『壹』 如何用最簡便的實驗方法證明某溶液為KCl溶液.
取樣，滴加硝酸銀出現白色沉澱說明有Cl，焰色實驗顯紫色說明有K。
『貳』 20-19+18-17+...+4-3+2-1用簡便方法算
簡便方法如下：
通過觀察發現像（20-19）這樣的組合總共有10組，並且（20-19）=1，所以結果為10×1=10
拓展內容：
數學怎樣找規律
一、簡介
找規律填空的意義實際上在於加強對於一般性的數列規律的熟悉，雖然它有很多解，但主要是培養你尋找數列一般規律和猜測數列通項的能力（即運用不完全歸納法的能力），以便於在碰到一些不好通過一般方法求通項的數列時，能夠通過前幾項快速准確地猜測到這個數列的通項公式，然後再用數學歸納法或反證法或其它方法加以證明，繞過正面的大山，快速地得到其通項公式。所以找規律填空還是有助於我們增強解一些有難度又有特點的數列的。
1,2,4,7,11,16,（22）,（29）, ——相差為：1，2，3，4，5，6，…
2,5,10,17,26,（37）,（50）, ——相差為：3，5，7，9，…
0,3,8,15,24，（35）,（48），——相差為：3，5，7，9，…
找規律填空:9-1=8,16-4=12,25-9=16,36-16=20,49-25=24.
二、方法
1、基本方法——看增幅
①如增幅相等（此實為等差數列）：對每個數和它的前一個數進行比較，如增幅相等，則第n個數可以表示為：a+(n-1)b，其中a為數列的第一位數，b為增幅，(n-1)b為第一位數到第n位的總增幅。然後再簡化代數式a+(n-1)b。
例：4、10、16、22、28……，求第n位數。
分析：第二位數起，每位數都比前一位數增加6，增幅相都是6，所以，第n位數是：4+(n-1)×6＝6n－2
②如增幅不相等，但是，增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅為等差數列）。如增幅分別為3、5、7、9，說明增幅以同等幅度增加。此種數列第n位的數也有一種通用求法。
基本思路是：
1、求出數列的第n-1位到第n位的增幅；
2、求出第1位到第n位的總增幅；
3、數列的第1位數加上總增幅即是第n位數。
舉例說明：2、5、10、17……，求第n位數。
分析：數列的增幅分別為：3、5、7，增幅以同等幅度增加。那麼，數列的第n-1位到第n位的增幅是：3+2×(n-2)=2n-1，總增幅為：〔3+（2n-1）〕×(n-1)÷2＝（n+1）×(n-1)＝n2-1
所以，第n位數是：2+ n2-1= n2+1
此解法雖然較煩，但是此類題的通用解法，當然此題也可用其它技巧，或用分析觀察湊的方法求出，方法就簡單的多了。
②增幅不相等，但是，增幅同比增加，即增幅為等比數列，如：2、3、5、9,17增幅為1、2、4、8.
③增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。
此類題大概沒有通用解法，只用分析觀察的方法，但是，此類題包括第二類的題，如用分析觀察法，也有一些技巧。
2、基本技巧
①標出序列號：找規律的題目，通常按照一定的順序給出一系列量，要求我們根據這些已知的量找出一般規律。找出的規律，通常包括序列號。所以，把變數和序列號放在一起加以比較，就比較容易發現其中的奧秘。
例如，觀察下列各式數：0，3，8，15，24，……。試按此規律寫出的第100個數是1002-1,第n個數是n2-1。
解答這一題，可以先找一般規律，然後使用這個規律，計算出第100個數。我們把有關的量放在一起加以比較：
給出的數：0，3，8，15，24，……。
序列號：1，2，3， 4， 5，……。
容易發現，已知數的每一項，都等於它的序列號的平方減1。因此，第n項n2-1，第100項是1002-1。
②公因式法：每位數分成最小公因式相乘，然後再找規律，看是不是與n2、n3,或2n、3n有關。
例如：1，9，25，49，（81），（121），的第n項為（（2n-1）2），
1，2，3，4，5．.....，從中可以看出n=2時，正好是2×2-1的平方,n=3時，正好是2×3-1的平方，以此類推。
③看例題：
A： 2、9、28、65.....增幅是7、19、37....，增幅的增幅是12、18 答案與3有關且............即：n3+1
B：2、4、8、16.......增幅是2、4、8.. .....答案與2的乘方有關即：2n
④有的可對每位數同時減去第一位數，成為第二位開始的新數列，然後用①，②，③技巧找出每位數與位置的關系。再在找出的規律上加上第一位數，恢復到原來。
例：2、5、10、17、26……，同時減去2後得到新數列：0、3、8、15、24……，序列號：1、2、3、4、5 分析觀察可得，新數列的第n項為：n2-1，所以題中數列第n項為：（n2-1）+2＝n2+1
⑤有的可對每位數同時加上，或乘以，或除以第一位數，成為新數列，然後，在再找出規律，並恢復到原來。
例： 4，16，36，64，？，144，196，…？（第一百個數）
同除以4後可得新數列：1、4、9、16…，很顯然是位置數的平方。得到新數列第n項即n2，原數列是同除以4得到的新數列，所以求出新數列n的公式後再乘以4即，4 n2，則求出第一百個數為4*1002=40000。
⑥同技巧④，⑤一樣，有的可對每位數同加、或減、或乘、或除同一數（一般為1、2、3）。當然，同時加、或減的可能性大一些，同時乘、除的不太常見。
⑦觀察一下，能否把一個數列的奇數位置與偶數位置分開成為兩個數列，再分別找規律。
3、基本步驟
①先看增幅是否相等，如相等，用基本方法（一）解題。
②如不相等，綜合運用技巧（一）、（二）、（三）找規律
③如不行，就運用技巧（四）、（五）、（六），變換成新數列，然後運用技巧（一）、（二）、（三）找出新數列的規律
網路網路 找規律
『叄』 設計一個簡便易行的小實驗，以證明地轉偏向力的存在。寫出實驗用材、實驗步驟和所得結論。
| 實驗用材：有軸的球狀物，地球儀，撐開的雨傘，墨水和清水等。 實驗步驟： 1．將球狀物的虛擬北極點向上，在球狀物上滴適量的墨水滴， 2．正確模擬地球自轉方向，進行旋轉， 3．觀察並描述墨滴流痕的偏轉方向， 4．再將虛擬南極點向上，重復2、3步驟，但偏轉方向與2步驟相反。 實驗結論：通過本實驗，可證明地表物體做水平運動時，運動方向會發生偏轉，在北半球向右偏，南半球左偏。 |
『肆』 柯西不等式的簡便證明方法
證明：二維形式的證明(a^2+b^2)(c^2+d^2)(a,b,c,d∈R)
=a^2·c^2 +b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^2
=a^2·c^2 +2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2－2abcd+b^2·c^2
=(ac+bd)^2+(ad－bc)^2
≥(ac+bd)^2,等號在且僅在ad－bc=0即ad=bc時成立.
三角形式的證明√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a+c)^2+(b+d)^2]
證明：[√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)]^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2·√(a^2+b^2)·√(c^2+d^2)
≥a^2+b^2+c^2+d^2+2|ac+bd|
≥a^2+b^2+c^2+d^2+2(ac+bd)
=a^2+2ac+c^2+b^2+2bd+d^2
=(a+c)^2+(b+d)^2
兩邊開根號即得 √(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a+c)^2+(b+d)^2]
註：| |表示絕對值.
向量形式的證明令m=(a1,a2,…,an),n=(b1,b2,…,bn)
m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos=√(a1+a2+…+an) ×√(b1+b2+…+bn) ×cos
∵cos≤1
∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√(a1+a2+…+an) ×√(b1+b2+…+bn)
註：「√」表示平方根.
一般形式的證明(∑(ai^2))(∑(bi^2)) ≥ (∑ai·bi) ^2
證明：
等式左邊=(ai·bj+aj·bi)+.共n2 /2項
等式右邊=(ai·bi)·(aj·bj)+(aj·bj)·(ai·bi)+.共n2 /2項
用均值不等式容易證明 等式左邊≥等式右邊 得證
推廣形式的證明
推廣形式為 (x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n (*)
證明如下
記A1=x1+y1+…,A2=x2+y2+…,….
由平均值不等式得
(1/n)(x1/A1+x2/A2+…+xn/An)≥[x1*x2*…*xn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)=[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)
(1/n)(y1/A1+y2/A2+…+yn/An)≥[y1*y2*…*yn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)=[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)
……
上述m個不等式疊加得
1≥[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+…
即(A1*A2*…*An)^(1/n)≥(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…
即 A1*A2*…*An≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n
即(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n
因此,不等式(*)成立.
（註：推廣形式即為卡爾松不等式）
『伍』 設計一個簡便易行的小實驗，以證明地轉偏向力的存在。寫出實驗步驟和所得結論。
| 實驗用材： 有軸的球狀物（如地球儀、撐開的雨傘），墨水（或清水等）。 實驗步驟： ①將球狀物的虛擬北極點向上，在球狀物上滴適量的墨水滴； ②正確模擬地球自轉方向，進行旋轉； ③觀察並描述墨滴溜痕的偏轉方向； ④再將虛擬南極點向上，重復②、③步驟，但偏轉方向與②相反。 實驗結論： 通過本實驗可以證明，地表物體做水平運動時，運動方向會發生偏轉，北半球向右偏，南半球向左偏。 |
『陸』 試用三種方法證明:a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA
利用正弦定理a=2rsinA,b=2rsinB,c=2rsinC,r為三角形ABC外接圓半徑
代入證明等式即證sinA=sinBcosC+sinCcosB，右邊=sin(B+C)=sin(π-A)=sinA=左邊。同理證另外2個等式
這是最直接的方法了。
『柒』 請設計一種簡便的實驗方法證明高錳酸鉀水溶液中是哪一種離子會顯示顏色的:
高錳酸鉀水溶液中離子只有兩種：高錳酸跟和鉀離子。配置相同濃度氯化鉀溶液，發現其水溶液無色，所以可知鉀離子無色，所以顯色的是高錳酸跟。
『捌』 請問證明戴維寧定理時有什麼簡便方法
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；
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『玖』 這個極限咋用簡便方式證明
不證
『拾』 高中數學不等式證明的八種方法
不等式證明知識概要
河北/趙春祥
不等式的證明問題，由於題型多變、方法多樣、技巧性強，加上無固定的規律可循，往往不是用一種方法就能解決的，它是多種方法的靈活運用，也是各種思想方法的集中體現，因此難度較大。解決這個問題的途徑在於熟練掌握不等式的性質和一些基本不等式，靈活運用常用的證明方法。
一、要點精析
1.比較法比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個實數大小順序和運算性質的直接應用，比較法可分為差值比較法(簡稱為求差法)和商值比較法(簡稱為求商法)。
(1)差值比較法的理論依據是不等式的基本性質：「a-b≥0a≥b；a-b≤0a≤b」。其一般步驟為：①作差：考察不等式左右兩邊構成的差式，將其看作一個整體；②變形：把不等式兩邊的差進行變形，或變形為一個常數，或變形為若干個因式的積，或變形為一個或幾個平方的和等等，其中變形是求差法的關鍵，配方和因式分解是經常使用的變形手段；③判斷：根據已知條件與上述變形結果，判斷不等式兩邊差的正負號，最後肯定所求證不等式成立的結論。應用范圍：當被證的不等式兩端是多項式、分式或對數式時一般使用差值比較法。
(2)商值比較法的理論依據是：「若a，b∈R+，a/b≥1a≥b；a/b≤1a≤b」。其一般步驟為：①作商：將左右兩端作商；②變形：化簡商式到最簡形式；③判斷商與1的大小關系，就是判定商大於1或小於1。應用范圍：當被證的不等式兩端含有冪、指數式時，一般使用商值比較法。
2.綜合法利用已知事實(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎，藉助不等式的性質和有關定理，經過逐步的邏輯推理，最後推出所要證明的不等式，其特點和思路是「由因導果」，從「已知」看「需知」，逐步推出「結論」。其邏輯關系為：AB1 B2 B3… BnB，即從已知A逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結論B。
3.分析法分析法是指從需證的不等式出發，分析這個不等式成立的充分條件，進而轉化為判定那個條件是否具備，其特點和思路是「執果索因」，即從「未知」看「需知」，逐步靠攏「已知」。用分析法證明AB的邏輯關系為：BB1B1 B3 … BnA，書寫的模式是：為了證明命題B成立，只需證明命題B1為真，從而有…，這只需證明B2為真，從而又有…，……這只需證明A為真，而已知A為真，故B必為真。這種證題模式告訴我們，分析法證題是步步尋求上一步成立的充分條件。
4.反證法有些不等式的證明，從正面證不好說清楚，可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式A>B，先假設A≤B，由題設及其它性質，推出矛盾，從而肯定A>B。凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有「至多」、「至少」、「不存在」、「不可能」等詞語時，可以考慮用反證法。
5.換元法換元法是對一些結構比較復雜，變數較多，變數之間的關系不甚明了的不等式可引入一個或多個變數進行代換，以便簡化原有的結構或實現某種轉化與變通，給證明帶來新的啟迪和方法。主要有兩種換元形式。(1)三角代換法：多用於條件不等式的證明，當所給條件較復雜，一個變數不易用另一個變數表示，這時可考慮三角代換，將兩個變數都有同一個參數表示。此法如果運用恰當，可溝通三角與代數的聯系，將復雜的代數問題轉化為三角問題根據具體問題，實施的三角代換方法有：①若x2+y2=1，可設x=cosθ，y=sinθ；②若x2+y2≤1，可設x=rcosθ，y=rsinθ(0≤r≤1)；③對於含有的不等式，由於|x|≤1，可設x=cosθ；④若x+y+z=xyz，由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知，可設x=taaA，y=tanB，z=tanC，其中A+B+C=π。(2)增量換元法：在對稱式(任意交換兩個字母，代數式不變)和給定字母順序(如a>b>c等)的不等式，考慮用增量法進行換元，其目的是通過換元達到減元，使問題化難為易，化繁為簡。如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或a=1/2+t，b=1/2-t進行換元。
6.放縮法放縮法是要證明不等式A<B成立不容易，而藉助一個或多個中間變數通過適當的放大或縮小達到證明不等式的方法。放縮法證明不等式的理論依據主要有：(1)不等式的傳遞性；(2)等量加不等量為不等量；(3)同分子(分母)異分母(分子)的兩個分式大小的比較。常用的放縮技巧有：①舍掉(或加進)一些項；②在分式中放大或縮小分子或分母；③應用均值不等式進行放縮。
二、難點突破
1.在用商值比較法證明不等式時，要注意分母的正、負號，以確定不等號的方向。
2.分析法與綜合法是對立統一的兩個方面，前者執果索因，利於思考，因為它方向明確，思路自然，易於掌握；後者是由因導果，宜於表述，因為它條理清晰，形式簡潔，適合人們的思維習慣。但是，用分析法探求證明不等式，只是一種重要的探求方式，而不是一種好的書寫形式，因為它敘述較繁，如果把「只需證明」等字眼不寫，就成了錯誤。而用綜合法書寫的形式，它掩蓋了分析、探索的過程。因而證明不等式時，分析法、綜合法常常是不能分離的。如果使用綜合法證明不等式，難以入手時常用分析法探索證題的途徑，之後用綜合法形式寫出它的證明過程，以適應人們習慣的思維規律。還有的不等式證明難度較大，需一邊分析，一邊綜合，實現兩頭往中間靠以達到證題的目的。這充分表明分析與綜合之間互為前提、互相滲透、互相轉化的辯證統一關系。分析的終點是綜合的起點，綜合的終點又成為進一步分析的起點。
3.分析法證明過程中的每一步不一定「步步可逆」，也沒有必要要求「步步可逆」，因為這時僅需尋找充分條件，而不是充要條件。如果非要「步步可逆」，則限制了分析法解決問題的范圍，使得分析法只能使用於證明等價命題了。用分析法證明問題時，一定要恰當地用好「要證」、「只需證」、「即證」、「也即證」等詞語。
4.反證法證明不等式時，必須要將命題結論的反面的各種情形一一加以導出矛盾。
5.在三角換元中，由於已知條件的限製作用，可能對引入的角有一定的限制，應引起高度重視，否則可能會出現錯誤的結果。這是換元法的重點，也是難點，且要注意整體思想的應用。
6.運用放縮法證明不等式時要把握好「放縮」的尺度，即要恰當、適度，否則將達不到預期的目的，或得出錯誤的結論。另外，是分組分別放縮還是單個對應放縮，是部分放縮還是整體放縮，都要根據不等式的結構特點掌握清楚。
（摘自：《考試報·高二數學版》2004年/07月/20日）
1、比較法（作差法）
在比較兩個實數 和 的大小時，可藉助 的符號來判斷。步驟一般為：作差——變形——判斷（正號、負號、零）。變形時常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化積、應用已知定理、公式等。
例1、已知： ， ，求證： 。
證明： ，故得 。
2、分析法（逆推法）
從要證明的結論出發，一步一步地推導，最後達到命題的已知條件（可明顯成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推導過程都必須可逆。
例2、求證： 。
證明：要證 ，即證 ，即 ， ， ， ， ，由此逆推即得 。
3、綜合法
證題時，從已知條件入手，經過逐步的邏輯推導，運用已知的定義、定理、公式等，最終達到要證結論，這是一種常用的方法。
例3、已知： ， 同號，求證： 。
證明：因為 ， 同號，所以 ， ，則 ，即 。
4、作商法（作比法）
在證題時，一般在 ， 均為正數時，藉助 或 來判斷其大小，步驟一般為：作商——變形——判斷（大於1或小於1）。
例4、設 ，求證： 。
證明：因為 ，所以 ， 。而 ，故 。
5、反證法
先假設要證明的結論不對，由此經過合理的邏輯推導得出矛盾，從而否定假設，導出結論的正確性，達到證題的目的。
例5、已知 ， 是大於1的整數，求證： 。
證明：假設 ，則 ，即 ，故 ，這與已知矛盾，所以 。
6、迭合法（降元法）
把所要證明的結論先分解為幾個較簡單部分，分別證明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性質，使原不等式獲證。
例6、已知： ， ，求證： 。
證明：因為 ， ，
所以 ， 。
由柯西不等式
，所以原不等式獲證。
7、放縮法（增減法、加強不等式法）
在證題過程中，根據不等式的傳遞性，常採用捨去一些正項（或負項）而使不等式的各項之和變小（或變大），或把和（或積）里的各項換以較大（或較小）的數，或在分式中擴大（或縮小）分式中的分子（或分母），從而達到證明的目的。值得注意的是「放」、「縮」得當，不要過頭。常用方法為：改變分子（分母）放縮法、拆補放縮法、編組放縮法、尋找「中介量」放縮法。
例7、求證： 。
證明：令 ，則
，
所以 。
8、數學歸納法
對於含有 的不等式，當 取第一個值時不等式成立，如果使不等式在 時成立的假設下，還能證明不等式在 時也成立，那麼肯定這個不等式對 取第一個值以後的自然數都能成立。
例8、已知： ， ， ，求證： 。
證明：（1）當 時， ，不等式成立；
（2）若 時， 成立，則
= ，
即 成立。
根據（1）、（2）， 對於大於1的自然數 都成立。
9、換元法
在證題過程中，以變數代換的方法，選擇適當的輔助未知數，使問題的證明達到簡化。
例9、已知： ，求證： 。
證明：設 ， ，則 ，
（因為 ， ），
所以 。
10、三角代換法
藉助三角變換，在證題中可使某些問題變易。
例10、已知： ， ，求證： 。
證明：設 ，則 ；設 ，則
所以 。
11、判別式法
通過構造一元二次方程，利用關於某一變元的二次三項式有實根時判別式的取值范圍，來證明所要證明的不等式。
例11、設 ，且 ，求證： 。
證明：設 ，則
代入 中得 ，即
因為 ， ，所以 ，即 ，
解得 ，故 。
12、標准化法
形如 的函數，其中 ，且
為常數，則當 的值之間越接近時， 的值越大（或不變）；當 時， 取最大值，即
。
標准化定理：當A+B為常數時，有 。
證明：記A+B=C，則
，
求導得 ，由 得C=2A，即A=B
又由 知 的極大值點必在A=B時取得
由於當A=B時， ，故得不等式。
同理，可推廣到關於 個變元的情形。
例12、設A，B，C為三角形的三內角，求證： 。
證明：由標准化定理得，當A=B=C時， ，取最大值 ，故 。
13、等式法
應用一些等式的結論，可以巧妙地給出一些難以證明的不等式的證明。
例13（1956年波蘭數學競賽題）、 為 的三邊長，求證：
。
證明：由海倫公式 ，
其中 。
兩邊平方，移項整理得
而 ，所以 。
14、函數極值法
通過變換，把某些問題歸納為求函數的極值，達到證明不等式的目的。
例14、設 ，求證： 。
證明：
當 時， 取最大值 ；
當 時， 取最小值－4。
故 。
15、單調函數法
當 屬於某區間，有 ，則 單調上升；若 ，則 單調下降。推廣之，若證 ，只須證 及 即可， 。
例15、 ，求證： 。
證明：當 時， ，而
故得 。
16、中值定理法
利用中值定理： 是在區間 上有定義的連續函數，且可導，則存在 ， ，滿足 來證明某些不等式，達到簡便的目的。
例16、求證： 。
證明：設 ，則
故 。
17、分解法
按照一定的法則，把一個數或式分解為幾個數或式，使復雜問題轉化為簡單易解的基本問題，以便分而治之，各個擊破，從而達到證明不等式的目的。
例17、 ，且 ，求證： 。
證明：因為
所以 。
18、構造法
在證明不等式時，有時通過構造某種模型、函數、恆等式、復數等，可以達到簡捷、明快、以巧取勝的目的。
例18、已知： ， ，求證： 。
證明：依題設，構造復數 ， ，則 ，
所以
故 。
19、排序法
利用排序不等式來證明某些不等式。
排序不等式：設 ， ，則有
，其中 是 的一個排列。當且僅當 或 時取等號。
簡記作：反序和 亂序和 同序和。
例19、求證： 。
證明：因為 有序，所以根據排序不等式同序和最大，即 。
20、幾何法
藉助幾何圖形，運用幾何或三角知識可使某些證明變易。
例20、已知： ，且 ，求證： 。
證明：以 為斜邊， 為直角邊作
延長AB至D，使 ，延長AC至E，使 ，過C作AD的平行線交DE於F，則 ∽ ，令 ，
所以
又 ，即 ，所以 。
另外，還可以利用重要的不等式來證題，如平均不等式、柯西（Cauchy）不等式、琴生（Jensen）不等式、絕對值不等式、貝努利（J.Bernoulli）不等式、赫爾德（O.HÖlder）不等式、三角形不等式、閔可夫斯基（H.Minkowski）不等式等，這里不再煩述了。
在實際證明中，以上方法往往相互結合、互相包含，證題時，可能同時運用幾種方法，結合起來加以證明。
參考文獻
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[2]方初寶等編•數學猜想法淺談•重慶：科技文獻出版社重慶分社，1988
[3]吳德風•不等式與線性規劃初步•北京：科學普及出版社，1983