中值定理论文研究方法

Ⅰ 如何证明罗尔中值定理

罗尔中值定理：

1、若M=m，则函数f(x)在闭区间[a，b]上必为常函数，结论显然成立。

2、若M>m，则因为f(a)=f(b)使得最大值M与最小值m至少有一个在(a，b)内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件f(x)在开区间(a，b)内可导得，f(x)在ξ处取得极值，推知：f'(ξ)=0。

解：(1)f(x)在[0，1/π]上连续，在(0，1/π)上可导，且有f(0)=f(1/π)=0，由罗尔中值定理知，存在一点ξ∈(0，1/π)，使得f’(ξ)=0。

(2)f(x)在[-1，1]上连续，但在(-1，1)内x=0上不可导，∴不一定存在一点ξ∈(-1，1)，使f’(ξ)=0。

又 f'(x)={1，x>0; -1，x<0}，∴不存在一点ξ∈(-1，1)，使f’(ξ)=0。