數值微分的計算方法

① 數值微分的舉例說明

根據函數在一些離散點的函數值，推算它在某點的導數或某高階導數的近似值。通常用差商代替微商，或用一能近似代替該函數的較簡單的函數（如多項式、樣條函數）的相應導數作為所求導數的近似值。例如，對帶余項的插值公式ƒ(x)=I(x)+R(x)取k階導數就得到帶余項的數值微分公
這里插值函數I(x)的k階導數I(k)(x)即為所求k階導數 ƒ(k)(x)的近似值，而插值函數余項R(x)的k階導數R(k)(x)則給出此近似值的截斷誤差。
通常利用多項式插值進行數值微分。設函數ƒ(x)在n+1個等距點xv=α+vh（v=0,1,…,n）上的值ƒv=ƒ(xv)為已知，則通過低次插值可導出一些最基本和常用的數值微分公式，例如，兩點公式 三點公式等等。此外,利用具有n+1個等距節點的拉格朗日插值公式,還可導出在節點xj(i=0,1,…,n)上的較為一般的數值微分公式
這里Ai,v、Bi,v僅與 n、i、v有關,而相應的截斷誤差可分別表成式中因此，當節點的個數n+1固定時，間距h愈小， 則截斷誤差也愈小。但是這時系數絕對值之和隨h的變小而劇增,所以函數值ƒv的舍入誤差對近似導數的影響也隨h的變小而劇增。因此，h並非愈小愈好，而是要適中，這是數值微分不同於某些插值之處。如果函數ƒ(x)有很好的可微性，即存在絕對值不太大的較高階導數，則寧取間距稍大而個數稍多的節點。當ƒ(x)在節點分布的整個區間上的可微性不太好時，利用樣條插值進行數值微分比利用多項式插值更適宜，只是計算量要大得多。
如果數據ƒv帶有不容忽視的隨機誤差，而其對應的自變數分布甚密，就應該用曲線擬合代替上述函數插值，然後用擬合曲線的導數作為函數ƒ(x)的導數的近似值。這樣求得的導數叫做磨光的導數。

② 微分公式是什麼

基本微分公式是dy=f'（x）dx。

微分公式的推導設函數y = f(x)在某區間內有定義，x0及x0+△x在這區間內，若函數的增量Δy = f(x0 +Δx)−f(x0)可表示為Δy = AΔx + o(Δx)，其中A是不依賴於△x的常數，o(Δx)是△x的高階無窮小，則稱函數y = f(x)在點x0是可微的。

學習微積分的方法有：

1、課前預習

一個老生常談的話題，也是提到學習方法必將的一個，話雖老，雖舊，但仍然是不得不提。雖然大家都明白該這樣做，但是真正能夠做到課前預習的能有幾人，課前預習可以使我們提前了解將要學習的知識，不至於到課上手足無措，加深我們聽課時的理解，從而能夠很快的吸收新知識。

2、記筆記

這里主要指的是課堂筆記，因為每節課的時間有限，所以老師將的東西一般都是精華部分，因此很有必要把它們記錄下來，一來可以加深我們的理解，好記性不如爛筆頭嗎，二來可以方便我們以後復習查看。

3、認真聽講

對於大學生，特別是大一新生，學習方式與上高中時有了很大不同，上課時老師基本都用PPT來講課，但是，千萬不要認為上課不用聽，下課把老師的PPT拷貝下來學習就可以了，老師上課會滲透很多PPT上沒有的內容，如果錯過了，在PPT上是找不到的。

4、課後復習

同預習一樣，是個老生常談的話題，但也是行之有效的方法，課堂的幾十分鍾不足以使我們學習和消化所學知識，需要我們在課下進行大量的練習與鞏固，才能真正掌握所學知識。

③ 數值微分法用通俗的語言解釋一下它的實現方法

就是求導了！
作差，求商,求極限唄
參考：http://ke..com/view/295773.htm
數學分析裡面有的
根據函數在一些離散點的函數值，推算它在某點的導數或高階導數的近似值的方法。通常用差商代替微商，或者用一個能夠近似代替該函數的較簡單的可微函數（如多項式或樣條函數等）的相應導數作為能求導數的近似值。例如一些常用的數值微分公式(如兩點公式、三點公式等)就是在等距步長情形下用插值多項式的導數作為近似值的。此外，還可以採用待定系數法建立各階導數的數值微分公式，並且用外推技術來提高所求近似值的精確度。當函數可微性不太好時，利用樣條插值進行數值微分要比多項式插值更適宜。如果離散點上的數據有不容忽視的隨機誤差，應該用曲線擬合代替函數插值，然後用擬合曲線的導數作為所求導數的近似值，這種做法可以起到減少隨機誤差的作用。數值微分公式還是微分方程數值解法的重要依據。

另請參考：http://www.fjtu.com.cn/fjnu/courseware/0329/course/_source/web/lesson/char7/j1.htm

下面是一個包含了簡單差商的C代碼，是我寫給別人的，椐說有點錯誤，但我因為這不影響你理解差商
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
0.84147 0.85770 0.89924 0.94898 0.98777 0.99955

要求:
1.根據上表,計算差商表,並列印出來.
2.列印出Newton插值多項式.
3.計算f(1.673),用3次Newton插值多項式.
4.計算f(0.618),用5次Newton插值多項式.
根據以上要求,請用C或C++編寫個程序.

#include<math.h>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
typedef struct data
{float x;
float y;}Data;
void scan(Data* a)
{float x,y;
scanf("%f%f",&x,&y);
(*a).x=x;
(*a).y=y;}
float f(Data *d,int s,int t)
{
if(t==s+1) return (d[t].y-d[s].y)/(d[t].x-d[s].x);
else return (f(d,s+1,t)-f(d,s,t-1))/(d[t].x-d[s].x);
}
float Newton(Data *d,float x)
{float t=1.0;
float y=d[0].y;
float yt=0;
int j,n;
while(1){
printf("\ninput n:");
scanf("%d",&n);
if(n<20) break;
else system("cls");}
for(j=1;j<=n;j++){
t=(x-d[j-1].x)*t;
yt=f(d,0,j)*t;
printf("%f\n",f(d,0,j));
y=y+yt;}
return y;
}
main(){
Data d[20];
Data *p=d;
int i,n;
float y,x;
printf("\ninput arrey ( <20 ):" );
scanf("%d",&n);
for(i=0;i<n;i++) scan(p+i);
printf("\ninput x:");
scanf("%f",&x);
y=Newton(d,x);
printf("\nji guowei:%f",y);
}

④ 一般來講,解決問題有經驗方法、理論方法、經驗對比法等,請問數值計算的方法

摘要 您好，很高興為您解答:

⑤ 怎麼算啊

• 具體計算的時候，如果選擇的是帶肋類型，公稱直徑超過了25毫米，計算錨固長度的時候，需要乘以1.15，這個1.15就是指它的修正系數...

• 如果抗震等級達到了一級或者二級，這個系數就按照1.15來計算。 如果達到了三級，系數就按照1.05。 如果達到了四級，系數就會按照...

• 如果是縱向的起到了受力的作用，鋼筋的尾部需要採取彎鉤措施，同時它的錨固長度可以按照基本值的60%來計算。

• (1x6%+1x8%)/(2x44%+2x6%+1x42%+1x8%)x100% =(0.06+0.08)/(2x0.44+2x0.06+1x0.42+1x0.08)x100% =0.093x100% =9.3% ∴選D 答案正確，請【採納答案】，非常感謝。詳情>>

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進行數字加減時,把復雜的數字轉換成容易加減的各位數位零的數字.如,465+654=(400+600)+(50+50)+15+4=1119, ...

計算方法又名數值分析，是為各種數學問題的數值解答研究提供最有效的演算法。計算方法主要內容包括函數逼近論、數值微分、數值積分、誤差分析等，常用方法有迭代法、差分法、插值法、有限元素法等，現代計算方法要求適應電子計算機的特點。計算方法又稱「數值分析」。是為各種數學問題的數值解答研究提供最有效的演算法。主要內...

⑥ 數值微分的一階導數和二階導數公式在具體計算時

答：本題是算是問對人了，
如果你要想深入分析，需要用到函數的泰勒展開。
1） 你說的兩種方法都可以用，但是後面的方法精度更高。
f''(x)=[f(x+h)-2f(x)+f(x-h)]/h^2 方法是等效與 f''(x)=[f'(x+h/2)-f'(x-h/2)]/h 是2階精度
2） 先求其一階導數值，然後再用一階的差分公式求出2階的導數，是1階精度。

就好比 f'(x)=[f(x+h)-f(x-h)]/2h 是2階精度，
f'(x)=[f(x+h)-f(x)]/h 是1階精度。

關鍵就是在泰勒展開方面
f（x+h）=f（x）+f'(x)*h+b*f''(x)*h^2+c*f'''(x)*h^3 b，c為泰勒展開的系數
f（x-h）=f（x）-f'(x)*h+b*f''(x)*h^2-c*f'''(x)*h^3
可以看出 如果用 [f（x+h）-f（x）]/h =f'(x)+b*f''(x)*h+c*f'''(x)*h^2 後面的是誤差項。

如果用 [f（x+h）-f（x=h）]/2h =f'(x) + c*f'''(x)*h^2 可以明顯看出第二種方法的誤差更小。

同理可以推導二階導數的精度問題。

望採納，如果有不明白的，可以進一步溝通

⑦ 求函數微分

使用diff命令
符號運算
diff函數用以演算一函數的微分項，相關的函數語法有下列4個：
diff(f) 傳回f對預設獨立變數的一次微分值
diff(f,'t') 傳回f對獨立變數t的一次微分值
diff(f,n) 傳回f對預設獨立變數的n次微分值
diff(f,'t',n) 傳回f對獨立變數t的n次微分值
也即matlab求導命令diff調用格式:
diff(函數) ， 求的一階導數；
diff(函數， n) ， 求的n階導數(n是具體整數)；
diff(函數，變數名)， 求對的偏導數；
diff(函數， 變數名，n) ，求對的n階偏導數；
數值微分函數也是用diff，因此這個函數是靠輸入的引數決定是以數值或是符號微分，如果引數為向量則執行數值微分，如果引數為符號表示式則執行符號微分。如果輸入一個長度為n的一維向量，則該函數將會返回長度為n-1的向量，向量的值是原向量相鄰元素的差，於是可以計算一階導數的有限差分近似。
先定義下列三個方程式，接著再演算其微分項：
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5';
>>S2 = 'sin(a)';
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)';
>>diff(S1)
ans=18*x^2-8*x+b
>>diff(S1,2)
ans= 36*x-8
>>diff(S1,'b')
ans= x
>>diff(S2)
ans=cos(a)
>>diff(S3)
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3
>>simplify(diff(S3))
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2