不等式常用的证明方法及例题

⑴ 不等式的证明方法有哪些

1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。 (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b≥0a≥b；a-b≤0a≤b”。其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。 (2)商值比较法的理论依据是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b；a/b≤1a≤b”。其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。 2.综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。其逻辑关系为：AB1 B2 B3… BnB，即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。 3.分析法分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。用分析法证明AB的逻辑关系为：BB1B1 B3 … BnA，书写的模式是：为了证明命题B成立，只需证明命题B1为真，从而有…，这只需证明B2为真，从而又有…，……这只需证明A为真，而已知A为真，故B必为真。这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件。 4.反证法有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式A>B，先假设A≤B，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定A>B。凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法。 5.换元法换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法。主要有两种换元形式。(1)三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示。此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题根据具体问题，实施的三角代换方法有：①若x2+y2=1，可设x=cosθ，y=sinθ；②若x2+y2≤1，可设x=rcosθ，y=rsinθ(0≤r≤1)；③对于含有的不等式，由于|x|≤1，可设x=cosθ；④若x+y+z=xyz，由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知，可设x=taaA，y=tanB，z=tanC，其中A+B+C=π。(2)增量换元法：在对称式(任意交换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如a>b>c等)的不等式，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简。如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或a=1/2+t，b=1/2-t进行换元。 6.放缩法放缩法是要证明不等式A<B成立不容易，而借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法。放缩法证明不等式的理论依据主要有：(1)不等式的传递性；(2)等量加不等量为不等量；(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较。常用的放缩技巧有：①舍掉(或加进)一些项；②在分式中放大或缩小分子或分母；③应用均值不等式进行放缩。 1、比较法（作差法） 在比较两个实数 和 的大小时，可借助 的符号来判断。步骤一般为：作差——变形——判断（正号、负号、零）。变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等。 例1、已知： ， ，求证： 。 证明： ，故得 。 2、分析法（逆推法） 从要证明的结论出发，一步一步地推导，最后达到命题的已知条件（可明显成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推导过程都必须可逆。 例2、求证： 。 证明：要证 ，即证 ，即，，，， ，由此逆推即得 。 3、综合法 证题时，从已知条件入手，经过逐步的逻辑推导，运用已知的定义、定理、公式等，最终达到要证结论，这是一种常用的方法。 例3、已知： ， 同号，求证： 。 证明：因为 ， 同号，所以 ， ，则 ，即。 4、作商法（作比法） 在证题时，一般在 ， 均为正数时，借助 或 来判断其大小，步骤一般为：作商——变形——判断（大于1或小于1）。 例4、设 ，求证： 。 证明：因为 ，所以 ， 。而 ，故。 5、反证法 先假设要证明的结论不对，由此经过合理的逻辑推导得出矛盾，从而否定假设，导出结论的正确性，达到证题的目的。 例5、已知 ， 是大于1的整数，求证： 。 证明：假设 ，则 ，即 ，故 ，这与已知矛盾，所以 。 6、迭合法（降元法） 把所要证明的结论先分解为几个较简单部分，分别证明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性质，使原不等式获证。 例6、已知： ， ，求证： 。 证明：因为 ，， 所以， 。 由柯西不等式 ，所以原不等式获证。 7、放缩法（增减法、加强不等式法） 在证题过程中，根据不等式的传递性，常采用舍去一些正项（或负项）而使不等式的各项之和变小（或变大），或把和（或积）里的各项换以较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式中的分子（或分母），从而达到证明的目的。值得注意的是“放”、“缩”得当，不要过头。常用方法为：改变分子（分母）放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法。 例7、求证： 。 证明：令 ，则 ， 所以。 8、数学归纳法 对于含有 的不等式，当 取第一个值时不等式成立，如果使不等式在 时成立的假设下，还能证明不等式在 时也成立，那么肯定这个不等式对 取第一个值以后的自然数都能成立。 例8、已知： ，， ，求证： 。 证明：（1）当时， ，不等式成立； （2）若时， 成立，则 =， 即 成立。 根据（1）、（2）， 对于大于1的自然数 都成立。 9、换元法 在证题过程中，以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，使问题的证明达到简化。 例9、已知： ，求证： 。 证明：设， ，则， （因为 ，）， 所以。

⑵ 不等式的证明方法都有哪些，请举例说明。

不等式的证明
1.比较法
作差作商后的式子变形,判断正负或与1比较大小
作差比较法-----要证明a>b,只要证明a-b>0.
作商比较法---已知a,b都是正数,要证明a>b,只要证明a/b>1
例1 求证:x2+3>3x
证明:∵(x2+3)-3x=x2-3x+()2-()2+3
=+≥>0
∴ x2+3>3x
例2 已知a,b R+,并且a≠b,求证
a5+b5>a3b2+a2b3
证明:(a5+b5)-(a3b2+a2b3)=(a5-a3b2)-(a2b3-b5)
=a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3)
=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)
∵ a,b R+
∴ a+b>0, a2+ab+b2>0
又因为a≠b,所以(a-b)2>0
∴ (a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)>0
即 (a5+b5)-(a3b2+a2b3)>0
∴ a5+b5>a3b2+a2b3
例3 已知a,b R+,求证:aabb≥abba
证明: =
∵a,b R+,当a>b时,>1,a-b>0,>1;
当a≤b时,≤1,a-b≤0, ≥1.
∴ ≥1, 即aabb≥abba
综合法
了解算术平均数和几何平均数的概念,能用平均不等式证明其它一些不等式
定理1 如果a,b R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取"="号)
证明:a2+b2-2ab=(a-b)2≥0
当且仅当a=b时取等号.所以
a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取等号).
定理2 如果a,b,c R+,那么a3+b3+c3≥3abc(当且仅当a=b=c时取"="号)
证明:∵a3+b3+c3-3abc
=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac)
=(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]≥0
∴ a3+b3+c3≥3abc,
很明显,当且仅当a=b=c时取等号.
例1 已知a,b,c是不全等的正数,求证
a(a2+b2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)>6abc.
放缩法
这也是分析法的一种特殊情况,它的根据是不等式的传递性—
a≤b,b≤c,则a≤c,只要证明"大于或等于a的"b≤c就行了.
例,证明当k是大于1的整数时,,
我们可以用放缩法的一支——"逐步放大法",证明如下:

分析法
从要证明的不等式出发,寻找使这个不等式成立的某一"充分的"条件,为此逐步往前追溯(执果索因),一直追溯到已知条件或一些真命题为止.例如要证a2+b2≥2ab我们通过分析知道,使a2+b2≥2ab成立的某一"充分的"条件是a2-2ab+b2≥0,即(a-b)2≥0就行了.由于是真命题,所以a2+b2≥2ab成立.分析法的证明过程表现为一连串的"要证……,只要证……",最后推至已知条件或真命题
例 求证:
证明:
构造图形证明不等式
例:已知a,b,c都是正数,求证:
+>
分析与证明:观察原不等式中含有a2+ab+b2即a2+b2+ab的形式,联想到余弦定理:c2=a2+b2-2ab CosC,为了得到a2+b2+ab的形式,只要C=120°,
这样:可以看成a,b为邻边,夹角为120°的的三角形的第三边
可以看成b,c为邻边,夹角为120°的的三角形的第三边
可以看成a,c为邻边,夹角为120°的的三角形的第三边
构造图形如下,
AB=,
BC=,
AC=
显然AB+BC>AC,故原不等式成立.
数形结合法
数形结合是指通过数与形之间的对应转化来解决问题.数量关系如果借助于图形性质,可以使许多抽象概念和关系直观而形象,有利于解题途径的探求,这通常为以形助数;而有些涉及图形的问题如能转化为数量关系的研究,又可获得简捷而一般化的解法,即所谓的以数解形.数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合,通过对图形的认识,数形的转化,可以培养思维的灵活性,形象性.通过数形结合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化.
例.证明,当x>5时,≤x-2
解:令y1=, y2=x-2, 从而原不等式的解集就是使函数y1>y2的x的取值范围.在同一坐标系中分别作出两个函数的图象.设它们交点的横坐标是x0, 则=x0-2>0.解之,得x0=5或x0=1(舍).根据图形,很显然成立.
反证法
先假定要证不等式的反面成立,然后推出与已知条件(或已知真命题)和矛盾的结论,从而断定反证假定错误,因而要证不等式成立.
穷举法
对要证不等式按已知条件分成各种情况,加以证明(防止重复或遗漏某一可能情况).
注意:在证明不等式时,应灵活运用上述方法,并可通过运用多种方法来提高自己的思维能力.

⑶ 不等式求证有哪几种方法,举例说明

证明不等式的基本方法是比较法、综合法、分析法，有时也采用反证法、数学归纳法。有时也要涉及一点放缩法，但不要追求那些特殊的放缩技巧。

（1）比较法

证明不等式的比较法，有求差比较法（比较与0大小的关系）和求商比较法（比较与1的大小关系）两种基本途径。其依据是：

1）由于 ，因此，证明 ，可转化为证明与之等价的 ，这就是求差比较法。

2)由于当 时， ，因此，证明 （ ）可转化为证明与之等价的 （ ），这种证明方法就是求商比较法。使用求商比较法要注意 的前提条件。若 ，则有： 。即：

（2）综合法

依据题设的条件与基本不等式，以及不等式的性质，运用不等式的变换，证明指定不等式是成立的，这种证明方法就是综合法。综合法的思路是“由因导果”：从已知的不等式出发，通过一系列的推出变换，证明指定不等式是成立的。

综合法的重点是正确运用有关不等式的平均值定理，即

，则 ；

，则 ；

，则 ；

以及它们的变形形式： ；

还有含绝对值符号的不等式的性质：

（3）分析法

从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立，这种证明方法就是分析法。分析法的思路是“执果索因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充足条件，直至已成立的不等式。

采用综合法证明不等式时，常用“ ”的符合表示由因导果的推理方式；采用分析法证明不等式时，常用“ ”的符号表示执果索因的推理方式。

分析法和综合法不仅是不等式证明中常用的方法，也是十分重要的逻辑思维方法。它对于指导我们认识条件和结论之间的联系，设计适当的推演步骤、运算方案，使问题得到解决，起着很大的作用。

（4）反证法

先假定结论不成立，并由此出发，推出与题设条件或正确理论相矛盾的结果，从而说明命题正确，这种证明方法就是反证法。反证法的思路是“假设—矛盾—肯定”，采用反证法证明不等式时，从否定结论出发，推出矛盾的过程，每一步推理都必须是正确的。

（5）数学归纳法的证明方法

数学归纳法只适用于一类特殊不等式的证明。

⑷ 不等式的证明方法

作差比较法：根据a-b>0↔a>b，欲证a>b，只需证a-b>0； 作商比较法：根据a/b=1，
当b>0时，得a>b，
当b>0时，欲证a>b，只需证a/b>1，
当b<0时，得a<b。 证明与自然数n有关的不等式时，可用数学归纳法证之.
用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论。
在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法。 柯西不等式的几种变形形式
1.设xi∈R,yi>0 (i=1,2,…,n)则，当且仅当bi=l*ai (i=1,2,3,…,n)时取等号
2.设ai,bi同号且不为零(i=1,2,…,n)，则，当且仅当b1=b2=…=bn时取等
证法
柯西不等式的一般证法有以下几种：
①Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi，则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2. 我们令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2) 则我们知道恒有 f(x) ≥ 0. 用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0. 于是移项得到结论。
②用向量来证. m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn) mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosX． 因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2 ，这就证明了不等式． 柯西不等式的证明方法还有很多种，这里只取两种较常用的证法．
柯西不等式的应用
柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。
例（巧拆常数）：设a、b、c 为正数且各不相等。 求证： 2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)
分析：∵a 、b 、c 均为正数 ∴为证结论正确只需证：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9 而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b) 又 9=(1+1+1)(1+1+1)
证明：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9 又 a、b 、c 各不相等，故等号不能成立 ∴原不等式成立。 排序不等式又称排序原理。
对于两组有序的实数x1≤x2≤…≤xn，y1≤y2≤…≤yn，设yi1，yi2，…，yin是后一组的任意一个排列，记S=x1yn+x2yn-1+…+xny1，M=x1yi1+x2yi2+…+xnyin，L=x1y1+x2y2+…+xnyn，那么恒有S≤M≤L。
当且仅当x1=x2=……=xn且y1=y2=……yn时，等号成立。
即反序和≤乱序和≤顺序和。

⑸ 高数，证明不等式都有哪些方法

一：假设证明fx<gx
解：令Fx=fx-gx，对Fx求导，得到Fx的单调性，再求一次极限得到Fx的符号，就证明完毕了。（如果一阶导看不出来，就求二阶导，然后得到一阶导的单调性，通过极限得知一阶导的符号。）

二：构造函数 ，例如证明a的b次<b的a次
解：原式=b*lna<a*lnb=a/lna<b/lnb，构造函数fx=lnx/x

⑹ 不等式的证明的好例题

三角形内角的嵌入不等式
三角形内角的嵌入不等式，在不至于引起歧义的情况下简称嵌入不等式。该不等式指出，若A、B、C是一个三角形的三个内角，则对任意实数 x、y、z，有：

算术-几何平均值不等式
在数学中，算术-几何平均值不等式是一个常见而基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。设为 n 个正实数，它们的算术平均数是，它们的几何平均数是 。算术-几何平均值不等式表明，对任意的正实数，总有：

等号成立当且仅当 。
算术-几何平均值不等式仅适用于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。
算术-几何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是一组包括它的不等式的合称。

例子
在 n = 4 的情况，设: ， 那么
.
可见。
历史上的证明
历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。n = 2的情况很早就为人所知，但对于一般的 n，不等式并不容易证明。1729年，英国数学家麦克劳林最早给出了一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不严谨，是错误的。
柯西的证明
1821年，法国数学家柯西在他的着作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明[1]：
命题Pn：对任意的 n 个正实数，
1. 当 n=2 时，P2 显然成立。
2. 假设 Pn 成立，那么 P2n 成立。证明：对于2n 个正实数，

3. 假设Pn成立，那么Pn − 1成立。证明：对于n - 1 个正实数，设，，那么由于Pn成立， 。
但是 ， ，因此上式正好变成

综合以上三点，就可以得到结论：对任意的自然数 ，命题 Pn 都成立。这是因为由前两条可以得到：对任意的自然数 k，命题 都成立。因此对任意的 ，可以先找 k 使得 ，再结合第三条就可以得到命题 Pn 成立了。
归纳法的证明
使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（George Chrystal）在其着作《代数论》（algebra）的第二卷中给出的[2]：
由对称性不妨设 xn + 1 是 中最大的，由于 ，设 ，则 ，并且有 。
根据二项式定理，

于是完成了从 n 到 n + 1 的证明。
此外还有更简洁的归纳法证明[3]：
在 n 的情况下有不等式 和 成立，于是：

所以 ，从而有。
基于琴生不等式的证明
注意到几何平均数 实际上等于 ，因此算术-几何平均不等式等价于：
。
由于对数函数是一个凹函数，由琴生不等式可知上式成立。

此外还有基于排序不等式、伯努利不等式或借助调整法、辅助函数求导和加强命题的证明。
推广
算术-几何平均不等式有很多不同形式的推广。
加权算术-几何平均不等式
不仅“均匀”的算术平均数和几何平均数之间有不等式，加权的算术平均数和几何平均数之间也有不等式。设 和 为正实数，并且 ，那么：
。
加权算术-几何平均不等式可以由琴生不等式得到。
矩阵形式
算术-几何平均不等式可以看成是一维向量的系数的平均数不等式。对于二维的矩阵，一样有类似的不等式： 对于系数都是正实数的矩阵

设 ，，那么有：

也就是说：对 k 个纵列取算术平均数，它们的几何平均大于等于对 n 个横行取的 n 个几何平均数的算术平均。
极限形式
也称为积分形式：对任意在区间[0,1]上可积的正值函数 f，都有

这实际上是在算术-几何平均值不等式取成 后，将两边的黎曼和中的 n 趋于无穷大后得到的形式。
伯努利不等式
数学中的伯努利不等式是说：对任意整数，和任意实数，
；
如果是偶数，则不等式对任意实数x成立。
可以看到在n = 0,1，或x = 0时等号成立，而对任意正整数和任意实数，，有严格不等式：
。
伯努利不等式经常用作证明其他不等式的关键步骤。
[编辑] 证明和推广
伯努利不等式可以用数学归纳法证明：当n = 0,1，不等式明显成立。假设不等式对正整数n，实数时成立，那么

。
下面是推广到实数幂的版本：如果x > − 1，那么：
若或，有；
若，有。
这不等式可以用导数比较来证明：
当r = 0,1时，等式显然成立。
在上定义f(x) = (1 + x)r − (1 + rx)，其中， 对x微分得f'(x) = r(1 + x)r − 1 − r， 则f'(x) = 0当且仅当x = 0。分情况讨论：
0 < r < 1，则对x > 0，f'(x) < 0；对 − 1 < x < 0，f'(x) > 0。因此f(x)在x = 0时取最大值0，故得。
r < 0或r > 1，则对x > 0，f'(x) > 0；对 − 1 < x < 0，f'(x) < 0。因此f(x)在x = 0时取最小值0，故得。
在这两种情况，等号成立当且仅当x = 0。
[编辑] 相关不等式
下述不等式从另一边估计(1 + x)r：对任意x, r > 0，都有
。
佩多不等式
几何学的佩多不等式，是关连两个三角形的不等式，以唐·佩多(Don Pedoe)命名。这不等式指出：如果第一个三角形的边长为a,b,c，面积为f，第二个三角形的边长为A,B,C，面积为F，那么：
，
等式成立当且仅当两个三角形为一对相似三角形，对应边成比例；也就是a / A = b / B = c / C。
[编辑] 证明
由海伦公式，两个三角形的面积可用边长表示为
16f2 = (a + b + c)(a + b − c)(a − b + c)(b + c − a) = (a2 + b2 + c2)2 − 2(a4 + b4 + c4)
16F2 = (A + B + C)(A + B − C)(A − B + C)(B + C − A) = (A2 + B2 + C2)2 − 2(A4 + B4 + C4),
再由柯西不等式，
16Ff + 2a2A2 + 2b2B2 + 2c2C2

= (a2 + b2 + c2)(A2 + B2 + C2)
于是，

= A2(b2 + c2 − a2) + B2(a2 + c2 − b2) + C2(a2 + b2 − c2) ，命题得证。
等号成立当且仅当,也就是说两个三角形相似。

ABC是第一个三角形，A'B'C'是取相似后的第二个三角形，BC与B'C'重合
几何证法
三角形的面积与边长的平方成正比，因此在要证的式子两边同乘一个系数λ2，使得λA = a，几何意义是将第二个三角形取相似（如右图）。
设这时A、B、C变成x、y、z，F变成F'。
考虑 AA' 的长度。由余弦公式，

将,代入就变成：

两边化简后同时乘以，并注意到a=x，就可得到原不等式。
等号成立当且仅当A与A'重合，即两个三角形相似。

内斯比特不等式
内斯比特不等式是数学的一条不等式，它说对任何正实数a，b，c，都有：

[编辑] 证明
此不等式证明方法很多，例如从平均数不等式我们有：
，
移项得出：
，
整理左式：
，
。
因而不等式得证。

埃尔德什－莫德尔不等式

如图，埃尔德什-莫德尔不等式说明点O到三个顶点的距离之和（绿色线段）大于到三边距离之和（蓝色线段）的两倍
在几何学中，埃尔德什-莫德尔不等式是一个二十世纪初期发现的不等式。埃尔德什-莫德尔不等式说明了：对于任何三角形ABC和其内部的一点O，点O到三角形三条边的距离之和总是小于或等于点O到三角形的三个顶点的距离之和的一半。
埃尔德什-莫德尔不等式可以认为是几何学中的欧拉定理的一个推广。欧拉定理声称三角形外接圆的半径总是大于等于内切圆半径的两倍。
[编辑] 历史
该不等式最早由埃尔德什在1935年在《美国数学月刊》上提出，作为第3740号问题。两年之后，由路易斯·莫德尔和D.F.巴罗证明。1957年，卡扎里诺夫提出了一个更简捷的证明[1]。之后不断有更简洁、更基本的证明出现。1958年班考夫（Bankoff）给出了运用正交投影和相似三角形的证明，1997年和2004年出现了使用面积不等式的证明，1993年和2001年发现了根据托勒密定理的证明。
[编辑] 证明
如右图，O为三角形ABC中的一个点。O到三角形三边的垂线分别交三条边于D、E、F。设线段OA、OB、OC的长度分别是x、y、z，线段OD、OE、OF的长度分别是p、q、r，那么埃尔德什-莫德尔不等式为：

一个初等的证明方式是使用三角函数以及均值不等式。
首先，由于OF垂直于AF，OE垂直于AE，A、F、O、E四点共圆且OA为直径，因此线段（角A为顶点A对应的内角）。
过点F、E作关于BC的垂线交BC于X、Y。过O作BC的平行线分别交FX、EY于U、V。由于OF垂直于AF，OE垂直于AE，，。于是：

另一方面，注意到在直角梯形中FUVE中，斜腰EF的长度大于等于直角腰UV。因此：

类似地，还有：
，
三式相加，得到：

根据均值不等式，，等等，于是最终得到：

这就是埃尔德什-莫德尔不等式。
外森比克不等式
设三角形的边长为a,b,c，面积为A，则外森比克不等式（Weitzenböck's inequality）成立。当且仅当三角形为等边三角形，等号成立。佩多不等式是外森比克不等式的推广。
[编辑] 证明一
除了“所有平方数非负”以外，这个证明不用到其它任何不等式。

两边取平方根，即得证。
舒尔不等式
舒尔不等式说明，对于所有的非负实数x、y、z和正数t，都有：

当且仅当x = y = z，或其中两个数相等而另外一个为零时，等号“=”成立。当t是正的偶数时，不等式对所有的实数x、y和z都成立。
[编辑] 证明
由于不等式是对称的，我们不妨设。则不等式

显然成立，这是因为左边的每一项都是非负的。把它整理，即得舒尔不等式。
[编辑] 推广
舒尔不等式有一个推广：
假设a、b、c是正的实数。如果（a，b，c）和（x，y，z）是顺序的，则以下的不等式成立：

2007年，罗马尼亚数学家Valentin Vornicu证明了一个更一般的形式：
考虑，其中，而且要么，要么。设，并设要么是凸函数，要么是单调函数。那么：

当x = a、y = b、z = c、k = 1、ƒ(m) = mr时，即化为舒尔不等式。[1]

⑺ 高中数学不等式证明的八种方法

不等式证明知识概要

河北/赵春祥

不等式的证明问题，由于题型多变、方法多样、技巧性强，加上无固定的规律可循，往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。解决这个问题的途径在于熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式，灵活运用常用的证明方法。

一、要点精析

1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。

(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b≥0a≥b；a-b≤0a≤b”。其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。

(2)商值比较法的理论依据是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b；a/b≤1a≤b”。其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。

2.综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。其逻辑关系为：AB1 B2 B3… BnB，即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。

3.分析法分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。用分析法证明AB的逻辑关系为：BB1B1 B3 … BnA，书写的模式是：为了证明命题B成立，只需证明命题B1为真，从而有…，这只需证明B2为真，从而又有…，……这只需证明A为真，而已知A为真，故B必为真。这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件。

4.反证法有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式A>B，先假设A≤B，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定A>B。凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法。

5.换元法换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法。主要有两种换元形式。(1)三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示。此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题根据具体问题，实施的三角代换方法有：①若x2+y2=1，可设x=cosθ，y=sinθ；②若x2+y2≤1，可设x=rcosθ，y=rsinθ(0≤r≤1)；③对于含有的不等式，由于|x|≤1，可设x=cosθ；④若x+y+z=xyz，由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知，可设x=taaA，y=tanB，z=tanC，其中A+B+C=π。(2)增量换元法：在对称式(任意交换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如a>b>c等)的不等式，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简。如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或a=1/2+t，b=1/2-t进行换元。

6.放缩法放缩法是要证明不等式A<B成立不容易，而借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法。放缩法证明不等式的理论依据主要有：(1)不等式的传递性；(2)等量加不等量为不等量；(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较。常用的放缩技巧有：①舍掉(或加进)一些项；②在分式中放大或缩小分子或分母；③应用均值不等式进行放缩。

二、难点突破

1.在用商值比较法证明不等式时，要注意分母的正、负号，以确定不等号的方向。

2.分析法与综合法是对立统一的两个方面，前者执果索因，利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握；后者是由因导果，宜于表述，因为它条理清晰，形式简洁，适合人们的思维习惯。但是，用分析法探求证明不等式，只是一种重要的探求方式，而不是一种好的书写形式，因为它叙述较繁，如果把“只需证明”等字眼不写，就成了错误。而用综合法书写的形式，它掩盖了分析、探索的过程。因而证明不等式时，分析法、综合法常常是不能分离的。如果使用综合法证明不等式，难以入手时常用分析法探索证题的途径，之后用综合法形式写出它的证明过程，以适应人们习惯的思维规律。还有的不等式证明难度较大，需一边分析，一边综合，实现两头往中间靠以达到证题的目的。这充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系。分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点。

3.分析法证明过程中的每一步不一定“步步可逆”，也没有必要要求“步步可逆”，因为这时仅需寻找充分条件，而不是充要条件。如果非要“步步可逆”，则限制了分析法解决问题的范围，使得分析法只能使用于证明等价命题了。用分析法证明问题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”、“也即证”等词语。

4.反证法证明不等式时，必须要将命题结论的反面的各种情形一一加以导出矛盾。

5.在三角换元中，由于已知条件的限制作用，可能对引入的角有一定的限制，应引起高度重视，否则可能会出现错误的结果。这是换元法的重点，也是难点，且要注意整体思想的应用。

6.运用放缩法证明不等式时要把握好“放缩”的尺度，即要恰当、适度，否则将达不到预期的目的，或得出错误的结论。另外，是分组分别放缩还是单个对应放缩，是部分放缩还是整体放缩，都要根据不等式的结构特点掌握清楚。

（摘自：《考试报·高二数学版》2004年/07月/20日）

1、比较法（作差法）
在比较两个实数 和 的大小时，可借助 的符号来判断。步骤一般为：作差——变形——判断（正号、负号、零）。变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等。
例1、已知： ， ，求证： 。
证明： ，故得 。
2、分析法（逆推法）
从要证明的结论出发，一步一步地推导，最后达到命题的已知条件（可明显成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推导过程都必须可逆。
例2、求证： 。
证明：要证 ，即证 ，即 ， ， ， ， ，由此逆推即得 。
3、综合法
证题时，从已知条件入手，经过逐步的逻辑推导，运用已知的定义、定理、公式等，最终达到要证结论，这是一种常用的方法。
例3、已知： ， 同号，求证： 。
证明：因为 ， 同号，所以 ， ，则 ，即 。
4、作商法（作比法）
在证题时，一般在 ， 均为正数时，借助 或 来判断其大小，步骤一般为：作商——变形——判断（大于1或小于1）。
例4、设 ，求证： 。
证明：因为 ，所以 ， 。而 ，故 。
5、反证法
先假设要证明的结论不对，由此经过合理的逻辑推导得出矛盾，从而否定假设，导出结论的正确性，达到证题的目的。
例5、已知 ， 是大于1的整数，求证： 。
证明：假设 ，则 ，即 ，故 ，这与已知矛盾，所以 。
6、迭合法（降元法）
把所要证明的结论先分解为几个较简单部分，分别证明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性质，使原不等式获证。
例6、已知： ， ，求证： 。
证明：因为 ， ，
所以 ， 。
由柯西不等式
，所以原不等式获证。
7、放缩法（增减法、加强不等式法）
在证题过程中，根据不等式的传递性，常采用舍去一些正项（或负项）而使不等式的各项之和变小（或变大），或把和（或积）里的各项换以较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式中的分子（或分母），从而达到证明的目的。值得注意的是“放”、“缩”得当，不要过头。常用方法为：改变分子（分母）放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法。
例7、求证： 。
证明：令 ，则
，
所以 。
8、数学归纳法
对于含有 的不等式，当 取第一个值时不等式成立，如果使不等式在 时成立的假设下，还能证明不等式在 时也成立，那么肯定这个不等式对 取第一个值以后的自然数都能成立。
例8、已知： ， ， ，求证： 。
证明：（1）当 时， ，不等式成立；
（2）若 时， 成立，则

= ，
即 成立。
根据（1）、（2）， 对于大于1的自然数 都成立。
9、换元法
在证题过程中，以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，使问题的证明达到简化。
例9、已知： ，求证： 。
证明：设 ， ，则 ，

（因为 ， ），
所以 。
10、三角代换法
借助三角变换，在证题中可使某些问题变易。
例10、已知： ， ，求证： 。
证明：设 ，则 ；设 ，则
所以 。
11、判别式法
通过构造一元二次方程，利用关于某一变元的二次三项式有实根时判别式的取值范围，来证明所要证明的不等式。
例11、设 ，且 ，求证： 。
证明：设 ，则
代入 中得 ，即
因为 ， ，所以 ，即 ，
解得 ，故 。
12、标准化法
形如 的函数，其中 ，且
为常数，则当 的值之间越接近时， 的值越大（或不变）；当 时， 取最大值，即
。
标准化定理：当A+B为常数时，有 。
证明：记A+B=C，则
，
求导得 ，由 得C=2A，即A=B
又由 知 的极大值点必在A=B时取得
由于当A=B时， ，故得不等式。
同理，可推广到关于 个变元的情形。
例12、设A，B，C为三角形的三内角，求证： 。
证明：由标准化定理得，当A=B=C时， ，取最大值 ，故 。
13、等式法
应用一些等式的结论，可以巧妙地给出一些难以证明的不等式的证明。
例13（1956年波兰数学竞赛题）、 为 的三边长，求证：
。
证明：由海伦公式 ，
其中 。
两边平方，移项整理得

而 ，所以 。
14、函数极值法
通过变换，把某些问题归纳为求函数的极值，达到证明不等式的目的。
例14、设 ，求证： 。
证明：
当 时， 取最大值 ；
当 时， 取最小值－4。
故 。
15、单调函数法
当 属于某区间，有 ，则 单调上升；若 ，则 单调下降。推广之，若证 ，只须证 及 即可， 。
例15、 ，求证： 。
证明：当 时， ，而

故得 。
16、中值定理法
利用中值定理： 是在区间 上有定义的连续函数，且可导，则存在 ， ，满足 来证明某些不等式，达到简便的目的。
例16、求证： 。
证明：设 ，则
故 。
17、分解法
按照一定的法则，把一个数或式分解为几个数或式，使复杂问题转化为简单易解的基本问题，以便分而治之，各个击破，从而达到证明不等式的目的。
例17、 ，且 ，求证： 。
证明：因为

所以 。
18、构造法
在证明不等式时，有时通过构造某种模型、函数、恒等式、复数等，可以达到简捷、明快、以巧取胜的目的。
例18、已知： ， ，求证： 。
证明：依题设，构造复数 ， ，则 ，
所以

故 。
19、排序法
利用排序不等式来证明某些不等式。
排序不等式：设 ， ，则有
，其中 是 的一个排列。当且仅当 或 时取等号。
简记作：反序和 乱序和 同序和。
例19、求证： 。
证明：因为 有序，所以根据排序不等式同序和最大，即 。
20、几何法
借助几何图形，运用几何或三角知识可使某些证明变易。
例20、已知： ，且 ，求证： 。
证明：以 为斜边， 为直角边作
延长AB至D，使 ，延长AC至E，使 ，过C作AD的平行线交DE于F，则 ∽ ，令 ，
所以
又 ，即 ，所以 。

另外，还可以利用重要的不等式来证题，如平均不等式、柯西（Cauchy）不等式、琴生（Jensen）不等式、绝对值不等式、贝努利（J.Bernoulli）不等式、赫尔德（O.HÖlder）不等式、三角形不等式、闵可夫斯基（H.Minkowski）不等式等，这里不再烦述了。
在实际证明中，以上方法往往相互结合、互相包含，证题时，可能同时运用几种方法，结合起来加以证明。

参考文献
[1]李玉琪主编•初等代数研究•北京：中国矿业大学出版社，1993
[2]方初宝等编•数学猜想法浅谈•重庆：科技文献出版社重庆分社，1988
[3]吴德风•不等式与线性规划初步•北京：科学普及出版社，1983

⑻ 高中解各种不等式的方法有那些

不等式证明方法 1.比较法： 比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。 (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b≥0a≥b；a-b≤0a≤b”。其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。 (2)商值比较法的理论依据是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b；a/b≤1a≤b”。其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。 2.综合法 ： 利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。其逻辑关系为：AB1 B2 B3… BnB，即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。 3.分析法 ： 分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。用分析法证明AB的逻辑关系为：BB1B1 B3 … BnA，书写的模式是：为了证明命题B成立，只需证明命题B1为真，从而有…，这只需证明B2为真，从而又有…，……这只需证明A为真，而已知A为真，故B必为真。这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件。 4.反证法： 有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式A>B，先假设A≤B，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定A>B。凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法。 5.换元法： 换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法。主要有两种换元形式。(1)三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示。此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题根据具体问题，实施的三角代换方法有：①若x2+y2=1，可设x=cosθ，y=sinθ；②若x2+y2≤1，可设x=rcosθ，y=rsinθ(0≤r≤1)；③对于含有的不等式，由于|x|≤1，可设x=cosθ；④若x+y+z=xyz，由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知，可设x=taaA，y=tanB，z=tanC，其中A+B+C=π。(2)增量换元法：在对称式(任意交换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如a>b>c等)的不等式，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简。如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或a=1/2+t，b=1/2-t进行换元。 6.放缩法 ： 放缩法是要证明不等式A<B成立不容易，而借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法。放缩法证明不等式的理论依据主要有：(1)不等式的传递性；(2)等量加不等量为不等量；(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较。常用的放缩技巧有：①舍掉(或加进)一些项；②在分式中放大或缩小分子或分母；③应用均值不等式进行放缩。 [1]

⑼ 用导数证明不等式7种方法

内容来自用户:天道酬勤能补拙
利用导数证明不等式问题—4大解题技巧
趣题引入
已知函数设，
证明：
分析：主要考查利用导数证明不等式的能力。
证明：，设当时，当时，
即在上为减函数，在上为增函数
∴，又∴，
即设当时，，因此在区间上为减函数；
因为，又∴，
即故
综上可知，当时，
本题在设辅助函数时，考虑到不等式涉及的变量是区间的两个端点，因此，设辅助函数时就把其中一个端点设为自变量，范例中选用右端点，读者不妨设为左端点试一试，就能体会到其中的奥妙了。
技巧精髓
一、利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。
二、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。
1、利用题目所给函数证明
【例1】已知函数，求证：当时，
恒有
分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数
，从其导数入手即可证明。
【绿色通道】∴当时，，即在上为增函数
当时，，即在上为减函数
故函数的单调递增区间为，单调递减区间
于是函数在上的最大值为3于是

⑽ 证明不等式的方法总结

不等式证明方法的归纳小结
教学目的：分类地归纳小结不等式的证明方法
教学重点：通过不等式的证明，提高推理证明能力
教学难点：根据不等式的特征恰当地使用不等式的证明方法
教学过程：
（一）不等式的内容
1．不等式的性质；2．不等式的证明；3．不等式的解法
（二）证明不等式是解不等式的理论基础——不等式的性质（基本 ）
（三）证明不等式常用的基本方法
1.比较法
（1）作差法
a>b a－b>0
理论根据 a=b a－b=0
a<b a－b<0
一般步骤：作差——变形——判断符号
常常用之证明较高的不等式或分式不等式
例：已知：a,b∈R+,且a≠b
求证：a5+b5>a3b2+a2b3
(2)作商法
2.综合法——“由因导果”（实质）
理论根据 a2≥0即a2∈{0}∪R+
此种方法常用到的重要不等式
a2+b2≥2ab (a,b∈R)
(a,b∈R+)
a3+b3+c3≥3abc (a,b,c∈R+)
(a,b,c∈R+)
例如：证明：a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da
要根据不等式的特征，运用重要不等式，注意条件是否具备
3.分析法——“执果索因”（实质）
思想方法解题格式
为了证明……
只需证明……
……
因为……成立
所以……也成立
例如：证明： （a≥3）
分析法在思考上优于综合法易于寻找证明的思路，综合法在证明过程中书写表达条理，故常将两法综合使用，进行记忆较好。
4.反证法
思想方法：为了证明A＞B成立，假设A＜B及A＝B成立，推理可知A＜B及A＝B都不成立，故而必有A＞B成立。
5.放缩法
理论根据 a>b且b>c a>c
例：已知a,b,c,d为正数，
求证：1< <2
证明：由a,b,c,d为正数，则有

＞ ＝1

＜ ＝2
∴原不等式成立
练习：证明： （n∈N*且n≥2）
证明：由k∈N*且2≤k≤n，则有
∴
＝
6.数学归纳法
证明一些与自然数有关的不等式。
作业：解答课堂例练习题

望采纳