不定積分的一般計算方法

1. 計算不定積分

不定積分公式：∫f（x）dx=F（x）+C。其中∫叫做積分號，f（x）叫做被積函數，x叫做積分變數，f（x）dx叫做被積式，C叫做積分常數，求已知函數不定積分的過程叫做對這個函數進行積分。

不定積分的積分公式主要有如下幾類：

含ax+b的積分、含√（a+bx）的積分、含有x^2±α^2的積分、含有ax^2+b（a>0）的積分、含有√（a²+x^2） （a>0）的積分、含有√（a^2-x^2） （a>0）的積分、含有√（|a|x^2+bx+c） （a≠0）的積分。

含有三角函數的積分、含有反三角函數的積分、含有指數函數的積分、含有對數函數的積分、含有雙曲函數的積分。

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積分性質

1、線性性

積分是線性的。如果一個函數f可積，那麼它乘以一個常數後仍然可積。如果函數f和g可積，那麼它們的和與差也可積。

2、保號性

如果一個函數f在某個區間上黎曼可積，並且在此區間上大於等於零。那麼它在這個區間上的積分也大於等於零。如果f勒貝格可積並且幾乎總是大於等於零，那麼它的勒貝格積分也大於等於零。

函數的積分表示了函數在某個區域上的整體性質，改變函數某點的取值不會改變它的積分值。對於黎曼可積的函數，改變有限個點的取值，其積分不變。

2. 計算不定積分的方法

我們是用求不定積分的方法來求定積分的。因它們的提出是不相關的，一是求函數的原函數；一是求曲邊梯形的面積。但通過變上限函數把它們聯系起來了！

3. 求不定積分的幾種運算方法

一、積分公式法

直接利用積分公式求出不定積分。

二、換元積分法

換元積分法可分為第一類換元法與第二類換元法。

1、第一類換元法（即湊微分法）

通過湊微分，最後依託於某個積分公式。進而求得原不定積分。

2、註：第二類換元法的變換式必須可逆，並且在相應區間上是單調的。

第二類換元法經常用於消去被積函數中的根式。當被積函數是次數很高的二項式的時候，為了避免繁瑣的展開式，有時也可以使用第二類換元法求解。常用的換元手段有兩種：

（1） 根式代換法，

（2） 三角代換法。

在實際應用中，代換法最常見的是鏈式法則，而往往用此代替前面所說的換元。

三、分部積分法

設函數和u，v具有連續導數，則d(uv)=udv+v。移項得到udv=d(uv)-v，兩邊積分，得分部積分公式：∫udv=uv-∫v ⑴。

稱公式⑴為分部積分公式。如果積分∫v易於求出，則左端積分式隨之得到。

分部積分公式運用成敗的關鍵是恰當地選擇u，v。

即一個定積分式的值，就是原函數在上限的值與原函數在下限的值的差。

這個理論，揭示了積分與黎曼積分本質的聯系。因此，牛頓-萊布尼茲公式也被稱作微積分基本定理。

4. 不定積分計算

5. 不定積分計算

計算不定積分，首先要把握原函數與不定積分的概念，基本積分法只要熟記常見不定積分的原函數即可。注意把握三種不定積分的計算方法：直接積分法 2.換元積分法（其中有兩種方法） 3.分部積分法。

6. 計算不定積分的方法有哪些

1.基本積分表法，如∫sinxdx＝－cosx+C
2.分部積分法，設u和v都是x的函數且u'和v'存在，那麼∫u'vdx＝uv－∫uv'dx
如要求∫lnxdx＝∫(1×lnx)dx
設u＝x，那麼u'＝1
v＝lnx，那麼v'＝1/x
代入公式，得
∫lnxdx＝xlnx－∫1dx
＝xlnx－x+C
3.換元積分法，有第一換元積分法和第二換元積分法，前者主要用於某些有理函數積分，而後者主要用於某些無理函數積分，這里以第一換元積分法為例，第二換元積分法的例子可以去網上查看。
求∫tanxdx
∵tanx＝sinx/cosx ∴∫tanxdx＝∫(sinx/cosx)dx
∵sinxdx＝d(－cosx)＝－dcosx
∴原積分＝－∫(1/cosx)dcosx＝－∫(1/u)
＝－ln|u|+C＝－ln|cosx|+C
以上是常用的方法。有時候我們還把一個函數表達成冪級數，在其收斂半徑內求積分。

7. 不定積分的方法都有哪些

不定積分中有關有理函數、三角函數有理式、簡單無理函數的求法，是考研中重點考察的內容，也是考研中的難點。不定積分是計算定積分和求解一階線性微分方程的基礎，所以掌握不定積分的計算方法很重要。不定積分考查的函數特點是三角函數、簡單無理函數、有理函數綜合考查，考查方法是換元積分法、分部積分法的綜合應用。不定積分的求法的理解和應用要多做習題，尤其是綜合性的習題，才能真正掌握知識點，並應用於考研。

不定積分的計算方法主要有以下三種：

（1）第一換元積分法，即不定積分的湊微分求積分法；

（2）第二換元積分法

（3）分部積分法

8. 不定積分運演算法則是什麼

不定積分運算沒有乘法運演算法則，只有基本公式法，第一類換元積分，第二類換元積分，分部積分等。

1、積分公式法：直接利用積分公式求出不定積分。

2、第一類換元法（即湊微分法）：通過湊微分，最後依託於某個積分公式。進而求得原不定積分。

不定積分注意：

湊微分法在於整理信息，換元法在於消除無用信息。所以湊之前都要把無用信息消掉再整理。奇怪函數的奇怪的地方都被換元法消除了，因為本質上就不奇怪，就是有理函數那種。這種函數有些自閉，求導導不幹凈，還要積分太可行。有經驗的做題者，應該知道有些東西在積分、求導中不會消失。

9. 不定積分基本公式是什麼

不定積分基本公式如下：

在微積分中，一個函數f的不定積分，或原函數，或反導數，是一個導數等於f的函數F，即F′ =f。

不定積分和定積分間的關系由微積分基本定理確定。其中F是f的不定積分。

不定積分與定積分之間的關系：

定積分是一個數，而不定積分是一個表達式，它們僅僅是數學上有一個計算關系。一個函數，可以存在不定積分，而不存在定積分，也可以存在定積分，而沒有不定積分。

連續函數，一定存在定積分和不定積分；若在有限區間[a,b]上只有有限個間斷點且函數有界，則定積分存在；若有跳躍、可去、無窮間斷點，則原函數一定不存在，即不定積分一定不存在。

10. 不定積分分部積分法公式是什麼

不定積分分部積分法公式是Sudv＝uvSv。

不定積分的分部積分法為Sudv＝uvSv。由於積分號是英文字母S的拉長，為了手機編輯方便，這里我用大寫英文字母S表示積分號。之所以積分號用英文字母S的拉長來表示，主要是因為S是英文單詞Sum的首字母。

不定積分分部積分法介紹：

不定積分分部積分法是微積分學中的一類重要的、基本的計算積分的方法。它是由微分的乘法法則和微積分基本定理推導而來的。它的主要原理是將不易直接求結果的積分形式，轉化為等價的易求出結果的積分形式的。

常用的分部積分的根據組成被積函數的基本函數類型，將分部積分的順序整理為口訣：「反對冪指三」。分別代指五類基本函數：反三角函數、對數函數、冪函數、指數函數、三角函數的積分。

一般地，從要求的積分式中將湊成dv是容易的，但通常有原則可依，也就是說不當的分部變換不僅不會使被積分式得到精簡，而且可能會更麻煩。

分部積分法最重要之處就在於准確地選取dv，因為一旦dv確定，則公式中右邊第二項中的也隨之確定，但為了使式子得到精簡，如何選取dv則要依的復雜程度決定。

也就是說，選取的dv一定要使比之前的形式更簡單或更有利於求得積分。依照經驗，可以得到下面四種典型的模式。記憶模式口訣：反對冪三指。