，這里我們遇到一個新的問題就是單元如何選取得問題，究竟選擇什麼樣的單元合適，對初學者來說去詳細的了解單元的詳細屬性還不太現實，所以建議查閱資料看看別人用的單元類型，因為我們現在還只是處在入門階段，想要真正做到熟練應用各種單元進行不同問題的分析，我推測國內真正做到的人還沒有出現，除非他是在扯淡，因為ANSYS單元庫本身也只有100多種單元，不可能適用於所有單元。等我們選擇了某種單元，輸入了相應的材質參數（這個比較確定，各種材料有其固定的參數，比如E）之後，我們可以我們的模型進行網格劃分，這是把實體模型轉化為有限元模型的過程，任何一本ANSYS書籍上都有如何劃分網格的詳細介紹，不詳述。

（3）劃分完網格後的模型，其實已經確定了內部各個單元應力是如何傳遞的，求解過程其實就是一個解方程組得過程，解前面通過單元網格劃分得出的大量方程組，計算機去完成好了。

所以，再拿到一個問題後，我們要進行分析可以按以下步驟完成：

（1） 建立實體模型；（2）選擇單元類型，劃分網格；（3）求解；

而在這些步驟中遇到一些問題，則隨著對ANSYS軟體本身的慢慢熟悉，會越來越得心應手，這不是學習ANSYS真正難得地方，各位不需要再這個方面畏懼。

二：當我們對ANSYS的操作比較熟練了以後，我們可以進入下一步的學習，拿到一個問題如何進行大體上正確的分析？

我們拿到問題進行有限元分析，首先要分析這個問題進行有限元分析想要得到的結果數據，比如應力場、溫度場等等，其次，當我們知道了我們想要得到什麼數據後，我們要學習通過什麼能夠得到這些數據，比如我們要想得到某結構的應力場，我們可以通過位移算出應變，通過應變算出應力，這時需要我們查閱相關資料得到通過彈性模量、楊氏模量和應變能夠計算出應力的信息，這時我們就會知道在材料參數里需要輸入彈性模量、楊氏模量才能得到應力值，而如何輸入這些變數，只是對ANSYS操作的熟練程度而已，不知道的也能夠查到怎樣操作，而進行其它方面的計算都是如此，我們之所以一頭霧水，是因為我們不知道能夠通過什麼得到我們需要的數據，而一旦知道了這些需要材料參數我們就會信心大增了。然後需要我們選擇單元，這時如果我們沒有很長時間的有限元分析經驗，這方面我們會很迷茫，這也確實沒有什麼好的方法，我們可以查閱ANSYS幫助文件（現在有一本ANSYS中文幫助指南的小冊子講述了某些單元的一些細節）里關於哪些單元適用於那些場合的指南。把這些確定下來後我們的問題解決方案已經確定了，後面的求解的設置什麼的可以通過大量的練習來熟悉。有了這些基礎我們可以進行我們拿到問題上大致准確的有限元分析過程，至於是否真正的正確，還需要進一步的驗證。

三、ANSYS高手應該達到的境界!

一名真正意義上的高手應該達到這樣的境界：

拿到一個具體的問題後，察看本領域的最新理論研究成果，如進行尿素合成塔分析，考慮層板間，想要得到層板應力場，我們要查閱前人如何計算尿素合成塔層板的應力場的，現在有沒有最新的研究成果，然後利用這些公式到ANSYS單元庫里去查找單元看看時候存在這樣的單元專門針對這種問題是按照這種計算公式來作為基礎開發單元的，如果有那就再好不過了，如果沒有則需要分析人員利用本領域最新的科研成果結合自己在ANSYS二次開放方面的知識，從二次開發的角度開發新的用於該問題的專門單元（這個過程比較難，但並不是不可完成，因為ANSYS本身已經開發出來100多種單元，而且只有這樣的分析才是足夠專業和令人信服的），否則，那隻能是近似的結果了，我們用這種新開發的單元來作分析的話，即使不能做到真正與現實情況一致，但至少是最接近於真實應力場分布的分析，因為這是以最新的理論研究為基礎做的分析。

所以，想真正的學好ANSYS,不但要知道怎樣操作，而且要知道如何擴充ANSYS,使他能夠完成自己需要的功能，使它成為自己獨一無二的ANSYS版本，這也是我們學習任何一款有限元軟體的方向，否則我們就無法做到隨心所欲、無所不能的使用這些利劍完成各種各樣的分析

Ⅸ 如何判定有限元分析結果是否正確或合理詳細說明好嗎

有限元分析結果合理與否的判斷是沒有固定標準的，很多時候是根據經驗和分析結果的合理性(比如一眼就能看出有應力集中的地方，分析結果也應該是這樣，否則分析結果就不對)來判斷。

有限元本身就帶有假設（插值函數、後處理方法的選擇等），它最主要的作用就是代替昂貴、繁雜的實驗預先對結構進行分析。甚至可以這樣說，分析結果與實際結果哪怕相差10倍，但如果分析結果的應力分布是對的，那這個分析結果都是可以接受的。

(9)有限元方法如何分析無限域問題擴展閱讀：

有限元分析是用較簡單的問題代替復雜問題後再求解。它將求解域看成是由許多稱為有限元的小的互連子域組成，對每一單元假定一個合適的（較簡單的）近似解，然後推導求解這個域總的滿足條件（如結構的平衡條件），從而得到問題的解。

因為實際問題被較簡單的問題所代替，所以這個解不是准確解，而是近似解。由於大多數實際問題難以得到准確解，而有限元不僅計算精度高，而且能適應各種復雜形狀，因而成為行之有效的工程分析手段。