高等数学曲面面积的计算方法

A. 用积分方法求解曲面面积 高数 两道

以下来求，椭圆抛物面 x=y^2+z^2 在 圆柱面 y^2+z^2=9 内的那部分面积：草图为

B. 曲面图形面积计算的公式推导式的意义

曲面面积(area of a surface)是指曲面表面的面积。把光滑曲面S分成没有公共内点的n块S1,... , Sn，且每一块仍是光滑曲面，在每个S上取一点P，过P作S的切平面T，将s投影到T上，所有这些投影的面积之和的极限(当所有S的直径趋于零时)如果存在，就是曲面S的面积，对有界简单光滑曲面而言，这样的极限总是存在的，而且与曲面的光滑等价的参数表示的选择无关。

C. 曲面面积公式如何推导出来的

曲面r(x,y)=(x,y,f(x,y)）以(x,y)为参数，其两个自然切向量分别为
rx
=
(1,
0,
fx)
ry
=
(0,
1,
fy)
其中rx表示r对x的偏导，其余符号类似。
因为向量n=(
-fx,
-fy,
1)
和rx,
ry都垂直，所以
n
是曲面在p=r(x,y)处的法向量，也就是过p点的切平面P的法向量。
令k=(0,
0,
1)是z轴单位正方向，也就是xy平面的法向量，这样P和xy平面的夹角就等于n和k的夹角，其余弦等于
/|n||k|
=
1
/
\sqrt(fx^2+fy^2+1)
其中
\sqrt
表示开方。

D. 高等数学曲面积分问题

第1题，是第二类曲面积分，曲面是抛物面，在各个坐标面上投影，分别是

两个类似的抛物线与水平线围成的平面、一个圆，

分别计算这些投影面上的平面积分，最终相加即可。

当然，还有第二种方法，就是利用高斯公式：

P=y-4

Q=z+3

R=x+1

求各个偏导之后，正好得到曲面面积，即圆面积πa^2

E. 高等数学 重积分应用 曲面面积

这部分应该是曲面积分的知识了。
{ z = √(x² + y²)
{ z² = 2x
x² + y² ≤ 2x
(x - 1)² + y² ≤ 1、在xoy面投影的区域D
√[1 + (∂z/∂x)² + (∂z/∂y)²] = √[1 + x²/(x² + y²) + y²/(x² + y²)] = √[2(x² + y²)/(x² + y²)] = √2
曲面面积 = ∫∫Σ dS
= ∫∫D √2 dxdy
= √2∫(- π/2→π/2) dθ ∫(0→2cosθ) r dr
= 2√2(0→π/2) [r²/2]|(0→2cosθ) dθ
= 2√2∫(0→π/2) (1/2) * 4cos²θ dθ
= 4√2 * 1/2 * π/2
= √2π

F. 请问高数中对坐标的曲面积分的计算法中的转换投影法是怎么转换的

曲面法向量方向余弦前两个cosA与cosB的正负号与第三个cosr相反。

曲面Z=x^2+y^2的法向量为n=(-2x, -2y, 1)。

那么曲面在三个坐标平面上的投影满足：

dydz：dzdx：dxdy=(-2x)：(-2y)：1。

所以，dydz= -2xdxdy，dzdx= -2ydxdy。

曲面积分

平面面积(Δσ)是曲面面积(ΔS)在xOy面下的投影。

曲面积分中有与不同面对应的三个方向余弦。

对于yoz面，dydz = cosα dS。

对于zox面，dzdx = cosβ dS。

对于xoy面，dxdy = cosγ dS。

其中dydz、dzdx、dxdy分别是dS在三个不同的面下的面积投影区域。

考虑在xoy面上，γ是曲面dS在某一点的法向量与z轴之间形成的夹角。

G. 数学：旋转曲面面积公式的推导

以曲边梯形的面积为例：

设f为闭区间[a，b]上的连续函数，且f（x）≥0。由曲线y=f(x)，直线x=a,x=b以及x轴所围成的平面图形（图9-1），称为曲边梯形，下面讨论曲边梯形的面积。

作法：（i）分割。在区间[ a，b]内任取n-1个分点，它们依次为a=x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn=b，这些点把[a,b]分割成n个小区间[xi－1, xi],I=1,2,…n.再用直线x= xi,i=1,2,…，n-1把曲边梯形分割成n个小曲边梯形。

（ii）近似求和。在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点，作以f(x)为高，[xi-1,xi]为底的小矩形。当分割[a,b]的点分点较多，又分割得较细密时，由于f为连续函数，它在每个小区间上的值变化不大，从而可用这些小矩形的面积近似替代相应小曲边梯形的面积。n个小矩形面积之和就可作为该曲边梯形面积S的近似值。

(7)高等数学曲面面积的计算方法扩展阅读：

旋转曲面是一类特殊的曲面，它是一条平面曲线绕着它所在的平面上一条固定直线旋转一周所生成的曲面。该固定直线称为旋转轴，该旋转曲线称为母线。曲面和过旋转轴的平面的交线称为经线或子午线，曲面和垂直于旋转轴的平面的交线称为纬线或平行圆。

例如：球面是由圆绕着其直径旋转而成；环面是由圆绕着外面的一条直线旋转而成。

H. 如何计算曲面的面积

计算曲面的面积：曲面r(x,y)=(x,y,f(x,y)）以(x,y)为参数,其两个自然切向量分别为r（x） = (1, 0, fx)ry = (0, 1, fy)其中rx表示r对x的偏导,其余符号类似.令k=(0, 0, 1)是z轴单位正方向,也就是xy平面的法向量,这样P和xy平面的夹角就等于n和k的夹角,其余弦等于/|n||k| = 1 /sqrt(fx^2+fy^2+1)其中 sqrt 表示开方.因为向量n=( -fx, -fy, 1) 和rx, ry都垂直,所以 n 是曲面在p=r(x,y)处的法向量,也就是过p点的切平面P的法向量.