⑴ 中學數學最值題的常用解法
中學數學最值題的常用解法
在中學數學題中，最值題是常見題型，圍繞最大（小）值所出的數學題是各種各樣，就其解法，主要為以下幾種：
一. 二次函數的最值公式
二次函數 （a、b、c為常數且 ）其性質中有①若 當 時，y有最小值。 ；②若 當 時，y有最大值。 。利用二次函數的這個性質，將具有二次函數關系的兩個變數建立二次函數，再利用二次函數性質進行計算，從而達到解決實際問題之目的。
例1. 某玩具廠計劃生產一種玩具熊貓，每日最高產量為40隻，且每日產出的產品全部售出，已知生產x只玩具熊貓的成本為R（元），售價每隻為P（元），且R、P與x的關系式分別為 ， 。
（1）當日產量為多少時，每日獲得的利潤為1750元；
（2）當日產量為多少時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少？
解：（1）根據題意得
整理得
解得 ， （不合題意，捨去）
（2）由題意知，利潤為
所以當 時，最大利潤為1950元。
二. 一次函數的增減性
一次函數 的自變數x的取值范圍是全體實數，圖象是一條直線，因而沒有最大（小）值；但當 時，則一次函數的圖象是一條線段，根據一次函數的增減性，就有最大（小）值。
例2. 某工程隊要招聘甲、乙兩種工種的工人150人，甲、乙兩種工種的工人的月工資分別是600元和1000元，現要求乙種工種的人數不少於甲種工種人數的2倍，問甲、乙兩種工種各招聘多少人時可使得每月所付的工資最少？
解：設招聘甲種工種的工人為x人，則乙種工種的工人為 人，由題意得：
所以
設所招聘的工人共需付月工資y元，則有：
（ ）
因為y隨x的增大而減小
所以當 時， （元）
三. 判別式法
例3. 求 的最大值與最小值。
分析：此題要求出最大值與最小值，直接求則較困難，若根據題意構造一個關於未知數x的一元二次方程；再根據x是實數，推得 ，進而求出y的取值范圍，並由此得出y的最值。
解：設 ，整理得
即
因為x是實數，所以
即
解得
所以 的最大值是3，最小值是 。
四. 構造函數法
「最值」問題中一般都存在某些變數變化的過程，因此它們的解往往離不開函數。
例4. 求代數式 的最大值和最小值。
解：設 ， ，再令 ， ，則有
所以得y的最大值為 ，最小值為
五. 利用非負數的性質
在實數范圍內，顯然有 ，當且僅當 時，等號成立，即 的最小值為k。
例5. 設a、b為實數，那麼 的最小值為_______。
解：
當 ， ，即 時，上式等號成立。故所求的最小值為－1。
六. 零點區間討論法
例6. 求函數 的最大值。
分析：本題先用「零點區間討論法」消去函數y中絕對值符號，然後求出y在各個區間上的最大值，再加以比較，從中確定出整個定義域上的最大值。
解：易知該函數有兩個零點 、
當 時
當 時
當 得
當 時，
綜上所述，當 時，y有最大值為
七. 利用不等式與判別式求解
在不等式 中， 是最大值，在不等式 中， 是最小值。
例7. 已知x、y為實數，且滿足 ， ，求實數m最大值與最小值。
解：由題意得
所以x、y是關於t的方程 的兩實數根，所以
即
解得
m的最大值是 ，m的最小值是－1。
八. 「夾逼法」求最值
在解某些數學問題時，通過轉化、變形和估計，將有關的量限制在某一數值范圍內，再通過解不等式獲取問題的答案，這一方法稱為「夾逼法」。
例8. 不等邊三角形 的兩邊上的高分別為4和12且第三邊上的高為整數，那麼此高的最大值可能為________。
解：設a、b、c三邊上高分別為4、12、h
因為 ，所以
又因為 ，代入
得 ，所以
又因為 ，代入
得 ，所以
所以3<h<6，故整數h的最大值為5。
⑵ 初中數學常用的幾種解題方法初中數學26題解題方法
1、配方法
所謂配方，就是把一個解析式利用恆等變形的方法，把其中的某些項配成一個或幾個多項式正整數次冪的和形式。通過配方解決數學問題的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是數學中一種重要的恆等變形的方法，它的應用十分非常廣泛，在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函數的極值和解析式等方面都經常用到它。
2、因式分解法
因式分解，就是把一個多項式化成幾個整式乘積的形式。因式分解是恆等變形的基礎，它作為數學的一個有力工具、一種數學方法在代數、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。因式分解的方法有許多，除中學課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外，還有如利用拆項添項、求根分解、換元、待定系數等等。
3、換元法
換元法是數學中一個非常重要而且應用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數或變數稱為元，所謂換元法，就是在一個比較復雜的數學式子中，用新的變元去代替原式的一個部分或改造原來的式子，使它簡化，使問題易於解決。
4、判別式法與韋達定理
一元二次方程ax2bxc=0（a、b、c屬於R，a≠0）根的判別，△=b2-4ac，不僅用來判定根的性質，而且作為一種解題方法，在代數式變形，解方程(組)，解不等式，研究函數乃至幾何、三角運算中都有非常廣泛的應用。
韋達定理除了已知一元二次方程的一個根，求另一根；已知兩個數的和與積，求這兩個數等簡單應用外，還可以求根的對稱函數，計論二次方程根的符號，解對稱方程組，以及解一些有關二次曲線的問題等，都有非常廣泛的應用。
5、待定系數法
在解數學問題時，若先判斷所求的結果具有某種確定的形式，其中含有某些待定的系數，而後根據題設條件列出關於待定系數的等式，最後解出這些待定系數的值或找到這些待定系數間的某種關系，從而解答數學問題，這種解題方法稱為待定系數法。它是中學數學中常用的方法之一。
6、構造法
在解題時，我們常常會採用這樣的方法，通過對條件和結論的分析，構造輔助元素，它可以是一個圖形、一個方程(組)、一個等式、一個函數、一個等價命題等，架起一座連接條件和結論的橋梁，從而使問題得以解決，這種解題的數學方法，我們稱為構造法。運用構造法解題，可以使代數、三角、幾何等各種數學知識互相滲透，有利於問題的解決。
7、反證法
反證法是一種間接證法，它是先提出一個與命題的結論相反的假設，然後，從這個假設出發，經過正確的推理，導致矛盾，從而否定相反的假設，達到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結論的反面只有一種)與窮舉反證法(結論的反面不只一種)。用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為：(1)反設；(2)歸謬；(3)結論。
反設是反證法的基礎，為了正確地作出反設，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行於/不平行於；垂直於/不垂直於；等於/不等於；大(小)於/不大(小)於；都是/不都是；至少有一個/一個也沒有；至少有n個/至多有(n一1)個；至多有一個/至少有兩個；唯一/至少有兩個。
歸謬是反證法的關鍵，導出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須從反設出發，否則推導將成為無源之水，無本之木。推理必須嚴謹。導出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設矛盾；自相矛盾。
8、面積法
平面幾何中講的面積公式以及由面積公式推出的與面積計算有關的性質定理，不僅可用於計算面積，而且用它來證明平面幾何題有時會收到事半功倍的效果。運用面積關系來證明或計算平面幾何題的方法，稱為面積方法，它是幾何中的一種常用方法。
用歸納法或分析法證明平面幾何題，其困難在添置輔助線。面積法的特點是把已知和未知各量用面積公式聯系起來，通過運算達到求證的結果。所以用面積法來解幾何題，幾何元素之間關系變成數量之間的關系，只需要計算，有時可以不添置補助線，即使需要添置輔助線，也很容易考慮到。
9、幾何變換法
在數學問題的研究中，常常運用變換法，把復雜性問題轉化為簡單性的問題而得到解決。所謂變換是一個集合的任一元素到同一集合的元素的一個一一映射。中學數學中所涉及的變換主要是初等變換。有一些看來很難甚至於無法下手的習題，可以藉助幾何變換法，化繁為簡，化難為易。另一方面，也可將變換的觀點滲透到中學數學教學中。將圖形從相等靜止條件下的研究和運動中的研究結合起來，有利於對圖形本質的認識。