三角換元求函數值域或最值技巧和方法

㈠ 怎麼求三角函數的值域和最值

三角函數最值求法歸納：
一、一角一次一函數形式
即將原函數關系式化為：y=Asin（wx+φ）+b或y=Acos（wx+φ）+b或y=Atan（wx+φ）+b的形式即可利用三角函數基本圖像求出最值。
如：

二、一角二次一函數形式
如果函數化不成同一個角的三角函數，那麼我們就可以利用三角函數內部的關系進行換元，以簡化計算。最常見的是sinx+cosx和sinxcosx以及sinx-cosx之間的換元。例如：

三、利用有界性
即：利用-1＜cosx＜1和-1＜sinx＜1的性質進行計算：例如：

四、利用一元二次方程
即將原來的用三角函數表示y改寫成用y表示某一個三角函數的形式，利用一元二次方程的有根的條件，即△的與0的大小關系，進行計算，這里可以參考《高中數學必修1 》中的基本初等函數的值域計算。
五、利用直線的斜率，如下面的例子：

六、利用向量求解：
首先，我們必須掌握求解的工具：

進而我們可以將原函數寫成兩個向量點乘的形式，利用向量的基本性質求解！

滿意請採納。

㈡ 三角函數求值域有什麼技巧嗎

藉助於圖形來理解，會簡單的多。
幾個三角函數的基本圖形至少應該知道。
三角運算也應該了如指掌。
再就是熟能生巧了。

㈢ 用三角換元法求函數值域

答：見下圖，這里的公式用錯了。應該是y=√2sin(π/4-θ)=-√2sin(θ-π/4)=√2cos(π/4+θ)；見紅框內的等式。

㈣ 高中數學用三角換元求函數的值域

比如這個式子：根號x+根號（1-x）=y,當x屬於[0,1]時,求值域因為這個函數很難確定單調性,所以不能將區間端點直接帶入,而x又在這個區間內,正好滿足三角函數sin
cos的值域,所以設x=sin2x（sinx的平方）,然後sin2x+cos2x=1,根據這個式子就變成了sinx+cosx=y,這時候再根據單位圓就很容易看出值域了,應該是[1,+根2]三角換元法主要是看定義域,定義域必須滿足三角函數的定義域才能使用三角換元法,所以當你看到x屬於[-1,1]時,或者在這之內的時候,就可以考慮三角換元了

㈤ 用三角換元法求函數的值域。

吧x=sin a帶入 就好了 y=cos a +sin a 然後就提個就是y=√2sin（a+45） 值域就是【-√2，+√2】

㈥ 求三角換元法解函數題,換元的一般思路及方法,比如求最大值等問題

第一題，先做無理數換元，令u=√(x-4)，則化原式y=u+√(6-3u^2) = u+√6*(1-u^2/2)
第二題，根號裡面變為1-(x-1)^2，原式y=2x+1+√(1-(x-1)^2)
兩道題都是在根號內根據定義域進行三角換元，第一個是令cost = u/√2, 第二題是令cost = x-1
三角換元的步驟一般是：1、找到定義域，確定x自變數的范圍。2、對無理式進行分析，兩個或者以上的無理式要根據實際情況先化成一個無理式（如題一）。一個無理式的根據三角公式的特性（一般情況下用到sint^2+cost^2=1或者tant^2+1=sect^2這兩個）進行換元。3、根據換元後的結果進行三角運算，化成單一三角函數的形式，再結合1所確定定義域的范圍來確定角的的范圍就可以找到最大最小值。（例如題二y=3+2cost+sint=3+√5sin（t+s）其中tans=2）
其實此類題目我極其不推薦用三角換元的方法，慢，而且容易找錯角的范圍。如果你學過導數，我推薦用導數的方法來解。
附上導數解題步驟：1、找出定義域范圍。2、求導數。3、令y的導數為零並解出x的值。如果導數為零有兩個以上解，直接到第四步。4、利用3解出的x的值配合定義域范圍找出單調區間。5、結合單調區間畫草圖就可以知道最大最小值。

㈦ 用三角換元法求該函數值域！！

4x+3>=0 =>x>=-3/4
4-4x>=0 =>x<=1
所以-3/4<=x<=1
令cosa=根號(4x+3)/根號7 (a在[0,90])
7cos^2 a=4x+3
x=(7cos^2 a-3)/4
4-4x=4-7cos^2 a+3=7-7cos^2 a=7sin^2 a
所以y=根號7 (cosa +sina)
=根號14 *sin(a+45)
所以 根號7<=y<=根號14

㈧ 三角換元法求函數值域

由題目知，1-x^2≥0得-1≤x≤1
令x=sina a∈R
原式=√3*sina+cosa
=2(cos30°*sina+sin30°cosa)
=2sin(30°+a)
因為sin(30°+a), a∈R的取值范圍為-1≤x≤1
所以原式取值范圍為-2≤x≤2