數值計算方法中如何避免誤差

① 如何避免計算機軟體中計算時的數值誤差

數值誤差無法避免

② 數值計算中控制誤差的若干原則

1.要避免除數絕對值遠遠小於被除數絕對值的除法

用絕對值小的數作除數進行除法運算時，舍入誤差會增大。如計算x/y時，若0<｜y｜ㄍ｜x｜，則可能對計算結果帶來嚴重影響，應盡量避免。

［例］線性方程組

地球物理數據處理基礎

其准確解為

地球物理數據處理基礎

在四位浮點十進制數（仿機器實際計算）下，用消去法求解，上述方程可寫成

地球物理數據處理基礎

若用 除第一方程減第二方程，則出現用小的數除大的數，得到

地球物理數據處理基礎

由此解出

x₁＝0，x₂＝10¹×0.1000＝1，顯然結果嚴重失真。

若反過來用第二個方程消去第一個方程中含x₁的項，則避免了小除數、大乘數，得到

地球物理數據處理基礎

由此求得相當好的近似解

x₁＝0.5000，x₂＝10¹×0.1000＝1

2.要避免兩相近數相減

在數值計算中兩個相近的數相減有效數字會嚴重損失，例如X＝532.65，Y＝532.52都是有五位有效數字，但X－Y＝0.13隻有兩位有效數字。這說明必須盡量避免出現這類運算。最好是改變計算方法，防止這種現象產生。現舉例說明。

［例］計算A＝10⁷［1－cos2°］（四位數學表）

由於cos2°＝0.9994，直接計算則有

地球物理數據處理基礎

其結果只有一位有效數字；若用 sin1°＝0.0175，則

地球物理數據處理基礎

其結果則具有三位有效數字。此例說明，可通過改變計算公式避免或減少有效數字的損失。

類似的，如果x₁和x₂很接近時，則 用右邊算式，有效數字就不會損失。

當x很大時：

地球物理數據處理基礎

都用右端算式代替左端。如果無法改變算式，則採用雙字長運算，但這會增加計算時間和內存佔有量。

3.要防止大數「吃掉」小數

在數值運算中參加運算的數有時數量級相差很大，而計算機位數有限，如不注意就會出現大數「吃掉」小數。

［例］求解x²－（10¹²＋1）x＋10¹²＝0

解：由因式分解易知准確解為x₁＝10¹²，x₂＝1。若用10位有效數字的計算機，按下式計算，即

地球物理數據處理基礎

計算即得x₁＝10¹²，x₂＝0。錯誤原因反映在公式中 其中 表示計算機中的相等。這是因為在計算機內計算時要對階，即

地球物理數據處理基礎

把小數吃了。

同理，因為 ，故

地球物理數據處理基礎

4.注意簡化計算步驟，減少運算次數

簡化計算步驟，減少運算次數不但可節省計算時間，而且還能減少舍入誤差。這是數值計算必須遵從的原則。

［例］計算x²⁵⁵的值，若逐個相乘，需用254次乘法，若按各次平方計算，即

x²⁵⁵＝x·x²·x⁴·x⁸·x¹⁶·x³²·x⁶⁴·x¹²⁸

只要做14次乘法運算即可。

③ 如何避免mathcad計算結果的誤差

你現在存在的誤差表現在什麼地方？
MatchCAD計算時，要避免誤差首先是要方法正確，如解方程就有多種方法。其次你可選擇合適的小數位數，最高可達17位，應該可以滿足絕大多數的精度要求了。

④ 在數值結算中,應該怎樣減少舍入誤差

1、要避免除數絕對值遠遠小於被除數絕對值的除法，用絕對值小的數作除數進行除法運算時，舍入誤差會增大。如計算x/y時，若0<｜y｜ㄍ｜x｜，則可能對計算結果帶來嚴重影響，應盡量避免。
2、要避免兩相近數相減，在數值計算中兩個相近的數相減有效數字會嚴重損失，例如X＝532.65，Y＝532.52都是有五位有效數字，但X－Y＝0.13隻有兩位有效數字。這說明必須盡量避免出現這類運算。最好是改變計算方法，防止這種現象產生。現舉例說明。
3、要防止大數「吃掉」小數，在數值運算中參加運算的數有時數量級相差很大，而計算機位數有限，如不注意就會出現大數「吃掉」小數。
4、注意簡化計算步驟，減少運算次數，簡化計算步驟，減少運算次數不但可節省計算時間，而且還能減少舍入誤差。這是數值計算必須遵從的原則。

⑤ 統計學常見三大誤差如何避免

隨機誤差，選擇合適的抽樣方法即可避免。偶然誤差，是人為造成。可提高業務素質避免。系統誤差是儀器造成，了修正儀器避免。

⑥ 數值分析 避免誤差危害的若干原則有哪些

最大的、最小的先拿出來，出現頻率高和低的也拿出來，再找找他們出現的規律，求方差、均值等等，那麼一組數據的基本情況應該出來了。

⑦ 定量分析中的誤差就其來源和性質不同可分為哪兩種誤差說明如何避免

系統誤差和偶然誤差，其中系統誤差主要包括：儀器誤差、方法誤差、試劑誤差、操作誤差，系統誤差是可以避免的；偶然誤差又稱隨機誤差，一般無法避免，呈正態分布。
提高分析結果准確度的方法：1、選擇合適的分析方法；2、增加平行測定的次數；3、減小測量誤差；4、消除測定中的系統誤差。

⑧ 在數值計算方法中,誤差是如何分類的

1.1 概述

1. 定義數值計算目標: 尋找一個能迅速完成的（迭代演算法）演算法，同時估計計算結果的准確度。

1.2 誤差分析基礎

1. 誤差來源：截斷誤差、舍入誤差、數學建模時的近似、測量誤差（數據誤差）

2. 誤差的分類：

絕對誤差e(\hat{x}) = \hat{x} - x ；誤差限

相對誤差 e_r(\hat{x}) = \frac{\hat{x} - x}{x} 或者 e_r(\hat{x}) = \frac{\hat{x} - x}{\hat{x}} ；相對誤差限

3. 定義有效數字：從左到右第一位非零數字開始的所有數字

定理：設x與其近似值\hat{x} 的第一位有效數字相同，均為d_0 ，若\hat{x} 有p位正確的有效數字，則其相對誤差滿足：

|e_r(\hat{x})| \leq \frac{1}{d_0} \times 10^{-p + 1}

定理：設對x保留p位有效數字後得到近似值 \hat{x} ，則相對誤差滿足：

|e_r(\hat{x})| = \frac{1}{2d_0} \times 10^{-p+1}

定理：設x的第一位有效數字為 d_0 ，若近似值\hat{x} 的相對誤差滿足 |e_r(\hat{x})| \leq \frac{1}{2(d_0 + 1)} \times 10^{-p + 1} 則\hat{x} 具有p位正確的有效數字，或者在保留p位有效數字後 \hat{x} = x

定理：若x的近似值在 \hat{x} 相對誤差滿足 |e_r(\hat{x})| \leq \frac{1}{2} \times 10^{-p} ，則 \hat{x} 至少有p位正確的有效數字，或者在保留p位有效數字後 \hat{x} = x

應用：可以不嚴謹的說如果相對誤差不超過 10^{-p} 怎有p位正確的有效數字

4. 區分：精度（precision）：有效數字的位數有關

准確度（accuracy）：與准確的有效數字的位數有關

5. 數據傳遞誤差與計算誤差：考慮 f(x), f(\hat{x}), \hat{f}(\hat{x})

計算誤差：計算過程中的近似引起的誤差，例 \hat{f}(\hat{x}) - f(\hat{x})

數據傳遞誤差：單純由輸入數據誤差引起的計算結果的誤差，例 f

⑨ 數值分析，怎麼避免誤差危害

1. 避免除數絕對值遠遠小於被除數絕對值的除法；

2. 避免兩個相近的數相減；

3. 防止大數吃小數；

4. 簡化計算步驟，減少運算次數。