奇异值分解简便方法

A. 矩阵奇异值分解手工算法

当然是可以的。
如果A=USV'是精简的奇异值分解，也就是说S是r阶非奇异的方对角阵，这里r是A的秩，U和V分别是两个正交阵(或酉阵)的r列。
那么先计算出A'A的谱分解A'A=Q*D*Q'，要求D中特征值是降序排列的，取S^2是D的最大非奇异主子阵(r阶)，V是Q中相应的前r列，然后就有U=AVS^{-1}。
如果要完整的SVD分解，那么先得到精简分解之后再把U和V分别张成满的正交阵即可，这个可以通过镜像变换或者Gram-Schmidt正交化来做。

B. 奇异值分解

由小波包理论可知，小波包分解层数并非越多越能详细的分离出图像的噪声，随着分解层数的增多，运算量增大，原有信息丢失严重，因此，选择最佳的分解层数对于高光谱数据的去噪与分类有着重要的作用。

奇异值分解（Singular Values Decomposition，SVD）的过程是：设小波分解获得的细节系数（即高频系数）构成一个矩阵序列 ｛a_ij，i＝1，2，…，m；j＝1，2，…，n｝_1～N（蔡铁等，2006），即：

图4.4 高光谱影像的小波包最佳分解层数获取算法及降噪研究思路

图4.5 AVIRIS原始高光谱影像

高光谱遥感影像信息提取技术

对矩阵A进行奇异值分解：

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则

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式中：U，V分别为m阶酉矩阵和n阶酉矩阵；H为Hermite矩阵；Δ＝diag（λ₁，λ₂，…，λ_r），奇异值矩阵△中，λ₁≥λ₂≥…≥λ_r＞0，它表示了序列m×n的能量方向；r为矩阵维数。

C. 奇异值分解法^[1，9]

设有任意M×N矩阵G，均可分解为G=UWV^T。其中U为M×r矩阵;V为N×r矩阵;W为r×r对角矩阵，除对角线外其他元素全为零^[1]，即

地球物理反演教程

式(4.4)中:r为矩阵G的秩;δ₁≥δ₂≥…≥δ_r为矩阵的奇异值，是G^TG或GG^T的r个非零特征值之正根。

U是GG^T的M×r特征向量矩阵，V是G^TG的N×r特征向量矩阵。它们是半正交矩阵^[1]:

U^TU=I_r，V^TV=I_r，UU^T≠I_r，VV^T≠I_r(4.5)

其中:I_r为r阶单位矩阵。

当奇异值较大时，G为非奇异矩阵，有广义逆矩阵:

G^-g=VW^-1U^T (4.6)

其中:

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D. 矩阵分解的奇异值分解法

奇异值分解 (singular value decomposition,SVD) 是另一种正交矩阵分解法；SVD是最可靠的分解法，但是它比QR 分解法要花上近十倍的计算时间。[U,S,V]=svd(A)，其中U和V分别代表两个正交矩阵，而S代表一对角矩阵。 和QR分解法相同， 原矩阵A不必为正方矩阵。使用SVD分解法的用途是解最小平方误差法和数据压缩。
MATLAB以svd函数来执行svd分解法， 其语法为[S,V,D]=svd(A)。

E. 将矩阵化简为行最简形矩阵有什么技巧，或者一般有什么特定的步骤么

对调两行；以非零数k乘以某一行的所有元素；把某一行所有元素的k倍加到另一行对应元素上去。

下列三种变换称为矩阵的行初等变换：

（1）对调两行；

（2）以非零数k乘以某一行的所有元素；

（3）把某一行所有元素的k倍加到另一行对应元素上去。

行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的。

将定义中的“行”换成“列”，即得到矩阵的初等列变换的定义。矩阵的初等行变换与矩阵的初等列变换，统称为矩阵的初等变换。

(5)奇异值分解简便方法扩展阅读：

将矩阵化简为行最简形矩阵的定理：

1、任一矩阵可经过有限次初等行变换化成阶梯形矩阵；

2、任一矩阵可经过有限次初等行变换化成行最简形矩阵；

矩阵在经过初等行变换化为最简形矩阵后，再经过初等列变换，还可以化为最简形矩阵，因此，任一矩阵可经过有限次初等变换化成标准形矩阵。

F. 什么是奇异值分解

矩阵的迹
trace 方阵对角元素之和

Singular value decompostion
奇异值分解非常有用，对于矩阵A(p*q)，存在U(p*p)，V(q*q)，B(p*q)（由对角阵与增广行或列组成），满足A = U*B*V
U和V中分别是A的奇异向量，而B中是A的奇异值。AA'的特征向量组成U，特征值组成B'B，A'A的特征向量组成V，特征值（与AA'相同）组成BB'。因此，奇异值分解和特征值问题紧密联系。
如果A是复矩阵，B中的奇异值仍然是实数。
SVD提供了一些关于A的信息，例如非零奇异值的数目（B的阶数）和A的阶数相同，一旦阶数确定，那么U的前k列构成了A的列向量空间的正交基。
在数值分析中，由于数值计算误差，测量误差，噪声以及病态矩阵，零奇异值通常显示为很小的数目。
将一个矩阵分解为比较简单或者性质比较熟悉的矩阵之组合，方便讨论和计算。由于矩阵的特征值和特征向量在化矩阵为对角形的问题中占有特殊位置， 因此矩阵的特征值分解。。。尽管矩阵的特征值具有非常好的性质，但是并不是总能正确地表示矩阵的“大小”。矩阵的奇异值和按奇异值分解是矩阵理论和应用中十分重要的内容，已成为多变量反馈控制系统最重要最基本的分析工具之一，奇异值实际上是复数标量绝对值概念的推广， 表示了反馈控制系统的输出/输入增益，能反映控制系统的特性。《鲁棒控制。。倾斜转弯导弹》
昨天看了一个网页，，知道了奇异值分解就是把矩阵A分解成hanger，stretcher，aligner的三重积。从几何意义上讲矩阵A乘以几何图形（用数值序列x，y代表），相当于对几何图形先扭转，再拉伸，再扭转。从这里也知道，“正交”的概念特别有用。一对最简单的正交基（orthogonal basis,perpframe）是p1 = [cos(s) sin(s)]，p2 = [-sin(s) cos(s)]，它可以用于几何变换。

G. 奇异值分解的方法

假设M是一个m×n阶矩阵，其中的元素全部属于域
K，也就是
实数域或复数域。如此则存在一个分解使得
M
=
UΣV*，
其中U是m×m阶酉矩阵；Σ是半正定m×n阶对角矩阵；而V*，即V的共轭转置，是n×n阶酉矩阵。这样的分解就称作M的奇异值分解。Σ对角线上的元素Σi,i即为M的奇异值。
常见的做法是为了奇异值由大而小排列。如此Σ便能由M唯一确定了。(虽然U和V仍然不能确定。)
奇异值分解在某些方面与对称矩阵或Hermite矩阵基于特征向量的对角化类似。然而这两种矩阵分解尽管有其相关性，但还是有明显的不同。对称阵特征向量分解的基础是谱分析，而奇异值分解则是谱分析理论在任意矩阵上的推广。

H. 奇异值分解是什么原理

这是矩阵论里面的一种矩阵分解方法，先找矩阵的奇异值，然后按照步骤做就可以将一个矩阵分解三个矩阵的相乘。奇异值分解：是线性代数中一种重要的矩阵分解，为矩阵分析中正规矩阵酉对角化的推广，主要应用在信号处理、统计学等领域。奇异值分解在某些方面与对称矩阵，基于特征向量的对角化类似。然而这两种矩阵分解尽管有其相关性，但还是有明显的不同。对称阵特征向量分解的基础是谱分析，而奇异值分解则是谱分析理论在任意矩阵上的推广。