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幼升小分解式的方法與技巧

發布時間:2022-12-06 21:56:38

㈠ 因式分解的方法與技巧口訣

因式分解並不難,分解方法要記全,各項若有公因式,首先提取莫遲緩,各項若無公因式,套用公式來試驗。如果是個二項式,平方差公式要領先,如果是個三項式,完全平方想周全,以上方法都不行,運用分組看一看,面對二次三項式,十字相乘求方便,能分解的再分解,不能分解是答案。

把一個多項式在一個范圍(如實數范圍內分解,即所有項均為實數)化為幾個整式的積的形式,這種式子變形叫做這個多項式的因式分解,也叫作把這個多項式分解因式。

分解一般步驟

1、如果多項式的首項為負,應先提取負號;

這里的「負」,指「負號」。如果多項式的第一項是負的,一般要提出負號,使括弧內第一項系數是正的。

2、如果多項式的各項含有公因式,那麼先提取這個公因式,再進一步分解因式;

要注意:多項式的某個整項是公因式時,先提出這個公因式後,括弧內切勿漏掉1;提公因式要一次性提干凈,並使每一個括弧內的多項式都不能再分解。

3、如果各項沒有公因式,那麼可嘗試運用公式、十字相乘法來分解;

4、如果用上述方法不能分解,再嘗試用分組、拆項、補項法來分解。

口訣:先提首項負號,再看有無公因式,後看能否套公式,十字相乘試一試,分組分解要合適。

㈡ 因式分解的方法與技巧有哪些

把一個多項式在一個范圍化為幾個整式的積的形式,這種式子變形叫做這個多項式的因式分解,因式分解的方法有十字相乘法、提公因式法、待定系數法等。

十字相乘法

1.十字相乘法:十字左邊相乘等於二次項系數,右邊相乘等於常數項,交叉相乘再相加等於一次項系數。其實就是運用乘法公式運算來進行因式分解。

2.用十字相乘法分解公因式的步驟:

(1)把二次項系數和常數項分別分解因數;

(2)嘗試十字圖,使經過十字交叉線相乘後所得的數的和為一次項系數;

(3)確定合適的十字圖並寫出因式分解的結果;

(4)檢驗。

提公因式法

1.提公因式法:如果多項式的各項有公因式,可以把這個公因式提到括弧外面,將多項式寫成因式乘積的形式,這種分解因式的方法叫做提公因式法。

2.提取公因式法分解因式的解題步驟

(1)提公因式。把各項中相同字母或因式的最低次冪的積作為公因式提出來;當系數為整數時,還要把它們的最大公約數也提出來,作為公因式的系數;當多項式首項符號為負時,還要提出負號

(2)用公因式分別去除多項式的每一項,把所得的商的代數和作為另一個因式,與公因式寫成積的形式。

待定系數法

1.待定系數法:待定系數法是初中數學的一個重要方法。用待定系數法分解因式,就是先按已知條件把原式假設成若干個因式的連乘積,這些因式中的系數可先用字母表示,它們的值是待定的,由於這些因式的連乘積與原式恆等,然後根據恆等原理,建立待定系數的方程組,最後解方程組即可求出待定系數的值。

2.使用待定系數法解題的一般步驟是:

(1)確定所求問題含待定系數的一般解析式;

(2)根據恆等條件,列出一組含待定系數的方程;

(3)解方程或消去待定系數,從而使問題得到解決。

因式分解口訣

兩式平方符號異,因式分解你別怕。

兩底和乘兩底差,分解結果就是它。

兩式平方符號同,底積2倍坐中央。

因式分解能與否,符號上面有文章。

同和異差先平方,還要加上正負號。

同正則正負就負,異則需添冪符號。

因式分解常用公式

1.平方差公式:a²-b²=(a+b)(a-b)。

2.完全平方公式:a²+2ab+b²=(a+b)²。

3.立方和公式:a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)。

4.立方差公式:a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)。

5.完全立方和公式:a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³。

6.完全立方差公式:a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³。

7.三項完全平方公式:a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²。

8.三項立方和公式:a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)。

㈢ 因式分解的方法和技巧

因式分解的常用方法與技巧 田發銀 因式分解是初中代數中一種重要的恆等變形,是處理數學家問題重要的手段和工具,有關的題目在中考和數學競賽中比較常見。對於特殊的因式分解,除了考慮提公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等基本方法外,還應根據多項式的具體結構特徵,靈活選用一些特殊的方法,這樣不僅可使問題化難為易,化繁為簡,使復雜問題迎刃而解,而且有助於培養同學們的探索求新的習慣,提高同學們的數學思維能力。現將因式分解中幾種比較常用的方法與技巧列舉如下,供同學們參考。 一、巧拆項 在某些多項式的因式分解過程中,若將多項式的某一項(或幾項)適當拆成幾項的代數和,再用基本方法分解,會使問題化難為易,迎刃而解。 例1
因式分解: 。 解析:根據多項式的特點,把3
拆成,則

。 例2
因式分解:。
解析:根據多項式的特點,把
拆成,把11x
拆成,則

=
。 二、巧添項 在某些多項式的因式分解過程中,若在所給多項式中加、減相同的項,再用基本方法分解,則解法獨特,新穎別致。 例3
因式分解: 。
解析:根據多項式的特點,在中添上兩項,則有

。 三、巧換元 在某些多項式的因式分解過程中,通過換元,可把形式復雜的多項式變形為形式簡單、易於分解的多項式,使問題化繁為簡,迅速獲解。 例4
因式分解: 。
解析:


,則。於是:
原式
。 四、展開巧組合 若一個多項式的某些項是積的形式,直接分解比較困難,則可展開重新組合,然後再用基本方法分解。 例5
因式分解: 。 解析:將多項式展開後再重新組合,分組分解。
例6
因式分解:。
解析:
。 五、巧用主元 對於含有兩個或兩個以上字母的多項式,若無法直接分解,可以其中一個字母為主元進行變形整理,從而使問題柳暗花明。 例7
因式分解: 。 解析:這是一個輪換對稱多項式(指以a代替b、b代替c、c代替a後原式不變),不妨以a為主元進行整理:

。 從以上幾例可以看出,因式分解題型較多,解法靈活,有較強的技巧性,若能根據多項式的具體結構特徵,選用恰當的方法與技巧,不僅可以化難為易,迅速求解,而且有助於培養同學們的創新思想,有效地激發同學們的學習興趣。
謝謝請給我一個好評

㈣ 因式分解的方法與技巧

因式分解的十二種方法
把一個多項式化成幾個整式的積的形式,這種變形叫做把這個多項式因式分解。因式分解的方法多種多樣,現總結如下:
1、
提公因法
如果一個多項式的各項都含有公因式,那麼就可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積的形式。
例1、
分解因式x
-2x
-x(2003淮安市中考題)
x
-2x
-x=x(x
-2x-1)
2、
應用公式法
由於分解因式與整式乘法有著互逆的關系,如果把乘法公式反過來,那麼就可以用來把某些多項式分解因式。
例2、分解因式a
+4ab+4b
(2003南通市中考題)
解:a
+4ab+4b
=(a+2b)
3、
分組分解法
要把多項式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前兩項分成一組,並提出公因式a,把它後兩項分成一組,並提出公因式b,從而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,從而得到(a+b)(m+n)
例3、分解因式m
+5n-mn-5m
解:m
+5n-mn-5m=
m
-5m
-mn+5n
=
(m
-5m
)+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、
十字相乘法
對於mx
+px+q形式的多項式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,則多項式可因式分解為(ax+d)(bx+c)
例4、分解因式7x
-19x-6
分析:
1
-3
7
2
2-21=-19
解:7x
-19x-6=(7x+2)(x-3)
5、配方法
對於那些不能利用公式法的多項式,有的可以利用將其配成一個完全平方式,然後再利用平方差公式,就能將其因式分解。
例5、分解因式x
+3x-40
解x
+3x-40=x
+3x+(
)
-(
)
-40
=(x+
)
-(
)
=(x+
+
)(x+
-
)
=(x+8)(x-5)
6、拆、添項法
可以把多項式拆成若幹部分,再用進行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
解:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
7、
換元法
有時在分解因式時,可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數,然後進行因式分解,最後再轉換回來。
例7、分解因式2x
-x
-6x
-x+2
解:2x
-x
-6x
-x+2=2(x
+1)-x(x
+1)-6x
=x
[2(x
+
)-(x+
)-6
令y=x+
,
x
[2(x
+
)-(x+
)-6
=
x
[2(y
-2)-y-6]
=
x
(2y
-y-10)
=x
(y+2)(2y-5)
=x
(x+
+2)(2x+
-5)
=
(x
+2x+1)
(2x
-5x+2)
=(x+1)
(2x-1)(x-2)
8、
求根法
令多項式f(x)=0,求出其根為x
,x
,x
,……x
,則多項式可因式分解為f(x)=(x-x
)(x-x
)(x-x
)……(x-x
)
例8、分解因式2x
+7x
-2x
-13x+6
解:令f(x)=2x
+7x
-2x
-13x+6=0
通過綜合除法可知,f(x)=0根為
,-3,-2,1
則2x
+7x
-2x
-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
9、
圖象法
令y=f(x),做出函數y=f(x)的圖象,找到函數圖象與X軸的交點x
,x
,x
,……x
,則多項式可因式分解為f(x)=
f(x)=(x-x
)(x-x
)(x-x
)……(x-x
)
例9、因式分解x
+2x
-5x-6
解:令y=
x
+2x
-5x-6
作出其圖象,見右圖,與x軸交點為-3,-1,2
則x
+2x
-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
10、
主元法
先選定一個字母為主元,然後把各項按這個字母次數從高到低排列,再進行因式分解。
例10、分解因式a
(b-c)+b
(c-a)+c
(a-b)
分析:此題可選定a為主元,將其按次數從高到低排列
解:a
(b-c)+b
(c-a)+c
(a-b)=a
(b-c)-a(b
-c
)+(b
c-c
b)
=(b-c)
[a
-a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
11、
利用特殊值法
將2或10代入x,求出數P,將數P分解質因數,將質因數適當的組合,並將組合後的每一個因數寫成2或10的和與差的形式,將2或10還原成x,即得因式分解式。
例11、分解因式x
+9x
+23x+15
解:令x=2,則x
+9x
+23x+15=8+36+46+15=105
將105分解成3個質因數的積,即105=3×5×7
注意到多項式中最高項的系數為1,而3、5、7分別為x+1,x+3,x+5,在x=2時的值
則x
+9x
+23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)
12、待定系數法
首先判斷出分解因式的形式,然後設出相應整式的字母系數,求出字母系數,從而把多項式因式分解。
例12、分解因式x
-x
-5x
-6x-4
分析:易知這個多項式沒有一次因式,因而只能分解為兩個二次因式。
解:設x
-x
-5x
-6x-4=(x
+ax+b)(x
+cx+d)
=
x
+(a+c)x
+(ac+b+d)x
+(ad+bc)x+bd
所以
解得
則x
-x
-5x
-6x-4
=(x
+x+1)(x
-2x-4)

㈤ 幼兒園數學分解法怎麼

幼兒園數學分解教法如下。

1、利用食物分解。

2、如一籃水果有5個,一個放在一個盤子里,另外四個放在一個盤子里。

3、讓孩子發現5能分成1和4。

4、同樣1和4能組成5。

5、還有5能分成2和3,3和2,4和1。

(5)幼升小分解式的方法與技巧擴展閱讀

破十法:是一種計算方法,即:當個位不夠減時,就用10減去減數,剩下的數和個位上的數相加,即破十法。

破十法口訣

十幾減九,幾加一;十幾減七,幾加三;十幾減五,幾加五;十幾減三,幾加七;十幾減八,幾加二;十幾減六,幾加四;十幾減四,幾加六;十幾減二,幾加八。

㈥ 因式分解的方法與技巧

1、如果多項式的首項為負,應先提取負號;

這里的「負」,指「負號」。如果多項式的第一項是負的,一般要提出負號,使括弧內第一項系數是正的。

2、如果多項式的各項含有公因式,那麼先提取這個公因式,再進一步分解因式;

要注意:多項式的某個整項是公因式時,先提出這個公因式後,括弧內切勿漏掉1;提公因式要一次性提干凈,並使每一個括弧內的多項式都不能再分解。

(6)幼升小分解式的方法與技巧擴展閱讀

1、分解因式是多項式的恆等變形,要求等式左邊必須是多項式。

2、分解因式的結果必須是以乘積的形式表示。

3、每個因式必須是整式,且每個因式的次數都必須低於原來多項式的次數。

4、結果最後只留下小括弧,分解因式必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止;

5、結果的多項式首項一般為正。 在一個公式內把其公因子抽出,即透過公式重組,然後再抽出公因子;

6、括弧內的首項系數一般為正;

7、如有單項式和多項式相乘,應把單項式提到多項式前。如(b+c)a要寫成a(b+c);

㈦ 分解因式的方法與技巧是什麼

1、提公因式法

幾個多項式的各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式。 如果一個多項式的各項有公因式,可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積的形式,這種分解因式的方法叫做提公因式法。

2、公式法

如果把乘法公式反過來,就可以把某些多項式分解因式,這種方法叫公式法。

注意事項

1、等式左邊必須是多項式;

2、分解因式的結果必須是以乘積的形式表示;

3、每個因式必須是整式,且每個因式的次數都必須低於原來多項式的次數;

4、分解因式必須分解到每個多項式因式都不能再分解為止。

㈧ 因式分解的方法與技巧

導語:因式分解是中學數學中最重要的恆等變形之一,它被廣泛地應用於初等數學之中,在數學求根作圖、解一元二次方程方面也有很廣泛的應用。是解決許多數學問題的有力工具。把一個多項式在一個范圍(如有理數范圍內分解,即所有項均為有理數)化為幾個整式的積的形式,這種式子變形叫做這個多項式的因式分解,也叫作把這個多項式分解因式。

因式分解的方法與技巧

1、 提公因法

如果一個多項式的各項都含有公因式,那麼就可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積的形式。

例1、 分解因式x3 -2x 2-x

x3 -2x2 -x=x(x2 -2x-1)

2、 應用公式法

由於分解因式與整式乘法有著互逆的關系,如果把乘法公式反過來,那麼就可以用來把某些多項式分解因式。

例2、分解因式a2 +4ab+4b2

解:a2 +4ab+4b2 =(a+2b)2

3、 分組分解法

要把多項式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前兩項分成一組,並提出公因式a,把它後兩項分成一組,並提出公因式b,從而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,從而得到(a+b)(m+n)

例3、分解因式m2 +5n-mn-5m

解:m2 +5n-mn-5m= m 2-5m -mn+5n

= (m2 -5m )+(-mn+5n)

=m(m-5)-n(m-5)

=(m-5)(m-n)

4、 十字相乘法

對於mx2 +px+q形式的多項式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,則多項式可因式分解為(ax+d)(bx+c)

例4、分解因式7x2 -19x-6

分析: 1 ×7=7, 2×(-3)=-6

1×2+7×(-3)=-19

解:7x2 -19x-6=(7x+2)(x-3)

5、配方法

對於那些不能利用公式法的多項式,有的可以利用將其配成一個完全平方式,然後再利用平方差公式,就能將其因式分解。

例5、分解因式x2 +6x-40

解x2 +6x-40=x2 +6x+( 9) -(9 ) -40

=(x+ 3)2 -(7 ) 2

=[(x+3)+7]*[(x+3) – 7]

=(x+10)(x-4)

6、拆、添項法

可以把多項式拆成若幹部分,再用進行因式分解。

例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

解:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

=(c+b)(c-a)(a+b)

7、 換元法

有時在分解因式時,可以選擇多項式中的.相同的部分換成另一個未知數,然後進行因式分解,最後再轉換回來。

例7、分解因式2x4 –x3 -6x2 -x+2(也叫相反式,在這里以二次項系數為中心對稱項的系數是相等的,如四次項與常數項對稱,系數相等,解法也是把對稱項結合在一起)

解:2x 4–x3 -6x2 -x+2=2(x4 +1)-x(x2 +1)-6x2

=x2 {2[x2 + ()2]-(x+ )-6}

令y=x+ ,

x2 {2[x2 +( )2]-(x+)-6}

= x2 [2(y2 -2)-y-6]

= x2 (2y2 -y-10)

=x 2(y+2)(2y-5)

=x2 (x+ +2)(2x+ -5)

= (x2 +2x+1) (2x2 -5x+2)

=(x+1)2 (2x-1)(x-2)

8、 求根法

令多項式f(x)=0,求出其根為x1,x2 ,x3 ,……xn ,則多項式可因式分解為f(x)=(x-x1 )(x-x 2)(x-x3 )……(x-xn ) (一般情況下是試根法,並且一般試-3,-2,-1,0,1,2,3這些數是不是方程的根)

例8、分解因式2x4 +7x3 -2x2 -13x+6

解:令f(x)=2x4 +7x3 -2x2 -13x+6=0

通過綜合除法可知,f(x)=0根為 ,-3,-2,1 ,

則2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)

9、 圖象法(這種方法在以後學函數的時候會用到。現在只是作為了解內容,它和第八種方法是類似的)

令y=f(x),做出函數y=f(x)的圖象,找到函數圖象與X軸的交點x1 ,x2 ,x3 ,……xn ,則多項式可因式分解為

f(x)= f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3)……(x-xn )

例9、因式分解x3 +2x2 -5x-6

解:令y= x3 +2x2 -5x-6

作出其圖象,可知與x軸交點為-3,-1,2

則x3 +2x 2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)

10、 主元法

先選定一個字母為主元,然後把各項按這個字母次數從高到低排列,再進行因式分解。

例10、分解因式a2 (b-c)+b2 (c-a)+c2 (a-b)

分析:此題可選定a為主元,將其按次數從高到低排列

解:a2 (b-c)+b2 (c-a)+c2 (a-b)=a2 (b-c)-a(b2 -c 2)+bc(b-c)

=(b-c) [a2 -a(b+c)+bc]

=(b-c)(a-b)(a-c)

11、 利用特殊值法

將2或10(或其它數)代入x,求出數P,將數P分解質因數,將質因數適當的組合,並將組合後的每一個因數寫成2或10的和與差的形式,將2或10還原成x,即得因式分解式。例11、分解因式x 3+9x2 +23x+15

解:令x=2,則x3 +9x 2+23x+15=8+36+46+15=105

將105分解成3個質因數的積,即105=3×5×7

注意到多項式中最高項的系數為1,而3、5、7分別為x+1,x+3,x+5,在x=2時的值

則x3 +9x2 +23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)

12、待定系數法

首先判斷出分解因式的形式,然後設出相應整式的字母系數,求出字母系數,從而把多項式因式分解。

例12、分解因式x4 –x3 -5x2 -6x-4

如果已知道這個多項式沒有一次因式,因而只能分解為兩個二次因式。

解:設x4 –x3 -5x2 -6x-4=(x2 +ax+b)(x2 +cx+d)

= x4 +(a+c)x3 +(ac+b+d)x2 +(ad+bc)x+bd

從而a+c=-1,ac+b+d=-5,ad+bc=-6,bd=-4

所以 解得

則x4 –x3 -5x2 -6x-4 =(x 2+x+1)(x2 -2x-4)。

因式分解應該注意哪些問題?

一、要注意到“1”的存在而避免漏項

在提取公因式時,多數同學易忘記觀察被分解多項式的項數是多少,更沒有理解因式分解與乘法運算之間的關系,而在分解因式時應注意到“1”在這個多項式分解中的存在和作用。

例1分解因式23x+5xy+x=x(3x+5y)

錯解: 23x+5xy+x=x(3x+5y),這樣就漏了“x”這一項,提出“x”後應由“1”來補其位。 正解: 23x+5xy+x=x(3x+5y+1)

二、提取公因式時要注意符號的變化

牢記在有理數的乘法運算中“括弧前是負號,去括弧時括弧里的各項都要變號”這一運算律,而因式分解與乘法運算之間互為逆變形,首相為負號應提取負號,但加括弧並且括弧里的各項都要變號。

例2分解因式2-10x+10xy.

錯解: 2-10x+10xy=-10x(x+y),錯在括弧里沒有變號。

正解: 2-10x+10xy=-10x(x-y).

三、要注意整體與個體之間的關系

在公式22a-b=(a+b)(a-b) ,222a+2ab+b=(a+b), 222a-2ab+b=(a-b)中,a、b代表符合這一特點的整個代數式里的整個因式,而不只代表這個代數式里的某一個因式。如216x是表示2(4x),而不是216x.因此再分解因式時要注意整體與個體之間的關系。

例3分解因式29x-1

錯解: 29x-1=(9x+1)(9x-1),錯在29x-1隻能寫為2(3x)不能寫為29x. 正解: 29x-1=(3x+1)(3x-1).

四、要注意分解完整

因式分解即是把一個多項式分解為幾個不能再分解的因式的乘積形式,因式分解需要分解到不能再分解為止。

例4分解因式4216x-72x+81

錯解: 4216x-72x+81=22(4x-9),很多學生就分解到此為止,但沒有注意到24x-9還可以分解。因為24x可以寫成2(2x),9可以寫成2(3),故24x-9符合平方差公式的特點應繼續分解。

正解: 4216x-72x+81=22(4x-9)=2[(2x+3)(2x-3)]=22(2x+3)(2x-3) 例5分解因式4x-9 (在實數范圍內)

錯解: 4x-9=22(x+3)(x-3),錯在許多學生還未注意到2(x-3)中的“3”還可以寫為

2(3),因此2(x-3)寫為2x-2(3),這就符合平方差公式的特點應繼續分解。

正解: 4x-9=22(x+3)(x-3)=2(x+3)(x+3)(x-3) 五、應注意因式與整式乘法的關系

因式分解是要把一個多項式分解為幾個整式的乘積形式;然而整式的乘法是要把幾個正式的乘積形式化成一個多項式的形式。 例6分解因式4224a-2ab+b.

錯解: 4224a-2ab+b=222(a-b)=22(a+b)(a-b)=2222(a+2ab+b)(a-2ab+b),錯在又把22(a+b)(a-b)化為了2222(a+2ab+b)(a-2ab+b)

正解: 4224a-2ab+b=222(a-b)=22(a+b)(a-b)。

㈨ 幼兒分解是怎麼教的

1、幼兒園中班就學習10以內的分解,您只需要找十根小木棍或者同樣的東西10個就可以了。
2、首先從2的分解開始來,拿兩個一樣的東西讓幼兒數出來東西的數量,再把東西分開放,幼兒可以很清晰直觀的看出來,2個東西是可以被分成1個和1個的,這就是2可以分解成1和1,然後反過來告訴幼兒1和1可以組成2,1+1=2。用實物擺放出來能更好的幫幼兒理解。
3、接下來就是3了,同樣的拿出3個物品,一邊放一個,剩下的放到另一邊,也能很直觀的看出一邊是一個,另外一邊是2個。於是3可以分解成1和2,1和2組成3,1+2=3。倒過來3先分解成2個,然後剩下的放另一邊就是3的第二種分解方法,3還可以分解成2和1,2和1組成3,2+1=3。
4、每個數能被分解成比他本身數目少一種,也就是說2有一種分解,3有2種分解方法,4有3種分解方法,5有4種分解方法,以此類推。接下來我們分解數字4,首先還是左邊放一個,其餘的放到右邊,不難數出右邊有3個,4可以分解成1和3就完成了,再從右邊拿走一個放到左邊,就是4的第二種分解,我們看到兩邊這時一樣多了,4可以分解成2和2,第三種便是再從右邊拿走一個再放到左邊,這時就可以看到4可以分解成3和1了。這時我們就總結出一個規律每個數字的左邊都是從1開始的,右邊是剩下的數量,然後每次都從右邊拿走一個放到左邊。
5、接下來讓幼兒自己擺下5的分解吧,沒有數字棒也沒有關系的,玩具,棉簽,水果,差不多的東西都是可以拿來分解的。家長在紙上先寫出5和分解符號,再告訴幼兒每次都是先分成1和幾,左邊放一個,剩下的放右邊,數一下右邊應該是數字幾呢?這樣做分解幼兒就很快的理解分解的含義了,接下來5可以分解成2和幾、3和幾、4和幾就可以很輕松的完成了。掌握了2-5的分解6-10的分解方法是一樣的。

㈩ 求因式分解的所有方法和技巧

因式分解
因式分解(factorization)

因式分解是中學數學中最重要的恆等變形之一,它被廣泛地應用於初等數學之中,是我們解決許多數學問題的有力工具.因式分解方法靈活,技巧性強,學習這些方法與技巧,不僅是掌握因式分解內容所必需的,而且對於培養學生的解題技能,發展學生的思維能力,都有著十分獨特的作用.初中數學教材中主要介紹了提取公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法.而在競賽上,又有拆項和添項法,待定系數法,雙十字相乘法,輪換對稱法等.

⑴提公因式法
①公因式:各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的~.

②提公因式法:一般地,如果多項式的各項有公因式,可以把這個公因式提到括弧外面,將多項式寫成因式乘積的形式,這種分解因式的方法叫做提公因式法.

am+bm+cm=m(a+b+c)

③具體方法:當各項系數都是整數時,公因式的系數應取各項系數的最大公約數;字母取各項的相同的字母,而且各字母的指數取次數最低的. 如果多項式的第一項是負的,一般要提出「-」號,使括弧內的第一項的系數是正的.

⑵運用公式法

①平方差公式:. a^2-b^2=(a+b)(a-b)

②完全平方公式: a^2±2ab+b^2=(a±b)^2

※能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式,其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形式,另一項是這兩個數(或式)的積的2倍.

③立方和公式:a^3+b^3= (a+b)(a^2-ab+b^2).

立方差公式:a^3-b^3= (a-b)(a^2+ab+b^2).

④完全立方公式: a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3

⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]

a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m為奇數)

⑶分組分解法

分組分解法:把一個多項式分組後,再進行分解因式的方法.

分組分解法必須有明確目的,即分組後,可以直接提公因式或運用公式.

⑷拆項、補項法

拆項、補項法:把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項(或幾項),使原式適合於提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解;要注意,必須在與原多項式相等的原則進行變形.

⑸十字相乘法

①x^2+(p q)x+pq型的式子的因式分解

這類二次三項式的特點是:二次項的系數是1;常數項是兩個數的積;一次項系數是常數項的兩個因數的和.因此,可以直接將某些二次項的系數是1的二次三項式因式分解: x^2+(p q)x+pq=(x+p)(x+q)

②kx^2+mx+n型的式子的因式分解

如果能夠分解成k=ac,n=bd,且有ad+bc=m 時,那麼

kx^2+mx+n=(ax b)(cx d)

a \-----/b ac=k bd=n

c /-----\d ad+bc=m

※ 多項式因式分解的一般步驟:

①如果多項式的各項有公因式,那麼先提公因式;

②如果各項沒有公因式,那麼可嘗試運用公式、十字相乘法來分解;

③如果用上述方法不能分解,那麼可以嘗試用分組、拆項、補項法來分解;

④分解因式,必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止.

(6)應用因式定理:如果f(a)=0,則f(x)必含有因式(x-a)。如f(x)=x^2+5x+6,f(-2)=0,則可確定(x+2)是x^2+5x+6的一個因式。

經典例題:

1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2

解:原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)

=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)

=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2

=[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x]

=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)

=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]

=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)

2.證明:對於任何數x,y,下式的值都不會為33

x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5

解:原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)

=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)

=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)

=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)

=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)

當y=0時,原式=x^5不等於33;當y不等於0時,x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同,而33不能分成四個以上不同因數的積,所以原命題成立
因式分解的十二種方法
把一個多項式化成幾個整式的積的形式,這種變形叫做把這個多項式因式分解。因式分解的方法多種多樣,現總結如下:
1、 提公因法
如果一個多項式的各項都含有公因式,那麼就可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積的形式。
例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考題)
x -2x -x=x(x -2x-1)
2、 應用公式法
由於分解因式與整式乘法有著互逆的關系,如果把乘法公式反過來,那麼就可以用來把某些多項式分解因式。
例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考題)
解:a +4ab+4b =(a+2b)
3、 分組分解法
要把多項式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前兩項分成一組,並提出公因式a,把它後兩項分成一組,並提出公因式b,從而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,從而得到(a+b)(m+n)
例3、分解因式m +5n-mn-5m
解:m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n
= (m -5m )+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、 十字相乘法
對於mx +px+q形式的多項式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,則多項式可因式分解為(ax+d)(bx+c)
例4、分解因式7x -19x-6
分析: 1 -3
7 2
2-21=-19
解:7x -19x-6=(7x+2)(x-3)
5、配方法
對於那些不能利用公式法的多項式,有的可以利用將其配成一個完全平方式,然後再利用平方差公式,就能將其因式分解。
例5、分解因式x +3x-40
解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40
=(x+ ) -( )
=(x+ + )(x+ - )
=(x+8)(x-5)
6、拆、添項法
可以把多項式拆成若幹部分,再用進行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
解:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
7、 換元法
有時在分解因式時,可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數,然後進行因式分解,最後再轉換回來。
例7、分解因式2x -x -6x -x+2
解:2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x
=x [2(x + )-(x+ )-6
令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6
= x [2(y -2)-y-6]
= x (2y -y-10)
=x (y+2)(2y-5)
=x (x+ +2)(2x+ -5)
= (x +2x+1) (2x -5x+2)
=(x+1) (2x-1)(x-2)
8、 求根法
令多項式f(x)=0,求出其根為x ,x ,x ,……x ,則多項式可因式分解為f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6
解:令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0
通過綜合除法可知,f(x)=0根為 ,-3,-2,1
則2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
9、 圖象法
令y=f(x),做出函數y=f(x)的圖象,找到函數圖象與X軸的交點x ,x ,x ,……x ,則多項式可因式分解為f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例9、因式分解x +2x -5x-6
解:令y= x +2x -5x-6
作出其圖象,見右圖,與x軸交點為-3,-1,2
則x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
10、 主元法
先選定一個字母為主元,然後把各項按這個字母次數從高到低排列,再進行因式分解。
例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)
分析:此題可選定a為主元,將其按次數從高到低排列
解:a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)
=(b-c) [a -a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
11、 利用特殊值法
將2或10代入x,求出數P,將數P分解質因數,將質因數適當的組合,並將組合後的每一個因數寫成2或10的和與差的形式,將2或10還原成x,即得因式分解式。
例11、分解因式x +9x +23x+15
解:令x=2,則x +9x +23x+15=8+36+46+15=105
將105分解成3個質因數的積,即105=3×5×7
注意到多項式中最高項的系數為1,而3、5、7分別為x+1,x+3,x+5,在x=2時的值
則x +9x +23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)
12、待定系數法
首先判斷出分解因式的形式,然後設出相應整式的字母系數,求出字母系數,從而把多項式因式分解。
例12、分解因式x -x -5x -6x-4
分析:易知這個多項式沒有一次因式,因而只能分解為兩個二次因式。
解:設x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)
= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd
所以 解得
則x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)

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