如何用向量方法證明平行

① 高中生如何用向量證明線面平行

用向量證明線面平行方法一

下面垂直就是說直線是面的法向量。單位法向量當然平行這條直線，不過要排除與0向量的討論。0向量與任何向量都平行。但0向量不垂直與面。

比如單位法向量是(x,y,z)直線的方向向量是m=(a,b,c)

那麼m=a(x,y,z) 這不完全對。

比如單位法向量是(0,1,0)，難道m=0嗎?

只能是a≠0是可以這樣。

面面平行：可以證明兩個平面的法向量平行。

不過不一定是單位法向量，單位法向量是模等於1的法向量，其實只需證明兩平面的.法向量垂直就可以了。

當然你要證明分別平行於兩平面的直線平行，

或平行一平面的直線與另一平面的法向量垂直也未嘗不可。

用向量證明線面平行方法二

三維空間上一平面上一活動點鍾(x,y, z) 而(m,n,p )是在原點與平面的垂線的交點, 我們得

[(x,y,z) - (m,n,p) ] * (m,n,p) = 0

m(x-m)+n(y-n)+p(z-p)=0

mx+ny+pz=m^2+n^2+p^2

所以 ax+by+cz=d 中的a=m, b= n, c=p , d=m^2+n^2+p^2= 原點與平面的垂直距離

x+y+z=1是一個面它垂直和相交(1,1,1) 這支向量

[1,8,-3]×[4,-5,9]≠[0,0,0]

所以兩直線的方向向量不平行

即兩直線不平行

但是書後的答案說兩直線是平行的。。。

你確定題沒有寫錯嗎?

其實直線很簡單

[x,y,z]=[4,-3,2]+ t[1,8,-3]

表示通過點[4,-3,2]，沿著方向[1,8,-3]延伸

而[1,8,-3]跟[4,-5,9]方向不一樣，兩直線不平行

用向量證明線面平行方法三

平行向量

平行向量(也叫共線向量)：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，記作：a∥b，規定零向量和任何向量平行。

加法運算

AB+BC=AC，這種計演算法則叫做向量加法的三角形法則。

已知兩個從同一點O出發的兩個向量OA、OB，以OA、OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則以O為起點的對角線OC就是向量OA、OB的和，這種計演算法則叫做向量加法的平行四邊形法則。

對於零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。

|a+b|≤|a|+|b|。

向量的加法滿足所有的加法運算定律。

減法運算

與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。

(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。以減向量的終點為起點,被減向量的終點為終點(三角形法則)

數乘運算

實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λa，|λa|=|λ||a|，當λ > 0時，λa的方向和a的方向相同，當λ < 0時，λa的方向和a的方向相反，當λ = 0時，λa = 0。

設λ、μ是實數，那麼：(1)(λμ)a = λ(μa)(2)(λ + μ)a = λa + μa(3)λ(a ± b) = λa ± λb(4)(-λ)a =-(λa) = λ(-a)。

② 怎樣用向量法證線面平行

定理1

平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

已知：a∥b，a⊄α，b⊂α，求證：a∥α

如果曲面在某點沒有切平面，那麼在該點就沒有法線。例如，圓錐的頂點以及底面的邊線處都沒有法線，但是圓錐的法線是幾乎處處存在的。通常一個滿足Lipschitz連續的曲面可以認為法線幾乎處處存在。

參考資料來源：網路-線面平行

參考資料來源：網路-法向量