分离方程的解决方法

‘壹’ 请讲解一下解分式方程中所运用的的“分离常数法”，再举几个例子，谢谢

在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求常量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出常量的取值范围。这种方法可称为分离数法。用这种方法可使解答问题简单化。
例如:Y=(ax+b)/(cx+d),(a≠0,c≠0,d≠0),其中a,b,c,d都是常数.
例:y=x/(2x+1).求函数值域
分离常数法,就是把分子中含X的项分离掉,即分子不X项.
Y=X/(2X+1)=[1/2*(2X+1)-1/2]/(2X+1)
=1/2-1/[2(2X+1)].
即有,-1/[2(2X+1)]≠0,
Y≠1/2.
则,函数值域是:{Y|Y≠1/2}.

‘贰’ 变量分离方程 解法

dy/dx=y(1-y/10)

dy/(y(1-y/10))=dx

积分 (1/(y(1-y/10))) dy = 积分 dx + C

积分 (10/(y(10-y))) dy = x + C

积分 ((10-y+y)/(y(10-y))) dy = x + C

积分 (10-y/(y(10-y))+y/y(10-y)) dy = x + C

积分 (1/y+1/(10-y)) dy = x + C

ln|y|-ln|10-y| = x + C

y/(10-y) = Ce^x

10/(10-y) - 1 = Ce^x

10-y = 10 / (1 + Ce^x)

y = 10 - 10 / (1 + Ce^x)

‘叁’ 怎么解决分离变量法

配方法 过程如下:
1.将此一元二次方程化为ax^2+bx+c=0的形式(此一元二次方程满足有实根)
2.将二次项系数化为1
3.将常数项移到等号右侧
4.等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方
5.将等号左边的代数式写成完全平方形式
6.左右同时开平方
7.整理即可得到原方程的根
例:解方程2x^2+4=6x
1.2x^2-6x+4=0
2.x^2-3x+2=0
3.x^2-3x=-2
4.x^2-3x+2.25=0.25
5.(x-1.5)^2=0.25
6.x-1.5=±0.5
7.x1=2
x2=1

换元法
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4 ＋2 －2≥0，先变形为设2 ＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝ ＋ 的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin α ，α∈[0, ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x ＋y ＝r （r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。
均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝ ＋t，y＝ －t等等。
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0, ]。

分离变量法

比如有一个式子，里面包含x、y两个未知数，若x是变量，就把这个式子化成x=＿＿＿＿就等于是把x用y表示出来，这样就把x分离出来了；
若y是变量，就化成y=＿＿＿＿也就是把y单独分离出来了
这是我的理解

‘肆’ 一阶可分离方程，如何进行求解 有这套题的.满分拿去

高等数学当中的一阶微分方程都是有固定解法的一类，解方程的关键是辨识要求解的方程是什么类型。
求根公式型（包括常数变易法公式），往往是y'=p(x)y+q(x)的形式或者经非常简短的变形就可以化为这种形式，直接套用求根公式求解。
伯努利（Bernoulli）方程，y'=p(x)y+q(x)y^n，做代换z=y^(1-n)可解，高数中有y的2次方以上多数都是这种方程。
全微分方程，M(x,y)dx+N(x,y)dy=0。高数当中不涉及可以化为全微分方程的题目，所以涉及的全微分方程都是直接就是这种形式。用凑微分法或者直接积分都能解。
如果是常微分方程课程里的一阶微分方程，黎卡提方程，雅克比方程，一阶隐方程，可化为全微分方程和积分因子法也需要掌握，但是解方程不是重点，重点是常数变易公式，黎卡提方程和雅阁比方程求解公式的推导以及广义的积分因子证明才是难点。重中之重是柯西问题的解决和证明，一般是以Lipschitz条件为蓝本进行的学习，对于后面的通解结构分析思想极为重要，对于信号学或者自动化相关的专业这个是根本问题。

‘伍’ 高数中微分方程变量可分离方程的解法原理是什么

主要用于本征值问题。此类问题中，解可以分解成本征函数的线性组合。根据解的唯一性，无论用什么方法计算得到的结果，必定都是等价的。因此可以使用分离变量方法计算本征函数，从而得到问题的解。

‘陆’ 高数：求解下列可分离变量方程的处置问题：

分离变量：dx/(1+e^(--x))=--sinydy/cosy=--tany*dy，
即d(ln(1+e^x))=--d(lncosy)，
ln(1+e^x)=ln(cosy)+C，由
y(0)=pi/4得
ln(2)=ln(cospi/4)+C，C=ln2根号(2)，
故ln(1+e^x)=ln(2根号(2)*cosy)
(1+e^x)secy=2根号(2)

‘柒’ 可分离变量的微分方程，求通解，详细解析

dy/dx=y²/8

把x看成函数，y看成自变量,有dx/dy=8/y²

即dx=8dy/y²

积分：x=-8/y+C

整理得y=8/(C-x)

(1+y^2)dx-x(1+x^2)ydy=0

(1+ y^2)dx=x(1+x^2)ydy

1/((x^2+1)x)dx=y/(1+y^2)dy

左边积分：设x=tana dx=sec^2ada

左边=cota/sec^2a*sec^2ada=cotada=1/sinadsina

约束条件

微分方程的约束条件是指其解需符合的条件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的约束条件。常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各阶导数的值，有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。

若是二阶的常微分方程，也可能会指定函数在二个特定点的值，此时的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值，称为狄利克雷边界条件（第一类边值条件），此外也有指定二个特定点上导数的边界条件，称为诺伊曼边界条件（第二类边值条件）等。

‘捌’ 一阶可分离分方程,如何进行求解

既然你说了是可分离的方程，那当然采用分离的方法进行，这是大的方向，具体要根据实际情况看，要看具体的例子。

‘玖’ 什么叫分离变量法

分离变量法是将一个偏微分方程分解为两个或多个只含一个变量的常微分方程。将方程中含有各个变量的项分离开来，从而将原方程拆分成多个更简单的只含一个自变量的常微分方程。

将方程中含有各个变量的项分离开来，从而将原方程拆分成多个更简单的只含一个自变量的常微分方程。运用线性叠加原理，将非齐次方程拆分成多个齐次的或易于求解的方程。利用高数知识、级数求解知识，以及其他巧妙的方法，求出各个方程的通解。最后将这些通解“组装起来”。

(9)分离方程的解决方法扩展阅读

分离变量法的理论基础之一是线性叠加原理，故其只能解决线性定解问题。在用分离变量法的过程中多次应用叠加原理，不仅方程的解是所有特解的线性叠加，而且处理非齐次方程泛定方程问题时，把方程条件也视为几种类型叠加的结果，从而将其“分解” 。

对于线性叠加原理，其物理表述为：“几个物理量共同作用产生的结果，等效于各个物理量单独作用时各自产生效果的总和”。