1. 自动控制系统中数学模型的作用及常见形式有哪些
在控制系统的分析和设计中，首先要建立系统的数学模型。控制系统的数学模型是描述系统内部物理量(或变量)之间关系的数学表达式。在静态条件下(即变量各阶导数为零)，描述变量之间关系的代数方程叫静态数学模型；而描述变量各阶导数之间关系的微分方程叫数学模型。如果已知输入量及变量的初始条件，对微分方程求解就可以得到系统输出量的表达式，并由此可对系统进行性能分析。因此，建立控制系统的数学模型是分析和设计控制系统的首要工作
建立控制系统数学模型的方法有分析法和实验法两种。分析法是对系统各部分的运动机理进行分析，根据它们所依据的物理规律或化学规律分别列写相应的运动方程。例如，电学中有基尔霍夫定律，力学中有牛顿定律，热力学中有热力学定律等。实验法是人为地给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型去逼近，这种方法称为系统辨识。近几年来，系统辨识已发展成一门独立的学科分支，本章重点研究用分析法建立系统数学模型的方法。
在自动控制理论中，数学模型有多种形式。时域中常用的数学模型有微分方程、差分方程和状态方程；复数域中有传递函数、结构图；频域中有频率特性等。
2. 建立系统的数学模型有什么办法
建立控制系统微分方程的主要步骤有:
(1)明确要解决问题的目的和要求,确定系统的输入变量和输出变量.
(2)全面深入细致地分析系统的工作原理、系统内部各变量间的关系.在多数情况下,所研究的系统比较复杂,涉及到的因素很多,不可能把所有复杂的因素都考虑到.因此,必须抓住能代表系统运动规律的主要特征,舍去一些次要因素,对问题进行适当的简化,必要时还必须进行一些合理的假设.
(3)如果把整个控制系统作为一个整体，组成控制系统的各元器件及装置则可以成为子系统。从输入端开始，依照各子系统所遵循的物理定律或其他规律，写出子系统的数学表达式.
(4)消去中间变量，最后得到描述输入变量与输出变量关系的微分方程式。
(5)写出微分方程的规范形式，即所有与输出变量有关的项应在方程左边，所有与输入变量有关的项应在方程右边，所有变量均按降阶排列。
系统微分方程的一般形式是
(2.1)式中：y为输出变量；
x为输入变量；和为方程的系数。
本书只讨论线性定常系统，因此，这些系数均为常数。
由于控制系统的被控对象和控制元件都具有惯性，当输入量发生变化时，输出量不可能在瞬时完成对输入量的响应，而必须经历一个过渡过程即动态过程，所以我们把描述控制系统的微分方程又称为动态方程。
3. 常见的建立数学模型的方法有哪几种
—般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义
4. 常用的系统建模方法的适用范围和局限性
常用的系统建模方法的适用范围和局限性？系统建模方法
2.1系统抽象与数学描述
2.1.1 实际系统的抽象
本质上讲，系统数学模型是从系统概念出发的关于现实世界的一小部分或几个方面的抽象的“映像”。
为此，系统数学模型的建立需要建立如下抽象:输入、输出、状态变量及其间的函数关系。这种抽象过程称为模型构造。抽象中，必须联系真实系统与建模目标，其中描述变量起着很重要的作用，它可观测，或不可观测。
从外部对系统施加影响或干扰的可观测变量称为输入变量。 系统对输入变量的响应结果称为输出变量。
输入、输出变量对的集合，表征着真实系统的“输入-输出”性状(关系)。
综上述，真实系统可视为产生一定性状数据的信息源，而模型则是产生与真实系统相同性状数据的一些规则、指令的集合，抽象在其中则起着媒介作用。系统数学建模就是将真实系统抽象成相应的数学表达式(一些规则、指令的集合)。
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(可观测)
输入变量 (可观测) 输出变量
ωt) 黑箱
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灰箱
白箱 ω(t)、ρ(t)---输入输出变量对
真实系统建模的抽象过程
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2.1.2 系统模型的一般描述及描述级(水平)
2.1.2.1 系统模型的一般描述:
一个系统的数学模型可以用如下七元组集合来描述:
S??T,X,?,Q,Y,?,??
其中:
T:时间基，描述系统变化的时间坐标，T为整数则称为离散时间系统，为实数则称为连续时间系统;
X:输入集，代表外部环境对系统的作用。
?:输入段集，描述某个时间间隔内的输入模式，是?X,T?的一个子集。
Q:内部状态集，描述系统内部状态量，是系统内部结构建模的核心。 ?:状态转移函数，定义系统内部状态是如何变化的，是一个映射。 Y:输出集，系统通过它作用于环境。
?:输出函数，是一个映射，给出了一个输出段集。
2.1.2.2 系统模型描述级(水平):
按照系统论的观点，实际系统可在某种级(水平)上被分解，因此系统的数学模型可以有不同的描述级(水平):
? 性状描述级
性状描述级或称为行为描述级(行为水平)。在此级上描述系统是将
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系统堪称黑箱，并施加输入信号，同时测得输出响应，结果是得出一个输入-输出对:(ω，ρ) 及其关系Rs={(ω，ρ):Ω，ω，ρ}。 - 3 -
因此，系统的性状级描述只给出输入-输出观测结果。其模型为五元组集合结构:
S=(T，X，Ω，Y， R)
当ω，ρ满足ρ =f(ω)函数关系时，其集合结构变为: S=(T，X，Ω，Y， F)
黑箱
? 状态描述级
在状态结构级(状态结构水平)上，系统模型不仅能反映输入-输出关系，而且应能反映出系统内部状态，以及状态与输入、输出间的关系。即不仅定义了系统的输入与输出，而且定义了系统内部的状态集及状态转移函数
系统的数学模型对于动态结构可用七元组集合来描述:
S=(T，X，Ω，Q，Y，δ，λ)
对于静态结构有:
S=(X，Q，Y，λ)
白箱
? 复合结构级
系统一般由若干个分系统组成，对每个分系统都给出行为级描述，被视为系统的一个“部件”。这些部件有其本身的输入、输出变量，以及部件间的连接关系和接口。于是，可以建立起系统在复合结构级(分解结构
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级)上的数学模型。
这种复合结构级描述是复杂系统和大系统建模的基础。
应该强调:
? 系统分解为复合结构是无止境的，即每个分系统还会有自己的复合结构;
? 一个有意义的复合结构描述只能给出唯一的状态结构描述， - 4 -
而一个有意义的状态结构描述本身只有唯一的性状(行为)描述;
? 系统上述概念必须允许分解停止，又允许进一步分解，既包含递归可分解性。
灰箱
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2.2 相似概念简介
2.2.1 相似概念及含义
仿真的理论依据:相似论。
自然界中广泛存在着“相似”概念，最普遍的是:
几何相似:最简单、最直观，如多变形、三角形相似;
现象相似:几何相似的拓展，如物理量之间存在的比例关系。 采用相似技术来建立实际系统的相似模型，这是相似理论在系统仿真中基础作用的根本体现。
2.2.2 相似分类
绝对相似:两个系统(如系统原型与模型)全部几何尺寸和其他相应参数在时空域上产生的全部变化(或全部过程)都是相似的;
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完全相似:两个系统在某一相应方面的过程上相似，如发电机的电流电压问题，模型与原型在电磁现象方面是完全相似即可，而无需考虑热工和机械方面的相似;
不完全相似(局部相似):仅保证研究部分的系统相似，而非研究和不要求部分的过程可能被歪曲，为研究目的所允许;
近似相似:某些简化假设下的现象相似，数学建模要保证有效性。
不同领域中的相似有各自的特点，对领域的认识水平也不一样: 环境相似(几何相似、参量比例相似等):结构尺寸按比例缩小得到的模型-缩比模型，如风洞、水洞实验所用的模型。
离散相似:差分法、离散相似法把连续时间系统离散化为等价的离散时间系统。
性能相似(等效、动力学相似、控制响应相似等):数学描述相同或者频率特性相同，用于构造各类仿真的相似原则。
感觉相似(运动感觉、视觉、音响感觉等):耳、眼、鼻、舌、 - 6 -
身等感官和经验，MIL仿真把感觉相似转化为感觉信息源相似，培训仿真器、VR均是利用这种相似原则。
思维相似:逻辑思维相似和形象思维相似(比较、综合、归纳等)，专家系统、人工神经元网络。
系统具有内部结构和外部行为，因此系统的相似有两个基本水平:结构水平和行为水平。
同构必具有行为等价的特性，但行为等价的两个系统并不一定具有同构关系。
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5. 数学建模方法和步骤
数学建模的主要步骤:
第一、 模型准备
首先要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。
第二、 模型假设
根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建
模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以
高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应
尽量使问题线性化、均匀化。
第三、 模型构成
根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间
的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老
人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱
大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工
具愈简单愈有价值。
第四、模型求解
可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，
特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计
算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。
第五、模型分析
对模型解答进行数学上的分析。"横看成岭侧成峰，远近高低各不?quot;，能否对模型结果作
出细致精当的分析，决定了你的模型能否达到更高的档次。还要记住，不论那种情况都需进行误差
分析，数据稳定性分析。
数学建模采用的主要方法有：
（一）、机理分析法：根据对客观事物特性的认识从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模
型。
1、比例分析法：建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。
2、代数方法：求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法。
3、逻辑方法：是数学理论研究的重要方法，对社会学和经济学等领域的实际问题，在决策，对策
等学科中得到广泛应用。
4、常微分方程：解决两个变量之间的变化规律，关键是建立“瞬时变化率”的表达式。
5、偏微分方程：解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律。
（二）、数据分析法：通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型
1、回归分析法：用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,…,n，确定函数的表达式，由
于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。
2、时序分析法：处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。
3、回归分析法：用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,…,n，确定函数的表达式，由
于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。
4、时序分析法：处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。
（三）、仿真和其他方法
1、计算机仿真（模拟）：实质上是统计估计方法，等效于抽样试验。①离散系统仿真，有一组状
态变量。②连续系统仿真，有解析表达式或系统结构图。
2、因子试验法：在系统上作局部试验，再根据试验结果进行不断分析修改，求得所需的模型结构
。
3、人工现实法：基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标，并考虑到系统有关因素的
可能变化，人为地组成一个系统。