解决极限问题的方法

❶ 高数中极限的问题.求大家帮忙解决谢谢啦

你一开始的做法是错误的！因为现在x的趋向是x→π，而非x→0 ！你使用重要极限的时候光考虑函数的形式了，忽视了自变量的变化！

方法一：洛必达法则
lim(x→π) tan(5x)/sin(3x)
＝lim(x→π) [5×(sec5x)^2] / [3×cos(3x)]
＝5/(-3)
＝－5/3

方法二：重要极限

lim(x→π) tan(5x)/sin(5x)
＝lim(x→π) sin(5x)/sin(3x)×1/cos(5x) 先把后面一部分非零的极限计算出来
＝－lim(x→π) sin(5x)/sin(3x)
＝－lim(x→π) sin(5π－5x)/sin(3π－3x) 令t＝π－x
＝－5/3×lim(t→0) [sin(5t)/(5t)×(3t)/sin(3t)]
＝－5/3

❷ 简单的极限问题

解决一维函数极限问题
第一步：先看这题能不能直接带入求出答案，比如是不是无穷大分之常数啊，无穷小分之无穷大啊，有限个无穷小相乘或相加啊，无穷小乘上有界变量这些不是“未定型的”
第二步：不能直接带入解出的，要注意有没有等价无穷小，或重要极限I和重要极限II的变形
第三步：第二步也做不到的话，看看能不能用洛必达法则。或者能不能用夹逼准则（一般很少）
p.s有变上限函数，肯定要求导

❸ 在解决极限问题时，分母为零时怎么办例：lim(x-1)[1/(1-x)]

看分子情况分子无穷大，有界或与分母相比为低阶无穷小，

比如limx→0（1/x）=无穷大，limx→0（x/x^2）=无穷大分子和分母为同阶无穷小，则比值为常数，比如limx→0（x/sinx）=1如果分子为分母的高阶无穷小，比值为0，比如limx→0（x^2/x）=1

例如：

设A = (1+x)^(1/x^2) / e^(1/x)

则 lim ln A =lim ln(1+x)/x^2 - 1/x

= lim [ ln(1+x) -x ] /x^2

= -1/2 (洛比达法则)

所以lim A = e^(-1/2)

(3)解决极限问题的方法扩展阅读：

与常数a的接近程度。ε越小，表示接近得越近；而正数ε可以任意地变小，说明xn与常数a可以接近到任何不断地靠近的程度。但是，尽管ε有其任意性，但一经给出，就被暂时地确定下来，以便靠它用函数规律来求出N；

又因为ε是任意小的正数，所以ε/2 、3ε 、ε2等也都在任意小的正数范围，因此可用它们的数值近似代替ε。同时，正由于ε是任意小的正数，我们可以限定ε小于一个某一个确定的正数。

❹ 如何解决极限问题

把它转换成e的重要形式就可以了，具体做法可以看图。

❺ 数学分析中求极限的几种重要方法

极限是数学分析的重要内容，是高等数学的理论基础和研究工具，学习极限相关理论对学习数学分析和掌握高等数学众多理论有着极其关键的作用。由于极限的计算题目类型多变，而极限的求取方法也种类繁多，因此，针对不同问题找到正确且最简洁的方法意义重大。

1、利用定义求极限

极限的概念可细分为函数的极限和数列的极限。

2、利用法则求极限

2.1 四则运算法则法

2.2 两个准则法

本文简单介绍两个准则，分别为夹逼准则和单调有界准则，常用于数列极限的求解。

(2)单调有界准则：单调有界数列必有极限，且极限唯一。

利用单调有界准则求极限过程中，首先需要证明数列的单调性和有界性，然后要证明数列极限的存在，最后根据数列的通项递推公式以及极限的唯一性来求极限。

2.3 洛比达法则法

3、利用公式求极限

3.1 两个重要极限公式法

(1)极限及其变换，常用于包含三角函数的“”型未定式。

利用这两个重要极限公式来求极限时要仔细观察函数形式是否符合。

3.2 泰勒公式法

泰勒公式法是指在求极限时，利用泰勒公式将函数进行展开后再通过一般求极限的方法进行计算的'方法。

泰勒公式法对一些比较复杂的求极限过程可以起到简化作用。

4、利用性质求极限

4.1 无穷小量性质法

利用下列几点无穷小量的性质可解决相关的极限问题。

性质1：有限无穷小量的代数和为无穷小。

性质2：无穷小量与有界函数的乘积为无穷小。

性质3：有限无穷小量的乘积为无穷小。

4.2 函数连续性法

函数的连续性：

5、其他方法

5.1 中值定理法

中值定理法包括利用微分或积分中值定理求极限，通过微分或积分中值定理将函数进行变换，再求极限。

5.2 定积分法

则可知定积分可化为和式极限的形式，同样，在求和式极限时，可转为定积分的形式来求解。具体步骤：

(1)首先选择恰当的可积函数f(x)。

(2)然后将所求和式极限表示成为f(x)在某区间[a，b]上的等分的积分和式的极限。

(3)最后利用求f(x)在区间[a，b]上的定积分就可得到和式的极限。

❻ 求极限的具体方法

洛必达法则加无穷小替换，应该能解决大部分极限问题，数列极限注意用夹逼准则和不等式放大缩小，再不行的话试试泰勒公式，就这些东西

❼ 极限概念的七大形式

极限概念的七大形式：

第一种：四则运算，此方法大家最为熟悉，但比较容易出错，需要注意使用四则运算的前提是进行运算的函数极限必须都是存在的。

第二种：等价无穷小替换，这一方法比较受欢迎，而且很多极限计算的问题只需经过等价无穷小代换就能得出结果，不需再使用其他方法，需要注意的是等价无穷小代换前提必须首先是无穷小才可代换，另外只能在乘积因子内代换(有些是可以在加减因子中代换的，但是在没有十足把握的情况下应避免使用在加减因子中代换)。

第三种：洛必达法则，适用于及 型未定式，在使用的过程中需要注意一下几点：洛必达法则必须结合等价无穷小使用；使用一次整理一次；其他类型未定式需要转化成 及 型才可以使用洛必达法则等。

第四种：泰勒展式，这是解决极限问题的利器，在基础阶段不必要求掌握如何使用，只需了解泰勒展式的内容即可，具体使用原则会在强化阶段给出。

第五种：夹逼定理，主要用于解决含有不等式关系的极限问题，特别应用于 个分式之和的数列极限问题，通过放缩分母来达到出现不等关系的目的。

第六种：定积分的定义，与夹逼定理相区别，夹逼定理解决的问题放缩分母后分子可用一个式子去表示，而定积分的定义可解决夹逼定理不能解决的问题，通过主要的三步：1、提取，2、凑出，3、极限符号及连加符号改写为，改写为，改写为计算定积分即可解决个分式之和的数列极限问题。

第七种：适用于数列极限的单调有界性定理，难点在于如何确定证明方向，一般单调有界性定理适用于由递推公式给出的数列极限问题，因此可采取数学归纳法证明有界性，做差的办法证明单调性。

❽ 极限问题解题

假设分子上有两个项，使用等价代换时，必须同时代换。
解决极限的方法如下：
1、等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）。
2、洛必达法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）。首先他的使用有严格的使用前提！必须是X趋近而不是N趋近！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！（假如告诉你g（x）,没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死！！）必须是0比0无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用；0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成第一种的形式了；0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0）。
3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意！）E的x展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。
4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法,取大头原则最大项除分子分母！！！看上去复杂,处理很简单！
5、无穷小于有界函数的处理办法,面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了！
6、夹逼定理（主要对付的是数列极限！）这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。
7、等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）。
8、各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数。
9、求左右极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下,xn的极限与xn+1的极限时一样的，因为极限去掉有限项目极限值不变化。
10、两个重要极限的应用。这两个很重要！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大，无穷小都有对有对应的形式（第2个实际上是用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1的时候要特别注意可能是用地两个重要极限）
11、还有个方法，非常方便的方法,就是当趋近于无穷大时候,不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！x的x次方快于x！快于指数函数，快于幂数函数，快于对数函数（画图也能看出速率的快慢）!!当x趋近无穷的时候，他们的比值的极限一眼就能看出来了。
12、换元法是一种技巧,不会对单一道题目而言就只需要换元，而是换元会夹杂其中。
13、假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的。
14、还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法，走投无路的时候可以考虑转化为定积分。一般是从0到1的形式。
15、单调有界的性质，对付递推数列时候使用证明单调性！
16、直接使用求导数的定义来求极限，（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减某个值）加减f（x）的形式,看见了要特别注意）（当题目中告诉你F(0)=0时候f（0）导数=0的时候，就是暗示你一定要用导数定义！

❾ 高数极限的题型及解决方法

主要要求你能掌握方法，极限中有很多中求法。比如无穷小乘以有界量还是无穷小，重要极限,罗毕达法则等等。多做习题当然不是乱作，在做题中总结规律和方法，都写在一张纸上。等你做的差不多的时候你会发现你总结的方法就可以解决你所有的题目了。
如果你还是比较迷茫，我可以给你一个当时我使用的的方法参考。
从一本参考书中找到极限部分的习题，当然了题目都很全面各种类型的都包括了！但是题目很简单不难！（一共50道题）准备一张白纸，做一道题就把它使用的方法写在纸上，下一道题你会发现同上一题方法一样没关系在刚才写的方法后边写正字，不会做的问老师或同学。等你都做完了你会发现就那么十几种，把他们看看清楚你就会记住了！
当然了很多题目需要你采用老方法。80%~90%的极限题目几乎你都可以用罗毕达法则来做，那样就失去意义了，尽量采用两种方法会更好。
其实到最后你会发现真的极限题目只会使用上边说的三中方法。类似重要极限二的题目会遇到这样一种。
lim(分式但可化为1+无穷小量的形式)^任意次方=lim（1+无穷小量）^无穷小量的倒数*无穷小量*任意次方
比如lim{(x+1)/x}^3x x趋于无穷
=lim{1+1/x}^[x*(1/x)*3x]
=`````````````*(1/x)*3x]```````````部分组成重要极限二
=e^[lim(1/x) * 3x]
=e^3
多总结没有坏处！！！