求解模型最常用的方法

Ⅰ 常用数学建模方法_数学建模方法的流程图

数学建模常用方法以及常见题型

核心提示：

数学建模方法一、机理分析法从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模型 1. 比例分析法--建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。 2. 代数方法--求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法。3. 逻辑方法--是数学理论研的重要方法，对社会学和经济学等领域的实际问题，在决策，对策等学科中得到广泛应用。4. 常微分方程--解决两个变量之间的变化规律，关键是建立" 瞬时变化率" 的表达式。 5. 偏微分方程--解决因变量与两个以上自

数学建模方法

一、机理分析法从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模型

1. 比例分析法--建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。

2. 代数方法--求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法。3. 逻辑方法--是数学理论研的重要方法，对社会学和经济学等领域的实际问题，在决策，对策等学科中得到广泛应用。

4. 常微分方程--解决两个变量之间的变化规律，关键是建立" 瞬时变化率" 的表达式。

5. 偏微分方程--解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律。

二、数据分析法从大量的观测数据利用统计方法建立数学模型

1. 回归分析法--用于对函数f （x ）的一组观测值（xi,fi ）I=1,2,…,n，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。

2. 时序分首亏老析法--处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。

3. 回归分析法--用于对函数f （x ）的一组观测值（xi,fi ）I=1,2,…,n，确定函数的表达式，于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。

4. 时序分析法--处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。

三、仿真和其他方法

1. 计算机仿真（模拟）--实质上是统计估计方法，空弊等效于抽样试验。 ①离散系统仿真--有一组状态变量。

②连续系统仿真--有解析达式或系统结构图。

2. 因子试验法--在系统上作局部者升试验，再根据试验结果进行不断分析修改，求得所需的模型结构。

3. 人工现实法--基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标，并考虑到系统有关因素的可能变化，人为地组成一个系统。

数学建模题型

赛题题型结构形式有三个基本组成部分：

一、实际问题背景

1. 涉及面宽--有社会，经济，管理，生活，环境，自然现象，工程技术，现代科学中出现的新问题等。

2. 一般都有一个比较确切的现实问题。

二、若干假设条件有如下几种情况：

1. 只有过程、规则等定性假设，无具定量数据；

2. 给出若干实测或统计数据；

3. 给出若干参数或图形；

4. 蕴涵着某些机动、可发挥的补充假设条件，或参赛者可以根据自己收集或模拟产生数据。

三、要求回答的问题往往有几个问题（一般不是唯一答案）:

1. 比较确定性的答案（基本答案）；

2. 更细致或更高层次的讨论结果（往往是讨论最优方案的提法和结果）。

Ⅱ 建模的五种基本方法

量纲分析法

量纲分析是20世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上，利用物理定律的量纲齐次性，确定各物理量之间的关系。它是一种数学分析方法，通过量纲分析，可以正确地分析各变量之间的关系，简化实验和便于成果整理。

在国际单位制中，有七个基本量：质量、长度、时间、电流、温度、光强度和物质的量，它们的量纲分别为M、L、T、I、H、J和N，称为基本量纲。

量纲分析法常常用于定性地研究某些关系和性质，利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系，在数学建模过程中常常进行无量纲化，无量纲化是根据量纲分析思想，恰当地选择特征尺度将有量纲量化为无量纲量，从而达到减少参数、简化模型的效果。

差分法

差分法的数学思想是通过taylor级数展开等方法把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的方程组，将微分问题转化为代数问题，是建立离散动态系统数学模型的有效方法。

构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有以下几种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。

差分法的解题步骤为：建立微分方程；构造差分格式；求解差分方程；精度分析和检验。

变分法

变分法是处理函数的函数的数学领域，即泛函问题，和处理数的函数的普通微积分相对。这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造，最终寻求的是极值函数。现实中很多现象可以表达为泛函极小问题，即变分问题。变分问题的求解方法通常有两种：古典变分法和最优控制论。受基础知识的制约，数学建模竞赛大专组的建模方法使用变分法较少。

图论法

数学建模中的图论方法是一种独特的方法，图论建模是指对一些抽象事物进行抽象、化简，并用图来描述事物特征及内在联系的过程。图论是研究由线连成的点集的理论。一个图中的结点表示对象，两点之间的连线表示两对象之间具有某种特定关系(先后关系、胜负关系、传递关系和连接关系等)。事实上，任何一个包含了某种二元关系的系统都可以用图形来模拟。因此，图论是研究自然科学、工程技术、经济问题、管理及其他社会问题的一个重要现代数学工具，更是成为了数学建模的一个必备工具。

Ⅲ 数学模型的解算方法

常用的解算方法有两种。

1.解析法

就是用数学物理方法（分离变量法、拉普拉斯变换、傅立叶变换、汉格尔变换等）求解数学模型，得到某些变量变化规律的解析表达式，即解析解或分析解。由于这种解法求解，所必需的假设条件受到许多限制（如含水层为均质、边界呈规则几何形）使得数学模型求解困难，限制了这种方法的应用。

2.数值解法

主要是有限差分法及有限单元法。其基本步骤是：

1）将渗流区域按条件剖分为许多单元（单元内为均质的，边界是规则的），按要求在单元上定义一个结点（点元），将渗流区域内连续的水头分布离散化为在全部结点上有多个数所组成的数组。

2）在离散化的基础上，将偏微分方程联同边界条件转化为线性代数方程组。

3）解线性代数方程组求出水头分布。若是非稳定流，还应根据初始的水头分布多次解方程组，以求得各时刻的水头分布。

在把微分方程转换为线性代数方程组时，有限差分法是用差商代替导数；而有限单元法则是用线性的或高次插值函数来实现离散化，再用变分或其他数学方法将偏微分方程转化为线性代数方程组。随着电子计算机的发展，数值解法越来越成为求解地下水运动数学模型的重要方法。

小结

本章要求重点理解掌握以下基本概念和原理：渗透与渗流，渗透系数及渗透率，储水系数和储水率，稳定流与非稳定流，有压流和无压流，一维流、二维流、三维流，以及达西定律和渗流折射定律的表达式。

复习思考题

1.研究渗流常用什么方法，为什么？

2.在地下水动力学中，为什么可以用测压水头代替总水头？

3.水力坡度表示的方式有哪些？不同方式的使用条件是什么？

4.达西定律为什么不能叫层流定律？

5.渗透系数与渗透率有什么不同？在什么条件下可以相互替代？

6.什么是含水介质的均质与非均质、各向同性与各向异性？

Ⅳ 怎么利用有限差分法对模型进行求解

在工程和科学领域，差分法是求解物理模型的一种重要方法。它基于将连续的空间或时间变量离散化为有限个点的思想。差分法通过使用差分代替微分，将复杂的微分方程转换为一系列线性方程组，从而实现对物理模型的求解。这种离散化的方法使得即使模型本身不具备规则网格，也能进行有效的数值分析。例如，对于非均匀介质中的物理过程，利用差分法可以灵活地进行网格划分，无需严格规则，这为复杂结构的建模提供了便利。

相比之下，有限元法则是在差分法基础上发展起来的一种更为通用的方法。有限元法的核心在于将复杂结构分解为一系列简单的小单元，每个单元内部的物理量可以用简单的函数表示。通过这种分割和近似，可以构建出一个整体的近似解。有限元法的灵活性在于单元的形状和大小可以根据实际需求进行调整，因此在处理复杂几何形状时具有明显优势。

对于地质学等实际工程领域而言，差分法和有限元法的应用主要在于分析和预测地质结构、应力分布等关键问题。虽然了解基本原理对于理解和解释分析结果至关重要，但在实际操作中，重点应放在如何正确应用这些方法以及如何解读计算结果上。地质学中的许多问题，如地下水流动、岩石力学特性等，都可以通过差分法和有限元法得到有效解决。因此，掌握这些方法的实用技巧，对于从事实际地质工作的人员来说尤为重要。

尽管本人对这些方法了解不多，但如果有关于如何利用有限差分法进行模型求解的具体问题，欢迎提出。希望我能提供一些帮助或解答疑惑。

Ⅳ 单纯形法如何求解线性规划模型

单纯形法求解线性规划模型可按以下步骤进行：

1. 化标准形：把目标函数化为最大化形式，若为最小化则转化为最大化其相反数；将约束条件转为等式，通过引入松弛变量、过剩变量或人工变量处理不等式；保证决策变量及新增变量非负，且右端常数项非负。
2. 确定初始基可行解：选择约束方程组系数矩阵中的单位矩阵作为初始可行基，通常由松弛变量构成；令非基变量为0，求解基变量值，得到初始基本可行解。
3. 构建初始单纯形表：以松弛变量为初始基变量，列出系数矩阵、目标函数系数及常数项，计算检验数，检验数即非基变量对目标函数的贡献。
4. 最优性检验：计算非基变量的检验数。若所有检验数≤0，当前解为最优解；若存在正检验数且对应列无正分量，问题无界；否则进入迭代。
5. 换基迭代：

   进基变量：选择检验数最大的非基变量，此为目标函数改进最快的方向。

   出基变量：按最小比值规则，即常数项与进基变量列正分量的比值最小者对应的基变量出基。

   更新单纯形表：通过初等行变换将主元（进基列与出基行交点）化为1，同列其他元素化为0，得到新基可行解。

6. 重复迭代：返回最优性检验步骤，直至满足最优性条件或判定无界。

特殊情况处理：若约束无初始可行基（如≥或=型），需用两阶段法，第一阶段最小化人工变量和以消除人工变量，第二阶段求解原问题；当检验数≤0但常数项有负分量时，可使用对偶单纯形法，保持对偶可行，迭代至原问题可行。此外，还可借助MATLAB、Python（Scipy库）、Excel求解器等工具自动完成迭代计算。