古代数学教学方法

Ⅰ 古代人学数学之类的学科吗

数学作为一门应用性非常强的基础学科，无论天文、水利、建筑，乃至商业、日常生活，都须臾离不开。如果没有相应的数学教育，中国不可能长时间在世界上保持文明的领先地位。事实上，中国早就存在数学教学，并逐渐形成了比较系统的数学教育制度。

西周时期针对贵族子弟开设的教学科目“六艺”中的“数”，便是一种早期的数学教育，而平民所学习的“小艺”中，也包含了“数”。到南北朝时期，中国数学蓬勃发展，《孙子算经》《夏侯阳算经》《张丘建算经》等算学着作相继问世。同时，数学教育也有较大发展，北魏在中央官学中专门开设的“算学”，可算是世界上最早开设的数学专科学校。这意味着算学被列为基本的国学之一。

隋唐时期，中国首次建立起正式的数学教育制度。隋文帝时期，中国在国子监设立了算学馆，在算学馆设算学博士1人，助教2人，学生8人，并制定了专用的数学教材《算经十书》对学生进行讲授。唐贞观年间，算学教育规模进一步扩大，专门设博士2人，助教1人，学生30人，八品以下子弟以及庶人喜欢算学、年龄在14～19岁之间者都可入学，学习期限9年。

从公元11世纪到14世纪的宋元时期，是以筹算为主要工具的中国古代数学的鼎盛时期。在此期间，涌现出一批杰出的数学家和数学着作，中国数学达到最高境界，与当时的阿拉伯数学一道居于世界领先地位。而在数学教育方面，在科举考试及太学、国子监等学校中都有专门的算学考试。

14世纪中后叶明王朝建立以后，统治者奉行以八股文为特征的科举制度，在国家科举考试中大幅度削减数学内容。失去国家的政策鼓励之后，数学教育也出现衰退，自此，中国古代数学便开始衰退，落后于世界了。

Ⅱ 中国古代数学有多牛，仅留下的书籍就将近1500万字，中国古代有哪些数学成就

中国数学起源于上古至西汉末期，中国数学的全盛时期是隋中叶至元后期。接下来在元后期至清中期，中国数学的发展缓慢。
十七个成就
纵观中国数学发展史，中国古代在数学方面的成就其实也算足以开一座陈列馆，这里就我认为最瞩目的17个成就列举如下：
(1)十进位制记数法和零的采用。
十进位制记数法在我国原始社会就已经形成，完成于奴隶社会初期的商代，到商代已发展为完整的十进制系统，并且有了“十”、“百”、“千”、“万”等专用的大数名称。1899年从河南安阳发掘出来的象形文字，说明我国在公元前1600年，已经采用了十进位值制记数法，早于第二发明者印度1000多年。0是极为重要的数字，0的发现被称为人类伟大的发现之一。
“0”这一数学符号的发明应归功于公元6世纪的印度人。他们最早用黑点(·)表示零，后来逐渐变成了“0”。
0在我国古代叫做金元数字，(意即极为珍贵的数字)，说起“0”的出现，应该指出，我国古代文字中，“零”字出现很早，使用也较广泛。
(2)二进位制思想起源。源于《周易》中的八卦法，早于第二发明者德国数学家莱布尼兹(公元1646—1716)2000多年。
着名的哲学家、数学家莱布尼茨(1646—1716)发明了对现代计算机系统有着重要意义的二进制，不过他认为在此之前，中国的《易经》中已经提到了有关二进制的初步思想。从《易经》可以看到二进制的起源，中国古代的二进制运用与现代电子计算机中的运用相同。我国上古的伏羲时代就有了《周易》，《周易》是研究日月之间的变化的一门科学，通过卦爻来说明天地之间、日月系统以内人生与事物变化的大法则，就借助了二进制手段。
(3)几何思想起源。源于战国时期墨翟的《墨经》，早于第二发明者欧几里德(公元前330—前275)100多年。
着名的《墨经》中给出了某些几何名词的定义和命题，例如：“圆，一中同长也”、“ 平，同高也”等等。墨家还给出有穷和无穷的定义。
《墨经》中有8条论述了几何光学知识，它阐述了影、小孔成像、平面镜、凹面镜、凸面镜成像，还说明了焦距和物体成像的关系，这些比古希腊欧几里德(约公元前330—275)的光学记载早百余年。在力学方面的论说也是古代力学的代表作。对力的定义、杠杆、滑轮、轮轴、斜面及物体沉浮、平衡和重心都有论述。而且这些论述大都来自实践。《墨经》光学八条，反映了春秋战国时期我国物理学的重大成就。
(4)勾股定理(商高定理)。发明者商高(西周人)，早于第二发明者毕达哥拉斯(公元前580—前500)550多年。
勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。西方称毕达哥拉斯定理或毕氏定理(英文：Pythagorean
theorem或Pythagoras's
theorem)是一个基本的几何定理，相传由古希腊的毕达哥拉斯首先证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。
法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。
我国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。我国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在中国，在公元前1000多年前，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又称之为商高定理;三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。目前初中数学教材的证明方法采用赵爽弦图，证明使用青朱出入图。
赵爽弦图
青朱出入图
勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，是数形结合的纽带之一。
(5)幻方。我国最早记载幻方法的是春秋时代的《论语》和《书经》，而在国外，幻方的出现在公元2世纪，我国早于国外600多年。
幻方又称为魔方，方阵或厅平方，它最早起源于我国，宋代数学家杨辉称之为纵横图。幻方的幻在于：无论取哪一条路线，最后得到的和或积都是完全相同的，即在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵列及对角线的几个数之和或积都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。我国古代称为“河图”、“洛书”，
中国汉朝的数术记遗中，称之为九宫算，又叫九宫图。又叫“纵横图”。
在中国古典文献《易经》中记载了洛书的传说：公元前23世纪大禹治水之时，一只巨大的神龟出现于黄河支流洛水中，龟甲上有9种花点的图案，分别代表1,2,3,4,5,，6,7,8,9这9个数，而3行、3列以及两对角线上各自的数之和均为15，世人称之为洛书。
南宋数学家杨辉着《续古摘奇算法》把类似于九宫图的图形命名为纵横图，书中列举3、4、5、6、7、8、9、10阶幻方。其中所述三阶幻方构造法：
“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足”，比法国数学家Claude Gaspar
Bachet提出的方法早三百余年。
三阶幻方。射雕英雄传里黄蓉也背过这段三阶幻方的口诀。
幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明我国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。而在国外，公元130年，希腊人塞翁才第一次提起幻方。
我国不仅拥用幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3-10阶幻方，记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中。在欧洲，直到1514年，德国着名画家丢勒才绘制出了完整的四阶幻方。
(6)分数运算法则和小数。中国完整的分数运算法则出现在《九章算术》中，它的传本至迟在公元1世纪已经出现。印度在公元7世纪才出现了同样的法则，并被认为是此法的“鼻祖”。我国早于印度500多年。
中国运用最小公倍数的时间则早于西方1200年。运用小数的时间，早于西方1100多年。
(7)负数的发现。这个发现最早见于《九章算术》，这一发现早于印度600多年，早于西方1600多年。
据史料记载，早在两千多年前,我国就有了正负数的概念，掌握了正负数的运算法则。我国三国时期的学者刘徽在建立负数的概念上有重大贡献。刘徽首先给出了正负数的定义，他说：“今两算得失相反，要令正负以名之。”意思是说，在计算过程中遇到具有相反意义的量，要用正数和负数来区分它们。刘徽第一次给出了区分正负数的方法。他说：“正算赤，负算黑;否则以邪正为异”。
我国古代着名的数学专着《九章算术》(成书于公元一世纪)中，最早提出了正负数加减法的法则：“正负数曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之;其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”
除《九章算术》定义有关正负运算方法外，东汉末年刘烘(公元206年)、宋代扬辉(1261年)也论及了正负数加减法则，都与九章算术所说的完全一致。特别值得一提的是，元代朱世杰除了明确给出了正负数同号异号的加减法则外，还给出了关于正负数的乘除法则。负数在国外得到认识和被承认，较之中国要晚得多。在印度，数学家婆罗摩笈多于公元628年才认识负数。直到十七世纪荷兰人日拉尔(1629年)才首先认识和使用负数解决几何问题。
(8)盈不足术。又名双假位法。最早见于《九章算术》中的第七章。在世界上，直到13世纪，才在欧洲出现了同样的方法，比中国晚了1200多年。
盈不足术是我国古代计算盈亏类问题的一种算术方法，借有余、不足以求隐含之数，为《周礼》九数之一。《九章算术·盈不足》：“今有共买物，人出八，盈三;人出七，不足四。问：人数、物价各几何?答曰：七人，物价五十三。”。在11—13世纪一些阿拉伯数学家的着作中，也出现了盈不足术，并称之为天秤术或契丹算法。当时阿拉伯人所说的“契丹”,即指中国，这也说明古代中国的盈不足术处于世界前沿。
(9)方程术。与现今不同，线性方程组在古代称为方程，其解法称为方程术。最早出现于《九章算术》中，其中解联立一次方程组的方法，早于印度600多年，早于欧洲1500多年。在用矩阵排列法解线性方程组方面，我国要比世界其他国家早1800多年。
(10)最精确的圆周率“祖率”。中国数学家刘徽在注释《九章算术》时(公元263年)只用圆内接正多边形就求得π的近似值，得出精确到两位小数的π值，他的方法被后人称为割圆术，其中有求极限的思想。南北朝时代的数学家祖冲之利用割圆术进一步得出精确到小数点后7位的π值(公元466年)，给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数值，密率355/113和约率22/7，其中密率是分子分母在1000以内的最佳值，欧洲直到十六世纪德国人鄂图(valentinus
otto)和荷兰人安托尼兹(a.anthonisz)才得出同样结果;这一纪录在世界上保持了一千年之久。为纪念祖冲之对中国圆周率发展的贡献，将这一推算值用他的名字被命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”。阿拉伯数学家卡西在15世纪初求得圆周率17位精确小数值，打破祖冲之保持近千年的纪录。德国数学家柯伦于1596年将π值算到20位小数值，后投入毕生精力，于1610年算到小数后35位数，该数值被用他的名字称为鲁道夫数。
(11)等积原理。又名“祖暅”原理。保持世界纪录1100多年。
等积原理是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅(数学家、天文学家)首先提出来的。他同其父祖冲之一起圆满解决了球面积的计算问题，得到正确的体积公式。现行教材中着名的“祖暅原理”，在公元五世纪，是祖暅对世界数学的杰出贡献。祖暅总结了刘徽的有关工作，提出“幂势既同则积不容异”，即“等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积相等”，这就是着名的祖暅公理(或刘祖原理)。祖暅应用这个原理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式。该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利﹝Bonavent
uraCavalieri﹞发现，比祖暅晚一千一百多年。
(12)二次内插法。隋朝天文学家刘焯最早发明，早于“世界亚军”牛顿(公元1642—1727)1000多年。
我国古代早就发明了内插法(内插法是用一组已知的未知函数的自变量的值和与它对应的函数值来求一种未知函数其它值的近似计算方法，是一种数值逼近求法，天文学上和农历计算中经常用的是白塞尔内插法。内插法当时称为招差术，如公元前1世纪左右的《九章算术)中的“盈不足术”即相当于一次差内插(线性内插);公元600年，隋代刘焯在制订《皇极历》时，在世界上最早提出了等间距二次内插公式(抛物线内插);这在数学史上是一项杰出的创造，唐代僧一行在其《大衍历》中将其发展为不等间距二次内插公式;元朝作《授时历》的郭守敬进一步发明了三次差内插法。在刘焯1000年后，郭守敬400年后，英国牛顿才提出内插法的一般公式。
(13)增乘开方法。增乘开方法为中国古代数学中求高次方程数值解的一般方法，在现代数学中又名“霍纳法”。
我国宋代数学家贾宪最早发明于11世纪，比19世纪英国数学家霍纳提出的时间早800年左右。它由11世纪的贾宪首创，中经12世纪的刘益，到13世纪秦九韶最后完成，19欧洲出现的霍纳法的步骤以及现代数学中综合除法的原理与它相同。该方法由《九章算术》的开方术衍生而来，经过贾宪、刘益、杨辉等人的推广和传播，到13世纪被发展成为求高次方程数值解的系统方法，秦九韶、李冶、朱世杰的着作中都有记载，其中以秦九韶的《数书九章》论述最为详细。霍纳在1819年发表的《解所有次方程》论文中的算例，其算法程序和数字处理都远不及五百多年前的秦九韶有条理;秦九韶算法不仅在时间上早于霍纳，也比较成熟。增乘开平方法是北宋数学家贾宪发明的开方法，原收《释锁算书》一书。贾宪原作已佚，但他对数学的重要贡献，被南宋数学家杨辉引用，被抄入《永乐大典》卷一万六千三百四十四，幸得以保存下来，现存英国剑桥大学图书馆。
(14)杨辉三角。杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，实际上是一个二项展开式系数表。它本是贾宪创造的，见于他着作《黄帝九章算法细草》中，后此书流失，南宋人杨辉在他的《详解九章算法》中又编此表，故名“杨辉三角”。
杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。杨辉三角形所蕴含的数字排列规律，让我们在感受数学美的同时，也体会到它的趣味性和实用性。
在世界上除了中国的贾宪、杨辉，第二个发明者是法国的数学家帕斯卡(公元1623—1662)，他的发明时间是年，比贾宪晚了近600年。
(15)中国剩余定理。又称孙子定理，是中国古代求解一次同余式组的方法。中国剩余定理，实际上就是解联立一次同余式的方法。这个方法最早见于《孙子算经》，1801年德国数学家高斯(公元1777—1855)在《算术探究》中提出这一解法，西方人以为这个方法是世界第一，称之为“高斯定理”，但后来发现，它比中国晚1500多年，因此为其正名为“中国剩余定理”，
它是数论中一个重要定理。
(16)数字高次方程方法，又名“天元术”。 中国古代求解高次方程的方法。13世纪，高次方程的数值解法是数学难题之一。
天元术是中国古代的代数学方法之一种，是中国古代建立高次方程的方法。1248年，金代数学家李冶在其着作《测圆海镜》、《益古演段》中，系统地介绍了用天元术建立二次方程，并巧妙地把它表达在筹算中。元代数学家王恂广泛使用天元术解高次方程。这个方法早于世界其他国家300年以上，为以后出现的多元高次方程解法打下很好的基础。
(17)招差术。招差术即高次内插法，是现代计算数学中一种常用的插值方法，也就是高阶等差级数求和方法。从北宋起中国就有不少数学家研究这个问题，到了元代，朱世杰首先发明了招差术，使这一问题得以解决。在世界上，比朱世杰晚近400年之后，牛顿才获得了同样的公式。中国古代关于高阶等差数列和的差分能否相分于求内插公式的方法。朱世杰的《四元玉鉴》(1303)卷中“如像招数”中的问题都是讨论招差问题的。
其中朱世杰给出了一个四次招差公式：
这与牛顿插值公式一致，但牛顿提出这一公式晚于朱世杰三百多年。
招差术的创立、发展和应用是中国数学史和天文学史上具有世界意义的重大成就。
总的来说，中国古代的数学发展缺乏公理化体系。而这恰恰是从初等数学到高等数学发展的瓶颈。中国数学从一开始就没有向公理化发展的倾向，更多的是对某类具体问题的解法或者对某类规律的归纳。而西方数学家的代表人物欧几里得所做的最重要的工作可以说就是几何学的公理化。《几何原本》就是以数个不证自明的公理为基础的公理化体系的着作。这种方式建立的所谓数学的和谐之美、简洁之美。这位古希腊数学家对整个欧洲科学都影响深远。牛顿最重要的着作《自然哲学的数学原理》就是沿用的这种公理化体系的过程。对现象的描述，再把这类有规律的现象整理为最基本的数个公理、定律，再运用这些定律解释更复杂的现象。其最更根本的便是万有引力定律，以及三大运动定律。以当时的水平来讲，这样就足以“预言万物的运动”了。
另外，中国古代数学水平的落后是和整个科技水平的落后也是联系在一起的，两者是共进共退的。中国古代科技水平的衰落那就是另一个大问题了。
参考文献：
1.《探究勾股定理》同济大学出版社
2.《 神奇的纵横图》 王前卫
3.《九章算术》张苍 耿寿昌
4.《杨辉三角与棋盘形街道走法》 琚国起有

Ⅲ 我国古代数学教学原则和今天所学课程内容的区别和联系

较比我们古代的数学和现在所现在所学的现代教学有很大的区别，古代人的智慧是非常伟大的。

Ⅳ 孔子常用的教学方法

孔子是中国古代伟大的教育家，他首创私塾，“有教无类”，加之学费又非常低廉（仅十条干肉），从而培养了大批的学生。孔子办学，虽不曾将教育当作“产业”，但他一人招收的学生就达三千之多（这个数字在今天也是惊人的），而且学制也不限于四年，许多学生一旦及门，便终生接受其教诲。孔子死后，弟子代代相传，不少都成为中国文化的精英，其影响一直达于当代，并远播海外。可以说，在中国教育史上，还没有哪一位伟人能和孔子相比，后世称其为“大成至圣先师”，应是当之无愧的。 孔子在教育方面所取得的伟大成就，除了其人格的魅力，思想的精邃及知识的渊博外，也与他完美的教学方法是分不开的。具体说，孔子在教学方法上主要是善于处理六个方面的关系： 一是教与学的关系。在汉字中，“教”与“斆”（学）本是同源字，是同一事物紧密相关的两个方面。《说文》：“教，上所施，下所效也。”可见，教是指教师与学生两方面的活动。由“教”又孳生出一个“斆”字，《说文》云：“斆，觉悟也，从教。”秦以后，斆写作学。而所谓“觉悟”，也就是“上所施，下所效”的意思。用今天的话来说，教与学实是对立统一的辨证关系。因此，在教的同时，就应该顾及到学的方面，教师不能只顾自己念讲义，而不去看学生“觉悟”了没有。 应该说，在处理教与学的关系方面，孔子是充分体现了教学一体思想的。他对自己教学对象的学习和接受情况是完全掌握的。例如他整天和颜回讲学，颜回却从不提反对意见和疑问，像个愚人。但孔子知道，颜回“退而省其私，亦足以发，回也不愚”。〔1〕孔子也知道弟子们的悟性是有差别的，“回也闻一以知十，赐也闻一以知二”，〔2〕而能听他说话始终不懈怠的，也就只有颜回一人。〔3〕 “回也其心三月不违仁”，〔4〕至于其他学生么，仁只是短时期偶然想起一下罢了。当然，学生一旦“觉悟”，孔子也能随时察觉。如子贡“告诸往而知来者”，孔子便高兴地说：“赐也，始可与言《诗》已矣！”〔5〕子贡从《诗经·卫风·硕人》对美女的描写而联想到礼乐的产生，孔子也兴奋地说：“起予者商也！始可与言《诗》已矣。” 〔6〕 对于学生的性情禀赋和日常生活，孔子也了如指掌，不管别人问到哪一位弟子，他都能脱口而谈。如季康子向他打问仲由、端木赐、冉求的情况，他不假思索便说“由也果”、“赐也达”、“求也艺”，〔7〕即子路果敢决断，子贡通情达理、冉有多才多艺。他还说过“柴也愚，参也鲁，师也辟，由也喭”的话，〔8〕意即高柴愚笨，曾参迟钝，颛孙师偏激，仲由卤莽，表现出对各位弟子习性的深知。对学生的课外生活，孔子也无不知晓。他不但知道颜回“一箪食，一瓢饮，在陋巷，人不堪其忧，回也不改其乐”，〔9〕而且还知道子贡不安本分，去囤积投机，猜测行情每每猜中，发了大财，即所谓“赐不受命，而货殖焉，亿则屡中”。〔10〕对一些身处逆境的学生孔子更是关怀备至。弟子公冶长含冤坐牢，孔子认为“非其罪也”，〔11〕并把女儿嫁给他。冉伯牛患了绝症，孔子亲自看望，还来不及进屋便在窗外握着学生的手说：“斯人也而有斯疾也！”〔12〕连连叹息。颜渊去世，孔子极其悲痛地说：“老天爷要我的命呀！老天爷要我的命呀！”别人劝其节哀，他说：“我不为这样的人伤心，还为什么人伤心呢！”〔13〕 正因为孔子既教书，又教人，将教与学融为一体，所以不但师生间关系和谐融洽，其教学质量也是很高的，“受业身通者七十有七人，皆异能之士也”，〔14〕对中国文化的传播做出了杰出的贡献。 二是“有教无类”与因材施教的关系。用今天的话来说，便是普遍性教育与针对性教育的关系。 首先，孔子是主张全民教育的，他明确提出“有教无类”，〔15〕即人人他都可以教育，没有年龄、贫富、地域的区别。在孔门弟子中，既有小于夫子四岁的秦商、小于夫子六岁的颜由，也有小于夫子五十三岁的公孙龙（子石）、小于夫子五十四岁的叔仲会（子期），学生间的年龄差距达五十岁。甚至还有父子同列孔子之门者，如颜由、颜回父子，曾皙、曾参父子，都曾先后成为孔子的学生。从地域而言，孔子学生的来源除了齐、鲁外，还有宋、卫、陈、蔡、秦、楚、吴、越等地，几乎遍及全国。如子路是卞（属卫）人，子贡、子夏、高柴是卫人，司马耕是宋人，颛孙师（子张）是陈人，言偃是吴人，秦祖是秦人，公孙龙（子石）是楚人，漆雕开是蔡人。而且，学生的家庭出身及经济状况也各不一样，其中既有鲁大夫孟僖子之子孟懿子、卫将军弥牟之子弥兰，也有“贱人”出身的仲弓；有家累千金的子贡、乘肥马衣轻裘的公西赤，也有居藜藿穷巷的原宪、身陷囹圄的公冶长 。以相貌论，有长得像孔子的有若，也有长不盈五尺的高柴、状貌甚恶的澹台灭明。凡此，孔子皆一视同仁，纳为弟子。 其次，弟子入室后孔子又能根据他们的不同特点有针对性地进行教育，即所谓因材施教。孔子承认人的天赋禀性是有差别的，所以他的因材施教首先是根据人的资质和文化水平而定，即所谓“中人以上，可以语上也；中人以下，不可以语上也”。〔16〕意思是说，中等水平以上的人，可以告诉他高深学问；中等水平以下的，不可以告诉他高深学问。有些弟子虽然人很聪明，但孔子也要等他们在某些方面有所“觉悟”之后，才开始给他们讲授有关的学问。如孔子之为子贡、子夏讲授《诗经》便是。至于日常授课，那更是具有极强的针对性。如同样是问“仁”，针对不同的弟子，孔子便有不同的解答。颜渊问仁，孔子说“克己复礼为仁”； 〔17〕仲弓问仁，孔子说“己所不欲，勿施于人”；〔18〕司马牛问仁，孔子说“仁者其言也讱”；〔19〕樊迟问仁，孔子说“居处恭，执事敬，与人忠”；〔20〕子贡问仁，孔子说“事其大夫之贤者，友其士之仁者”；〔21〕子张问仁，孔子说“能行五者（恭、宽、信、敏、惠）于天下为仁”。〔22〕为何会有如此不同的答案呢？主要是针对各人的不同特点而言的。颜渊、仲弓德行好，孔子就正面回答他们；司马耕（子牛）“多言而躁”，〔23〕孔子就让他说话迟钝些（即讱）；樊迟想学稼圃，孔子不赞同，就让他注重礼义忠信；子贡好议论人，“喜扬人之美，不能匿人之过”，〔24〕孔子就让他多向贤士大夫学习，以加强自身修养；子张欲求闻达干禄，孔子就让他养成能行于天下的五种品德。夫子之用意，可谓深矣！ 正是由于孔子既“有教无类”又因材施教，所以他不但有弟子三千，也培养出了一大批学有专长的杰出人才。如德行好的有颜渊、闵子骞、冉伯牛、仲弓，擅长言语交际的有宰我、子贡，善于办理政事的有冉有、子路，熟悉古代文献的有子游、子夏等。〔25〕这些人才既是孔子的高足，又是中国文化的精英。 三是学与思的关系。在这方面，孔子提出了一个着名的论点，即“学而不思则罔，思而不学则殆”，〔26〕意思是说，只读书而不去思考就会受骗，只是空想而不去读书便会缺乏信心。在孔子认为，学与思二者必须兼顾，不能有所偏废，否则便很难学有所成。应该说这是古今有关学与思关系的最辩证、最正确的理解。 先说学。孔子是以《诗》、《书》、《易》、《礼》、《春秋》、《乐》六经为课本来教学生的，要提高学生的知识水平和培养学生的综合素质，这些文献是不能不读的。所以孔子非常鼓励学生读书。例如他劝学生学习《诗经》时说：“小子何莫学夫诗？诗可以兴，可以观，可以群，可以怨。迩之事父，远之事君，多识于鸟兽草木之名。”〔27〕意思是说，读《诗经》可以培养人的联想力，可以提高对事物的观察力，可以锻炼合群性，可以学会讽刺的方法。运用其中的道理近可以事奉父母，远可以服侍君王；而且还能多多认识鸟兽草木的名称。在孔子眼中，《诗经》简直就是一部网络全书。几千年后，人们对《诗经》所进行的综合研究，其开先河者便是孔子。其它各经在先秦来说也都是最重要的典籍。正如荀子在《劝学》中所说：“《礼》之敬文也，《乐》之中和也，《诗》、《书》之博也，《春秋》之微也，在天地之间者毕矣。”孔子还根据自己读书的体会谆谆告诫学生，要“兴于诗，立于礼，成于乐”，〔28〕即通过学诗以使人振奋，通过习礼使人在社会上站得住，通 过音乐使所学得以完成。这与西人培根所说的“读史使人明智，读诗使人灵秀，数学使人精细，物理学使人深沉，伦理学使人庄重，逻辑修辞则使人善变”，〔29〕可谓同得读书之要妙。 再说思。孔子之“思”，一是要学生深入思考文献的文化蕴含，不能只停留在表面的理解；二是要学生思考如何联系实际，学以致用。例如，孔子曾多次同学生讨论《诗经》，并谈了自己的认识，他说：“《诗》三百，一言以蔽之，曰：思无邪。”〔30〕他认为《诗经》的文化精神就是思想纯正。他还通过对《诗经》首篇《关睢》的分析来阐明这一观点，说：“《关睢》，乐而不淫，哀而不伤。”〔31〕在他的启发下。弟子们也纷纷谈了对《诗经》有关篇章的理解，如子贡对“如切如磋，如琢如磨”句（《卫风·淇奥》）〔32〕的认识，子夏对“巧笑倩兮，美目盼兮，素以为绚兮”句（《卫风·硕人》）〔33〕的认识，都能“举一隅而以三隅反”。对《尚书》的研读也是同样。当子张谈到《无逸》中所记载的殷高宗守孝，住在凶庐，三年不言一事时，孔子立即引导他说：“不仅殷高宗如此，古人都这样，国君死了，继承的君王皆三年不问政治，各部的官员听命于宰相。” 〔34〕 而且，孔子还要求学生在理解文献的基础上，尽量将书本知识转化为实际工作的能力。这也是“思”的一个重要方面。他告诫弟子：“诵《诗》三百，授之以政，不达；使于四方，不能专对；虽多，亦奚以为？” 〔35〕意思是说，虽然熟读《诗经》三百篇，但交给他政治任务却办不通，让他出使外国又不能独立地去谈判，这样的人即使书读得再多，又有什么用处？ 总之，在孔子认为，“终日不食，终日不寝，以思，无益，不如学也”；〔36〕而只学不思，又会被古人牵着鼻子走，即孟子所说的“尽信《书》则不如无《书》。” 〔37〕所以只有学而思，思而学，学思结合，才是唯一正确的读书方法。 四是温故与知新的关系。孔子说：“温故而知新，可以为师矣。”〔38〕这里含有两方面的意思：一，复习旧的功课，便可以帮助理解新的内容，因为学习总有一个循序渐进的过程；二，“温故”也指对已有知识和前人研究成果的掌握，“知新”则指新的发现和新的见解。孔子认为，只有教育学生全面了解某一学科的基础知识和学术进展情况，用今天的话来说便是要“进到学术前沿”，才能在此基础上有所发现，有所创新。这在今天，也仍不失为治学的至理名言。谁违背了它，都会受到惩罚。那些基础不牢便急于创立新说的人，要么其结论如空中楼阁，一推便倒；要么就是重复别人旧说，造成浪费。近年来学术研究上所出现的低水平重复问题，究其实，正是违背了孔子的这一教导。 孔子自己则为后人树立了一个“温故而知新”的榜样。例如，当子张问他十世以后之礼是否可以预知时，他便说道：“殷朝沿袭夏朝的礼仪制度，所废除的，所增加的，是可以知道的；周朝沿袭殷朝的礼仪制度，所废除的，所增加的，也是可以知道的。那么假定有继承周朝而当政的，就是此后一百代，也是可以预先知道的。”〔39〕熟悉历代礼制的损益情况便可以知道未来礼制的演变，这便是孔子“温故而知新”方法在礼制研究上的具体运用。 而如何“温故而知新”呢？孔子强调“学而时习之”，〔40〕即要经常地温习和实习，因为有些课程如“礼”（各种仪节）、“乐”（音乐）、“射”（射箭）、“御”（驾车）等，也是需要实习的。在不间断的温习中巩固和创新，这便是孔子教学生的基本治学方法。用孔子弟子子夏的体会来说就是，“日知其所亡，月无忘其所能”，〔41〕即每天知道所未知的，每月复习所已能的。 五是讲授与答疑的关系。孔子教学，主要是大班授课与个别辅导答疑两种形式。在讲授中，孔子总是尽可能多的教给学生一些知识，而对于自己还没有搞懂的事情，则轻易不下结论，宁肯存疑，这便是孔子在教学上所一贯主张的“多闻阙疑”〔42〕原则。 据《论语·述而》所记，孔子主要以“文、行、忠、信”四种内容教学生。其所谓“文”即历代文献，所谓“行”即包括射、御、数等在内的社会实践。孔子在授课时，不但做到了“诲人不倦”，而且也能毫无保留。他曾对学生说：“你们这些学生以为我有所隐瞒吗？我对你们是没有隐瞒的。我没有一点不向你们公开，这就是我孔丘的为人。”〔43〕他是这样说的，也是这样做的。即使“厄于陈蔡”，他的心中也仍然想着那些尚留在老家的学生们，急着要回去给他们上课，并不时地念叨着：“归与！归与！吾党之小子狂简，斐然成章，不知所以裁之。”〔44〕 在辅导答疑方面，孔子更体现了中国传统的教学方法。《礼记·学记》云：“善待问者如撞钟，叩之以小者则小鸣，叩之以大者则大鸣；待其从容，然后尽其声。”孔子就是小叩小鸣、大叩大鸣的。这样的例子在《论语》中几乎随处可见。如孔子到了卫国，冉有替他驾车，孔子边走边说：“好稠密的人口！”冉有接着问道：“人口已经众多了，又该怎么办呢？”孔子说：“让他们富裕起来。”冉有又问：“富裕之后又该怎么办？”孔子说：“教育他们。”〔45〕随着冉有提问的不断升级，孔子的回答也越来越深刻。再如子贡请问怎样才可以叫做“士”，孔子说“行己有耻，使于四方，不辱君命。可谓士矣。”子贡请问次一等的要求，孔子说：“宗族称孝焉，乡党称弟焉。”子贡又问再次一等的，孔子说：“言必信，行必果。”最后当子贡问到“今之从政者何如”时，孔子便直截了当地说出了自己的看法：“噫！斗筲之人，何足算也！”〔46〕真是越提问到最后，回答便越加精彩。 当然，孔子对于自己没有研究的问题也决不会强不知以为知的。他严格遵守“知之为知之，不知为不知”的原则。他说：“有的人不懂装懂，我是没有这种毛病的。”〔47〕例如当樊迟向他请教有关种地和种菜的事情时，他便很坦率地说“吾不如老农”、“吾不如老圃”。〔48〕再如卫灵公请教有关军队布列之法，孔子也直言不讳地回答说：“俎豆之事，则尝闻之矣；军旅之事，未之学也。”〔49〕 而尤值得称道的是，孔子无论上课还是答疑，都非常注意方式方法，循循善诱，从而让学生在轻松愉快的气氛中学到了知识，懂得了深奥的道理。如一次子路、曾皙、冉有、公西华等侍坐，孔子先是和蔼地启发他们谈了各自的抱负和志愿，然后再加以点评，并提出自己的意见。这样，弟子们不但了解了老师的志愿，也懂得了为国以礼、为人要谦逊的道理。而对于“其言不让”的子路，孔子虽不赞成他的自负和粗率，但出于爱心，也仅是微微一笑，而让学生自己去觉悟罢了。〔50〕 六是言传与身教的关系。孔子在教学中既重言传，又重身教，他将这两者结合的完美无缺。 首先，孔子既以学问教人，又以道德教人，并在人格上给学生树立了一个光辉的典范。孔子说：“君子不重则不威，学则不固。”〔51〕他将庄重的人格、威严的仪表与学习的能否巩固联系在一起。而如何做到威严而不凶猛呢？孔子说：“君子正其衣冠，尊其瞻视，俨然人望而畏之，斯不亦威而不猛乎？”〔52〕在学生的心目中，孔子也确实是既威严肃穆而又温厚可亲的。学生们说他“温而厉，威而不猛，恭而安”〔53〕子夏更称孔子有三变：“望之俨然，即之也温，听其言也厉。”〔54〕 其次，在治学方面，孔子也处处以身作则。他没有“意”、“必”、“固”、“我”的毛病，〔55〕常能闻善而从。他虽然学问渊博，但还是坚持“三人行必有我师焉，择其善者而从之，其不善者而改之”。〔56〕他入太庙，也总是“每事问”，〔57〕虚心向别人请教。他还曾向老子问礼，向郯子问官，向苌弘问乐，向师襄学琴。直到晚年，他仍是学而不厌，不知老之将至，“读《易》，韦编三绝”。〔58〕孔子这种好学的精神也深深地感染了他的学生们，我们看《论语》中所记，凡孔门弟子相聚，几乎都是在探讨学问，有些已经肄业的学生也仍然不时地来向孔子请教问题。 再次，孔子与学生之间始终都保持着一种亲密无间的关系，这既有利于身教，也利于言教。学生可以“当仁不让于师”，向孔子提出不同意见，甚至是尖锐批评。如孔子去见卫灵公夫人南子，子路不满之色便溢于言表，逼得孔子连连向天发誓：“予所否者，天厌之！天厌之！”〔59〕孔子有时也同学生们开开玩笑，调侃几句。如一次孔子来到子游作县长的武城，闻弦歌之声，便莞尔而笑曰：“割鸡焉用牛刀？”意思是说，治理这样一个小地方，用得着教育吗？不料子游马上就把老师的话顶了回去，说：“以前我听老师说过，作官的学习了就会有仁爱之心，老百姓学习了就容易听指挥。”于是孔子赶紧说道：“弟子们，言偃（子游）的话是对的，我刚才的那句话不过是同他开了个玩笑罢了。”〔60〕在其乐融融的气氛中，学生们既感受到了夫子的和蔼可亲，又再一次地聆听了老师的教诲。 总之，正是由于孔子正确地处理了以上六个方面的关系，所以他在创立私塾的同时，也在教学方法上为后世树立了典范。而这些教学方法在经过了两千多年的检验后，直到今天也仍然是值得我们借鉴的。

Ⅳ 中国古代数学的历史

春秋前中国数学的萌芽
我们的先民在从野蛮走向文明的漫长历程中，逐渐认识了数与形的概念。出土的新石器时期的陶器大多为圆形或其他规则形状，陶器上有各种几何图案，通常还有三个着地点，都是几何知识的萌芽。先秦典籍中有“隶首作数”、“结绳记事”、“刻木记事”的记载，说明人们从辨别事物的多寡中逐渐认识了数，并创造了记数的符号。殷商甲骨文(公元前14—前11世纪)中已有13个记数单字，最大的数是“三万”，最小的是“一”。一、十、百、千、万，各有专名。其中已经蕴含有十进位置值制萌芽。传说伏羲创造了画圆的“规”、画方的“矩”，也传说黄帝臣子倕[chui垂]是“规矩”和“准绳”的创始人。早在大禹治水时，禹便“左准绳”(左手拿着准绳)，“右规矩”(右手拿着规矩)(《史记·禹本纪》)。因此，我们可以说，“规”、“矩”、“准”、“绳”是我们祖先最早使用的数学工具。人们丈量土地面积，测算山高谷深，计算产量多少，粟米交换，制定历法，都需要数学知识。《周髀〔bi婢〕算经》载商高答周公问，提到用矩测望高深广远。相传西周初年周公(公元前11世纪)制礼，数学成为贵族子弟教育中六门必修课程——六艺之一。不过当时学在官府，数学的发展是相当缓慢的。
春秋时期，随着铁器的出现，生产力的提高，中国开始了由奴隶制向封建制的过渡。新的生产关系促进了科学技术的发展与进步。此时王权衰微，畴人四散，私学开始出现。最晚在春秋末年人们已经掌握了完备的十进位置值制记数法，普遍使用了算筹这种先进的计算工具。人们已谙熟九九乘法表、整数四则运算，并使用了分数。
战国至两汉中国数学框架的确立
战国时期，各诸侯国相继完成了向封建制度的过渡。思想界、学术界诸子林立，百家争鸣，异常活跃，为数学和科学技术的发展创造了良好的条件。尽管没有一部先秦的数学着作留传到后世，但是，人们通过田地及国土面积的测量，粟米的交换，收获及战利品的分配，城池的修建，水利工程的设计，赋税的合理负担，产量的计算，以及测高望远等生产生活实践，积累了大量的数学知识。据东汉初郑众记载，当时的数学知识分成了方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要九个部分，称为“九数”。九数确立了《九章算术》的基本框架。
秦始皇结束了列国纷争，首次建立了中央集权的封建帝国，本应有利于数学的发展。但他的专制政策窒息了百家争鸣的学术空气。秦朝的残暴统治，尤其是焚书坑儒，给中国文化事业造成空前的浩劫。不久，刘邦利用推翻暴秦的农民起义，统一了中国，建立了汉朝，史称西汉。西汉政府与民生息，社会生产力得到恢复、发展，给数学和科学技术的发展带来新的活力，人们提出了若干算术难题，并创造了解勾股形、重差等新的数学方法。同时，人们注重先秦文化典籍的收集、整理。作为数学新发展及先秦典籍的抢救工作的结晶，便是《九章算术》的成书。《九章算术》(省称《九章》)是中国最重要的数学经典，它之于中国和东方数学，大体相当于《几何原本》之于希腊和欧洲数学。在世界古代数学史上，《九章》与《原本》像两颗璀灿的明珠，东西辉映。
《九章》之前还有一部《周髀算经》，它本是一部以数学方法阐述盖天说的天文着作，一般认为于公元前1世纪成书。卷上记载了商高答周公问，陈子答荣方问。前者有勾股定理的特例32+42=52，后者有用勾股定理及比例算法测太阳高远及直径的内容。近年湖北省张家山出土的竹简《算数书》正在整理，其少广一问与《九章》少广章第1问基本相同，两者的关系有待于研究。
《九章》集先秦到西汉数学知识之大成。据东汉末大学者郑玄(公元127—200年)引东汉初郑众(?—公元83年)说，西汉在先秦九数基础上又发展出勾股、重差两类数学方法。魏刘徽说：《九章》是由九数发展而来的，由于秦朝焚书而散坏。西汉张苍(?—公元前152年)、耿寿昌(公元前1世纪)收集秦火遗残，加以整理删补，便成为《九章算术》。方田章提出了完整的分数运算法则，各种多边形、圆、弓形等的面积公式;粟米章提出了比例算法;衰[cui崔]分①章提出了比例分配法则;少广章给出了完整的开平方、开立方程序;商功章讨论各种立体体积公式及工程分配方法;均输章解决赋役中的合理负担，也是比例分配问题，还有若干结合西汉社会实际的算术杂题;盈不足章解决盈亏问题及可以用盈不足术解决的一般算术问题;方程章是线性方程组解法，并给出了正负数加减法则;勾股章由旁要发展而成，提出了勾股定理、解勾股形及若干测望问题的方法。全书以计算为中心，有90余条抽象性算法、公式，246道例题及其解法，基本上采取算法统率应用问题的形式。它的许多成就居世界领先地位，奠定了此后中国数学居世界前列千余年的基础。《九章》分类不甚合理，没有任何定义和推导，少数公式不准确，个别公式有错误，则是不容讳言的缺点。《九章》的框架、形式、风格和特点深刻影响了中国和东方的数学。
《九章算术》成书后，注家蜂起。《汉书·艺文志》所载《许商算术》、《杜忠算术》(公元前1世纪)估计为研究《九章》的作品。东汉马续、张衡、刘洪、郑玄、徐岳、王粲等通晓《九章算术》，或为之作注。这些着作都未传世，从后来刘徽(今山东邹平人，生卒不详)《九章算术注》所反映的信息看，这些研究基本上停留在归纳验证《九章算术》的正确性方面，理论上未能在《九章》基础上作出长足进步。
魏晋至唐初中国数学理论体系的建立
《九章算术》之后，中国的数学着述基本上采取两种方式：一是为《九章算术》作注;二是以《九章算术》为楷模编纂新的着作。经过两汉社会经济和科学技术的大发展，到魏晋，中国封建社会进入一个新的阶段，庄园农奴制和门阀士族占据了经济政治舞台的中心。思想文化领域中，儒家的统治地位被削弱，谶纬迷信和繁琐的经学退出历史舞台，代之以谈三玄——《周易》、《老子》、《庄子》为主的辩难之风。学者们通过析理，探讨思维规律，思想界出现了战国的百家争鸣以来所未有过的生动局面。与此相适应，数学家重视理论研究，力图把自先秦到两汉积累起来的数学知识建立在必然的可靠的基础之上。刘徽和他的《九章算术注》便是这个时代造就的最伟大的数学家和最杰出的数学着作。
大约与刘徽同时或稍前，有赵爽(又名婴，字君卿，生卒不详，估计是三国吴人)的《周髀算经注》，其可观者为“勾股圆方图”，用600余字概括了两汉以来勾股算术的成果。
刘徽《九章算术注》作于魏景元四年(公元263年)，原十卷。前九卷全面论证了《九章》的公式、解法，发展了出入相补原理、截面积原理、齐同原理和率的概念，在圆面积公式和锥体体积公式的证明中引入了无穷小分割和极限思想，首创了求圆周率的正确方法，指出并纠正了《九章》的某些不精确的或错误的公式，探索出解决球体积的正确途径，创造了解线性方程组的互乘相消法与方程新术，用十进分数逼近无理根的近似值等，使用了大量类比、归纳推理及演绎推理，并且以后者为主。第十卷原名重差，为刘徽自撰自注，发展完善了重差理论，此卷后来单行，因第一问为测望一海岛的高远，名之曰《海岛算经》。他还着有《九章重差图》一卷，已佚。刘徽生活在辩难之风兴起而尚未流入清谈的魏晋之交，受思想界“析理”的影响，对《九章算术》“析理以辞，解体用图”(《九章算术注·序》)，并对各种算法进行总结分析，认为数学像一株枝条虽分而同本干的大树，发自一端，形成了一个完整的理论体系。刘徽博览群书，谙熟诸子百家，他不迷信古人，敢于创新，实事求是。对他未能解决的牟合方盖，坦诚直书，表示“以俟能言者”(《九章算术·少广章注》)，表现了一位伟大学者寄希望于后学的坦荡胸怀。
《孙子算经》三卷，常被误认为春秋军事家孙武所着，实际上是公元400年前后的作品，作者不详。这是一部数学入门读物，给出了筹算记数制度及乘除法则等预备知识，其河上荡杯、鸡兔同笼等问题后来在民间广泛流传，“物不知数”题则开一次同余式解法之先河。张丘建(今山东人，生平不详)着的《张丘建算经》三卷，成书于北魏(5世纪下半叶)。此书补充了等差级数的若干公式，其百鸡问题是着名的不定方程问题，后世十分重视。
《缀术》包含了祖冲之(公元429—500年)和儿子祖暅〔geng 更〕之(一作祖暅，生平不详)的数学贡献。由于其内容深奥，隋唐算学馆学官(相当于今天大学数学系教授)读不懂，遂失传。据认为，将圆周率精确到八位有效数字、球体积的解决及含有负系数的二次、三次方程皆是其中的内容。祖冲之，字文远，祖籍范阳逎(今河北省涞源县)人。刘宋大明六年(公元462年)造大明历，使用岁差，改革闰制。他的改革遭到守旧派官僚戴法兴的反对，祖冲之不畏权势，据理驳斥，坚持了反对谶纬迷信，不虚推古人，实事求是的科学精神。他对机械深有研究，制造过水碓、水磨、指南车、千里船、漏壶等，并着《安边论》、《述异记》等。祖暅之，字景烁。从小爱好数学，巧思入神，极其精微。专心致志之时，雷霆不能入。有一次走路时思考问题，仆射徐勉迎面而来竟然没有发现，头撞到徐勉身上，徐勉唤他，他才知道撞了人。其父的《大明历》经他的努力在梁朝颁行。
北周甄鸾(今河北无极人，生卒不详)有三部数学着作传世，即《五曹算经》、《五经算术》、《数术记遗》。前二部内容浅近，无足道者。《数术记遗》一卷，传本题(东)汉徐岳撰、北周甄鸾注，近人多以为系甄鸾自撰自注，假托徐岳。书中记载了三种大数进位制及14种算法，其中珠算虽不同于元明的珠算盘，然开后者之先河，似无可疑。
隋唐是中国封建社会经济政治文化的鼎盛时期，然而数学上除天文历法研究中刘焯(公元544—610年)创造等间距内插公式(7世纪初)和僧一行(公元683—727年)创造不等间距内插公式(8世纪)外，几无创造，数学成就及理论水平远远低于魏晋南北朝。唐初王孝通(生卒不详)撰《缉古算经》一卷，解决了若干复杂的土方工程及勾股问题，且都用三次或四次方程解决，是为现存记载三次、四次方程的最早着作。然而，《缉古算经》未必是高于《缀术》的着作。王孝通是历算博士，曾任太史丞，在天文历法方面是保守的。他在《上〈缉古算经〉表》中指责《缀术》全错不通，于理未尽，大约他与当时别的数学家一样读不懂《缀术》。他自诩他的《缉古算经》千金不能排其一字，他一旦瞑目，其方法后人莫晓。科学家不必作谦谦君子，但如此狂妄，也是不足取的。
隋唐统治者在国子监设算学馆，置算学博士、助教指导学生学习。唐李淳风等奉敕于显庆元年(公元656年)为《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《缀术》、《张丘建算经》、《五曹算经》、《五经算术》、《缉古算经》等十部算经作注，作为算学馆教材，这就是着名的《算经十书》，该书是中国古代数学奠基时期的总结。李淳风等注释保存了许多宝贵资料，但注释水平并不高。由于种种原因，算学馆实际未培养出像样的数学家。
唐中叶至宋元中国数学的高潮
经过盛唐的大发展，唐中叶之后，生产关系和社会各方面逐渐产生新的实质性变革，到10世纪下半叶，赵匡胤建立宋朝，统一中国，中国封建社会进入了另一个新的阶段，土地所有制以国有为主变为私有为主，租佃农民取代了魏唐的具有农奴身份的部曲、徒附。农业、手工业、商业和科学技术得到更大发展。中国古代四大发明，有三项——印刷术之广泛应用及活字印刷，火药用于战争，指南针用于航海——完成于唐中叶至北宋。宋秘书省于元丰七年(公元1084年)首次刊刻了《九章算术》等十部算经(时《夏侯阳算经》、《缀术》已失传，因8世纪下半叶一部韩延《算术》开头有“夏侯阳曰”云云而误认为是前者而刻入，后者只好付之阙如)，是世界上首次出现的印刷本数学着作。后来南宋数学家鲍澣之翻刻了这些刻本，有《九章算术》(半部)、《周髀算经》、《孙子算经》、《五曹算经》、《张丘建算经》五种及《数术记遗》等孤本流传到现在，是目前世界上传世最早的印刷本数学着作。宋元数学家贾宪、李冶、杨辉、朱世杰的着作，大都在成书后不久即刊刻。数学着作借助印刷术得以空前广泛的流传，对传播普及数学知识，其意义尤为深远。
宋元数学高潮早在唐中叶已见端倪。随着商业贸易的蓬勃发展，人们改进筹算乘除法，新、旧《唐书》记载了大量这类书籍，可惜绝大多数失传，只有韩延(生平不详)《算术》(8世纪)以《夏侯阳算经》的名义流传下来，该书提出了若干化乘除为加减的捷算法，并在运算中使用了十进小数，极可宝贵。
11世纪上半叶贾宪(生平不详)撰《黄帝九章算经细草》，是为北宋最重要的数学着作。贾宪曾任左班殿直(低级武官)，是当时着名天文学家、数学家楚衍的学生。还着有《算法𢽾古集》二卷，已佚。他将《九章算术》未离开题设具体对象甚至数值的术文大都抽象成一般性术文，提高了《九章算术》的理论水平;他对某些类型的数学问题进行概括，比如提出开方作法本源即贾宪三角，作为他提出的立成释锁(即开方)法的算表，这是开方问题的纲;他提出了若干新的重要方法，其中最突出的是创造增乘开方法，并提出了开四次方的程序。贾宪的思想与方法对宋元数学影响极大，是宋元数学的主要推动者之一。《黄帝九章算经细草》因被杨辉《详解九章算法》抄录而大部分保存了下来(阙卷一、二及卷三上半部，卷五的一部分)。
大科学家沈括(公元1031—1095年)对数学有独到的贡献。在《梦溪笔谈》中首创隙积术，开高阶等差级数求和问题之先河，又提出会圆术，首次提出求弓形弧长的近似公式。
12世纪北宋刘益(生平不详)撰《议古根源》，亦失传。杨辉《田亩比类乘除捷法》引用了它的若干题目与方法。《缀术》失传之后，开方式的系数仍皆为正数，刘益突破了这个限制，首先引入负系数方程，并创造了益积开方术与减从开方术求其正根，杨辉誉之为“实冠前古”。
1127年金朝入主中原，赵宋南迁，史称南宋。1234年，蒙古贵族灭金，后来建立元朝。1279年元灭南宋，占领中国。13世纪中叶至14世纪初，是宋元数学高潮的集中体现，也是中国历史上留下重要数学着作最多的半个世纪，并形成了南宋统治下的长江中下游与金元统治下的太行山两侧两个数学中心。
南方中心以秦九韶、杨辉为代表，以高次方程数值解法、同余式解法及改进乘除捷算法的研究为主。北方中心则以李冶为代表，以列高次方程的天元术及其解法为主。元统一中国后的朱世杰，则集南北两个数学中心之大成，达到了中国筹算的最高水平。
1247年秦九韶撰成《数书九章》18卷。秦九韶，字道古，自称鲁郡(今山东省)人，约1202年生于普州安岳县(今四川省)。他生活在宋元激烈斗争的南宋末年，并卷入了南宋统治集团战和两派的斗争，支持抗战派吴潜，屡遭刘克庄等人弹劾。贾似道专权后被贬到梅州(今广东省)，不久(约公元1261年)死于任所，并在死后被追随贾似道的周密丑诋不堪。他天资聪明好学，对数学、天文、土木建筑、诗词、音律、弓马等都十分精通。他多次呼吁统治者施仁政，并把数学知识看成开源节流、施仁政、利国利民的有力工具。《数书九章》分大衍、天时、田域、测望、赋役、钱谷、营建、军旅、市易九类81题，其成就之大，题设之复杂都超过以往算经，有的问题有88个条件，有的答案多达180条，军事问题之多也是空前的，反映了秦氏对抗元战争的关注。大衍总数术系统解决了一次同余式组解法;正负开方术把以增乘开方法为主导的求高次方程正根的方法发展到十分完备的程度，有的方程高达十次;线性方程组解法完全以互乘相消法取代直除法;提出了与海伦公式等价的三斜求积公式;使用了完整的十进小数表示法，等等，都是其杰出成就。
杨辉共撰五部数学着作，传世的有四部，居元以前数学家之冠。杨辉，字谦光，钱塘(今杭州市)人，生平不详，只知在今江浙一带管钱粮，为政清廉。与其他大家比较，他的着作偏重于教育与普及。1261年，杨辉在刘徽注、李淳风等注释、贾宪细草的《九章算术》基础上作解题、比类，并补充了图、乘除、纂类三卷，是为《详解九章算法》，今图、乘除、方田、粟米、衰分上半部、商功之一部分已佚。商功章的比类中的垛积术发展了沈括的隙积术;“纂类”则打破了《九章算术》的分类格局，按方法分成乘除、互换、合率、分率、衰分、叠积、盈不足、方程、勾股九类。1262年又撰《日用算法》，着重于改进乘除捷算法，只有少量题目保存下来。1274年撰《乘除通变本末》三卷。卷上的“习算纲目”是一个从启蒙到《九章》主要方法的数学教学计划。本书还总结了九归等乘除捷算法及其口诀。次年编纂《田亩比类乘除捷法》二卷，引用了刘益的方法与题目，批评了《五曹算经》四不等田求法的错误。同年，编纂《续古摘奇算法》二卷，对纵横图即幻方研究颇有贡献。后三部书又常合称为《杨辉算法》。
十二、十三世纪，北方出现了许多天元术着作，大都失传，流传至今的最早的以天元术为主要方法的着作是李冶的《测圆海镜》12卷(公元1248年)、《益古演段》三卷(公元1259年)。李冶(公元1192—1279年)，字仁卿，号敬斋，真定栾城(今河北省)人，生于大兴(今北京市)。其父为官清廉正直，李冶自幼受到良好的教养，且爱好数学，青年时便成为名重中原的学者，金词赋科进士。入元，遂隐居于忻、崞〔guo郭〕(今山西省北部)一带，在极为艰苦的条件下研究数学及各种学问，常粥𫘸〔zhan毡〕不继，而聚书环堵。1251年起，主持封龙书院(今河北省)。1257、1260年两次受到元主忽必烈召见，发表了立法度，正纲纪，进君子，退小人，减刑罚，止征战，反对种族偏见的政治主张。他被聘为翰林学士。然而他羞于作唯天子、宰相之命是听的御用文人，不久便以老病为辞回到封龙山。他一生文史着述颇多，仅存《敬斋古今黈》。《测圆海镜》在洞渊九容基础上考虑了勾股形与圆的10种基本关系，在卷二一十二中就15个勾股形与圆的关系提出了170个求圆径长的问题，答案当然都相同。这些问题大都要用天元术列出方程。卷一是全书的理论基础，包括圆城图式、识别杂记等部分。圆城图式以天、地、乾、坤等汉字表示点，是个创举。识别杂记提出692条公式，除八条外都是正确的，集历代勾股形与圆的关系研究之大成。《益古演段》64问，这是一部用天元术阐释蒋周(可能是北宋人)《益古集》的方程列法的着作。其中保存了《益古集》的若干题目和旧术(方法)。
朱世杰有两部重要着作《算学启蒙》(公元1299年)、《四元玉鉴》(公元1303年)传世。朱世杰，字汉卿，号松庭，燕山(今北京市)人，生平不详。他在13世纪末以数学名家周游全国20余年，向他学习数学的人很多。《算学启蒙》20门，259问，包括了从乘除及其捷算法到增乘开方法、天元术等当时数学各方面的内容，形成了一个较完整的体系。《四元玉鉴》24门，288问，卷首给出古法七乘方图(改进了的贾宪三角)等四种五幅图，以及天元术、二元术、三元术、四元术的解法范例。创造四元消法，解决了多元高次方程组问题，以及高阶等差级数求和问题，高次招差法问题，是本书最大的贡献。此书是中国古代水平最高的数学着作。
杨辉、朱世杰等人对筹算乘除捷算法的改进、总结，导致了珠算盘与珠算术的产生(大约在元中叶)，完成了我国计算工具和计算技术的改革。元中后期，又出现了《丁巨算法》、贾亨《算法全能集》、何平子《详明算法》等改进乘除捷算法的着作。
明清数学——从衰落到艰难的复兴
元中叶之后，中国数学急剧衰落，元末的几部着作只是对乘除捷算法有所改进。明永乐年间(公元1403—1425年)修《永乐大典》，将前此的中国数学着作按起源、各种数学方法及音义、纂类等分类抄录。汉唐宋元数学着作在明代大都散佚，清中叶修《四库全书》，中国古算书多赖此重新面世。
明代八股取士，思想禁锢严重，学者们很少留心数学。顾应祥、唐顺之是明代数学大家，全然不懂天元术和增乘开方法。景泰元年(公元1450年)吴敬撰《九章算法比类大全》十卷，收集历代应用题，亦抛弃了增乘开方法和天元术。元明之后，随着筹算捷算法的完备，珠算术产生并得到普及，明朝出现了一批有关珠算的着作。其最着者为程大位的《算法统宗》(公元1592年)，凡17卷，595问。此书适应商业发展的需要，以珠算为主要计算工具，并载有珠算开方法。此书在以后二、三百年问被多次翻刻、改编，流传之广是罕见的。程大位，字汝思，号渠宾，休宁(今黄山市屯溪区)人，曾在长江中下游地区经商，注意收集算经和数学问题，晚年撰成此书。
16世纪末，利玛窦等欧洲传教士来华，与徐光启等一起翻译《几何原本》等着作。后来，传教士们又引入了三角学、对数等西方初等数学，从此，中国数学开始了中西会通的阶段。清朝260余年，留下数学着作极多，都在不同程度上融会中西数学。
清宣城梅文鼎(公元1633—1721年)潜心于中西数学研究，着述甚多，其孙梅瑴成将他的着作编辑成《梅氏丛书辑要》60卷，其中数学着作13种40卷，内容遍及当时中国数学的各个门类，对清朝数学影响极大。
康熙皇帝爱好数学，他御定由梅瑴成、何国宗、明安图、陈厚耀等编纂的《数理精蕴》53卷，全面系统地介绍了当时传入的西方数学知识。上编立纲明体，为数理本源、几何原本、算术原本等五卷;下编分条致用，为实用数学和借根方比例，以及对数、三角函数等40卷，表4种8卷，同样对清朝数学产生了巨大影响。此书于雍正元年(公元1723年)印行。
1723年，雍正帝即位，认为传教士不利于自己的统治，除少数供职于钦天监者外，将传教士悉数赶到澳门。此后，西学的传入遂告一段落，中国数学家一方面消化前此传入的数学知识，一方面忙于整理中国古典数学着作。
1773年干隆帝决定修《四库全书》，戴震(公元1724—1777年)从《永乐大典》中辑出《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《五曹算经》、《五经算术》以及赝本《夏侯阳算经》等七部汉唐算经，并加校勘，《数书九章》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》等久佚的宋元算书也陆续辑出或发现，从此掀起了乾嘉时期(公元1736—1820年)研究整理中国古典数学的热潮。古书注释以李潢(?—公元1812年)《九章算术细草图说》、罗士琳(公元1789—1853年)《四元玉鉴细草》影响较大。而开创性的研究则以焦循(公元1763—1820年)《里堂学算记》、汪莱(公元1768—1813年)《衡斋算学》、李锐(公元1768—1817年)《李氏算学遗书》最为有名。
18世纪初，法人杜德美(公元1668—1720年)传入牛顿、格雷果里创造的三个三角函数的级数展开式。后来，三角函数和对数函数展开式的研究成为中国数学家的重要课题。明安图(17世纪末至18世纪60年代)、董祐诚(公元1791—1823年)、项名达(公元1789—1850年)、戴煦(公元1805—1860年)等都作出了杰出贡献。李善兰(公元1811—1882年)的《方圆阐幽》、《弧矢启秘》、《对数探源》(公元1845年)在三角函数与对数函数的研究上取得了更大的成就。他创造的尖锥术提出了几个相当于定积分的公式，在接触西方微积分思想之前独立地接近了微积分学。李善兰，字壬叔，号秋纫，浙江海宁人。幼年即嗜好数学，30余岁即获创造性成果。
1840年，列强用大炮轰开了清朝闭关自守的大门，中国逐渐沦为半封建半殖民地社会。西方数学以前所未有的规模大量传入。1852年李善兰到上海，与英国传教士伟烈亚力(公元1815—1887年)合译《几何原本》后九卷、《代数学》13卷、《代微积拾级》18卷等许多西方数学着作，后者是中国第一部微积分学译着。后来，华衡芳(公元1833—1902年)与英人傅兰雅合译了《代数术》、《微积溯源》、《三角数理》、《决疑数学》等书，后者是中国第一部概率论译着。他们创造的许多术语至今还在使用。李善兰还融会中西，着述颇丰。《椭圆正术解》等四种是关于圆锥曲线的研究，《级数回求》等是关于幂级数的研究，而《垛积比类》则在朱世杰基础上系统解决了高阶等差级数求和问题，并提出了着名的李善兰恒等式。1872年撰《考数根法》，证明了费尔马小定理，提出了素数判定法则。他的着作汇集为《则古昔斋算学》，包括14种科学着作。李善兰是开展现代数学研究的第一位中国数学家。然而，总的说来，时处清末，经济衰落，社会动荡，有志于现代数学的人没有与现代工程技术结合的条件，不可能有大量可观的成果，而士大夫阶层更多的人抱有西学为我中华所固有的偏见，不求甚解。此后不久，尤其是维新变法和新文化运动之后，中国古代数学传统基本中断，中国数学研究纳入了统一的现代数学。20世纪是中国数学复兴的世纪，人们期待，在下个世纪中国将重新取得数学大国的地位。

Ⅵ 中国古代的数学教育

数学作为一门应用性非常强的基础学科，无论天文、水利、建筑，乃至商业、日常生活，都须臾离不开。如果没有相应的数学教育，中国不可能长时间在世界上保持文明的领先地位。
事实上，中国早就存在数学教学，并逐渐形成了比较系统的数学教育制度。西周时期针对贵族子弟开设的教学科目“六艺”中的“数”，便是一种早期的数学教育，而平民所学习的“小艺”中，也包含了“数”。到南北朝时期，中国数学蓬勃发展，《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》等算学着作相继问世。同时，数学教育也有较大发展，北魏在中央官学中专门开设的“算学”，可算是世界上最早开设的数学专科学校。这意味着算学被列为基本的国学之一。
隋唐时期，中国首次建立起正式的数学教育制度。隋文帝时期，中国在国子监设立了算学馆，在算学馆设算学
博士1人，助教2人，学生8人，并制定了专用的数学教材《算经十书》对学生进行讲授。唐贞观年间，算学教育规模进一步扩大，专门设博士2人，助教1人，学生30人，八品以下子弟以及庶人喜欢算学、年龄在14-19岁之间者都可入学，学习期限9年。
从公元11世纪到14世纪的宋元时期，是以筹算为主要工具的中国古代数学的鼎盛时期。在此期间，涌现出一批杰出的数学家和数学着作，中国数学达到最高境界，与当时的阿拉伯数学一道居于世界领先地位。而在数学教育方面，在科举考试及太学、国子监等学校中都有专门的算学考试。14世纪中后叶明王朝建立以后，统治者奉行以八股文为特征的科举制度，在国家科举考试中大幅度削减数学内容。失去国家的政策鼓励之后，数学教育也出现衰退，自此，中国古代数学便开始衰退，落后于世界了。

Ⅶ 中国古代的数学教育是怎么样的

数学作为一门应用性非常强的基础学科，无论天文、水利、建筑，乃至商业、日常生活，都须臾离不开。如果没有相应的数学教育，中国不可能长时间在世界上保持文明的领先地位。
事实上，中国早就存在数学教学，并逐渐形成了比较系统的数学教育制度。西周时期针对贵族子弟开设的教学科目“六艺”中的“数”，便是一种早期的数学教育，而平民所学习的“小艺”中，也包含了“数”。到南北朝时期，中国数学蓬勃发展，《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》等算学着作相继问世。同时，数学教育也有较大发展，北魏在中央官学中专门开设的“算学”，可算是世界上最早开设的数学专科学校。这意味着算学被列为基本的国学之一。
隋唐时期，中国首次建立起正式的数学教育制度。隋文帝时期，中国在国子监设立了算学馆，在算学馆设算学
博士1人，助教2人，学生8人，并制定了专用的数学教材《算经十书》对学生进行讲授。唐贞观年间，算学教育规模进一步扩大，专门设博士2人，助教1人，学生30人，八品以下子弟以及庶人喜欢算学、年龄在14-19岁之间者都可入学，学习期限9年。
从公元11世纪到14世纪的宋元时期，是以筹算为主要工具的中国古代数学的鼎盛时期。在此期间，涌现出一批杰出的数学家和数学着作，中国数学达到最高境界，与当时的阿拉伯数学一道居于世界领先地位。而在数学教育方面，在科举考试及太学、国子监等学校中都有专门的算学考试。14世纪中后叶明王朝建立以后，统治者奉行以八股文为特征的科举制度，在国家科举考试中大幅度削减数学内容。失去国家的政策鼓励之后，数学教育也出现衰退，自此，中国古代数学便开始衰退，落后于世界了。

Ⅷ 中国古代的高等数学成就

《九章算术》在中国古代数学发展过程中占有非常重要的地位。它经过许多人整理而成，大约成书于东汉时期。全书共收集了246个数学问题并且提供其解法，主要内容包括分数四则和比例算法、各种面积和体积的计算、关于勾股测量的计算等。在代数方面，《九章算术》在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则；现在中学讲授的线性方程组的解法和《九章算术》介绍的方法大体相同。注重实际应用是《九章算术》的一个显着特点。该书的一些知识还传播至印度和阿拉伯，甚至经过这些地区远至欧洲。

《九章算术》标志以筹算为基础的中国古代数学体系的正式形成。

中国古代数学在三国及两晋时期侧重于理论研究，其中以赵爽与刘徽为主要代表人物。

赵爽是三国时期吴人，在中国历史上他是最早对数学定理和公式进行证明的数学家之一，其学术成就体现于对《周髀算经》的阐释。在《勾股圆方图注》中，他还用几何方法证明了勾股定理，其实这已经体现“割补原理”的方法。用几何方法求解二次方程也是赵爽对中国古代数学的一大贡献。三国时期魏人刘徽则注释了《九章算术》，其着作《九章算术注》不仅对《九章算术》的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且系统地阐述了中国传统数学的理论体系与数学原理，并且多有创造。其发明的“割圆术”（圆内接正多边形面积无限逼近圆面积），为圆周率的计算奠定了基础，同时刘徽还算出圆周率的近似值——“3927/1250（3.1416）”。他设计的“牟合方盖”的几何模型为后人寻求球体积公式打下重要基础。在研究多面体体积过程中，刘徽运用极限方法证明了“阳马术”。另外，《海岛算经》也是刘徽编撰的一部数学论着。

南北朝是中国古代数学的蓬勃发展时期，计有《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》等算学着作问世。

祖冲之、祖暅父子的工作在这一时期最具代表性。他们着重进行数学思维和数学推理，在前人刘徽《九章算术注》的基础上前进了一步。根据史料记载，其着作《缀术》（已失传）取得如下成就：①圆周率精确到小数点后第六位，得到3.1415926<π<3.1415927，并求得π的约率为22/7，密率为355/113，其中密率是分子分母在1000以内的最佳值；欧洲直到16世纪德国人鄂图（Otto）和荷兰人安托尼兹（Anthonisz）才得出同样结果。②祖暅在刘徽工作的基础上推导出球体体积公式，并提出二立体等高处截面积相等则二体体积相等（“幂势既同则积不容异”）定理；欧洲17世纪意大利数学家卡瓦列利（Cavalieri）才提出同一定理……祖氏父子同时在天文学上也有一定贡献。

隋唐时期的主要成就在于建立中国数学教育制度，这大概主要与国子监设立算学馆及科举制度有关。在当时的算学馆《算经十书》成为专用教材对学生讲授。《算经十书》收集了《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》等10部数学着作。所以当时的数学教育制度对继承古代数学经典是有积极意义的。

公元600年，隋代刘焯在制订《皇极历》时，在世界上最早提出了等间距二次内插公式；唐代僧一行在其《大衍历》中将其发展为不等间距二次内插公式。

从公元11世纪到14世纪的宋、元时期，是以筹算为主要内容的中国古代数学的鼎盛时期，其表现是这一时期涌现许多杰出的数学家和数学着作。中国古代数学以宋、元数学为最高境界。在世界范围内宋、元数学也几乎是与阿拉伯数学一道居于领先集团的。

贾宪在《黄帝九章算法细草》中提出开任意高次幂的“增乘开方法”，同样的方法至1819年才由英国人霍纳发现；贾宪的二项式定理系数表与17世纪欧洲出现的“巴斯加三角”是类似的。遗憾的是贾宪的《黄帝九章算法细草》书稿已佚。

秦九韶是南宋时期杰出的数学家。1247年，他在《数书九章》中将“增乘开方法”加以推广，论述了高次方程的数值解法，并且例举20多个取材于实践的高次方程的解法（最高为十次方程）。16世纪意大利人菲尔洛才提出三次方程的解法。另外，秦九韶还对一次同余式理论进行过研究。

李冶于1248年发表《测圆海镜》，该书是首部系统论述“天元术”（一元高次方程）的着作，在数学史上具有里程碑意义。尤其难得的是，在此书的序言中，李冶公开批判轻视科学实践活动，将数学贬为“贱技”、“玩物”等长期存在的士风谬论。

公元1261年，南宋杨辉（生卒年代不详）在《详解九章算法》中用“垛积术”求出几类高阶等差级数之和。公元1274年他在《乘除通变本末》中还叙述了“九归捷法”，介绍了筹算乘除的各种运算法。公元1280年，元代王恂、郭守敬等制订《授时历》时，列出了三次差的内插公式。郭守敬还运用几何方法求出相当于现在球面三角的两个公式。

公元1303年，元代朱世杰（生卒年代不详）着《四元玉鉴》，他把“天元术”推广为“四元术”（四元高次联立方程）,并提出消元的解法，欧洲到公元1775年法国人别朱（Bezout）才提出同样的解法。朱世杰还对各有限项级数求和问题进行了研究，在此基础上得出了高次差的内插公式，欧洲到公元1670年英国人格里高利（Gregory）和公元1676一1678年间牛顿（Newton）才提出内插法的一般公式。

14世纪中、后叶明王朝建立以后，统治者奉行以八股文为特征的科举制度，在国家科举考试中大幅度消减数学内容，于是自此中国古代数学便开始呈现全面衰退之势。

明代珠算开始普及于中国。1592年程大位编撰的《直指算法统宗》是一部集珠算理论之大成的着作。但是有人认为，珠算的普及是抑制建立在筹算基础之上的中国古代数学进一步发展的主要原因之一。

由于演算天文历法的需要，自16世纪末开始，来华的西方传教士便将西方一些数学知识传入中国。数学家徐光启向意大利传教士利马窦学习西方数学知识，而且他们还合译了《几何原本》的前6卷（1607年完成）。徐光启应用西方的逻辑推理方法论证了中国的勾股测望术，因此而撰写了《测量异同》和《勾股义》两篇着作。邓玉函编译的《大测》［2卷］、《割圆八线表》［6卷］和罗雅谷的《测量全义》［10卷］是介绍西方三角学的着作。

Ⅸ 我国古代的教学怎样教函数

中国古代没有函数的概念，教学也就无从谈起
十六世纪，随着欧洲过渡到新的资本主义生产方式，迫切需要天文知识和力学原理。当时，自然科学研究的中心转向对运动、对各种变化过程和变化着的量之间依赖关系的研究。数学研究也从常量数学转向了变量数学。数学的这个转折主要是由法国数学家笛卡尔完成的，他在《几何学》一文中首先引入变量思想，称为“未知和未定的量”，同时引入了两个变量之间的相依关系。这便是函数概念的萌芽。十七世纪，在对各种各样运动的研究中，人们愈来愈感到需要有一个能准确表示各种量之间关系的数学概念。经过深思熟虑，人们从笛卡尔的变量思想中得到启示，从而引出了函数概念。据考证，十七世纪中叶，微积分的创始人之一德国数学家莱布尼兹最先使用函数（function）这个名词。不过，他指的是变数x的幂x，x，…等等。后来才逐步扩展到多项式函数、有理函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数以及由它们的四则运算、各种复合所形成的初等函数。这些函数都是具体的，都有解析表达式，并且和曲线紧密联系在一起。那时的函数就是表示任何一个随着曲线的点的变动而变化的量。至此，还没有函数的一般定义。

十八世纪初，贝努利最先摆脱具体的初等函数的束缚，给函数一个抽象的不用几何形式的定义：“一个变量的函数是指由这个变量和常量的任何一种方式构成的一个量。”欧拉则更明确地说：“一个变量的函数是该变量和常数以任何一种方式构成的解析表达式。”函数之间的原则区别在于构成函数的变量与常量的组合方式的不同。欧拉最先把函数的概念写进了教科书。在贝努利和欧拉看来，具有解析表达式是函数概念的关键所在。

1734年，欧拉用记号y=f( x)表示变量x的函数，其中的“f”取自“function”的第一个字母。

十八世纪中期，由于偏微分方程中的弦振动问题引起了关于函数概念的争论，迫使数学家接受一个更广泛的概念。1755年欧拉给函数下了一个新的定义：如果某些量这样地依赖于另一些量，当后者改变时它经常变化，那么称前者为后者的函数。

法国数学家傅立叶的工作更广泛地展现了函数究竟是什么的问题，他的工作动摇了十八世纪的信念，那种视函数仅为解析式的观点作为揭示函数关系真谛的巨大障碍终于排除了。

Ⅹ 贾宪的北宋数学家

贾宪，11世纪前半叶中国北宋数学家。贾宪是中国十一世纪上半叶（北宋）的杰出数学家．曾撰《黄帝九章算法细草》（九卷）和《算法古集》（二卷），都已失传。据《宋史》记载，贾宪师从数学家楚衍学天文、历算，着有《黄帝九章算法细草》、《释锁算书》等书。贾宪着作已佚，但他对数学的重要贡献，被南宋数学家杨辉引用，得以保存下来。
贾宪的主要贡献是创造了“贾宪三角”和“增乘开方法”。增乘开方法即求高次幂的正根法。目前中学数学中的综合除法，其原理和程序都与它相仿。增乘开方法比传统的方法整齐简捷，又更程序化，所以在开高次方时，尤其显出它的优越性．增乘开方法的计算程序大致和欧洲数学家霍纳（公元1819年）的方法相同，但比他早770年。
在中国数学史上贾宪最早发现贾宪三角形。杨辉在所着《详解九章算法》《开方作法本元》一章中作贾宪开方作法图，并说明“出释锁算书，贾宪用此术”。贾宪开方作法图就是贾宪三角形。杨辉还详细解说贾宪还发明的释锁开平方法，释锁开立方法，增乘开平方法，增乘开立方法。 虽然有关贾宪的资料保存下来的并不完整，但从杨辉缉录的细草中，我们仍然可以发现他的一些独到的数学思想和方法，主要有以下两点。
抽象分析法
在研究《九章》过程中，贾宪使用了抽象分析法，尤其在解决勾股问题时更为突出，他首先提出了“勾股生变十三图”。他说：“勾股弦并而为和，减而为较，等而为变，为乘，为段，自乘为积，为幂。”十三名指勾（a）、股（b）、弦（c）、勾股较（b-a）、勾弦较（c-a）、股弦较（c-b）、勾股和（a+b）、勾弦和（a+c）、股弦和（b+c）、弦较和（c+（b-a））、弦和和（c+（a+b））、弦和较（（a+b）-c）、弦较教（c-（b-a））。他完备了勾股弦及其和差的所有关系，说这些关系“有用而取，无用不取，立图而验之”，说明他已经抛开《九章》算题本身，并对勾股问题进行抽象分析了。
例如“出南北门测邑方”问，《九章》的方法是：术曰：以出北门步数乘西行步数，倍之为实，并出南门步数为从法，开方除之即邑方。贾宪的方法是：术曰：余勾乘股，倍之为实并二余勾为从，开方除不。正是掌握了这一方法，才使他能够使用纯数学的方法改写《九章》术文，给后人留下公式化的解题范例。在方程术等其他章节的细草中，他也广泛运用了这种方法。
程序化方法
程序化方法主要是指探究问题的思维程序、过程和步骤。适用于同一理论体系下，同一类问题的解决。贾宪的“增乘开方法”和“增乘方求廉法”尤其集中地体现了这一方法，比如少广章有：“今有积一百八十六万八百六十七尺，问：为立方几何？”这是一道对1860867开三次方的问题。贾宪的方法是：草曰：（1）实上商置第一位得数一百。（2）以上商乘下法置廉一百，乘廉为方一万，除实，讫。（3）复以上商一百乘下法入廉共二百，乘廉入方共三万。（4）又乘下法入廉共三百。（5）其方一、廉二、下三退定十。（6）再于第一位商数之次，复商第二位得数二十，以乘下法入廉共三百二十，乘廉入方共三万六千四百，命上商除实，讫余一十三万二千八百六十七。（7）复以次商二十乘下法入廉共三百四十，乘廉入方共四万三千二百尺。（8）又乘下法入廉共三百六十。（9）其方一、廉二、下三退，如前。（10）上商第三位得数三尺，乘下法入廉共三百六十三，乘廉入方共四万四千二百八十九，命上商三尺除实，适尽，得立方一面之数。
用现代表述方式体现为：
下法廉方实商
（1）1000000+00-18608671
+1000000+10000001000000
（2）1000000+1000000+1000000-860867
+1000000+2000000
（3）1000000+2000000+3000000
+1000000
（4）1000000+3000000+3000000-860867
1000+30000+300000-8608672
+2000+64000728000
（6）1000+32000+364000-132867
+2000+68000
（7）1000+34000+432000
+2000
（8）1000+36000+432000-132867
1+360+43200-1328673
+3+1089+132867
（10）1+363+442890
我们注意到这个开立方过程，已经形成了固定的程序。当代学者研究发现，程序化的数学思想方法是中国古代数学的重要特点，而贾宪的工作则使得开方程序系统化、规范化。贾宪的数学方法论，对宋元数学家产生了深远影响，纵观“宋元四大家”，莫不从中汲取精髓。 贾宪是否从事过数学教学工作，我们不得而知，但就宋初私学活跃以及数学地位而言，不能排除他传授数学知识的可能性，“宪运算亦妙，有书传于世”当可佐证。我们知道，古代学者着书立说目的之一就是教育世人，因此我们有理由探讨贾宪的数学教育思想。仔细研究细草，从中可以发现其数学教育思想的闪光之处。
重视抽象
“增乘开方法”的两例细草中，可以清楚的看到，剔除数字后得到的就是运算法则。而且这种细草方式是贯穿其着述（就现存而言）始终的。贾宪之所以这样做，应该是深受中国古代早已有之的“授人以鱼不如授人以渔”的教育思想影响。据现在所知，《黄帝九章算经细草》约成书于1050年前后，此书出版后，在社会上流传较广，在一定程度上逐渐代替了《九章算术》。南宋鲍浣之于1200年说：“自衣冠南渡以来,此学(指算学)既废，非独好之者寡，而《九章算经》亦几泯没无传矣。近世民间之本，题之曰《黄帝九章》……”这也是当时社会对其数学教育思想的认可。
注重概括
贾宪在给出“立成释锁开方法”之后，又提出“增乘方求廉法”并给出六阶贾宪三角，解释开各次方之间的联系。讨论勾股问题则先论“勾股生变十三图”，而后谈论问题的解法，给人以清晰的体系感。他的这些尝试,都体现了对知识纲要的重视。郭书春先生认为，这是贾宪“列出概括性理论”，“是演绎逻辑的一种发展”。体现在数学教育上，注重对知识纲要的概括，也不失为一种良好的教学方法。
系统思想
现存资料显示，贾宪没有涉足刘徽的分数和求微数（即极限理论）领域，他的师兄弟朱吉也曾批评他“弃去余分，于理未尽”。再加上他在《黄帝九章算经细草》中所讨论的开方问题未涉及开不尽情况，他甚至把《九章》中有分数解的问题改题设以得整数解。这些迹象表明他的工作是建立在整数集之上的。在此基础上他提纲挈领的概括了勾股和开方问题，给出了诸多其他问题的一般性解法，从中我们隐约可以看到系统化方法的痕迹。以贾宪的数学知识水平，他不可能不熟知分数，也不会不了解刘徽的求微数思想，只是他对开方开不尽的问题没有研究透彻。因此在他的着述中才回避了分数，目的是把自己掌握的数学知识，系统地传于世人，这在古代数学教育史上是难能可贵的。
发散思维
贾宪讨论九章诸类问题时，不是固守前人的思路和算法，发现了很多新的计算方法。在均输章中，他提出了“课分法”、“减分法”，以及用“方程术”求差率的方法;在盈不足章中，他提出了“今有术”、“合率术”、“分率术”、“方程术”、“两不足术”等方法；在“勾股容方”问中，他提出“勾股旁要法”等等。由此可见，贾宪不仅注重概括理论化的研究方法，同时也身体力行地致力于发散性思维的锻炼，这对于知识的创新是大有裨益的。贾宪对数学教育的系统化、纲领化、普遍化（抽象化）及思维的多样化都有一套独到的见解，许多方面是我们可以借鉴的。 《九章算术》是十一世纪以前中国最着名的数学着作，在其流传过程中，为其做草的人很多。而在数学理论上有突出贡献的主要是三位数学家----刘徽（论基础的奠定）、贾宪（理论水平的提高）和杨辉（理论的基本完善），贾宪起着承前启后的作用。另一方面，魏晋南北朝兴起的数学研究热潮自唐而中断，贾宪的数学方法论又激发了宋元的数学研究热潮，他又起到推波助澜的作用。具体表现在以下两个方面。
数学思想
贾宪对于《九章算术》中提出的问题，抽象分析，揭示数学本质；借助程序化，讲解方法的原理；提纲挈领，梳理知识脉络；注重知识系统化，避免产生悖论。这些思想方法对宋元数学家有很深的影响。杨辉着《详解九章算法》借鉴了贾宪的抽象和探索成果，对《九章》各题重新纂类。李冶着《测圆海镜》就继承并发扬了这些数学方法，建立了一个逻辑严密的演绎体系。朱世杰着《四元玉鉴》也用到这些思想方法，成就了我过古代数学史上的巅峰之作。秦九韶着《数术大略》即（《数学九章》）作术而不言具体数字更是师法贾宪，可见其方法论的生命力。当然，这些数学思想方法也并非贾宪独创，也是历代数学着述、研究、积累的结果，而贾宪又将其提炼和传承。 首先，贾宪的“增乘开方法”开创了开高次方的研究课题，后经秦九韶“正负开方术”加以完善，使高次方程求正跟的问题得以解决。加之从李冶的天元术（一元一次或高次方程）到朱世杰的四元术（四元一次或高次方程组）的建立，终于在十四世纪初建立起一套完整的方程学理论，使之成为宋元数学届最有成就的课题。其次，贾宪三角的给出，开创了高阶等差级数求和问题的研究方向，朱世杰从“三角”的每条斜线上发现了“三角垜”、“撒星形垜”等高阶等差级数求和公式。第三，“增乘开方法”事实上简化了筹算程序，并使程序化更加合理，这对后世筹算、捷算乃至于算具的改进是有启迪意义的。第四，“细草”这一着述形式开创了一种数学研究方法，被后世数学家广为借鉴。乾嘉学派在保存和整理数学着作时，就曾对一批算书或注释或细草图说。