求抽象函數值域的常用方法

Ⅰ 怎麼求抽象函數的單調性、奇偶性、值域和定義域

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1.求函數的解析式
（1）求函數解析式的常用方法：
①換元法（ 注意新元的取值范圍）
②待定系數法（已知函數類型如：一次、二次函數、反比例函數等）
③整體代換（配湊法）
④構造方程組（如自變數互為倒數、已知f（x）為奇函數且g（x）為偶函數等）
（2）求函數的解析式應指明函數的定義域,函數的定義域是使式子有意義的自變數的取值范圍,同時也要注意變數的實際意義.
（3）理解軌跡思想在求對稱曲線中的應用.
2.求函數的定義域
求用解析式y＝f（x）表示的函數的定義域時,常有以下幾種情況：
①若f（x）是整式,則函數的定義域是實數集R；
②若f（x）是分式,則函數的定義域是使分母不等於0的實數集；
③若f（x）是二次根式,則函數的定義域是使根號內的式子大於或等於0的實數集合；
④若f（x）是由幾個部分的數學式子構成的,則函數的定義域是使各部分式子都有意義的實數集合；
⑤若f（x）是由實際問題抽象出來的函數,則函數的定義域應符合實際問題.
3.求函數值域（最值）的一般方法：
（1）利用基本初等函數的值域；
（2）配方法（二次函數或可轉化為二次函數的函數）；
（3）不等式法（利用基本不等式,尤其注意形如型的函數）
（4）函數的單調性：特別關注的圖象及性質
（5）部分分式法、判別式法（分式函數）
（6）換元法（無理函數）
（7）導數法（高次函數）
（8）反函數法
（9）數形結合法
4.求函數的單調性
（1）定義法：
（2）導數法：
（3）利用復合函數的單調性：
（4）關於函數單調性還有以下一些常見結論：
①兩個增（減）函數的和為_____；一個增（減）函數與一個減（增）函數的差是______；
②奇函數在對稱的兩個區間上有_____的單調性；偶函數在對稱的兩個區間上有_____的單調性；
③互為反函數的兩個函數在各自定義域上有______的單調性；
（5）求函數單調區間的常用方法：定義法、圖象法、復合函數法、導數法等
（6）應用：比較大小,證明不等式,解不等式.
5.函數的奇偶性
奇偶性：定義：注意區間是否關於原點對稱,比較f（x） 與f（－x）的關系.f（x） －f（－x）＝0f（x） ＝f（－x） f（x）為偶函數；
f（x）+f（－x）＝0f（x） ＝－f（－x） f（x）為奇函數.
判別方法：定義法,圖象法,復合函數法
應用：把函數值進行轉化求解.
6.周期性：定義：若函數f（x）對定義域內的任意x滿足：f（x+T）＝f（x）,則T為函數f（x）的周期.
其他：若函數f（x）對定義域內的任意x滿足：f（x+a）＝f（x－a）,則2a為函數f（x）的周期.
應用：求函數值和某個區間上的函數解析式.

Ⅱ 抽象函數值域幾種方法

●求抽象函數值域不能用常規方法
抽象函數是指沒有給出解析式的函數，只給了函數應滿足的性質。因為沒有解析式，不能用求具體函數的常規的求值域的方法。如配方法、分離常數法等等。
●常用結論
常用的非常有用的幾個結論：
若f(x)在[a,b]上是增函數，則f(x)的值域為[f(a),f(b)].
若f(x)在[a,b]上是減函數，則f(x)的值域為[f(b),f(a)].
若f(x)值域為[a,b],則f(x+t)值域也為[a,b].(因為左右平移不改變值域）
若f(x)值域為[a,b],則f(x）+t值域為[a+t,b+t].(因為上下平移|t|個單位，值域改變數t）
若f(x)值域為[a,b],則Mf(x)值域為[Ma,Mb](M>0),或[Mb,Ma](M<0).
●例題
定義在R上的函數f (x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),當x<0時,f(x)>0，則求函數f (x)在[a，b]上的值域。
分析 這個函數的模型是正比例函數f(x)=kx( k≠0),可以猜想出：①f(0)=0; ②當x<0時,f(x)>0,則x>0,f(x)<0;③減函數；④奇函數等等。而這些都可以通過f(x+y)=f(x)+f(y)得到證明。
猜想與已知對接，知道從③減函數入手。
解答 設u<v
f(u)-f(v)
=f((u-v)+v)-f(v)
=f(u-v)+f(v)-f(v)
=f(u-v)>0(u-v<0)
f(u)>f(v)
f(x)在R上單減
f max=f( a)
f min=f(b)
∴f(x)在在[a，b]上的值域[f(b),f(a)]。
●鏈接
值域的求法有十多種。難點是根據不同的解析式的形式，選擇合適的方法。
請您參考我的BLOG
函數ok系列之七 函數的值域問題及解法
http://hi..com/ok%B0%C9/blog/item/524c45f192f6a1c47931aaa8.html

Ⅲ 求函數值域的方法都有哪些

根據函數的幾何圖形。
⑧數形結合：
，利用平均值不等式公式來求值域：轉化成型如，利用數型結合的方法來求值域；
④換元法，再由
的取值范圍，化歸思想函數值域的求法：
、餘弦的函數，通過解不等式；
⑦單調性法：通過反解；
②逆求法（反求法），運用三角函數有界性來求值域；常轉化為型如：通過變數代換轉化為能求值域的函數；
⑤三角有界法：
①配方法；常用來解：
的形式：轉化為二次函數，可根據函數的單調性求值域，利用二次函數的特徵來求值，型如：函數為單調函數：轉化為只含正弦；
⑥基本不等式法，用
來表示
，得出
的取值范圍

Ⅳ 求函數值域常用方法

求函數值域的常用方法有：配方法，分離常數法，判別式法，反解法，換元法，不等式法，單調性法，函數有界性法，數形結合法，導數法。
一、配方法

總之，在具體求某個函數的值域時，首先要仔細、認真觀察其題型特徵，然後再選擇恰當的方法，一般優先考慮函數單調性法和基本不等式法，然後才考慮用其他各種特殊方法。

Ⅳ 求函數值域的方法有哪些

下面介紹一下常見的幾種方法
1,配方法(二次函數或二次形式的函數求值域的典型方法)
2,換元法(比如三角換元,整體代換)
3,判別式法
4,利用函數單調性(閉區間上連續函數有最大,最小值)
5,數形結合的方法(利用問題的幾何意義,將代數問題轉化為幾何問題)
6,求導數的方法(似乎所有的給定解析式求最值都可以用求導數的方法,但有些初等問題用導數求解相當啰嗦)
7,反解法(利用函數和它的反函數的定義域和值域的互逆關系,通過恆等變形,求原函數的值域)
8,其它特殊方法

Ⅵ 求函數值域有那些方法 限高一。

求函數值域主要有以下一些方法： 1。函數的定義域與對應法則直接制約著函數的值域，對於一些比較簡單的函數可通過觀察法求得值域。 2。二次函數可用配方法求值域。 3。分子、分母是一次函數的有理函數，可用反函數法求得值域，或用分離常數法。 4。無理函數可用換元法，尤其是三角代換求得值域。 5。分子、分母中含有二次項的有理函數，可用判別式法。 6。單調函數可根據函數的單調性求得值域。 7。函數圖象是掌握函數性質的重要手段，利用數形結合的方法，根據圖象求得函數值域。 8。有的函數可拆配成能利用重要不等式的形式，利用重要不等式求值域。 9。解析法：將某些式子根據其幾何意義，運用解析幾何知識求值域（或最值）。 10。運用導數求最值。

Ⅶ 常見的求值域的方法 和題型

函數值域訓練題
1.映射 : A B的概念。在理解映射概念時要注意：⑴A中元素必須都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如（1）設 是集合 到 的映射，下列說法正確的是 A、 中每一個元素在 中必有象 B、 中每一個元素在 中必有原象 C、 中每一個元素在 中的原象是唯一的 D、 是 中所在元素的象的集合（答：A）；（2）點 在映射 的作用下的象是 ，則在 作用下點 的原象為點________（答：（2，－1））；（3）若 ， ， ，則 到 的映射有 個， 到 的映射有 個， 到 的函數有 個（答：81,64,81）；（4）設集合 ，映射 滿足條件「對任意的 ， 是奇數」，這樣的映射 有____個（答：12）；（5）設 是集合A到集合B的映射，若B={1,2}，則 一定是_____（答： 或{1}）.
2.函數 : A B是特殊的映射。特殊在定義域A和值域B都是非空數集！據此可知函數圖像與 軸的垂線至多有一個公共點，但與 軸垂線的公共點可能沒有，也可能有任意個。如（1）已知函數 ， ，那麼集合 中所含元素的個數有 個（答： 0或1）；（2）若函數 的定義域、值域都是閉區間 ，則 ＝ （答：2）
3. 同一函數的概念。構成函數的三要素是定義域，值域和對應法則。而值域可由定義域和對應法則唯一確定，因此當兩個函數的定義域和對應法則相同時，它們一定為同一函數。如若一系列函數的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數為「天一函數」，那麼解析式為 ，值域為{4，1}的「天一函數」共有______個（答：9）
4. 求函數定義域的常用方法（在研究函數問題時要樹立定義域優先的原則）：
（1）根據解析式要求如偶次根式的被開方大於零，分母不能為零，對數 中 且 ，三角形中 , 最大角 ，最小角 等。如（1）函數 的定義域是____(答： )；（2）若函數 的定義域為R，則 _______(答： )；（3）函數 的定義域是 ， ，則函數 的定義域是__________(答： )；（4）設函數 ，①若 的定義域是R，求實數 的取值范圍；②若 的值域是R，求實數 的取值范圍（答：① ；② ）
（2）根據實際問題的要求確定自變數的范圍。
（3）復合函數的定義域：若已知 的定義域為 ,其復合函數 的定義域由不等式 解出即可；若已知 的定義域為 ,求 的定義域，相當於當 時，求 的值域（即 的定義域）。如（1）若函數 的定義域為 ，則 的定義域為__________（答： ）；（2）若函數 的定義域為 ，則函數 的定義域為________（答：[1,5]）．
5.求函數值域（最值）的方法：
（1）配方法――二次函數（二次函數在給出區間上的最值有兩類：一是求閉區間 上的最值；二是求區間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。求二次函數的最值問題，勿忘數形結合，注意「兩看」：一看開口方向；二看對稱軸與所給區間的相對位置關系），如（1）求函數 的值域（答：[4,8]）；（2）當 時，函數 在 時取得最大值，則 的取值范圍是___（答： ）；（3）已知 的圖象過點（2,1），則 的值域為______（答：[2, 5]）
（2）換元法――通過換元把一個較復雜的函數變為簡單易求值域的函數，其函數特徵是函數解析式含有根式或三角函數公式模型，如（1） 的值域為_____（答： ）；（2） 的值域為_____（答： ）（令 ， 。運用換元法時，要特別要注意新元 的范圍）；（3） 的值域為____（答： ）；（4） 的值域為____（答： ）；
（3）函數有界性法――直接求函數的值域困難時，可以利用已學過函數的有界性，來確定所求函數的值域，最常用的就是三角函數的有界性，如求函數 ， ， 的值域（答： 、（0,1）、 ）；
（4）單調性法――利用一次函數，反比例函數，指數函數，對數函數等函數的單調性，如求 ， ， 的值域為______（答： 、 、 ）；
（5）數形結合法――函數解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離、直線斜率、等等，如（1）已知點 在圓 上，求 及 的取值范圍（答： 、 ）；（2）求函數 的值域（答： ）；（3）求函數 及 的值域（答： 、 ）注意：求兩點距離之和時，要將函數式變形，使兩定點在 軸的兩側，而求兩點距離之差時，則要使兩定點在 軸的同側。
（6）判別式法――對分式函數（分子或分母中有一個是二次）都可通用，但這類題型有時也可以用其它方法進行求解，不必拘泥在判別式法上，也可先通過部分分式後，再利用均值不等式：
① 型，可直接用不等式性質，如求 的值域（答： ）
② 型，先化簡，再用均值不等式，如（1）求 的值域（答： ）；（2）求函數 的值域（答： ）
③ 型，通常用判別式法；如已知函數 的定義域為R，值域為[0，2]，求常數 的值（答： ）
④ 型，可用判別式法或均值不等式法，如求 的值域（答： ）
（7）不等式法――利用基本不等式 求函數的最值，其題型特徵解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時須要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。如設 成等差數列， 成等比數列，則 的取值范圍是____________.（答： ）。
（8）導數法――一般適用於高次多項式函數，如求函數 ， 的最小值。（答：－48）
提醒：（1）求函數的定義域、值域時，你按要求寫成集合形式了嗎？（2）函數的最值與值域之間有何關系？
6.分段函數的概念。分段函數是在其定義域的不同子集上，分別用幾個不同的式子來表示對應關系的函數，它是一類較特殊的函數。在求分段函數的值 時，一定首先要判斷 屬於定義域的哪個子集，然後再代相應的關系式；分段函數的值域應是其定義域內不同子集上各關系式的取值范圍的並集。如（1）設函數 ，則使得 的自變數 的取值范圍是__________（答： ）；（2）已知 ，則不等式 的解集是________（答： ）
7.求函數解析式的常用方法：
（1）待定系數法――已知所求函數的類型（二次函數的表達形式有三種：一般式： ；頂點式： ；零點式： ，要會根據已知條件的特點，靈活地選用二次函數的表達形式）。如已知 為二次函數，且 ，且f(0)=1,圖象在x軸上截得的線段長為2 ,求 的解析式 。（答： ）
（2）代換（配湊）法――已知形如 的表達式，求 的表達式。如（1）已知 求 的解析式（答： ）；（2）若 ，則函數 =_____（答： ）；（3）若函數 是定義在R上的奇函數，且當 時， ，那麼當 時， =________（答： ）. 這里需值得注意的是所求解析式的定義域的等價性，即 的定義域應是 的值域。
（3）方程的思想――已知條件是含有 及另外一個函數的等式，可抓住等式的特徵對等式的進行賦值，從而得到關於 及另外一個函數的方程組。如（1）已知 ，求 的解析式（答： ）；（2）已知 是奇函數， 是偶函數，且 + = ,則 = __（答： ）。
8. 反函數：
（1）存在反函數的條件是對於原來函數值域中的任一個 值，都有唯一的 值與之對應，故單調函數一定存在反函數，但反之不成立；偶函數只有 有反函數；周期函數一定不存在反函數。如函數 在區間[1, 2]上存在反函數的充要條件是A、 B、 C、 D、 （答：D）
（2）求反函數的步驟：①反求 ；②互換 、 ；③註明反函數的定義域（原來函數的值域）。注意函數 的反函數不是 ，而是 。如設 .求 的反函數 （答： ）．
（3）反函數的性質：
①反函數的定義域是原來函數的值域，反函數的值域是原來函數的定義域。如單調遞增函數 滿足條件 = x ，其中 ≠ 0 ，若 的反函數 的定義域為 ，則 的定義域是____________（答：[4,7]）.
②函數 的圖象與其反函數 的圖象關於直線 對稱，注意函數 的圖象與 的圖象相同。如（1）已知函數 的圖象過點(1,1),那麼 的反函數的圖象一定經過點_____（答：（1,3））；（2）已知函數 ，若函數 與 的圖象關於直線 對稱，求 的值（答： ）；
③ 。如（1）已知函數 ，則方程 的解 ______（答：1）；（2）設函數f(x)的圖象關於點（1,2）對稱，且存在反函數 ，f (4)＝0，則 ＝ （答：－2）
④互為反函數的兩個函數具有相同的單調性和奇函數性。如已知 是 上的增函數，點 在它的圖象上， 是它的反函數，那麼不等式 的解集為________（答：（2,8））；
⑤設 的定義域為A，值域為B，則有 ，
，但 。
9.函數的奇偶性。
（1）具有奇偶性的函數的定義域的特徵：定義域必須關於原點對稱！為此確定函數的奇偶性時，務必先判定函數定義域是否關於原點對稱。如若函數 ，
為奇函數，其中 ，則 的值是 （答：0）；
（2）確定函數奇偶性的常用方法（若所給函數的解析式較為復雜，應先化簡，再判斷其奇偶性）：
①定義法：如判斷函數 的奇偶性____（答：奇函數）。
②利用函數奇偶性定義的等價形式： 或 （ ）。如判斷 的奇偶性___.（答：偶函數）
③圖像法：奇函數的圖象關於原點對稱；偶函數的圖象關於 軸對稱。
（3）函數奇偶性的性質：
①奇函數在關於原點對稱的區間上若有單調性，則其單調性完全相同；偶函數在關於原點對稱的區間上若有單調性，則其單調性恰恰相反.
②如果奇函數有反函數，那麼其反函數一定還是奇函數.
③若 為偶函數，則 .如若定義在R上的偶函數 在 上是減函數，且 =2，則不等式 的解集為______.（答： ）
④若奇函數 定義域中含有0，則必有 .故 是 為奇函數的既不充分也不必要條件。如若 為奇函數，則實數 ＝____（答：1）.
⑤定義在關於原點對稱區間上的任意一個函數，都可表示成「一個奇函數與一個偶函數的和（或差）」。如設 是定義域為R的任一函數， ， 。①判斷 與 的奇偶性； ②若將函數 ，表示成一個奇函數 和一個偶函數 之和，則 ＝____（答：① 為偶函數， 為奇函數；② ＝ ）
⑥復合函數的奇偶性特點是：「內偶則偶，內奇同外」.
⑦既奇又偶函數有無窮多個（ ，定義域是關於原點對稱的任意一個數集）.
10.函數的單調性。
（1）確定函數的單調性或單調區間的常用方法：
①在解答題中常用：定義法（取值――作差――變形――定號）、導數法（在區間 內，若總有 ，則 為增函數；反之，若 在區間 內為增函數，則 ，請注意兩者的區別所在。如已知函數 在區間 上是增函數，則 的取值范圍是____(答： ）)；
②在選擇填空題中還可用數形結合法、特殊值法等等，特別要注意
型函數的圖象和單調性在解題中的運用：增區間為 ，減區間為 .如（1）若函數 在區間（－∞，4] 上是減函數，那麼實數 的取值范圍是______(答： ）)；（2）已知函數 在區間 上為增函數，則實數 的取值范圍_____（答： ）；（3）若函數 的值域為R，則實數 的取值范圍是______(答： 且 ）)；
③復合函數法：復合函數單調性的特點是同增異減，如函數 的單調遞增區間是________(答：（1,2）)。
（2）特別提醒：求單調區間時，一是勿忘定義域，如若函數 在區間 上為減函數，求 的取值范圍（答： ）；二是在多個單調區間之間不一定能添加符號「 」和「或」；三是單調區間應該用區間表示，不能用集合或不等式表示．
（3）你注意到函數單調性與奇偶性的逆用了嗎?（①比較大小；②解不等式；③求參數范圍）.如已知奇函數 是定義在 上的減函數,若 ，求實數 的取值范圍。（答： ）
11. 常見的圖象變換
①函數 的圖象是把函數 的圖象沿 軸向左平移 個單位得到的。如設 的圖像與 的圖像關於直線 對稱， 的圖像由 的圖像向右平移1個單位得到，則 為__________(答： )
②函數 ( 的圖象是把函數 的圖象沿 軸向右平移 個單位得到的。如（1）若 ，則函數 的最小值為____(答：2)；（2）要得到 的圖像，只需作 關於_____軸對稱的圖像，再向____平移3個單位而得到(答： ；右)；（3）函數 的圖象與 軸的交點個數有____個(答：2)
③函數 + 的圖象是把函數 助圖象沿 軸向上平移 個單位得到的；
④函數 + 的圖象是把函數 助圖象沿 軸向下平移 個單位得到的；如將函數 的圖象向右平移2個單位後又向下平移2個單位,所得圖象如果與原圖象關於直線 對稱,那麼 (答：C)
⑤函數 的圖象是把函數 的圖象沿 軸伸縮為原來的 得到的。如（1）將函數 的圖像上所有點的橫坐標變為原來的 （縱坐標不變），再將此圖像沿 軸方向向左平移2個單位，所得圖像對應的函數為_____(答： )；（2）如若函數 是偶函數，則函數 的對稱軸方程是_______(答： )．
⑥函數 的圖象是把函數 的圖象沿 軸伸縮為原來的 倍得到的.
12. 函數的對稱性。
①滿足條件 的函數的圖象關於直線 對稱。如已知二次函數 滿足條件 且方程 有等根，則 ＝_____(答： )；
②點 關於 軸的對稱點為 ；函數 關於 軸的對稱曲線方程為 ；
③點 關於 軸的對稱點為 ；函數 關於 軸的對稱曲線方程為 ；
④點 關於原點的對稱點為 ；函數 關於原點的對稱曲線方程為 ；
⑤點 關於直線 的對稱點為 ；曲線 關於直線 的對稱曲線的方程為 。特別地，點 關於直線 的對稱點為 ；曲線 關於直線 的對稱曲線的方程為
；點 關於直線 的對稱點為 ；曲線 關於直線 的對稱曲線的方程為 。如己知函數 ,若 的圖像是 ,它關於直線 對稱圖像是 關於原點對稱的圖像為 對應的函數解析式是___________（答： ）；
⑥曲線 關於點 的對稱曲線的方程為 。如若函數 與 的圖象關於點（-2，3）對稱，則 ＝______（答： ）
⑦形如 的圖像是雙曲線，其兩漸近線分別直線
(由分母為零確定)和直線 (由分子、分母中 的系數確定)，對稱中心是點 。如已知函數圖象 與 關於直線 對稱，且圖象 關於點（2，－3）對稱，則a的值為______（答：2）
⑧ 的圖象先保留 原來在 軸上方的圖象，作出 軸下方的圖象關於 軸的對稱圖形，然後擦去 軸下方的圖象得到； 的圖象先保留 在 軸右方的圖象，擦去 軸左方的圖象，然後作出 軸右方的圖象關於 軸的對稱圖形得到。如（1）作出函數 及 的圖象；（2）若函數 是定義在R上的奇函數，則函數 的圖象關於____對稱 （答： 軸）
提醒：（1）從結論②③④⑤⑥可看出，求對稱曲線方程的問題，實質上是利用代入法轉化為求點的對稱問題；（2）證明函數圖像的對稱性，即證明圖像上任一點關於對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在圖像上；（3）證明圖像 與 的對稱性，需證兩方面：①證明 上任意點關於對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在 上；②證明 上任意點關於對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在 上。如（1）已知函數 。求證：函數 的圖像關於點 成中心對稱圖形；（2）設曲線C的方程是 ,將C沿 軸, 軸正方向分別平行移動 單位長度後得曲線 。①寫出曲線 的方程（答： ）；②證明曲線C與 關於點 對稱。
13. 函數的周期性。
（1）類比「三角函數圖像」得：
①若 圖像有兩條對稱軸 ，則 必是周期函數，且一周期為 ；
②若 圖像有兩個對稱中心 ，則 是周期函數，且一周期為 ；
③如果函數 的圖像有一個對稱中心 和一條對稱軸 ，則函數 必是周期函數，且一周期為 ；
如已知定義在 上的函數 是以2為周期的奇函數，則方程 在 上至少有__________個實數根（答：5）
（2）由周期函數的定義「函數 滿足 ，則 是周期為 的周期函數」得：
①函數 滿足 ，則 是周期為2 的周期函數；
②若 恆成立，則 ；
③若 恆成立，則 .
如(1) 設 是 上的奇函數， ，當 時， ，則 等於_____(答： )；(2)定義在 上的偶函數 滿足 ，且在 上是減函數，若 是銳角三角形的兩個內角，則 的大小關系為_________(答： )；（3）已知 是偶函數，且 =993， = 是奇函數，求 的值(答：993)；（4）設 是定義域為R的函數，且 ，又 ，則 = (答： )
14.指數式、對數式：
， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 。如（1） 的值為________(答：8)；（2） 的值為________(答： )
15. 指數、對數值的大小比較：（1）化同底後利用函數的單調性；（2）作差或作商法；（3）利用中間量（0或1）；（4）化同指數（或同真數）後利用圖象比較。
16. 函數的應用。（1）求解數學應用題的一般步驟：①審題――認真讀題，確切理解題意，明確問題的實際背景，尋找各量之間的內存聯系；②建模――通過抽象概括，將實際問題轉化為相應的數學問題，別忘了註上符合實際意義的定義域；③解模――求解所得的數學問題；④回歸――將所解得的數學結果，回歸到實際問題中去。（2）常見的函數模型有：①建立一次函數或二次函數模型；②建立分段函數模型；③建立指數函數模型；④建立 型。
17. 抽象函數：抽象函數通常是指沒有給出函數的具體的解析式，只給出了其它一些條件（如函數的定義域、單調性、奇偶性、解析遞推式等）的函數問題。求解抽象函數問題的常用方法是：
（1）借鑒模型函數進行類比探究。幾類常見的抽象函數 ：
①正比例函數型： --------------- ；
②冪函數型： -------------- ， ；
③指數函數型： ------------ ， ；
④對數函數型： ----- ， ；
⑤三角函數型： ----- 。如已知 是定義在R上的奇函數，且為周期函數，若它的最小正周期為T，則 ____（答：0）
（2）利用函數的性質（如奇偶性、單調性、周期性、對稱性等）進行演繹探究：如（1）設函數 表示 除以3的余數，則對任意的 ，都有 A、 B、 C、 D、 （答：A）；（2）設 是定義在實數集R上的函數，且滿足 ，如果 ， ，求 （答：1）；（3）如設 是定義在 上的奇函數，且 ，證明：直線 是函數 圖象的一條對稱軸；（4）已知定義域為 的函數 滿足 ，且當 時， 單調遞增。如果 ，且 ，則 的值的符號是____（答：負數）
（3）利用一些方法（如賦值法（令 ＝0或1，求出 或 、令 或 等）、遞推法、反證法等）進行邏輯探究。如（1）若 ， 滿足
，則 的奇偶性是______（答：奇函數）；（2）若 ， 滿足
，則 的奇偶性是______（答：偶函數）；（3）已知 是定義在 上的奇函數，當 時， 的圖像如右圖所示，那麼不等式 的解集是_____________（答： ）；（4）設 的定義域為 ，對任意 ，都有 ，且 時， ，又 ，①求證 為減函數；②解不等式 .（答： ）．

函數值定義域訓練題
1.已知函數g(x)=f(3-2x)的定義域為[-1,2]，則函數f(x)的定義域為_____。
2.y=1/[(x^2+2x+6)^0.5]設x^2+2x+6為t，(x^2+2x+6)^0.5為a
3.定義域是函數y=f(x)中的自變數x的范圍
4.若x,z,y是正數且，x+y+z=1,求16/x^3+81/8y^3+1/27z^3的最小值。
5.求a的值使得f(x)為單調函數
6.公園要建造一個圓形的噴水池，在水池中央垂直於水面安裝一個柱子OA，O恰在圓形水面中心，OA=1.25米.安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路經落下，且在過OA的任一平面上拋物線路徑如圖所示，為使水流形狀較為漂亮，設計成水流在到OA距離1米處達到距水面最大高度2.25米.如果不計其它因素，那麼水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水流不致落到池外?

7.設計一幅宣傳畫，要求畫面的面積為4840cm2，畫面的寬與高的比為λ(λ<1)
，畫面上下各留8cm空白，左右各留5cm空白，怎樣確定畫面的高與寬的尺寸，能使宣傳畫所用的紙張面積最小？如果要求 ，那麼λ為何值時，能使宣傳畫所用的紙張最小？
8.甲，乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米/小
時，已知：汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度v(千米/小時)的平方成正比，比例系數為b，固定部分為a。
9.已知函數f(x-1)= x2－2x+3,則f(x)=______________, f(x+1)=____________.

Ⅷ 函數求值域的17種方法

一.觀察法
通過對函數定義域、性質的觀察，結合函數的解析式，求得函數的值域。
例1求函數y=3+√(2-3x)的值域。
二.反函數法
當函數的反函數存在時，則其反函數的定義域就是原函數的值域。
例2求函數y=(x+1)/(x+2)的值域。
三.配方法
當所給函數是二次函數或可化為二次函數的復合函數時,可以利用配方法求函數值域
例3：求函數y=√(-x2+x+2)的值域。
四.判別式法
若可化為關於某變數的二次方程的分式函數或無理函數,可用判別式法求函數的值域。
例4求函數y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。
五.最值法
對於閉區間[a,b]上的連續函數y=f(x),可求出y=f(x)在區間[a,b]內的極值,並與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數的最值,可得到函數y的值域。
例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函數z=xy+3x的值域。
六.圖象法
通過觀察函數的圖象，運用數形結合的方法得到函數的值域。
例6求函數y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域。點撥：根據絕對值的意義，去掉符號後轉化為分段函數，作出其圖象。
七.單調法
利用函數在給定的區間上的單調遞增或單調遞減求值域。
例7求函數y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。
八.換元法
以新變數代替函數式中的某些量，使函數轉化為以新變數為自變數的函數形式，進而求出值域。
例8求函數y=x-3+√2x+1的值域。
九.構造法
根據函數的結構特徵，賦予幾何圖形，數形結合。
例9求函數y=√x2+4x+5+√x2-4x+8的值域。
十.比例法
對於一類含條件的函數的值域的求法，可將條件轉化為比例式，代入目標函數，進而求出原函數的值域。
例10已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函數z=x2+y2的值域。
十一.利用多項式的除法
例11求函數y=(3x+2)/(x+1)的值域。
十二.不等式法
例12求函數Y=3x/(3x+1)的值域。

Ⅸ 常見的幾種求值域的方法

一般求函數的值域常有如下方法：
（1）利用函數性質求解析式
也就是根據題目條件的定義域和值域的范圍，確定解析式的形式，這種方法常用於解決分段函數的問題。
（2）配方法、換元法
對於形如
y
=
ax
+
b
+
√(cx
+
d)
的函數，可以用換元法；
對於含√(a^2
-
x^2)結構的函數，可利用三角代換，轉化為三角函數求值域。
（3）反函數法、判別式法
對於形如
y
=
(cx
+
d)/(ax
+
b)
的函數值域可用反函數法，也可用配湊法；
對於形如
y
=
(ax^2
+
bx
+
c)/(dx^2
+
ex
+
f)
的函數值域常用判別式法，把函數轉化成關於
x
的二次方程
f(x,y)
=
0
，通過方程有實根，判別式
△≥
0
,從而得到原函數的值域。但注意要討論二次項系數為零和非零的兩種情況。
（4）不等式法、單調性法
利用基本不等式
a
+
b
≥
2√ab
求值域，注意「一正、二定、三取等」。即：a>0,b>0；a+b(或ab)為定值；取等號的條件。
對於形如
y
=
ax
+
b
+
√(cx
+
d)
的函數，看
a
與
d
是否同號，若同號用單調性求值域，若異號則用換元法求值域。
（5）數形結合法
這個就不用我多說了吧，把已知問題轉化為圖像求最值或者范圍的問題，靈活利用平面或空間幾何學的性質，幫助求解。
（6）導數法
這個是最保險的，但是往往運算起來會比較麻煩。
（7）抽象函數問題
根據題目所給條件對問題進行轉化，化繁為簡。

Ⅹ 求值域有哪些常見的方法

利用不等式的性質來求出函數的值域，和下面的判別式法都是求函數值域的基本方法求函數值域的方法
函數的值域是由函數的定義域與對應關系確定的，因此，要求函數的值域，一般應先分析其定義域，不能簡單地從函數關系來觀察．
求函數的值域的方法很多，技巧性也很強，這里介紹幾種最常見的基本方法．
（1）觀察法
一些簡單的函數，常可以通過對函數的解析式進行變形，然後對其定義域和對應關系進行分析，即可獲得其值域（見例1）．
（2）圖象法
如果某些函數從解析式不易求出它的值域，而函數的圖象又較易畫出來，一般可以利用函數圖象而直接求出其值域（見例2，例4）．
（3）如果一個有理函數式y＝f（x），通過適當變形可以化為關於x的一元二次方程．這時，由於該函數的定義域不是空集，即存在實數x是上述所得的關於x的一元二次方程的解．從而該方程的根的判別式Δ≥0．由此，求得y的取值范圍，即函數的值域（見例3）．
此外，求函數值域的方法還有配方法、換元法、反函數法、不等式法，以及運用函數的單調性，有界性等．

老了不死：請到這里下載，有10中
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