‘壹’ 二项式定理题目的解题方法
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2
10
2
1
10
3
4
3
4
1
10
10
(
)
(
)
r
r
r
r
r
r
r
T
C
x
x
C
x
，由题意
10
2
3,
6
4
3
r
r
r
解得
，
则含有
3
x
的项是第
7
项
6
3
3
6
1
10
210
T
C
x
x
,
系数为
210
。
练：求
2
9
1
(
)
2
x
x
展开式中
9
x
的系数？
解：
2
9
18
2
18
3
1
9
9
9
1
1
1
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
T
C
x
C
x
x
C
x
x
，令
18
3
9
r
,
则
3
r
故
9
x
的系数为
3
3
9
1
21
(
)
2
2
C
。
题型三：利用通项公式求常数项；
例：求二项式
2
10
1
(
)
2
x
x
的展开式中的常数项？
解：
5
20
2
10
2
1
10
10
1
1
(
)
(
)
(
)
2
2
r
r
r
r
r
r
r
T
C
x
C
x
x
，令
5
20
0
2
r
，得
8
r
，所以
8
8
9
10
1
45
(
)
2
256
T
C
练：求二项式
6
1
(2
)
2
x
x
的展开式中的常数项？
解：
6
6
6
2
1
6
6
1
1
(2
)
(
1)
(
)
(
1)
2
(
)
2
2
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
T
C
x
C
x
x
，
令
6
2
0
r
，
得
3
r
，
所以
3
3
4
6
(
1)
20
T
C
练：若
2
1
(
)
n
x
x
的二项展开式中第
5
项为常数项，则
____.
n
解：
4
2
4
4
4
2
12
5
1
(
)
(
)
n
n
n
n
T
C
x
C
x
x
，令
2
12
0
n
，得
6
n
.
题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；
例：求二项式
9
3
(
)
x
x
展开式中的有理项？
解：
1
27
1
9
3
6
2
1
9
9
(
)
(
)
(
1)
r
r
r
r
r
r
r
T
C
x
x
C
x
，令
27
6
r
Z
,(
0
9
r
)
得
3
9
r
r
或
，
所以当
3
r
时，
27
4
6
r
，
3
3
4
4
4
9
(
1)
84
T
C
x
x
，
当
9
r
时，
27
3
6
r
，
3
9
3
3
10
9
(
1)
T
C
x
x
。
题型五：奇数项的二项式系数和
=
偶数项的二项式系数和；
例：若
2
3
2
1
(
)
n
x
x
展开式中偶数项系数和为
256
，求
n
.
解：设
2
3
2
1
(
)
n
x
x
展开式中各项系数依次设为
0
1
,
,
,
n
a
a
a
1
x
令
,
则有
0
1
0,
n
a
a
a
①，
1
x
令
,
则有
0
1
2
3
(
1)
2
,
n
n
n
a
a
a
a
a
②
将①
-
②得：
1
3
5
2(
)
2
,
n
a
a
a
1
1
3
5
2
,
n
a
a
a
有题意得，
1
8
2
256
2
n
，
9
n
。
练：若
3
5
2
1
1
(
)
n
x
x
的展开式中，所有的奇数项的系数和为
1024
，求它的中间项。
解：
0
2
4
2
1
3
2
1
1
2
r
r
n
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
C
C
，
1
2
1024
n
，解得
11
n
所以中间两个项分别为
6,
7
n
n
，
5
6
5
4
3
5
5
1
2
1
1
(
)
(
)
462
n
T
C
x
x
x
，
61
15
6
1
462
T
x
题型六：最大系数，最大项；
例：已知
1
(
2
)
2
n
x
，若展开式中第
5
项，第
6
项与第
7
项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最
大项的系数是多少？
解：
4
6
5
2
2
,
21
98
0,
n
n
n
C
C
C
n
n
解出
7
14
n
n
或
，
当
7
n
时，
展开式中二项式系数最大的项是
4
5
T
T
和
3
4
3
4
7
1
35
(
)
2
,
2
2
T
C
的系数
，
4
3
4
5
7
1
(
)
2
70,
2
T
C
的系数
当
14
n
时，展开式中二项式系数
最大的项是
8
T
，
7
7
7
8
14
1
C
(
)
2
3432
2
T
的系数
。
练：在
2
(
)
n
a
b
的展开式中，二项式系数最大的项是多少？
解：二项式的幂指数是偶数
2
n
，则中间一项的二项式系数最大，即
2
1
1
2
n
n
T
T
，也就是第
1
n
项。
练：在
3
1
(
)
2
n
x
x
的展开式中，只有第
5
项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？
解：只有第
5
项的二项式最大，则
1
5
2
n
，即
8
n
,
所以展开式中常数项为第七项等于
6
2
8
1
(
)
7
2
C
例：写出在
7
(
)
a
b
的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？
解：因为二项式的幂指数
7
是奇数，所以中间两项
(
4,5
第
项
)
的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有
3
4
3
4
7
T
C
a
b
的系数最小，
4
3
4
5
7
T
C
a
b
系数最大。
例：若展开式前三项的二项式系数和等于
79
，求
1
(
2
)
2
n
x
的展开式中系数最大的项？
解：由
0
1
2
79,
n
n
n
C
C
C
解出
12
n
,
假设
1
r
T
项最大，
12
12
12
1
1
(
2
)
(
)
(1
4
)
2
2
x
x
1
1
1
12
12
1
1
1
2
12
12
4
4
4
4
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
A
A
C
C
A
A
C
C
，化简得到
9.4
10.4
r
，又
0
12
r
，
10
r
，展开式中系
数最大的项为
11
T
,
有
12
10
10
10
10
11
12
1
(
)
4
16896
2
T
C
x
x
练：在
10
(1
2
)
x
的展开式中系数最大的项是多少？
解：假设
1
r
T
项最大，
1
10
2
r
r
r
r
T
C
x
1
1
10
10
1
1
1
1
2
10
10
2
2
2(11
)
1
2(10
)
2
2
,
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
C
C
A
A
r
r
A
A
r
r
C
C
解得
，
化简得到
6.3
7.3
k
，
又
0
10
r
，
7
r
，展开式中系数最大的项为
7
7
7
7
8
10
2
15360
.
T
C
x
x
题型七：含有三项变两项；
例：求当
2
5
(
3
2)
x
x
的展开式中
x
的一次项的系数？
解法①：
2
5
2
5
(
3
2)
[(
2)
3
]
x
x
x
x
，
2
5
1
5
(
2)
(3
)
r
r
r
r
T
C
x
x
，当且仅当
1
r
时，
1
r
T
的展开式中才
有
x
的一次项，此时
1
2
4
1
2
5
(
2)
3
r
T
T
C
x
x
，所以
x
得一次项为
1
4
4
5
4
2
3
C
C
x
它的系数为
1
4
4
5
4
2
3
240
C
C
。
解法②：
2
5
5
5
0
5
1
4
5
0
5
1
4
5
5
5
5
5
5
5
5
(
3
2)
(
1)
(
2)
(
)(
2
2
)
x
x
x
x
C
x
C
x
C
C
x
C
x
C
故展开式中含
x
的项为
4
5
5
4
4
5
5
5
2
2
240
C
xC
C
x
x
，故展开式中
x
的系数为
240.
练：求式子
3
1
(
2)
x
x
的常数项？
解：
3
6
1
1
(
2)
(
)
x
x
x
x
，设第
1
r
项为常数项，则
6
6
2
6
1
6
6
1
(
1)
(
)
(
1)
r
r
r
r
r
r
r
T
C
x
C
x
x
，
得
6
2
0
r
,
3
r
,
3
3
3
1
6
(
1)
20
T
C
.
题型八：两个二项式相乘；
例：
3
4
2
(1
2
)
(1
)
x
x
x
求
展开式中
的系数
.
解：
3
3
3
(1
2
)
(2
)
2
,
m
m
m
m
m
x
x
x
的展开式的通项是
C
C
4
4
4
(1
)
C
(
)
C
1
,
0,1,2,3,
0,1,2,3,4,
n
n
n
n
n
x
x
x
m
n
的展开式的通项是
其中
3
4
2,
0
2,
1
1,
2
0,
(1
2
)
(1
)
m
n
m
n
m
n
m
n
x
x
令
则
且
且
且
因此
2
0
0
2
2
1
1
1
1
2
2
0
0
3
4
3
4
3
4
2
(
1)
2
(
1)
2
(
1)
6
x
C
C
C
C
C
C
的展开式中
的系数等于
.
练：
6
10
3
4
1
(1
)
(1
)
x
x
求
展开式中的常数项
.
解：
4
3
6
10
3
3
4
12
6
10
6
10
4
1
(1
)
(1
)
m
n
m
n
m
n
m
n
x
C
x
C
x
C
C
x
x
展开式的通项为
0,
3,
6,
0,1,
2,
,6,
0,1,
2,
,10,
4
3
,
0,
4,
8,
m
m
m
m
n
m
n
n
n
n
其中
当且仅当
即
或
或
0
0
3
4
6
8
6
10
6
10
6
10
4246
C
C
C
C
C
C
时得展开式中的常数项为
.
练：
2
*
3
1
(1
)(
)
,
2
8,
______.
n
x
x
x
n
N
n
n
x
已知
的展开式中没有常数项
且
则
解：
3
4
3
1
(
)
C
C
,
n
r
n
r
r
r
n
r
n
n
x
x
x
x
x
展开式的通项为
通项分别与前面的三项相乘可得
4
4
1
4
2
C
,C
,C
,
,2
8
r
n
r
r
n
r
r
n
r
n
n
n
x
x
x
n
展开式中不含常数项
4
4
1
4
2
4,8
3,7
2,6,
5.
n
r
n
r
n
r
n
n
n
n
且
且
，即
且
且
题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；
例：
2006
(
2)
,
,
2
,
_____.
x
x
S
x
S
在
的二项展开式中
含
的奇次幂的项之和为
当
时
解：
2006
1
2
3
2006
0
1
2
3
2006
(
2)
x
a
a
x
a
x
a
x
a
x
设
=
-------
①
2006
1
2
3
2006
0
1
2
3
2006
(
2)
x
a
a
x
a
x
a
x
a
x
=
-------
②
3
5
2005
2006
2006
1
3
5
2005
2(
)
(
2)
(
2)
a
x
a
x
a
x
a
x
x
x
①
②得
2006
2006
2006
1
(
2)
(
)
[(
2)
(
2)
]
2
x
S
x
x
x
展开式的奇次幂项之和为
3
2006
2
2006
2006
3008
1
2
2
,
(
2)
[(
2
2)
(
2
2)
]
2
2
2
x
S
当
时
题型十：赋值法；
例：设二项式
3
1
(3
)
n
x
x
的展开式的各项系数的和为
p
，所有二项式系数的和为
s
,
若
272
p
s
,
则
n
等于多少？
解：若
2
3
0
1
2
1
(3
)
n
n
n
x
a
a
x
a
x
a
x
x
，有
0
1
n
P
a
a
a
，
0
2
n
n
n
n
S
C
C
，
令
1
x
得
4
n
P
，又
272
p
s
,
即
4
2
272
(2
17)(2
16)
0
n
n
n
n
解得
2
16
2
17(
)
n
n
或
舍去
，
4
n
.
练：若
n
x
x
1
3
的展开式中各项系数之和为
64
，则展开式的常数项为多少？
解：令
1
x
，则
n
x
x
1
3
的展开式中各项系数之和为
2
64
n
，所以
6
n
，则展开式的常数项为
3
3
3
6
1
(3
)
(
)
C
x
x
540
.
例：
2009
1
2
3
2009
2009
1
2
0
1
2
3
2009
2
2009
(1
2
)
(
),
2
2
2
a
a
a
x
a
a
x
a
x
a
x
a
x
x
R
若
则
的值为
解：
2009
2009
1
2
1
2
0
0
2
2009
2
2009
1
,
0,
2
2
2
2
2
2
2
a
a
a
a
a
a
x
a
a
令
可得
2009
1
2
0
2
2009
0
1,
1.
2
2
2
a
a
a
x
a
在令
可得
因而
练：
5
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
(
2)
,
____.
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
a
a
a
a
a
若
则
解：
0
0
1
2
3
4
5
0
32,
1
1,
x
a
x
a
a
a
a
a
a
令
得
令
得
1
2
3
4
5
31.
a
a
a
a
a
题型十一：整除性；
例：证明：
2
2
*
3
8
9(
)
n
n
n
N
能被
64
整除
证：
2
2
1
1
3
8
9
9
8
9
(8
1)
8
9
n
n
n
n
n
n
0
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
8
8
8
8
8
9
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
n
0
1
1
1
2
1
1
1
8
8
8
8(
1)
1
8
9
n
n
n
n
n
n
C
C
C
n
n
0
1
1
1
2
1
1
1
8
8
8
n
n
n
n
n
n
C
C
C
由于各项均能被
64
整除
2
2
*
3
8
9(
)
64
n
n
n
N
能被
整除
‘贰’ 设而不求法一般形式
设而不求法一般形式没有固定的一般形式。
＂设而不求＂解题法,就是在解决数学问题时,先设定一些未知数,然后把它们当成已知数,根据题设本身各量间的制约关系,列出方程,求得未知数。但在有些数学问题中,设定一些未知数,不需要求出未知数,而根据题目本身的特点,将未知数消去或代换,使问题的解决变得简捷、明快,在这里不妨命曰＂设而不求＂法。
‘叁’ 求高手解决问题
【知识结构】
【命题趋势分析】
从近三年高考情况看，圆锥曲线的定义、方程和性质仍是高考考查的重点内容，三年平均占分20分，约为全卷分值的13.3%，在题型上一般安排选择、填空、解答各一道，分别考查三种不同的曲线，而直线与圆锥曲线的位置关系又是考查的重要方面。
例1 （2002年江苏卷理科第13题）椭圆 的一个焦点是（0，2），则k________________________________________。
分析 本题主要考查椭圆的标准方程，先将其化为标准形式，然后求解。
解 椭圆方程即 ∴ ，∴由 解得k=1。
点评 由焦点在y轴上，其标准方程应化为 的形式，若此题变化为：已知曲线 的焦距为4，则k_____________________________________。
则应分两种情况讨论：（1）若为椭圆，则k=1；（2）若为双曲线，方程即为
∴ ，由 ，由 ，得 。
例2 （2001年全国卷理科第14题）双曲线 的两个焦点为 ，点P在双曲线上，若 ，则点P到x轴的距离为_________________________________。
分析 本题主要考查双曲线的定义，从“形”的角度看，只需求出 斜边 上的高，可用第一定义求解；从“数”的角度看，只需求出点P的纵坐标 ，先利用第二定义即焦半径公式表示出 ， ，由勾股定理求出 ，再代入双曲线方程即可求出 的值；由于点P在以 为直径的圆上，因此，解决本题一个最基本的方法，则是利用交迹法求出点P。
解法一 设 ，且由双曲线的对称性不妨设点P在第一象限，则m―n=2a―6 ①， ②，
②－① 得2mn=64，∵mn=32，作PQ⊥x轴于Q，则在 中， ，即点P到x轴的距离为 ，
解法二 设 ，由第二定义可得 ， ，∵ ，
∴ ，
即 ，这里a=3 c=5 ，代入得 。
∴由双曲线方程得 ，∴ 。
解法三 设 ，∵
∴点P在以 为直径的圆上，即
①，又点P在双曲线上，
∴ ②，由①，②消去 ，得 ，∴ 。
点评 （1）由双曲线的对称性，可将点P设定在第一象限内，而不必考虑所有的情况。
（2）解题的目标意识很重要，例如在解法一中只需整体求出mn的值，而不必将m，n解出；在解法三中只需求 即可；
（3）在三种解法中，以解法三最简洁，因此，最基本的方法有时也是最有效的方法。
（4）如果将问题改为：当 为钝角时，点P的横坐标的取值范围是________________________________。
那么，可先求出使 时的点P的横坐标为 ，由图形直观及双曲线的范围可得 ，2000年高考理科第14题考查了椭圆中与此类似的问题。
例3 （2000年全国卷理科第11题）过抛物线 的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则 等于（ ）
A．2a B． C．4a D．
分析 此题主要考查抛物线的定义与标准方程，可利用焦半径公式来解决。
解 抛物线方程即 ，记 ，则F（0，m），而直线PQ的方程可设为x=k（y－m），代入抛物线方程 得
，
设 ，则
而 ，
于是， ，
。
故， 。
当k=0时，易证结论也成立，因而选C。
点评 （1）由于所给抛物线的焦点在y轴上，故其焦点是 ，焦半径公式是 ，而不能写成 。（2）解题中，令 以及将直线PQ的方程设为x=k（y－m），都是为了简化运算。（3）作为一道选择题，如此解法显然是不经济的，可以利用上节例5中的结论3直接得出结果，因此，记住一些重要结论，对提高解题效率无疑是有益的。（4）特例法也是解选择题的常用的解题方法，本题只需考虑PQ//x轴，即为通径的情况，可立即得出结果。
例4 （2001年全国卷理科第19题）设抛物线 的焦点F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC//x轴，证明直线AC经过坐标原点O。
分析 本小题主要考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力，证明三点共线，只须证明OC、OA两直线的斜率相等，也可利用抛物线的性质证明AC与x轴的交点N恰为EF的中点，从而N与O重合，证得结论。
解法一 易知焦点 ，设直线AB的方程是 ，代入抛物线方程得
设 ，则
，即 。
因BC//x轴，且C在准线1上，故点 ，且 ，从而 ，从而
， ，
于是， ，从而A、O、C三点共线，即直线AC经过原点O。
解法二 如图，设准线1交x轴于点E，AD⊥1于D，连AC交EF于点N，由AD//EF//BC，
得 ，即 ，①
，即 ，②
又由抛物线的性质可知，|AD|=|AF|，|BC|=|BF|，代入①②可得|EN|=|NF|，即N为EF的中点，于是N与点O重合，即直线AC经过原点O。
点评 （1）本例解法一利用曲线的方程研究曲线的性质，充分体现了用坐标法研究几何问题的基本思想，而解法二则充分利用了抛物线的几何性质及相似三角形中的有关知识。（2）在解法一中，直线AB方程的设法值得推崇，从思路分析看，若证 ，即证 ，将 代入后即证 ，即证 ，为此应通过直线AB的方程及抛物线方程 联立消去x得到关于y的一元二次方程，解法一中的这一设法，既回避了直线方程的变形过程使运算简单，同时也回避了当AB⊥x轴的情况的讨论，若将AB方程设为 ，则必须对k不存在的情况作出说明。（3）试验修订本（必修）《数学》第二册（上） 习题8．6第6题是：过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，经过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，求证直线MQ平行于抛物线的对称轴，可见，这道高考题实际上是课本习题的一个逆命题，同学们在平时的学习中，对课本典型例题，习题要加强研究。
例5 （2002年江苏卷第20题）设A、B是双曲线 上的两点，点N（1，2）是线段AB的中点。
（1）求直线AB的方程；
（2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？
分析 本题主要考查直线、圆及双曲线的方程和性质，运算能力和综合运用所学知识解决问题的能力。求直线AB的方程，可以设出其点斜式，与双曲线方程联立消元，利用韦达定理及中点公式求出其斜率，由于涉及“中点弦”问题，亦可利用“设而不求”法解决。对于第（2）小题，根据图形特征，若四点共圆，则CD必为其直径，至少可有以下三种解题思路：（1）判断CD中点到四点是否等距；（2）判断是否有AC⊥AD；（3）判断A、B两点是否以CD为直径的圆上。
解 （1）解法一：设AB：y=k（x－1） 2代入 ，整理得
。①
设 ，则
，且
因N（1，2）是AB的中点，故 ，于是 ，解得k=1，从而所求直线AB的方程为y=x 1。
解法二：设 ，代入双曲线方程得
。
因N（1，2）为AB的中点，故 ， ，将它们代入上式可得 ，从而 ，于是直线AB的方程为y=x 1。
（2）将k=1代入方程①得， ，解得 ， 。
由y=x 1得， ， ，即A（－1，0），B（3，4），而直线CD的方程是y―1=―（x―2），即y=3－x，代入双曲线方程并整理得 ②
设 ，则 ， 。
解法一：设CD中点为 ，则 ，于是 ，即M（－3，6）。
因
故 。
又
即A．B．C．D四点与点M的距离相等，从而A、B、C、D四点共圆。
解法二：由 ， 得， ，
，故
，即AC⊥AD。
由对称性可知，BC⊥BD，于是A、B、C、D四点共圆。
解法三：以CD为直径的圆的方程是
，即
。
将 ， ， ， ，代入得
，即 。
因 ，
，
故A、B在以CD为直径的圆上，即A、B、C、D四点共圆。
点评 （1）处理直线与圆锥曲线相交问题时，要重视韦达定理的应用。（2）“设而不求”是解决“中点弦”问题常用的方法，通过“设而不求”可以建立弦所在直线的斜率与弦的中点坐标之间的关系，本题已知中点坐标，即可确定出直线的斜率。（3）判断四点共圆的方法很多，注意从多种不同的角度进行思考，锻炼思维的灵活性。
【典型热点考题】
1．探究
例6 设 分别是椭圆 的左、右焦点，试问：在椭圆上是否存在一点P，使得 ？为什么？
分析 根据点P满足的条件，探究是否能够将点P的坐标求出，若能，则存在；若不能，则不存在，求P点坐标，有以下两条思路：
思路一 设 ，用焦半径公式将 ， 用 表示，由 ，探求 是否存在。
思路二 由 知，点P在以 为直径的圆上，只须考察该圆与椭圆是否存在公共点。
思考：画一个较为准确的图形，不难发现，圆 与椭圆 没有公共点，所以这样的点P是不存在的，关键是这个椭圆太“圆”了，由此引发我们思考：为使点P存在，椭圆应尽量“扁”一些，也即其离心率应该较大，于是我们可以去思考一个一般性的问题：
一般化：若椭圆 上存在一点P，使得 ，求离心率e的取值范围。
利用例6提供的两个思路均可得到 ，从而验证了我们的猜想。
再思考：考察点P从长轴端点 始沿椭圆运动至 的过程， 由0°逐渐增大后又逐渐减小为0°，猜想在某一位置必然取得最大值，试问：这个最大值是多少？又在何处取得？从椭圆的对称性来看，我们可以猜想：当点P在短轴端点B处时， 取得最大值，是不是这样呢？
利用焦半径公式及余弦定理不难验证这一猜想是正确的。
若设 ，我们有 。
回头看，在例6中， ， ，代入可得 ，故0°≤θ≤60°，可见使θ=90°的点P是不存在的。
又一个问题：若椭圆 上存在一点P，使 （ 、 为长轴端点），求离心率e的取值范围。
分析 不再是椭圆的焦半径，按照例6中的思路一已经不能解决问题，但是我们知道，使 的点P是轨迹是关于 对称的两段圆弧，可先求出圆弧所在圆的方程，然后按照思路二进行研究，下面我们给出这一问题的解答。
解 由对称性，不妨设 ，则 ， ，由到角公式得
，即 ，
整理得， 。 ①
又 ，故 。 ②
②代入①得， 。
因点P在椭圆上，故 ，即 ，从而 ，即 ，也就是 ，从而 ，解得 ，又0
‘肆’ 二次函数压轴题中什么时候运用韦达定理设而不求
二次函数压轴题中运用韦达定理设而不求
1、第一个就是与线段结合：求线段的最值，线段和差的最值、三点共线等。
2、其次是与角集合：求动点产生的45°角问题，求动点产生的两个角相等的问题，角的取值范围或自变量的取值范围等。
3、还有面积问题：三角形、四边形面积的最值等。
4、与封闭图形结合的问题：动点产生的一系列与三角形有关的问题（等腰、直角、全等、相似等）、与平行四边形或特殊的平行四边形相关的问题，与圆结合的相关问题（比如冷门考点：四点共圆）。
5、其他问题：线段比不变、线段倒数和等。
举例：
(2014年新课标Ⅱ)
设F为抛物线C:A.B.6C.12D.的焦点，过F且倾斜角为30
0的直线交于C于A，B两点，则|AB|=法3：直角坐标系普通方程AB【C】F易得AB的方程为：＋设而不求将
其代入得=12故(1)(2014年新课标Ⅱ)设F为抛物线C:A.B
.6C.12D.的焦点，过F且倾斜角为300的直线交于C于A，B两点，则|AB|=法4：直角坐标系
参数方程AB【C】F+设而不求易得AB的参数方程为：将其代入得=12故
(1)(2014年新课标Ⅱ)设F为抛物线C:A.B.6C.12D.的焦点，过F
且倾斜角为300的直线交于C于A，B两点，则|AB|=法5：极坐标方程若AB为焦点弦，则AB由题意得离心率e=1,
焦参数=12【C】F则，故=12(2)(2012年重庆简化)如图,F1,F2是椭圆
的焦点线段OF1,OF2的中点分别为线段B1,B2,过B1做直线l交椭圆于P,Q两点,使PB2⊥QB2,,求直线l
的方程F1F2POB2B1Q解：易得B1(-2,0),B2(2,0)ⅱ:当l的斜率存在时，设l：将
其代入得故,ⅰ:当l的斜率不存在时易得不符题意，舍去
此题可以不写：Δ＞0为何？……极易漏掉该类……(2)(2012年重庆简化)如图,F1,F2是椭圆
的焦点线段OF1,OF2的中点分别为线段B1,B2,过B1做直线l交椭圆于P,Q两点,使PB2⊥QB2,
,求直线l的方程F1F2POB2B1Q解：易得B1(-2,0),B2(2,0)ⅱ:当l的斜率存在时，设
l：将其代入得故,ⅰ:当l的斜率不存在时易得不符
题意，舍去因·(2)(2012年重庆简化)如图,F1,F2是椭圆的焦点线段OF1,OF2的中点分
别为线段B1,B2,过B1做直线l交椭圆于P,Q两点,使PB2⊥QB2,,求直线l的方程F1F2POB2B1
Q解：易得B1(-2,0),B2(2,0)ⅱ:当l的斜率存在时,设l：……ⅰ:当l的斜率不存在时,不符题意,
舍因……解得k＝±所以l：x±2y+2=0
‘伍’ 怎么解二项式不等式
二项式定理
(a+b)n=C0nan+C1nan-1b+…+Cnnbn,由于结构比较复杂,多年来在竞赛中未能充分展现应有的知识;而有些不等式,通过观察、分析题目的特点,构造二项式模型,经过放缩等手段便可使问题迅速求解.1 直接运用二项式定理
有些不等式由于结构的特点,直接运用二项式定理可迅速证明.
例1 若|x|<1,n是大于1的整数,a=(1-x)n+(1+x)n,求证:a<2n.
证明:借助于二项式定理,有
a=
∑
n
k=0
Ckn
(-x)k
+
∑
n
k=0Ckn
xk
=
∑
n
k=0
Ck
n
[(-x)k
+xk
]
=2(C0
n+C2
nx2
+C4
nx4
+…+C2
n
2nx
2
n
2)
<2(C0n+C2n+C4n+…+C2
n
2
n)
=2×2
n-1=2n
.
则a<2n
‘陆’ 椭圆设而不求 无敌难题！！！！
1：设而不求法:
椭圆可化成9x²+25y²=225①
设P(x1，y1），Q（x2，y2），且直线PQ斜率为k，PQ中点（x，y）
由于直线过（8，1），则该直线为：y-1=k（x-8）即y=k（x-8）+1
但是我们不应该就这样设，因为8代入到椭圆中是一个非常大的数，后面的计算会无比复杂。
所以我们设y=kx+b②，你之后就能体会到这样设的好处。
将（8，1）代入②，得b=1-8k
联立①②，整理得：
x1+x2=2x=-50kb/（9+25k²）
y1+y2=2y=kx1+b+kx2+b=k（x1+x2）+2b
=[-50k²b/（9+25k²)]+2b
=18b/（9+25k²）
则x=-25kb/（9+25k²）
y=9b/（9+25k²）
x/y=-25k/9
则k=-9x/25y
把k=-9x/25y和b=1-8k代入y=9b/（9+25k²）
整理得：9x²+25y²-72x-25y=0，为中点方程
2:点差法：
椭圆可化成9x²+25y²=225
设P(x1，y1），Q（x2，y2），且直线PQ斜率为k，PQ中点（x，y）
则有9x1²+25y1²=225①
9x2²+25y2²=225②
x1+x2=2x③
y1+y2=2y③
由①-②得：
9（x1²-x2²）+25（y1²-y2²）=0
9（x1-x2)(x1+x2）+25(y1-y2)(y1+y2)=0
两边同时除以（x1-x2），并用k来代换（y1-y2）/（x1-x2）
9（x1+x2）+25k（y1+y2）=0
把③的两个式代入上式
9（2x）+25k（2y）=0
即18x+50ky=0，得k=-9x/25y
由于该直线过（8，1），而(x,y)和它在同一直线，所以斜率k=(y-1)/(x-8)
那么(y-1)/(x-8)=-9x/25y
解得9x²+25y²-72x-25y=0，为中点方程
注意，你说的验△，这是肯定的。
△是判别式，它要大于0，这是直线和椭圆有交点的充要条件。
因为（8，1）是在椭圆之外的，而我们设的直线不一定会和椭圆有2个交点，所以一定要验△，得到k的范围，之后检验求出来的k是否在使△>0的k的范围之内，如果是，那么这个k就成立了，也代表着该轨迹存在
否则，k不成立，直线和椭圆根本没有交点，当然也不存在截弦，更不存在截弦的中点的轨迹。
最后要注意的是，k是否存在也需要讨论。这和△不同。△>0是为了保证使直线和椭圆相交的k存在，而如果一条直线和x轴垂直，那么k是不存在的，直线就不带k了。在这题中，显然k是存在的，因为当k不存在时，直线和椭圆不相交。所以推断出k必定存在。
‘柒’ 二项式定理公式是什么样的
二项式定理论述了(a＋b)n的展开式.人们只要有初步的代数知识和足够的毅力,便可以得到如下公式,
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4
等等.对于(a＋b)12,人们显然希望不必经由(a＋b)十几次自乘的冗长计算,就能够发现其展开式中a7b5的系数.早在牛顿出生之前很久,人们便已提出并解决了二项式的展开式问题.中国数学家杨辉早在13世纪就发现了二项式的秘密,但他的着作直到近代才为欧洲人所知.维埃特在其《分析术引论》前言的命题XI中也同样论证了二项式问题.但这一伟大发现通常是以布莱兹·帕斯卡的名字命名的.帕斯卡注意到,二项式的系数可以很容易地从我们现在称为“帕斯卡三角”的排列中得到：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
等等
在这个三角形中,每一个新增数字都等于其上左右两个数字之和.因此,根据帕斯卡三角,下一行的数值为
1 8 28 56 70 56 28 8 1
例如,表值56就等于其上左右两个数字21＋35之和.
帕斯卡三角与（a＋b）8展开式之间的联系是非常直接的,因为三角形的最后一行数值为我们提供了必要的系数,即
（a＋b）8＝a8＋8a7b＋28a6b2＋56a5b3
＋70a4b4＋56a3b5＋28a2b6＋8ab7＋b8
我们只要将三角形的数值再向下延伸几行,就可以得到（a＋b）12展开式中a7b5的系数为792.所以,帕斯卡三角的实用性是非常明显的.
年轻的牛顿经过对二项展开式的研究,发明了一个能够直接导出二项式系数的公式,而不必再繁琐地延伸三角形到所需要的那行了.并且,他对模式的持续性的固有信念使他认为,能够正确推导出诸如(a＋b)2或(a＋b)3
这种形式的二项式.
关于分数指数和负数指数问题,在此还需多说一句.我们知道,在初等
这些关系.
以下所列牛顿的二项展开式公式是他在1676年写给其同时代伟人戈特弗里德·威廉·莱布尼兹的一封信中阐明的（此信经由皇家学会的亨利·奥尔登伯格转交）.牛顿写道：
项式的“指数是整数还是（比如说）分数,是正数还是负数”的问题.公式中的A、B、C等表示展开式中该字母所在项的前一项.
对于那些见过现代形式的二项展开式的读者来说,牛顿的公式可能显得过于复杂和陌生.但只要仔细研究一下,就可以解决读者的任何疑问.我们首先来看,
出
也许,这种形式看起来就比较熟悉了.
我们不妨应用牛顿的公式来解一些具体例题.例如,在展开(1＋x)3时,
这恰恰就是帕斯卡三角的非列系数.并且,由于我们的原指数是正整数3,所以,展开式到第四项结束.
但是,当指数是负数时,又有一个完全不同的情况摆在牛顿面前.例如,展开(1＋x)－3,根据牛顿公式,我们得到
或简化为
方程右边永远没有终止.应用负指数定义,这一方程就成为
或其等价方程
牛顿将上式交叉相乘并消去同类项,证实
（1＋3x＋3x2＋x3）（1＋3x＋6x2－10x3＋15x4－……）＝1
牛顿用等式右边的无穷级数自乘,也就是求这无穷级数的平方,以检验这一貌似奇特的公式,其结果如下：
所以
这就证实了
与牛顿原推导结果相同.
牛顿写道；“用这一定理进行开方运算非常简便.”例如,假设我们求
现在,将等式右边的平方根代入前面标有（）符号的二项展开式中的前6项,当然,此处要用29替换原公式中的x,因而,我
了前6个常数项.如果我们取二项展开式中更多的项,我们就会得到更加精确的近似值.并且,我们还可以用同样的方法求出三次根、四次根,等等,
续演算.
别奇怪的.而真正令人吃惊的是,牛顿的二项式定理精确地告诉我们应该采用哪些分数,而这些分数则是以一种完全机械的方式得出的,无须任何特殊的见解与机巧.这显然是一个求任何次方根的有效而巧妙的方法.
二项式定理是我们即将讨论的伟大定理的两个必要前提之一.另一个前提是牛顿的逆流数,也就是我们今天所说的积分.但是,对逆流数的详尽说明属于微积分问题,超出了本书的范围.然而,我们可以用牛顿的话来阐述其重要定理,并举一两个例子来加以说明.
牛顿在1669年中撰着的《运用无穷多项方程的分析学》一书中提出了逆流数问题,但这部论着直到1711年才发表.这是牛顿第一次提出逆流数问题,他将他的这部论文交给几个数学同事传阅.比如,我们知道,艾萨克·巴罗就曾看到过这部论文,他在1669年7月20日给他一个熟人的信里写道：“……我的一个朋友……在这些问题上很有天分,他曾带给我几篇论文.”巴罗或《分析学》一书的任何其他读者遇到的第一个法则如下.
设任意曲线AD的底边为AB,其垂直纵边为BD,设AB＝x,
BD＝y,并设a、b、c等为已知量,m和n为整数.则：
到x点之内的图形的面积.根据牛顿法则,这一图形的面积为
按照牛顿公式,面积为12x2,对这一结果,可以很容易地用三角形面积公式
牛顿又进一步说明了《分析学》一书的法则2,“如果y值是由几项之和组成的,那么,其面积也同样等于每一项面积之和.”例如,他写道,曲
那么,牛顿所采用的两个工具就是：二项式定理和求一定曲线下面积的流数法.他运用这两个工具,可以得心应手地解决许多复杂的数学与物理问题,而我们将要看到的是牛顿如何应用这两个工具,使一个古老的问题获得了全新的生命：计算π的近似值.我们在第四章的后记中,追溯了这一着名数字的某些历史,确认了某些学者,如阿基米德、韦达和卢道尔夫·冯瑟伦在计算更精确的π近似值方面所作出的贡献.1670年左右,这个问题引起了艾萨克·牛顿的注意.他运用他奇妙的新方法,对这一古老问题进行研究,并取得了辉煌的成就.
‘捌’ 求一道高中关于圆的一道题，解法原理是韦达定理，设而不求，求题及解法
已知园C：X^2+y^2-2x-4y=0.问是否存在斜率为1的直线L，使以L被园C截得的弦AB为直径的园经过原点？若存在，求出L的方程；若不存在，请说明理由。
设A，B的坐标分别为（x1,y1),(x2,y2)
以AB为直径的圆经过原点<=>AO垂直于BO
<=>x1x2+y1y2=0
设L：y=x+m
由y=x+m。。。1
X^2+y^2-2x-4y=0。。。2
将1代入2 得2x^2+2(m+1)x+m^2+4m-4=0。。。3
3式的两根即为x1，x2
由韦达定理得x1+x2=-m-1,x1x2=1/2m^2+2m-2
又y1=x1+m。。。4,y2=x2+m。。。5
4*5=y1y2。。。6,
在6中再代入x1+x2=-m-1,x1x2=1/2m^2+2m-2
得y1y2=1/2m^2-m-2。。。7,
因为x1x2+y1y2=0
代入,x1x2=1/2m^2+2m-2和7式
得m^2+3m-4=0
因此m=-4或1
一个一个打下来的，望采纳
如有那不看不懂的给我留言吧
‘玖’ 二项式定理常见的解题策略
二项式定理有关问题，是中学数学中的一个重要知识点，在历年的高考中几乎每年都有涉及. 因此掌握二项式定理问题的常见题型及其解题策略是十分必要的. 其考试题型主要有：求展开式中指定的项、求展开式中某一项的系数或二项式系数、求展开式中的系数和等，其难度不会太大，但题型可能较灵活．在高考中通常是以易题出现，主要以选择题、填空题和解答题的形式考查，其试题难度属中档题.
使用情景：求展开式中指定的项或某一项的系数或二项式系数
解题步骤：
第一步 首先求出二项展开式的通项；
第二步 根据已知求出展开式中指定的项或某一项的系数或二项式系数；
第三步 得出结论.
例1. 展开式中第3项的二项式系数为（ ）
A．6 B．-6 C．24 D．-24
【答案】A
【解析】第三项的二项式系数为 ,选 .
【总结】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项，可依据条件写出第 项，再由特定项的特点求出 值即可。
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.
使用情景：二项式系数的性质与各项系数和
解题步骤：
第一步 观察题意特征，合理地使用赋值法；
第二步 区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；
第三步 得出结论.
例2
(1)设 ，若 ，则展开式中系数最大的项是()
A． B． C． D．
(2)若 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中 的系数为________．
【答案】 (1)B；(2)56.
【解析】
（1） ,
令 得
令 ，则
又 的展开式二项式系数最大项的系数最大，
的展开式系数最大项为
（2）由题意知，
,
当 时， 的系数为
【总结】
(1)第(1)小题求解的关键在于赋值，求出 与n的值；第(2)小题在求解过程中，常因把n的等量关系表示为 ，而求错n的值．
(2)求解这类问题要注意：
①区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；
②根据题目特征，恰当赋值代换，常见的赋值方法是使得字母因式的值或目标式的值为1，－1.
使用情景：使用二项式定理处理整除问题
解题步骤：
第一步 通常把底数写成除数(或与余数密切相关联的数)与某数的和或差的形式；
第二步 再用二项式定理展开，但要注意两点：一是余数的范围， ，其中余数 ，r是除数，切记余数不能为负，二是二项式定理的逆用．；
第三步 得出结论.
例3 .设 ，且 ，若 能被13整除，则a＝()
A．0 B．1 C．11 D．12
【答案】D.
【解析】
能被13整除。且 能被13整除，
也能被13整除
因此 可取值12
【总结】：在使用二项式定理展开，但要注意两点：一是余数的范围， ，其中余数 ，r是除数，切记余数不能为负，二是二项式定理的逆用．
‘拾’ 解析几何设而不求怎么处理单独的x1或x2
简单来说就是
设点的时候设出x1，x2，y1，y2
然后列出方程
化简
最后得到一个二元一次方程 如 ax^2+bx+c=0
通过韦达定理可以得出 x1+x2,x1x2,从而得到 /x1-x2/,x1^2+x2^2等东西
直接用于接下来的计算
不需要解出x1,x2