三角變換的方法和技巧

Ⅰ 三角函數恆等變換公式是什麼

三角恆等變換常用公式有sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ，cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ。用於三角函數等價代換，可以化簡式子，方便運算。基本可以從三角函數圖像中推出誘導公式，也能從誘導公式中延展出其他的公式，其中包括倍角公式，和差化積，萬能公式等。

三角恆等變的換解題技巧

三角恆等變換以三角函數基本關系、誘導公式、兩角和與差的三角函數公式，倍角公式、半形公式等三角公式為基礎。解題思想是根據試題特點，靈活運用三角公式，使用配湊角、切化弦、降次或升冪等技巧，達到解決問題的目的。三角函數公式眾多，方法靈活多變，熟練掌握三角函數變換的技巧和化簡的方法可達到事半功倍的效果。

在三角恆等變換中經常需要轉化角的關系，在解題過程中必須認真觀察和分析結論中是哪個角，條件中有沒有這些角，哪些角發生了變化等等。因此角的拆變技巧，倍角與半形相對性等都十分重要，應用也相當廣泛且非常靈活。

Ⅱ 學三角恆等變換時有什麼技巧

切化弦，異化同。
具體的題不同吧
首先共識你必須熟練
正弦餘弦的公式變形要敏感一些
然後就是統一角或邊的問題

Ⅲ 高中三角函數解題技巧

三角函數變換的方法與技巧 (1)
角的變換
在三角函數的求值、化簡與證明題中，表達式往往出現較多的相異角，此時可根據角與角之間的和差、倍半、互余、互補的關系，運用角的變換，溝通條件與結論中角的差異，使問題獲解。常見角的變換方式有：；；；等等。
例1、已知，求證：。
分析：在條件中的角和 與求證結論中的角是有聯系的，可以考慮配湊角。
解：，，

函數名稱的變換
三角函數變換的目的在於「消除差異，化異為同」。而題目中經常出現不同名的三角函數，這就需要將異名的三角函數化為同名的三角函數。變換的依據是同角三角函數關系式或誘導公式。如把正(余)切、正(余)割化為正、餘弦，或化為正切、餘切、正割、餘割等等。常見的就是切割化弦。
例2 、(2001年上海春季高題)已知 ，試用表示的值。
分析：將已知條件「切化弦」轉化為的等式。
解：由已知；

。
常數的變換
在三角函數的、求值、證明中，有時需要將常數轉化為三角函數，例如常數「1」的變換有：，，等等。
例3、(2004年全國高考題)求函數的最小正周期，最大值和最小值。
分析：由所給的式子可聯想到。
解：

。
所以函數的最小正周期是，最大值為，最小值為。
公式的變形與逆用
在進行三角變換時，我們經常順用公式，但有時也需要逆用公式，以達到化簡的目的。通常順用公式容易，逆用公式困難，因此要有逆用公式的意識。教材中僅給出每一個三角公式的基本形式，如果我們熟悉其它變通形式，常可以開拓解題思路。如由可以變通為與；由可變形為等等。
例4、求的值。
分析：先看角，都是，再看函數名，需要切割化弦，最後在化簡過程中再看變換。
解：原式(切割化弦)

(逆用二倍角公式)
(常數變換)
(逆用差角公式)
(逆用二倍角公式)。
這里我們給出了四種三角函數的變換方法與技巧，在處理三角函數問題的過程中若能注意到這些變換的方法與技巧，將有利於我們對三角函數這一章內容的理解。
三角函數變換的方法與技巧(2)
在上一部分我們介紹了部分三角函數的孌換技巧與方法，下面我們再介紹四種變換的方法與技巧：
引入輔助角
可化為，這里輔助角所在的象限由的符號確定，角的值由確定。
例5、求的最大值與最小值。
分析：求三角函數的最值問題的方法：一是將三角函數化為同名函數，藉助三角函數的有界性求出；二是若不能化為同名，則應考慮引入輔助角。
解：

其中，，
當時，；
當時，。
註：在求三角函數的最值時，經常引入輔助角，然後利用三角函數的有界性求解。
冪的變換
降冪是三角變換時常用的方法，對於次數較高的三角函數式，一般採用降冪處理的方法。常用的降冪公式有：，和
等等。降冪並非絕對，有時也需要升冪，如對於無理式常用升冪化為有理式。
例6、化簡。
分析：從「冪」入手，利用降冪公式。
解：原式

消元法
如果所要證明或要求解的式子中不含已知條件中的某些變數，可以使用消元法消去此變數，然後再求解。
例7、求函數的最值。
解：原函數可變形為：，即
，
解得：，。
變換結構
在三角變換中，常常對條件、結論的結構施行調整，或重新分組，或移項，或變乘為除，或求差等等。在形式上有時須和差與積互化，分解因式，配方等。
例8、化簡。
分析：本題從「形式」上看，應把分析式化為整式、故分子分母必有公因式，只需把分子分母化成積的形式。
解：

所以。
九、思路變化
對於一道題，思路不同，方法出隨之不同。通過分析，比較，才能選出思路最為簡例9、求函數 的最大值。
解：由於，則為點與點()連線的斜率。則斜率最為當連線與半單位圓相切時，如圖所示：
此時， 。
捷的方法。

Ⅳ 關於三角函數恆等變換方面有什麼好的解題方法啊

1.換元:「1」可以用正弦餘弦的平方和代替，乘1除1結果不變。
2。列方程組，有些隱藏條件比如正弦餘弦的平方和為1，這個公式和已知條件列二元一次方程組求解。
3。背熟公式。三角函數引導公式有口訣「奇變偶不變，符號看象限」。倍角公式也要記牢。
4。盡量用弦代替切，因為弦的公式比切多。
5。圖象方面，把正弦函數，餘弦函數，正切函數的性質都記住，記不住就記圖象，考試時在草稿紙上把圖象畫出來，性質就知道了。如果給出的函數很復雜就盡量化簡。
6。圖象變換：左加右減，上加下減。橫向伸n倍則x前乘1/n。縱向伸n倍則該函數整個乘n。
我也就記得這些了，希望能給你點幫助。

Ⅳ 求數學公式——三角恆等變換的記憶方法

1．三角恆等變換的兩個原則 (1)化繁為簡：變復角為單角，變不同角為同角，化非同名函數為同名函數，化高次為低次，化多項式為單項式，化無理式為有理式． (2)消除差異：消除已知與未知、條件與結論、左端與右端以及各項的次數、角、函數名稱、結構等方面的差異． 2．三角函數式的化簡 (1)化簡的要求： ①能求出值的應求出值； ②盡量使三角函數種數最少； ③盡量使項數最少； ④盡量使分母不含三角函數； ⑤盡量使被開方數不含三角函數． (2)化簡的思路： 對於和式，基本思路是降次、消項和逆用公式；對於三角分式，基本思路是分子與分母約分或逆用公式；對於二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，還可以用切割化弦、變數代換、角度歸一等方法． (3)化簡的方法： 弦切互化，異名化同名，異角化同角；降冪或升冪等． 4．三角恆等式的證明 (1)證明三角恆等式的方法： 觀察等式兩邊的差異(角、函數、運算的差異)，從解決某一差異入手(同時消除其他差異)，確定從該等式的哪邊證明(也可兩邊同時化簡)，當從解決差異方面不易入手時，可採用轉換命題法或用分析法等． (2)證明三角條件等式的方法： 首先觀察條件與結論的差異，從解決這一差異入手，確定從結論開始，通過變換，將已知表達式代入得出結論，或通過變換條件得出結論，如果這兩種方法都證不出來，可採用分析法；如果已知條件含參數，可採用消去參數法；如果已知條件是連比的式子，可採用換元法等． 答案：B 2．若f(sinx)＝3－cos2x，則f(cosx)＝() A．3－cos2x B．3－sin2x C．3＋cos2x D．3＋sin2x 解析：∵f(sinx)＝3－(1－2sin2x)＝2＋2sin2x. ∴f(x)＝2＋2x2，∴f(cosx)＝2＋2cos2x＝3＋cos2x. 答案：C 答案：A 答案：A 答案：B 解後反思：要先化簡再求值，將所給關系式盡可能化成最簡式或化成含有已知式子的形式，運用整體代入的方法求值． 解後反思：證明三角恆等式的實質是消除等式兩邊的差異，有目的地化繁為簡、左右歸一或變更論證．對恆等式的證明，應遵循化繁為簡的原則，從左邊推到右邊或從右邊推到左邊，也可以用左右歸一，變更論證等方法．常用定義法、化弦法、化切法、拆項拆角法、「1」的代換法、公式變形法，要熟練掌握基本公式，善於從中選擇巧妙簡捷的方法． 方法技巧 1．三角函數式的化簡要注意角的變換、三角函數名稱的變換、三角式冪次的變換、三角式結構的變換四個方面為解題切入點進行整體分析． 2．三角式的求值與三角恆等式的證明要注意待求角和已知角之間的關系，實現待求角向已知角的轉化往往是解題的關鍵所在． 失誤防範 1．實施簡單的三角恆等變換首先要准確記憶相關的三角公式．由於本章三角公式多，記錯、記混三角公式是屢見不鮮的． 2．凡是涉及到「開平方」的問題，必須注意符號的選取，而符號的選取最終取決於角的范圍．如果不能確定，則要進行分類討論，防止丟解． * 3．進行三角化簡的幾種解題思路
(1)角的變換：觀察各角之間的和、差、倍、半關系，減少角的種類，化異角為同角．
(2)函數名稱的變換：觀察、比較題設與結論之間，等號左右兩邊的函數名稱的差異，化異名為同名．
(3)常數的變換：常用方式：1＝sin2α＋cos2α＝tan，＝sin等．
(4)次數的變化：常用方式是升次或降次；主要公式是二倍角的餘弦公式及其逆向使用．
(5)結構變化：對條件、結論的結構進行調整，或重新分組，或移項，或變除為乘，或求差等．
考點精練
1.·＝()
A．tanαB．tan2αC．1D.
解析：y＝sin2x＋－
＝sin2x＋cos2x＝sin.
所以T＝π.
解析：原式＝2tanα·＝＝tan2α.
解析：∵β∈，且sinβ＝＜，∴0＜β＜.
cosβ＝＝ ＝，
∴tanβ＝，∴tan2β＝.
∴tan(α＋2β)＝＝＝1.
(1)當0＜α＜時，∵0＜β＜，∴0＜2β＜.
∴0＜α＋2β＜，∴α＋2β＝.
(2)∵tanα＝＞0，且α∈(－π，0)，
∴－π＜α＜－.又0＜β＜，∴0＜2β＜.
∴－π＜α＋2β＜－，故α＋2β＝－.
3．化簡：＋＝()
A. B．cosθ C. D．sin2θ
解析：原式＝
＋＝
＋＝＝.
證明：∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sinα
＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sinα
＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα－2cos(α＋β)sinα
＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα
＝sin[(α＋β)－α]＝sinβ.
兩邊同除以sinα，得－2cos(α＋β)＝.
4．函數y＝sin2x＋cos2x－的最小正周期等於()
A．π B．2π C. D.
5．已知sin2α＝－，α∈，則sinα＋cosα等於()
A．± B. C．± D.
解析：(sinα＋cosα)2＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝1＋sin2α＝，而α∈，sinα＋cosα＝sin＞0，
所以sinα＋cosα＝.
題型一三角函數式的化簡例1 (1)已知f(α)＝2tanα－，求f；
(2)已知tan2θ＝－2，π＜2θ＜2π，求的值．
解析：(1)f(α)＝2tanα－＝＋＝，
∴f()＝＝8.
(2)原式＝＝.
又tan2θ＝＝－2，解得tanθ＝－，或tanθ＝.
∵π＜2θ＜2π，∴＜θ＜π，∴tanθ＝－.
故原式＝＝3＋2.
題型二三角函數式的求值例2 已知sinβ＝，tanα＝，求滿足下列條件的α＋2β的值．
(1)α∈，β∈；
(2)α∈(－π，0)，β∈.
解後反思：①本例說明了確定角的范圍的重要性，雖然tan(α＋2β)＝1，但角的范圍不同，故所求角不同．②選擇求函數值的方法(設所求角為x)：a.當x∈(0，π)時，應求cosx或tanx的值；b.當x∈(，π)時，應求tanx或sinx的值；c.當x∈(π，2π)時，應求tanx或cosx的值；d.當x∈(－，)時，應求tanx或sinx的值．
題型三三角恆等式的證明例3 求證：－2cos(α＋β)＝.
隨堂反饋
1．已知函數f(θ)＝－＋(0＜θ＜π)．
(1)將f(θ)表示成關於cosθ的多項式；
(2)若a∈R，試求使曲線y＝acosθ＋a與曲線y＝f(θ)至少有一個交點時a的取值范圍．
解析：(1)f(θ)＝－＋
＝－＋
＝－＋
＝－＋
(2)由2cos2θ＋cosθ－1＝acosθ＋a，
得(cosθ＋1)(2cosθ－1)＝a(cosθ＋1)．
∴cosθ＝，∴－1＜＜1，即－3＜a＜1.
解析：由3sin2α＋2sin2β＝1，得1－2sin2β＝3sin2α，
即cos2β＝3sin2α.
又由3sin2α－2sin2β＝0，得sin2β＝sin2α.
∴cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β
＝cosα·3sin2α－sinα·sin2α
＝3sin2α·cosα－3cosα·sin2α＝0.
又∵0°＜α＜90°，0°＜β＜90°，∴0°＜α＋2β＜270°.
故α＋2β＝90°.
3．求證：＝sin2α.
證明：方法一：
左邊＝＝
＝＝
＝sincoscosα＝sinαcosα
＝sin2α＝右邊．
∴原式成立．
方法二：左邊＝＝
＝sinαcosα＝sin2α＝右邊．
∴原式成立．
方法三：左邊＝＝cos2α·
＝cos2α·tanα＝cosαsinα
＝sin2α＝右邊．
∴原式成立．

Ⅵ 三角函數函數名稱變換方法

名稱轉化,其實非常簡單
首先要知道任意角的三角函數在各個象限的正負.
記憶：一全正,二正弦,三正切,四餘弦
接下來就是技巧了,先把直角坐標畫出來,然後先把要加或者減的角度在直角坐標里標出來,再加或者減那個銳角,觀察在哪個象限,按照三角函數的正負號判斷是正值或者負值.只有加或者減的那個角度是90°的奇數倍,才需要改變名稱.
比如：sin(180°-a)
先在直角坐標軸中標出180°,也就是x軸的負半軸,然後減去一個銳角a,就是在第二象限,第二象限中正弦為正值,180°是90°的偶數倍,所以名稱不用改變.故sin(180°-a)=sina
再比如cos(630°+a）
450°=360°+270°=270°,在直角坐標中標出270°,也就是y軸負半軸,然後加上一個銳角a,就是第四象限,第四象限中餘弦為正值,270°是90°的奇數倍,所以名稱改變.故cos（630°+a)=sina
簡單吧,總結成十字口訣,就是「奇變偶不變,符號看象限」,如果能理解這短短十字,能將以上方法熟練應用,名稱轉化問題將永遠不再困擾你!

Ⅶ 三角恆等變換中常用到哪些技巧和方法不是間單的公式哦！

三角恆等變換中常把異角化為同角、異名化為同名、異次化為同次。明確了方向，就可以少走彎路。
運用三角公式，不僅要從左到右，從右到左，而且要靈活地運用它的變形。
課改後數學的學時有所減少，不必追求技巧。

Ⅷ 三角變換公式

sin(-α)= -sinα；

cos(-α) = cosα；

sin(π/2-α)= cosα；

cos(π/2-α) =sinα；

sin(π/2+α) = cosα；

cos(π/2+α)= -sinα；

sin(π-α) =sinα；

cos(π-α) = -cosα；

sin(π+α)= -sinα；

cos(π+α) =-cosα；

tanA= sinA/cosA；

tan（π/2＋α）＝－cotα；

tan（π/2－α）＝cotα；

tan（π－α）＝－tanα；

tan（π＋α）＝tanα

(8)三角變換的方法和技巧擴展閱讀：

誘導公式口訣「奇變偶不變，符號看象限」意義：

k×π/2±a(k∈z)的三角函數值。

(1)當k為偶數時，等於α的同名三角函數值，前面加上一個把α看作銳角時原三角函數值的符號；

(2)當k為奇數時，等於α的異名三角函數值，前面加上一個把α看作銳角時原三角函數值的符號。

記憶方法一：奇變偶不變，符號看象限：

記憶方法二：無論α是多大的角，都將α看成銳角。

以誘導公式二為例：

若將α看成銳角（終邊在第一象限），則π+α是第三象限的角（終邊在第三象限），正弦函數的函數值在第三象限是負值，餘弦函數的函數值在第三象限是負值，正切函數的函數值在第三象限是正值．這樣，就得到了誘導公式二。

以誘導公式四為例：

若將α看成銳角（終邊在第一象限），則π-α是第二象限的角（終邊在第二象限），正弦函數的三角函數值在第二象限是正值，餘弦函數的三角函數值在第二象限是負值，正切函數的三角函數值在第二象限是負值．這樣，就得到了誘導公式四．

誘導公式的應用：

運用誘導公式轉化三角函數的一般步驟：

特別提醒：三角函數化簡與求值時需要的知識儲備：①熟記特殊角的三角函數值；②注意誘導公式的靈活運用；③三角函數化簡的要求是項數要最少，次數要最低，函數名最少，分母能最簡，易求值最好。

Ⅸ 求三角函數圖像變換的規律， 謝謝

y=f(x)，其中加左或下移，比方函數過（1，3）點，函數變為y=f(x+2),那麼必過（-1，3），同理乘幾就縮幾倍。

這個角的直角三角形的兩個邊的比率，也可以等價的定義為單位圓上的各種線段的長度。更現代的定義把它們表達為無窮級數或特定微分方程的解，允許它們擴展到任意正數和負數值，甚至是復數值。

比如 60°弧（1/6圓周長）所對的弦長，正好是內接正六邊形的邊長，它與半徑相等，因此得出60°弧對應的弦值是60個半徑單位（半徑長的1/60為一個單位）；用同樣的方法，可以算出120°弧、90°弧以及72°弧所對應的弦值。

(9)三角變換的方法和技巧擴展閱讀：

六邊形的六個角分別代表六種三角函數，存在如下關系：

1、對角相乘乘積為1，即sinθ·cscθ=1； cosθ·secθ=1； tanθ·cotθ=1。

2、六邊形任意相鄰的三個頂點代表的三角函數，處於中間位置的函數值等於與它相鄰兩個函數值的乘積，如：sinθ=cosθ·tanθ；tanθ=sinθ·secθ...

設一個過原點的線，同x軸正半部分得到一個角θ，並與單位圓相交。這個交點的x和y坐標分別等於cosθ和sinθ。

圖像中的三角形確保了這個公式；半徑等於斜邊且長度為1，所以有sinθ=y/1和cosθ=x/1。單位圓可以被視為是通過改變鄰邊和對邊的長度，但保持斜邊等於 1的一種查看無限個三角形的方式。

對於大於2π或小於等於2π的角度，可直接繼續繞單位圓旋轉。在這種方式下，正弦和餘弦變成了周期為2π的周期函數：對於任何角度θ和任何整數k。

Ⅹ 三角恆等變換公式

二倍角公式：

sin(2α)=2sinα·cosα

cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

三倍角公式：

sin3α=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=4cos^3(α)-3cosα

半形公式：

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

萬能公式：

半形的正弦、餘弦和正切公式（降冪擴角公式）

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

積化和差公式：

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

和差化積公式：

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

(10)三角變換的方法和技巧擴展閱讀

解題技巧：

(1)准確記憶相關公式：如兩角和的正弦公式，等號右邊是正余余正，中間+號連接；兩角和的餘弦公式，等號左邊是余余正正，特別要注意的是中間—連接，千萬不能搞混淆了；

(2)如果遇到題目給出的角度較大時，先用誘導公式將角度變換在0～90度的范圍內再進行計算；

(3)注意尋找角之間的關系。