矩陣消元法的快速方法

❶ 將矩陣化簡為行最簡形矩陣有什麼技巧，或者一般有什麼特定的步驟么

對調兩行；以非零數k乘以某一行的所有元素；把某一行所有元素的k倍加到另一行對應元素上去。

下列三種變換稱為矩陣的行初等變換：

（1）對調兩行；

（2）以非零數k乘以某一行的所有元素；

（3）把某一行所有元素的k倍加到另一行對應元素上去。

行最簡形矩陣是由方程組唯一確定的，行階梯形矩陣的行數也是由方程組唯一確定的。

將定義中的「行」換成「列」，即得到矩陣的初等列變換的定義。矩陣的初等行變換與矩陣的初等列變換，統稱為矩陣的初等變換。

(1)矩陣消元法的快速方法擴展閱讀：

將矩陣化簡為行最簡形矩陣的定理：

1、任一矩陣可經過有限次初等行變換化成階梯形矩陣；

2、任一矩陣可經過有限次初等行變換化成行最簡形矩陣；

矩陣在經過初等行變換化為最簡形矩陣後，再經過初等列變換，還可以化為最簡形矩陣，因此，任一矩陣可經過有限次初等變換化成標准形矩陣。

❷ 線性方程組有唯一解，無解，有無窮多解

假定對於一個含有n個未知數m個方程的線性方程組而言，若n<=m, 則有：

1、當方程組的系數矩陣的秩與方程組增廣矩陣的秩相等且均等於方程組中未知數個數n的時候，方程組有唯一解；

2、當方程組的系數矩陣的秩與方程組增廣矩陣的秩相等且均小於方程組中未知數個數n的時候，方程組有無窮多解；

3、當方程組的系數矩陣的秩小於方程組增廣矩陣的秩的時候，方程組無解；

4、若n>m時，當方程組的系數矩陣的秩與方程組增廣矩陣的秩相等的時候，方程組有無窮多解；

5、當方程組的系數矩陣的秩小於方程組增廣矩陣的秩的時候，方程組無解。

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線性方程組解題法則：

1、克萊姆法則：用克萊姆法則求解方程組 有兩個前提，一是方程的個數要等於未知量的個數，二是系數矩陣的行列式要不等於零。用克萊姆法則求解方程組實際上相當於用逆矩陣的方法求解線性方程組，它建立線性方程組的解與其系數和常數間的關系。

2、矩陣消元法：將線性方程組的增廣矩陣通過行的初等變換化為行簡化階梯形矩陣 ，則以行簡化階梯形矩陣為增廣矩陣的線性方程組與原方程組同解。當方程組有解時，將其中單位列向量對應的未知量取為非自由未知量，其餘的未知量取為自由未知量，即可找出線性方程組的解。

❸ 行最簡形矩陣化簡就只能通過看來化簡嗎

將矩陣化簡為行最簡形矩陣有多種化簡方式，一般都是用可逆矩陣進行行列變換，在數值計算中，還經常用到正交型的變換與三角形的變換。
1、矩陣的QR分解：Q是一個正交陣，R是上三角矩陣。矩陣的QR分解可以有兩種方法。
其一是Gram-Schmidt正交化方法。該方法的好處是，不論分解了多少步，都可以中途停止。利用這一方法得到的修正的Gram-Schmidt正交化方法，也可以算是Arnoldi方法是矩陣快速求特徵值的方法。相關知識可參閱有關Krynov子空間的知識。
其二是Household正交三角化方法，該方法的本質是利用鏡像變換運算元將原矩陣下三角部分化為0。最後可以得到一個上三角矩陣。方法的缺點是不能中途停止。
2、矩陣的SVD分解：可將一個mxn矩陣通過乘以正交矩陣化簡為單位陣和零矩陣的拼接。SVD（singular value decomposition），顧名思義奇異值分解，是適用於任何矩陣的一種分解。在求解低秩矩陣逼近時應用廣泛。
3、Gauss消元法。這也是矩陣化簡為標准型的一種方法。最後可以得到一個上三角矩陣。用途是求解線性方程組。優點是計算簡便，缺點是穩定性分析過於復雜。
4、Schur分解：利用酉相似變換將一個復矩陣變換為一個上三角矩陣。在復矩陣是厄米矩陣的時候，最後可以得到一個對角矩陣。

❹ 矩陣消元法求解！在線等

1 -2 2 0
0 7 -7 0
0 3 -1 3
0 5 -15 -15
↓（第三行乘以-2加到第二行）
1 -2 2 0
0 1 -5 -6
0 3 -1 3
0 5 -15 -15
↓（第二行乘以-5加到第5行）
1 -2 2 0
0 1 -5 -6
0 3 -1 3
0 0 10 15
↓（第二行乘以-3加到第三行）
1 -2 2 0
0 1 -5 -6
0 0 14 21
0 0 10 15
↓（第三行除以7乘以2加到第二行，你自己寫）

❺ 矩陣的初等變換有什麼技巧，光是書本的知識太為難人了，求大神解答，謝謝！

實際上矩陣的變換只是線性方程組的幾個方程進行加減消元的過程的抽象化體現。所以直接想像成解線性方程組，進行加減消元就可以了。

方法：看到一個矩陣，先看左上角那個數是不是1，是1，OK。如果不是1，和第一個數是1的那一行換一下。接下來，把第一列除了左上角的1之外所有元素變為0，這里用的就是行變換。

這個過程中，如果某兩行對應成比例，就可以讓其中的一行全變為0。直到將矩陣化為階梯型，像台階一樣的形式，就可以了。

(5)矩陣消元法的快速方法擴展閱讀

初等行變換

1）以P中一個非零的數乘矩陣的某一行。

2）把矩陣的某一行的c倍加到另一行，這里c是P中的任意一個數。

3）互換矩陣中兩行的位置。

一般來說，一個矩陣經過初等行變換後就變成了另一個矩陣，當矩陣A經過初等行變換變成矩陣B時，一般寫作A-B.可以證明：任意一個矩陣經過一系列初等行變換總能變成階梯型矩陣。

初等列變換

1）以P中一個非零的數乘矩陣的某一列。

2）把矩陣的某一列的c倍加到另一列，這里c是P中的任意一個數。

3）互換矩陣中兩列的位置。

❻ 線性代數有幾種解線性方程組的方法

1、克萊姆法則

用克萊姆法則求解方程組 有兩個前提，一是方程的個數要等於未知量的個數，二是系數矩陣的行列式要不等於零。

用克萊姆法則求解方程組實際上相當於用逆矩陣的方法求解線性方程組，它建立線性方程組的解與其系數和常數間的關系，但由於求解時要計算n+1個n階行列式，其工作量常常很大，所以克萊姆法則常用於理論證明，很少用於具體求解。

2、矩陣消元法

將線性方程組的增廣矩陣通過行的初等變換化為行簡化階梯形矩陣，則以行簡化階梯形矩陣為增廣矩陣的線性方程組與原方程組同解。當方程組有解時，將其中單位列向量對應的未知量取為非自由未知量，其餘的未知量取為自由未知量，即可找出線性方程組的解。

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xj表未知量，aij稱系數，bi稱常數項。

稱為系數矩陣和增廣矩陣。若x1=c1，x2=c2，…，xn=cn代入所給方程各式均成立，則稱（c1，c2，…，cn）為一個解。若c1，c2，…，cn不全為0，則稱（c1，c2，…，cn）為非零解。

若常數項均為0，則稱為齊次線性方程組，它總有零解（0，0，…，0）。兩個方程組，若它們的未知量個數相同且解集相等，則稱為同解方程組。線性方程組主要討論的問題是：

一個方程組何時有解。

有解方程組解的個數。

對有解方程組求解，並決定解的結構。這幾個問題均得到完滿解決：所給方程組有解，則秩(A）=秩（增廣矩陣）；若秩(A）=秩=r，則r=n時，有唯一解；r<n時，有無窮多解；可用消元法求解。

當非齊次線性方程組有解時，解唯一的充要條件是對應的齊次線性方程組只有零解；解無窮多的充要條件是對應齊次線性方程組有非零解。但反之當非齊次線性方程組的導出組僅有零解和有非零解時，不一定原方程組有唯一解或無窮解，事實上，此時方程組不一定有 ，即不一定有解。

克萊姆法則（見行列式）給出了一類特殊線性方程組解的公式。n個未知量的任一齊次方程組的解集均構成n維空間的一個子空間。

❼ 線性代數，線性方程組的解

1、克萊姆法則

用克萊姆法則求解方程組實際上相當於用逆矩陣的方法求解線性方程組，建立線性方程組的解與其系數和常數間的關系。

2、矩陣消元法

將線性方程組的增廣矩陣通過行的初等變換化為行簡化階梯形矩陣，則以行簡化階梯形矩陣為增廣矩陣的線性方程組與原方程組同解。當方程組有解時，將其中單位列向量對應的未知量取為非自由未知量，其餘的未知量取為自由未知量，即可找出線性方程組的解。

對有解方程組求解，並決定解的結構。這幾個問題均得到完滿解決：所給方程組有解，則秩(A）=秩（增廣矩陣）；若秩(A）=秩=r，則r=n時，有唯一解；r<n時，有無窮多解；可用消元法求解。

(7)矩陣消元法的快速方法擴展閱讀：

求解線性方程組的注意事項：

1、用克萊姆法則求解方程組有兩個前提：方程的個數要等於未知量的個數；系數矩陣的行列式要不等於零。

2、由於求解時要計算n+1個n階行列式，其工作量常常很大，所以克萊姆法則常用於理論證明，很少用於具體求解。

3、當非齊次線性方程組有解時，解唯一的充要條件是對應的齊次線性方程組只有零解；解無窮多的充要條件是對應齊次線性方程組有非零解。但反之當非齊次線性方程組的導出組僅有零解和有非零解時，不一定原方程組有唯一解或無窮解，事實上，此時方程組不一定有 ，即不一定有解。

❽ 消元法解方程組，矩陣變換。實在看不懂它是怎麼變的

你是說矩陣的變換那裡？那就是矩陣的初等變換。
消去法解方程就是寫出方程的系數矩陣，然後通過矩陣的初等變化把系數矩陣化成上三角矩陣，根據矩陣的秩來判斷方程解的情況。

❾ 高斯-約旦列主元消去法。是最快速高效的矩陣求逆的方法嗎

基本上可以說肯定不是。
首先要講清楚是要求解線性方程組還是一定要顯式求出矩陣的逆，如果是前者還涉及右端項到底有多少個，然後還要給所謂的快速和高效定一個標准，這樣才有意義。
不過即便是對於無結構的普通方陣而言，通常純的Gauss消去法比Gauss-Jordan消去法要好，因為O(n^3)部分的代價小，後續解方程時可以視情況而選擇，而Gauss-Jordan消去則沒有選擇餘地。

❿ 行列式加減消元法

那就是行列式法,可以直接得出結果:
二元一次方程組的
a1x+b1y=c1
a2x+b2y=c2
判別式d=a1b2-a2b1
若d0, 有唯一x=(b2c1-b1c2)/d, y=(a1c2-a2c1)/d
若d=0, 若b2c1-b1c2=0,有無數解.兩方程退化為同一方程.
若b2c1-b1c2,則無解.
三元一次方程組:
a1x+b1y+c1z=d1
a2x+b2y+c2z=d2
a3x+b3y+c3z=d3
d0時有唯一
x=dx/d, y=dy/d, z=dz/d,
其中d, dx,dy,dz如下：
|a1 b1 c1 |
d =|a2 b2 c2 |,
|a3 b3 c3 |
|d1 b1 c1 |
dx= |d2 b2 c2 |,
|d3 b3 c3 |
|a1 d1 c1 |
dy =|a2 d2 c2 |,
|a3 d3 c3 |
|a1 b1 d1 |
dz= |a2 b2 d2 |,
|a3 b3 d3 |