A. matlab實現歐拉法和RK-4方法的數值計算
程序已經寫了，不過步長你得自己調，當步長較小時，計算時間會很長
另外，tend是時間的終值，你可以設小一些。因為解析解為10*cos(x)，我設成pi，就是計算半個周期。
x''(t)=-x(t)
引入y1=x,y2=x'，則
y1'=y2
y2'=-x=-y1
初始條件為：
y1(0)=10;
y2(0)=0;
將下面兩行百分號之間的內容，保存成DiffEulerRk4.m
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function MaxDiffX=DiffEulerRk4(dt,PlotFlag)
%dt是步長
%PlotFlag是否作圖
if nargin<1
dt=0.01;
end
if nargin<2
PlotFlag=0;
end
f=inline('[y(2);-y(1)]','t','y'); %微分方程的右邊項
t0=0; %初始時刻
tend=pi; %計算的點數
tt=t0:dt:tend; %一系列離散的點
N=length(tt); %點數
y0=[10;0];
%%(1)歐拉法
EulerY=y0;
for i=2:N
EulerY(:,i)=EulerY(:,i-1)+dt*f(tt(i-1),EulerY(:,i-1));
end
EulerX=EulerY(1,:); %取x
%%(2)龍格庫塔法
RkY=y0;
for i=2:N
k1=f(tt(i-1), RkY(:,i-1));
k2=f(tt(i-1)+dt/2, RkY(:,i-1)+k1*dt/2);
k3=f(tt(i-1)+dt/2, RkY(:,i-1)+k2*dt/2);
k4=f(tt(i-1)+dt, RkY(:,i-1)+k3*dt);
RkY(:,i)=RkY(:,i-1)+(k1+2*k2+2*k3+k4)*dt/6;
end
RkX=RkY(1,:); %取x
%精確解
syms t
analytic=dsolve('D2x=-x','x(0)=10','Dx(0)=0','t');
rightdata=subs(analytic,t,tt);
if PlotFlag
plot(tt,EulerX,'b-',tt,RkX,'r--',tt,rightdata,'g-.')
legend('Euler','Runge-Kutta','analytic')
end
MaxDiffX=[max(abs(RkX-rightdata)),max(abs(EulerX-rightdata))];
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
所有題，都得你自己調步長。
輸入：
DiffEulerRk4(0.01,1) %步長取0.01的計算結果，參數為1代表作圖，自己得修改步長
%%下面是變化
Error=[];
Dt=[5e-4,1e-3,2e-3,5e-3,0.01,0.05,0.1];
for dt=Dt %幾種步長，自行修改
dt %查看dt，步長小，計算量大
Error_1=DiffEulerRk4(dt); %不作圖
Error=[Error;Error_1]; %保存歐拉法誤差
end
semilogx(Dt,Error)
legend('Euler','RK4')
xlabel('步長')
ylabel('誤差')
title('與理論值誤差')