数学模型和解决方法

⑴ 数学模型及其解法

按照描述地下水流变量的性质，地下水流的数学模型可分为两类。一类是随机模型，研究的对象是随机变量，即该变量的取值不是确定性的而是概率。另一类是确定性模型，模型中变量取确定值，确定性模型由上述一个或一组微分方程及其相应的定解条件所构成，本教材仅介绍确定性模型（下文简称数学模型）。

求解数学模型的方法主要有3类：即解析法、数值法（数值模拟法）和物理模拟法。

解析法是应用数学分析方法获得一个用连续函数表达其解的方法（通常以水头H表示）。这个函数式（称解析解）反映了含水层参数、源汇项及边界条件等对水头时空分布的影响，因此，可以直接或通过数学分析方法来揭示各因素与水头H时空分布的内在联系。我们强调解析解是个连续函数，就是说其解可以给出任何空间点和时间点的水头值，因而可以通过数学分析方法给定任意时空点的水力坡度J、渗流速度v和任意断面的流量等运动要素。它的另一个优点是，解析解是精确的。解析法的主要缺点是，能够求解的问题一般比较简单，除个别问题外，一般要求含水层为均质、等厚、边界为直线、圆形或无界等。

数值方法与解析法不同，其解（称数值解）不是一个连续分布的函数，而是按要求事先设计好的时空离散点上的数值解（例如水头值）。这些数值解不能直接给出含水层参数、源汇项、边界等各因素对水头时空分布的函数关系，只能从数值分布特征去寻找规律。另外，数值解本身是一种近似解。然而它最大的优点是，不受水文地质条件的限制，可用于自然界各种复杂的条件。一般地讲，只要地下水运动机理清楚了的问题，都可用数值法求解。数值解方法的运算量往往很大，一般要借助于电子计算机才能实现。

物理模拟方法：由于已知控制地下水运动的基本微分方程是抛物线方程和椭圆方程等，这一数学物理方程在其他物理现象方面也存在，例如电动力学、热动力学等。因此，如果研究对象的几何形状、参数分布与边界条件是相似的，则可以利用一种物理现象来研究另一种物理现象，这是物理模型。借助某种物理模型来研究渗流的方法称为物理模拟方法。

本教材主要介绍求解均匀流体饱和流动的解析方法，而对物理模拟仅从教学目的出发选择几种进行简要介绍。关于地下水的数值方法将在《地下水流动问题数值方法》 （陈崇希等，1990）中进行专门介绍。

⑵ 建立数学模型的方法和步骤

第一、 模型准备 首先要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。 第二、 模型假设 根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。 第三、 模型构成 根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。 第四、模型求解 可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。 第五、模型分析 对模型解答进行数学上的分析。"横看成岭侧成峰，远近高低各不"。能否对模型结果作出细致精当的分析，决定了你的模型能否达到更高的档次。还要记住，不论那种情况都需进行误差分析，数据稳定性分析。

⑶ 中考数学难题解法技巧和模型有哪些

下面就让我们一起来了解一下中考数学难题解法技巧：
1、配方法
配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。这是中考数学的技巧之一。
2、因式分解法
因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3、换元法
我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
4、判别式法与韦达定理
一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c属于R，a≠0)根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根;已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
5、待定系数法
在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是常用的中考数学的复习方法之一。
6、构造法
在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题 等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互 相渗透，有利于问题的解决。
7、反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命 题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为： (1)反设;(2)归谬;(3)结论。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾。
8、面积法
平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。
用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来 解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。
9、几何变换法
在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中 学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。另一方面，也可将变换的观点渗透到 中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。
几何变换包括：(1)平移;(2)旋转;(3)对称。
10、客观性题的解题方法
选择题是给出条件和结论，要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。选择题的题型构思精巧，形式灵活，可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能，从而增大了试卷的容量和知识覆盖面。
填空题是标准化考试的重要题型之一，它同选择题一样具有考查目标明确，知识复盖面广，评卷准确迅速，有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点，不同的是填空题未给出答案，可以防止学生猜估答案的情况。
要想迅速、正确地解选择题、填空题，除了具有准确的计算、严密的推理外，还要有解选择题、填空题的方法与技巧。下面通过实例介绍常用方法。
(1)直接推演法：直接从命题给出的条件出发，运用概念、公式、定理等进行推理或运算，得出结论，选择正确答案，这就是传统的解题方法，这种解法叫直接推演法。
(2)验证法：由题设找出合适的验证条件，再通过验证，找出正确答案，亦可将供选择的答案代入条件中去验证，找出正确答案，此法称为验证法(也称代入法)。当遇到定量命题时，常用此法。
(3)特殊元素法：用合适的特殊元素(如数或图形)代入题设条件或结论中去，从而获得解答。这种方法叫特殊元素法。
(4)排除、筛选法：对于正确答案有且只有一个的选择题，根据数学知识或推理、演算，把不正确的结论排除，余下的结论再经筛选，从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选法。
(5)图解法：借助于符合题设条件的图形或图象的性质、特点来判断，作出正确的选择称为图解法。图解法是解选择题常用方法之一。
(6)分析法：直接通过对选择题的条件和结论，作详尽的分析、归纳和判断，从而选出正确的结果，称为分析法。
以上就是关于中考数学解题技巧的介绍，希望以上的内容能对你有所帮助，也希望考生们都能积极备考，保持一个好心态，最终能取得好成绩!

⑷ 数学建模方法和步骤

数学建模的主要步骤:

第一、 模型准备
首先要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。

第二、 模型假设
根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建

模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以

高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应

尽量使问题线性化、均匀化。

第三、 模型构成
根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间

的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老

人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱

大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工

具愈简单愈有价值。

第四、模型求解
可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，

特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计

算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。

第五、模型分析
对模型解答进行数学上的分析。"横看成岭侧成峰，远近高低各不?quot;，能否对模型结果作

出细致精当的分析，决定了你的模型能否达到更高的档次。还要记住，不论那种情况都需进行误差

分析，数据稳定性分析。

数学建模采用的主要方法有：

（一）、机理分析法：根据对客观事物特性的认识从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模

型。
1、比例分析法：建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。
2、代数方法：求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法。
3、逻辑方法：是数学理论研究的重要方法，对社会学和经济学等领域的实际问题，在决策，对策

等学科中得到广泛应用。
4、常微分方程：解决两个变量之间的变化规律，关键是建立“瞬时变化率”的表达式。
5、偏微分方程：解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律。

（二）、数据分析法：通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型

1、回归分析法：用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,…,n，确定函数的表达式，由

于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。
2、时序分析法：处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。
3、回归分析法：用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,…,n，确定函数的表达式，由

于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。
4、时序分析法：处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。

（三）、仿真和其他方法
1、计算机仿真（模拟）：实质上是统计估计方法，等效于抽样试验。①离散系统仿真，有一组状

态变量。②连续系统仿真，有解析表达式或系统结构图。
2、因子试验法：在系统上作局部试验，再根据试验结果进行不断分析修改，求得所需的模型结构

。
3、人工现实法：基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标，并考虑到系统有关因素的

可能变化，人为地组成一个系统。

⑸ 常见的数学模型有哪些

1、生物学数学模型

2、医学数学模型

3、地质学数学模型

4、气象学数学模型

5、经济学数学模型

6、社会学数学模型

7、物理学数学模型

8、化学数学模型

9、天文学数学模型

10、工程学数学模型

11、管理学数学模型

(5)数学模型和解决方法扩展阅读

数学模型的历史可以追溯到人类开始使用数字的时代。随着人类使用数字，就不断地建立各种数学模型，以解决各种各样的实际问题。

数学模型这种数学结构是借助于数学符号刻划出来的某种系统的纯关系结构。从广义理解，数学模型包括数学中的各种概念，各种公式和各种理论。

因为它们都是由现实世界的原型抽象出来的，从这意义上讲，整个数学也可以说是一门关于数学模型的科学。从狭义理解，数学模型只指那些反映了特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构，这个意义上也可理解为联系一个系统中各变量间内的关系的数学表达。

⑹ 数学建模的七个步骤

数学建模（mathematical modeling）就是通过建立数学模型来解决各种实际问题的方法。数学建模没有固定的格式和标准，也没有明确的方法，通常有6个步骤：

明确问题
合理假设
搭建模型
求解模型
分析检验
模型解释
1、明确问题

数学建模所处理的问题通常是各领域的实际问题，这些问题本身往往含糊不清，难以直接找到关键所在，不能明确提出该用什么方法。因此建立模型的首要任务是辨明问题，分析相关条件和问题，一开始尽可能使问题简单，然后再根据目的和要求逐步完善。

2、合理假设

作出合理假设，是建模的一个关键步骤。一个实际问题不经简化、假设，很难直接翻译成数学问题，即使可能也会因其过于复杂而难以求解。因此，根据对象的特征和建模的目的，需要对问题进行必要合理地简化。

合理假设的作用除了简化问题，还对模型的使用范围加以限定。

作假设的依据通常是出于对问题内在规律的认识，或来自对数据或现象的分析，也可以是两者的综合。作假设时，既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济、机械等专业方面的知识，也要充分发挥想象力、洞察力和判断力，辨别问题的主次，尽量使问题简化。

为保证所作假设的合理性，在有数据的情况下应对所作的假设及假设的推论进行检验，同时注意存在的隐含假设。

3、搭建模型

搭建模型就是根据实际问题的基本原理或规律，建立变量之间的关系。

要描述一个变量随另一个变量的变化而变化，最简单的方法是作图，或者画表格，还可以用数学表达式。在建模中，通常要把一种形式转换成另一种形式。将数学表达式转换成图形和表格较容易，反过来则比较困难。

用一些简单典型函数的组合可以组成各种函数形式。使用函数解决具体的实际问题，还比须给出各参数的值，寻求这些参数的现实解释，往往可以抓住问题的一些本质特征。

4、求解模型

对模型的求解往往涉及不同学科的专业知识。现代计算机科学的发展提供了强有力的辅助工具，出现了很多可进行工程数值计算和数学推导的软件包和仿真工具，熟练掌握数学建模的仿真工具可大大增强建模能力。

不同数学模型的求解难易不同，一般情况下很多实际问题不能求出解析解，因此需要借助计算机用数值的方法来求解，在编写代码之前要明确算法和计算步骤，弄清初始值、步长等因素对结果的影响。

5、分析检验

在求出模型的解后，必须对模型和“解”进行分析，模型和解的适用范围如何，模型的稳定性和可靠性如何，是否到达建模目的，是否解决了问题？

数学模型相对于客观实际不可避免地会带来一定误差，一方面要根据建模的目的确定误差的允许范围，另一方面要分析误差来源，想办法减小误差。

一般误差有以下几个来源，需要小心分析检验：

模型假设的误差：一般来说模型难以完全反映客观实际，因此需要做不同的假设，在对模型进行分析时，需要对这些假设小心检验，分析比较不同假设对结果的影响。
求近似解方法的误差：一般来说很难得到模型的解析解，在采用数值方法求解时，数值计算方法本身也会有误差。这类误差许多是可以控制的。
计算工具的舍入误差：在用计算器或计算机进行数值计算时，都不可避免由于机器字长有限而产生舍入误差，如果进行了大量运算，这些误差的积累是不可忽视的。
数据的测量误差：在用传感器、调查问卷等方法获得数据时，应注意数据本身的误差。
6、模型解释

数学建模的最后阶段是用现实世界的语言对模型进行翻译，这对使用模型的人深入了解模型的结果是十分重要的。模型和解是否有实际意义，是否与实际证据相符合。这一步是使数学模型有实际价值的关键一步。

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数学模型和数学建模介绍

数学建模常用的

⑺ 数学建模的几种方法

1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算
法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法）
2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要
处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具）
3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题
属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、
Lingo软件实现）
4、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉
及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备）
5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计
中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中）
6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是
用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实
现比较困难，需慎重使用）
7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛
题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好
使用一些高级语言作为编程工具）
8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只
认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的）
9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常
用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用）
10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该
应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步。建立教学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。要通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。这就需要深厚扎实的数学基础，敏锐的洞察力和想象力，对实际问题的浓厚兴趣和广博的知识面。数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领械广泛应用的媒介，是数学科学技术转化的主要途径，数学建模在科学技术发展中的重要作用越来越受到数学界和工程界的普遍重视，它已成为现代科技工作者必备的重要能力之。

⑻ 解线性规划数学模型有哪些方法

模型建立：
从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤；
1.根据影响所要达到目的的因素找到决策变量；
2.由决策变量和所在达到目的之间的函数关系确定目标函数；
3.由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。
线性规划难题解法
所建立的数学模型具有以下特点：
1、每个模型都有若干个决策变量（x1，x2，x3……，xn），其中n为决策变量个数。决策变量的一组值表示一种方案，同时决策变量一般是非负的。
2、目标函数是决策变量的线性函数，根据具体问题可以是最大化或最小化，二者统称为最优化。
3、约束条件也是决策变量的线性函数。
当我们得到的数学模型的目标函数为线性函数，约束条件为线性等式或不等式时称此数学模型为线性规划模型。
例：
生产安排模型：某工厂要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗，如表所示，表中右边一列是每日设备能力及原材料供应的限量，该工厂生产一单位产品Ⅰ可获利2元，生产一单位产品Ⅱ可获利3元，问应如何安排生产，使其获利最多？
解：
1、确定决策变量：设x1、x2分别为产品Ⅰ、Ⅱ的生产数量；
2、明确目标函数：获利最大，即求2x1+3x2最大值；
3、所满足的约束条件：
设备限制：x1+2x2≤8
原材料A限制：4x1≤16
原材料B限制：4x2≤12
基本要求：x1，x2≥0
用max代替最大值，s.t.（subject to 的简写）代替约束条件，则该模型可记为：
max z=2x1+3x2
s.t. x1+2x2≤8
4x1≤16
4x2≤12
x1，x2≥0
解法
求解线性规划问题的基本方法是单纯形法，已有单纯形法的标准软件，可在电子计算机上求解约束条件和决策变量数达 10000个以上的线性规划问题。为了提高解题速度，又有改进单纯形法、对偶单纯形法、原始对偶方法、分解算法和各种多项式时间算法。对于只有两个变量的简单的线性规划问题，也可采用图解法求解。这种方法仅适用于只有两个变量的线性规划问题。它的特点是直观而易于理解，但实用价值不大。通过图解法求解可以理解线性规划的一些基本概念。

⑼ 数学模型有哪些

数学模型（mathematical model）就是用数学的语言、方法去近似地刻画实际，描述现实问题的数学公式、图形或算法。

数学模型可按不同的方式进行分类。

按照模型的应用领域，可分为人口模型、生物模型、生态模型、交通模型、环境模型、作战模型、社会模型、经济模型、医学模型、机械模型等。
按照建立模型的数学方法，可分为微分方程模型、几何模型、网络模型、运筹模型、随机模型等。
按照建模目的，可分为描述模型、分析模型、预测模型、决策模型、控制模型等。
按照对模型结构的了解程度，可分为白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。白箱是指对所涉及问题的机理很清楚，黑箱是完全不了解问题的内部机理，灰箱则介于两者之间。
根据模型的表现形态还可分为：静态模型和动态模型、解析模型和数值模型、离散模型和连续模型、确定性模型和随机性模型。
数学模型和数学建模介绍
数学建模（mathematical modeling）就是通过建立数学模型来解决各种实际问题的方法，也就是通过对实际问题的抽象、简化，确定变量和参数，并应用某些规律建立起变量、参数之间的关系。求解该数学问题，解释、验证所得到的解，从而确定能否用于解决实际问题。数学建模最重要的特点在于它是一个接受实践检验、多次修改、逐渐完善的过程。

数学建模没有固定的格式和标准，也没有明确的方法，通常由明确问题、合理假设、搭建模型、求解模型、分析检验等五个步骤组成。

一个理想的数学模型，应尽可能满足以下两个条件：

模型的可靠性：在误差允许范围内，能正确反映客观实际；
模型的可解性：模型能够通过数学计算，得到可行解。
一个实际问题往往很复杂的，影响因素也有很多，要解决实际问题，就要将实际问题抽象简化、合理假设，确定变量和参数，建立合适的数学模型，并求解。模型的可靠性和可解性通常互相矛盾，一般总是在模型可解性的前提下力争较满意的可靠性。