多目标决策问题常用的方法加权

① 请问多目标线性规划的常用求解算法有哪些呢

多目标线性规划的常用求解算法主要包括以下几种：

1. 线性加权和法：

   • 简介：这是将多目标问题转化为单目标问题的一种常用方法。通过对每个目标赋予不同的权重，将这些目标线性组合成一个总目标函数，然后求解这个单目标线性规划问题。

2. 分层序列法：

   • 简介：根据目标的重要性对目标进行排序，然后依次求解。首先求解最重要的目标的最优解，在保证该目标最优的前提下，再求解次重要目标的最优解，依此类推。

3. 目标规划法：

   • 简介：为每个目标设定一个期望值，然后在满足系统约束条件的前提下，寻找与目标期望值最接近的解。这种方法适用于需要同时考虑多个目标且每个目标都有明确期望值的场景。

4. 多属性效用法：

   • 简介：通过为每个目标定义一个效用函数来表示该目标的满足程度，然后将这些效用函数组合成一个综合效用函数来评价不同方案的优劣。这种方法适用于目标之间难以直接比较或存在复杂相互关系的场景。

5. 直接求非劣解法：

   • 简介：直接寻找一组非劣解，然后根据特定的评价标准从中选择一个满意的解。这种方法适用于需要权衡多个目标且难以确定优先级的情况。

注意：虽然上述方法在多目标线性规划中较为常用，但具体选择哪种方法取决于问题的具体特点和决策者的偏好。在实际应用中，可能还需要结合问题的约束条件、目标之间的相互关系以及决策者的需求进行综合考虑。

② 多目标决策方法

求解多目标优化问题的途径有两个：第一，用某种适当的方法将向量最优化的问题转换为一个标量最优化问题，则所有单目标规划的最优化均能用于求解这一类多目标问题；第二，多目标中的目标几乎总是不可公度，而且相互矛盾的，因此至少有些解是不可比较的，这称为不完全序问题。引用价值判断（择优）于解题过程，可把这种不完全序转变为完全序。

相应上述两种途径，产生两大类多目标规划方陵源法：一是生成法，如权重法、约束法；二是择优取向法，如字典编辑法、无差别分析法、目标规划法、代用价值权衡法、步进法等^{［107～117］}。目前常用的几种方法的基本原理如下。

1.生成法

生成法是用适当的方法将向量最优化问题转换成等价的标量最优化问题，从而可应用一般的最优化技术，直接求得原问题的最佳权衡解。或者，先生成非劣解集，为决策者提供更多的有关目标权衡比较的信息，以便选择最佳权衡解。该类方法的特点是不需要事先表达对目标的倾向性或任何价值判断，所以在较复杂的决策情况下亦可应用。该方法对决策过程的普遍适用性是其突出的优点，而主要缺点是计算工作量相当大。

（1）权重法。该方法是给多目标规划中每一个目标按其在整体规划中的重要性，赋予一个相对权重，以将目标向量式（3-7）转换为一个标量，即各个目标函数的加权和，此时多目标模型成为：

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式中：W_k为第k个目标的权重，其余符号同前。

式（3-11）至（3-14）所定义的标量最优化问题，可应用常规最优化技术求解，加权问题的最优解就是原多目标规划尺隐态问题的一个非劣解。如某一组权重（W₁，W₂，…，W_p）反映了决策者对各目标的态度和倾向，则这组权重相应的非劣解也就是原问题的最佳权衡解。

（2）约束法。该法的基本原理是每次最优化一个规划目标，该目标称为基本目标，将其他规划目标限定于某特定范围，作为约束条件。实际工作中，规划者可先判断各目标间的重要性，而将比较重要的目标作为基本目标。

约束法求解p维多目标规划问题的一般数学模型为：

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式中：Z_j（x）为所选定的基本目标；Z_k（x）为其余各目标，（k=1，2，…，（j-1），（j+1），…，p）；L_k为预先设定的第k个目标的下限。

式（3-15）至（3-17）构成单目标规划问题，变化参数L_k，重复求解上述问题即可生成非劣解集，直至L_k增大至不能满足原问题的约束条件为止。

2.代用价值权衡法

该方法是以决策者对基本目标k与每个其他目标之间的权衡评估为基础，此时假定其余的目标是固定的。实际该方法是约束法的一种扩展。具体作法是将原来p个目标的向量最优化问题变为一系列两个目标问题，即对（p-z）个目标先设定值，其中一个目标取最大化，另一个目标限于不同范围，其一般形式为：

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式中：Z_j（x）为选定作为求取最大化的第j个目标的值；Z_k（x）为第k个限定在一定范围内变化的目标的值；Z_r（x）（r≠k，携团j）为第r个目标的值，它取定值L_r。

由L_k的变化来进行Z_j与Z_k之间的权衡，以t_k，j来表示，则有

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权衡值（t_k，j）表明Z_k每增加（或减少）一个单位值，Z_j值的变化量。此时决策者要进行权衡，可选取-10≤t_k，j≤+10的范围内的t_k，j值（称为代用值）来表示。所选定的代用值称为代用价值函数，因它是Z_k的一个函数，用W_k，j（Z_k）表示目标Z_k（x）变化（或损耗）一个单位所导致的目标Z_j（x）值变化的相对价值。它是相应于W_k，j（Z_k）时式（3-18）至（3-21）所构成的多目标规划问题的最佳权衡解。同理，不断改变k，可求得相应的权衡和代用价值函数，即能求出（p-1）个代用价值函数，相应可找出（p-1）个权衡解。此时成为求解下列单目标的约束最优化问题：

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它的最优解就是原多目标规划问题的最佳权衡解。代用价值权衡法适用于求解目标值较多的多目标规划，采用对各目标两两比较的方法，改进约束法，可减少高维目标空间随意组合引起的混乱。但很明显，由于价值函数是在两个目标之间的变化得到，其余目标取固定约束值，说明价值函数随目标水平的变化受到一定范围限制，同时，L_r的选值亦是一个难题，因而该法仍需改进。

③ 多目标决策方法的主要的方法

（1）化多为少法：将多目标问题化成只有一个或二个目标的问题，然后用简单的决策方法求解，最常用的是线性加权和法。
（2）分层序列法：将所有目标按其重要性程度依次排序，先求出第一个最重要的目标的最优解，然后在保证前一目标最优解的前提下依次求下一目标的最优解，一直求到最后一个目标为止。
（3）直接求非劣解法：先求出一组非劣解，然后按事先确定好的评价标准从中找出一个满意的解。
（4）目标规划法：对于每一个目标都事先给定一个期望值，然后在满足系统一定约束条件下，找出与目标期望值最近的解。
（5）多属性效用法：各个目标均用表示效用程度大小的效用函数表示，通过效用函数构成多目标的综合效用函数，以此来评价各个可行方案的优劣。
（6）层次分析法：把目标体系结构予以展开，求得目标与决策方案的计量关系。
（7）重排序法：把原来的不好比较的非劣解通过其他办法使其排出优劣次序来。
（8）多目标群决策和多目标模糊决策等。 多目标决策一般包括多目标决策和多属性决策，是一门应用非常广泛的学科。目前，无论在理论上、方法上和应用方面都取得了迅速的发展。书中以方法和实例相结合，既介绍目前常用的多目标决策方法，又包含模糊多目标优化、多属性群体决策求解方法。
本书总结了编者多年来教学与科学的成果，既可作为高等学校有关专业高年级学生和研究生教材，也可为运筹学、管理学、计算机科学、系统科学、信息科学与工程等各行各业，进行生产经营、生产计划、生产作业管理的高级管理人员和系统分析人员，应用计算机辅助决策提供参考。 前言
第1章线性规划
1.1基本概念
1.1.1线性规划问题举题
1.1.2二维线性规划的几何图解
1.1.3线性规划的标准形式
1.2单纯形法求解
1.3单纯形表
1.4人工变量与两阶段法
第2章非线性规划
2.1非线性规划问题举例
2.2基础知识
2.2.1梯度
2.2.2凸集
2.2.3凸函数
2.3无约束问题的最优解
2.4有等式约束问题的最优解
2.5有不等式约束问题的最优解
2.6无约束问题的近似解法
2.6.1梯度法
2.6.2牛顿法
2.7有约束问题的近似解法
2.7.1罚函数法（外点法）
2.7.2障碍函数法（内点法）
第3章整数规划
3.1整数规划问题举例
3.2分支定界方法
3.3分支定界法求解步骤
第4章决策的基本理论
4.1决策分析基础
4.1.1随机情况下决策问题的基本特点
4.1.2不确定情况的决策规划
4.1.3风险决策的决策——期望货币价值规则（EMV）
4.2主观概率
4.2.1主观概率的基本概念
4.2.2主观设定先验分布的方法
4.2.3利用过去数据设定先验分布
4.3价值和价值函数
4.3.1结局集上的选好结构
4.3.2确定型问题的价值函数
4.4效用函数
4.4.1货币结局的效用
4.4.2价值和效用函数的估值
4.4.3效用函数的型式
4.4.4多属性价值函数
4.4.5多属性效用函数
第5章多目标最优化基本概念
5.1多目标最优化问题举例
5.2多目标优化问题的非劣解
5.2.1劣解与非劣解
5.2.2在决策空间的非劣解
5.3锥的概念
5.4非劣解的几何意义
5.5弱非劣解的几何意义
5.6多目标优化问题的求解方法
第6章求解非劣的方法
6.1用加权法求非劣解集
6.1.1P（ω）问题的数值解法
6.1.2非劣解集估计法（NISE法）
6.2用Ρ（ε）约束法求非劣解集
6.2.1Ρ（ε）问题的数值解法
6.2.2Ρ（ε）问题的分析法求解
第7章有总体选好信息的求解方法
7.1选好函数与选好最优解
7.2字典序法
7.3理想点法
7.4目的规划法
……
第8章基于局部选好信息的交互式方法
第9章多属性问题求解方法
第10章模糊多目标化问题
第11章多属性群体决策方法
参考文献