主成分分析方法的主要应用

A. 主成分分析法

在对灾毁土地复垦效益进行分析时，会碰到众多因素，各因素间又相互关联，将这些存在相关关系的因素通过数学方法综合成少数几个最终参评因素，使这几个新的因素既包含原来因素的信息又相互独立。简化问题并抓住其本质是分析过程中的关键，主成分分析法可以解决这个难题。

(一)主成分分析的基本原理

主成分分析法(Principal Components Analysis，PCA)是把原来多个变量化为少数几个综合指标的一种统计分析方法。从数学角度来看，这是一种降维处理方法，即通过对原始指标相关矩阵内部结果关系的研究，将原来指标重新组合成一组新的相互独立的指标，并从中选取几个综合指标来反映原始指标的信息。假定有n个评价单元，每个评价单元用m个因素来描述，这样就构成一个n×m阶数据矩阵：

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如果记m个因素为 x₁，x₂，…，x_m，它们的综合因素为 z₁，z₂，…，z_p(p≤m)，则：

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系数l_ij由下列原则来决定：

(1)z_i与z_j(i≠j，i，j＝1，2，…，p)相互无关；

(2)z₁是x₁，x₂，…，x_m的一切线性组合中方差最大者，依此类推。

依据该原则确定的综合变量指标z₁，z₂，…，z_p分别称为原始指标的第1、第2、…、第p个主成分，分析时可只挑选前几个方差最大的主成分。

(二)主成分分析法的步骤

(1)将原始数据进行标准化处理，以消除原始数据在数量级或量纲上的差异。

(2)计算标准化的相关数据矩阵：

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(3)用雅克比法求相关系数矩阵R的特征值(λ₁，λ₂，…，λ_p)和与之相对应的特征向量 α_i＝(α_i1，α_i2，…，α_ip)，i＝1，2，…，p。

(4)选择重要的主成分，并写出其表达式。

主成分分析可以得到P个主成分，但是由于各个主成分的方差与其包含的信息量皆是递减的，所以在实际分析时，一般不选取P个主成分，而是根据各个主成分所累计的贡献率的大小来选取前K个主成分，这里的贡献率是指某个主成分的方差在全部方差中所占的比重，实际上也是某个特征值在全部特征值合计中所占的比重。即：

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这说明，主成分所包含的原始变量的信息越强，贡献率也就越大。主成分的累计贡献率决定了主成分个数K的选取情况，为了保证综合变量能包括原始变量的绝大多数信息，一般要求累计贡献率达到85%以上。

另外，在实际应用过程中，选择主成分之后，还要注意主成分实际含义的解释。如何给主成分赋予新的含义，给出合理的解释是主成分分析中一个相当关键的问题。一般来说，这个解释需要根据主成分表达式的系数而定，并与定性分析来进行有效结合。主成分是原来变量的线性组合，在这个线性组合中各变量的系数有正有负、有大有小，有的又大小相当，因此不能简单地把这个主成分看作是某个原变量的属性作用。线性组合中各变量系数的绝对值越大表明该主成分主要包含了该变量；如果有几个大小相当的变量系数时，则认为这一主成分是这几个变量的综合，而这几个变量综合在一起具有什么样的实际意义，就需要结合具体的问题和专业，给出合理的解释，进而才能达到准确分析的目的。

(5)计算主成分得分。根据标准化的原始数据，将各个样品分别代入主成分表达式，就可以得到各主成分下的各个样品的新数据，即为主成分得分。具体形式可如下：

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(6)依据主成分得分的数据，则可以进行进一步的统计分析。其中，常见的应用有主成分回归，变量子集合的选择，综合评价等。

(三)主成分分析法的评价

通过主成分分析法来评价复垦产生的效益，可将多个指标转化成尽可能少的综合性指标，使综合指标间互不相干，既减少了原指标信息的重叠度，又不丢失原指标信息的总含量。该方法不仅将多个指标转化成综合性指标，而且也能对每个主成分的影响因素进行分析，从而判别出影响整个评价体系的关键因素，并且主成分分析法在确定权重时可以科学地赋值，以避免主观因素的影响。

需要注意的是，主成分分析法虽然可以对每个主成分的权重进行科学、定量的计算，避免人为因素及主观因素的影响，但是有时候赋权的结果可能与客观实际有一定误差。因此，利用主成分分析法确定权重后，再结合不同专家给的权重，是最好的解决办法。这样可以在定量的基础上作出定性的分析，通过一定的数理方法将两种数据结合起来考虑。

B. 试述主成分分析,因子分析和对应分析三者之间的区别与联系

一、方式不同：

1、主成分分析：

通过正交变换将一组可能存在相关性的变量转换为一组线性不相关的变量，转换后的这组变量叫主成分。

2、因子分析：

通过从变量群中提取共性因子，因子分析可在许多变量中找出隐藏的具有代表性的因子。

3、对应分析：

通过分析由定性变量构成的交互汇总表来揭示变量。

二、作用体现不同：

1、主成分分析：

主成分分析作为基础的数学分析方法，其实际应用十分广泛，比如人口统计学、数量地理学、分子动力学模拟、数学建模、数理分析等学科中均有应用。

2、因子分析：

因子分析在市场调研中有着广泛的应用，主要包括消费者习惯和态度研究、品牌形象和特性研究、服务质量调查、个性测试。

3、对应分析：

能把众多的样品和众多的变量同时作到同一张图解上，将样品的大类及其属性在图上直观而又明了地表示出来，具有直观性。另外，它还省去了因子选择和因子轴旋转等复杂的数学运算及中间过程，可以从因子载荷图上对样品进行直观的分类，是一种直观、简单、方便的多元统计方法。

(2)主成分分析方法的主要应用扩展阅读

主成分分析对于原先提出的所有变量，将重复的变量（关系紧密的变量）删去多余，建立尽可能少的新变量，使得这些新变量是两两不相关的，而且这些新变量在反映课题的信息方面尽可能保持原有的信息。

对应分析是由法国人Benzenci于1970年提出的，起初在法国和日本最为流行，然后引入到美国。对应分析法是在R型和Q型因子分析的基础上发展起来的一种多元统计分析方法，因此对应分析又称为R－Q型因子分析。

在因子分析中，如果研究的对象是样品，则需采用Q型因子分析；如果研究的对象是变量，则需采用R型因子分析。但是，这两种分析方法往往是相互对立的，必须分别对样品和变量进行处理。

C. 主成分分析方法适用哪个方面研究

主成分分析也称主分量分析，旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标（即主成分），其中每个主成分都能够反映原始变量的大部分信息，且所含信息互不重复。这种方法在引进多方面变量的同时将复杂因素归结为几个主成分，使问题简单化，同时得到的结果更加科学有效的数据信息。在实际问题研究中，为了全面、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。这些涉及的因素一般称为指标，在多元统计分析中也称为变量。因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息，并且指标之间彼此有一定的相关性，因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。主要方法有特征值分解，SVD，NMF等。

D. SPSS的主成分分析主要是解决什么问题

spss的主成分分析主要应用在因子分析里，目的是将原来很多的因素，通过他们内在的相关分析，整合成新的一个或多个相对独立的综合因素，来代表原来散乱的因素。例如我们测量客户满意度，设计了10个题目，那数据收集完后，就可以通过因子分析，来看看这10个题目是否能综合成几个因素。通过spss的主成分分析，就可以得出相应结果。结果可能是其中5个题目的相关显着，可以通过一个因素来归纳这5个因素，另外3个、2个也可以分别组成一个，而且主成分对应的特征值大于1，这样就最后就可以通过3个综合因素来研究和分析客户满意度了

E. 主成分分析和聚类分析应用在哪些领域

主成分分析法在过程中产生新变量，而聚类分析法在过程中没有产生新变量。
主成分分析法：一种数学变换的方法, 它把给定的一组相关变量通过线性变换转成另一组不相关的变量，这些新的变量按照方差依次递减的顺序排列。
聚类分析法：理想的多变量统计技术，主要有分层聚类法和迭代聚类法。是研究分类的一种多元统计方法。你现在有了每个样本的主成分分值，用这些分值，对这些样本进行分类。 就是说，每个样本现在有三个值了，就是三个主成分的值，现在要看看那些样本比较相似。

F. 主成分分析法的应用分析

在社会调查中，对于同一个变量，研究者往往用多个不同的问题来测量一个人的意见。这些不同的问题构成了所谓的测度项，它们代表一个变量的不同方面。主成分分析法被用来对这些变量进行降维处理，使它们“浓缩”为一个变量，称为因子。
在用主成分分析法进行因子求解时，我们最多可以得到与测度项个数一样多的因子。如果保留所有的因子，就起不到降维的目的了。但是我们知道因子的大小排列，我们可以对它们进行舍取。哪有那么多小的因子需要舍弃呢？在一般的行为研究中，我们常常用到的判断方法有两个：特征根大于1法与碎石坡法。
因为因子中的信息可以用特征根来表示，所以我们有特征根大于1这个规则。如果一个因子的特征根大于1就保留，否则抛弃。这个规则，虽然简单易用，却只是一个经验法则(rule of thumb)，没有明确的统计检验。不幸的是，统计检验的方法在实际中并不比这个经验法则更有效(Gorsuch, 1983)。所以这个经验法则至今仍是最常用的法则。作为一个经验法则，它不总是正确的。它会高估或者低估实际的因子个数。它的适用范围是20-40个的测度项，每个理论因子对应3-5个测度项，并且样本量是大的 ( 3100)。
碎石坡法是一种看图方法。如果我们以因子的次序为X轴、以特征根大小为Y轴，我们可以把特征根随因子的变化画在一个坐标上，因子特征根呈下降趋势。这个趋势线的头部快速下降，而尾部则变得平坦。从尾部开始逆向对尾部画一条回归线，远高于回归线的点代表主要的因子，回归线两旁的点代表次要因子。但是碎石坡法往往高估因子的个数。这种方法相对于第一种方法更不可靠，所以在实际研究中一般不用。
抛弃小因子、保留大因子之后，降维的目的就达到了。 在对社会调查数据进行分析时，除了把相关的问题综合成因子并保留大的因子，研究者往往还需要对因子与测度项之间的关系进行检验，以确保每一个主要的因子（主成分）对应于一组意义相关的测度项。为了更清楚的展现因子与测度项之间的关系，研究者需要进行因子旋转。常见的旋转方法是VARIMAX旋转。旋转之后，如果一个测度项与对应的因子的相关度很高（>0.5)就被认为是可以接受的。如果一个测度项与一个不对应的因子的相关度过高（>0.4），则是不可接受的，这样的测度项可能需要修改或淘汰。
用主成分分析法得到因子，并用因子旋转分析测度项与因子关系的过程往往被称为探索性因子分析。
在探索性因子分析被接受之后，研究者可以对这些因子之间的关系进行进一步测试，比如用结构方程分析来做假设检验。 1问题的提出主成分分析是一种降维的方法,便于分析问题,在诸多领域中都有广泛的应用。但有些教科书与论文使用主成分分析时,出现了一些错误与不足,不能解决实际问题。如一些多元统计分析的教材中,用协方差矩阵的主成分分析出现了如下错误与不足:①没有明确和判断该数据降维的条件是否成立。②主成分系数的平方和不为1。③没有明确和判断所用数据是否适合作单独的主成分分析。④选取的主成分对原始变量没有代表性。以下从相关性等理论与结果上依次解决上述问题,并给出相应建议。2数据在行为与心理研究中,常常要求分析某种身份的人的行为特征,如本例中的小学生的日常行为特征,从而根据这些特征引导小学生向更积极的行为态度发展。这里用文献[1]的数据见表1,其来自某课题组的调查结果。课题组对北方某小学480名5～6年级学生的日常行为进行调查,共调查了11项指标如下:S1～对老师提问的反应、S2～对班级事务的关心、S3～自习课上的表现、S4～对家庭作业的态度、S5～关心同学的程度、S6～对待劳动的态度、S7～学习上的特殊兴趣、S8～对待体育锻炼的态度、S9～在娱乐上的偏好、S10～解决问题的思考方式、S11～对未来的打算

主成分分析法和层次分析法异同
1.基于相关性分析的指标筛选原理
两个指标之间的相关系数，反映了两个指标之间的相关性[1]。相关系数越大，两个指标反映的信息相关性就越高[1]。而为了使评价指标体系简洁有效，就需要避免指标反映信息重复[1]。通过计算同一准则层中各个评价指标之间的相关系数，删除相关系数较大的指标，避免了评价指标所反映的信息重复[2]。通过相关性分析，简化了指标体系，保证了指标体系的简洁有效[2]。
2.基于主成分分析的指标筛选原理
（1）因子载荷的原理
通过对剩余多个指标进行主成分分析，得到每个指标的因子载荷。因子载荷的绝对值小于等于1，而绝对值越是趋向于1，指标对评价结果越重要[3]。
（2）基于主成分分析的指标筛选原理
因子载荷反映指标对评价结果的影响程度，因子载荷绝对值越大表示指标对评价结果越重要，越应该保留；反之，越应该删除。1通过对相关性分析筛选后的指标进行主成分分析，得到每个指标的因子载荷，从而删除因子载荷小的指标，保证筛选出重要的指标[2]。
3.相关性分析和主成分分析相同点
一是，基于相关性分析的指标筛选和基于主成分分析的指标筛选，均是在准则层内进行指标的筛选处理，准则层之间不进行筛选。这种做法的原因是，通过人为地划分不同准则层，反映评价事物不同层面的状况，避免误删反应信息不同的重要指标[2]。
二是，基于相关性分析的指标筛选和基于主成分分析的指标筛选的思路，均是筛选出少量具有代表性的指标[2]。
4.相关性分析和主成分分析不同点
一是，两次筛选的目的不同：基于相关性分析的指标筛选的目的是删除反应信息冗余的评价指标。基于主成分分析的指标筛选的目的是删除对评价结果影响较小的评价指标[2]。
二是，两次筛选的作用不同：基于相关性分析的指标筛选的作用是保证蹄选出的评价指标体系简洁明快。基于主成分分析的指标简选的目的是筛选出重要的指标[2]。
[1]迟国泰，曹婷婷，张昆.基于相关主成分分析的人的全面发展评价指标体系的构建[J].系统工
程理论与实践，2013，32（1）：112-119.
[2]李鸿禧.基于相关主成分分析的港口物流评价研究[D].辽宁大连：大连理工大学，2013.
[3]孙慧，刘媛媛，张娜娜.基于主成分分析的煤炭产业竞争力实证研究[J].资源与产业，2012，14（1）：145-149.

G. 主成分分析法（PCA）

3.2.2.1 技术原理

主成分分析方法（PCA）是常用的数据降维方法，应用于多变量大样本的统计分析当中，大量的统计数据能够提供丰富的信息，利于进行规律探索，但同时增加了其他非主要因素的干扰和问题分析的复杂性，增加了工作量，影响分析结果的精确程度，因此利用主成分分析的降维方法，对所收集的资料作全面的分析，减少分析指标的同时，尽量减少原指标包含信息的损失，把多个变量（指标）化为少数几个可以反映原来多个变量的大部分信息的综合指标。

主成分分析法的建立，假设x_i1，x_i2，…，x_im是i个样品的m个原有变量，是均值为零、标准差为1的标准化变量，概化为p个综合指标F₁，F₂，…，F_p，则主成分可由原始变量线性表示：

地下水型饮用水水源地保护与管理：以吴忠市金积水源地为例

计算主成分模型中的各个成分载荷。通过对主成分和成分载荷的数据处理产生主成分分析结论。

3.2.2.2 方法流程

1）首先对数据进行标准化，消除不同量纲对数据的影响，标准化可采用极值法

及标准差标准化法

，其中s＝

（图3.3）；

图3.3 方法流程图

2）根据标准化数据求出方差矩阵；

3）求出共变量矩阵的特征根和特征变量，根据特征根，确定主成分；

4）结合专业知识和各主成分所蕴藏的信息给予恰当的解释，并充分运用其来判断样品的特性。

3.2.2.3 适用范围

主成分分析不能作为一个模型来描述，它只是通常的变量变换，主成分分析中主成分的个数和变量个数p相同，是将主成分表示为原始变量的线性组合，它是将一组具有相关关系的变量变换为一组互不相关的变量。适用于对具有相关性的多指标进行降维，寻求主要影响因素的统计问题。

H. 主成分分析的应用学科

主成分分析作为基础的数学分析方法，其实际应用十分广泛，比如人口统计学、数量地理学、分子动力学模拟、数学建模、数理分析等学科中均有应用，是一种常用的多变量分析方法。

I. 主成分分析法适用于哪些问题

主成分分析法适用于变量间有较强相关性的数据，若原始数据相关性弱，则起不到很好的降维作用，降维后，存在少量信息丢失，不可能包含100%原始数据。
主成分分析是一种统计方法，即通过正交变换将一组可能存在相关性的变量转换为一组线性不相关的变量，转换后的这组变量叫主成分。主成分分析首先是由K.皮尔森对非随机变量引入的，而后H.霍特林将此方法推广到随机向量的情形。