数值计算方法强近似值和弱近似值

1. 数值计算方法的主要研究对象有哪些其常用基本算法主要包括哪三个方面

数值计算方法的主要研究对象：研究各种数学问题的数值方法设计、分析、有关的数学理论和具体实现。其常用基本算法在数值分析中用到迭代法的情形会比直接法要多。例如像牛顿法、二分法、雅可比法、广义最小残量方法及共轭梯度法等等。在计算矩阵代数中，大型的问题一般会需要用迭代法来求解。

许多时候需要将连续模型的问题转换为一个离散形式的问题，而离散形式的解可以近似原来的连续模型的解，此转换过程称为离散化。

例如求一个函数的积分是一个连续模型的问题，也就是求一曲线以下的面积若将其离散化变成数值积分，就变成将上述面积用许多较简单的形状（如长方形、梯形）近似，因此只要求出这些形状的面积再相加即可。

(1)数值计算方法强近似值和弱近似值扩展阅读

数值分析也会用近似的方式计算微分方程的解，包括常微分方程及偏微分方程。

常微分方程往往会使用迭代法，已知曲线的一点，设法算出其斜率，找到下一点，再推出下一点的资料。欧拉方法是其中最简单的方式，较常使用的是龙格－库塔法。

偏微分方程的数值分析解法一般都会先将问题离散化，转换成有限元素的次空间。可以透过有限元素法、有限差分法及有限体积法，这些方法可将偏微分方程转换为代数方程，但其理论论证往往和泛函分析的定理有关。另一种偏微分方程的数值分析解法则是利用离散傅立叶变换或快速傅立叶变换。

2. 数值计算方法概述

在采矿工程中，数值模拟方法不仅能模拟岩体复杂的力学和结构特征，还能很方便地解决现场监测过程中需要大量人力、物力而无法完成的、现有力学理论不能求解的复杂形体问题，并对矿山岩体稳定性进行预测与预报。

关于岩土工程的数值分析方法，很多学者都作过系统综述^{[53，68，72]}，笔者只拟简单介绍。岩土工程数值分析方法，主要分为三大类，如图7-1所示。

图7-1 边坡工程数值分析方法

(1)连续介质数值分析方法

连续介质数值分析方法的理论基础是弹(塑)性力学。因此，在该类数值分析方法公式的推导过程中，需要满足基本方程和边界条件。只是在求解手段上，采用了不同于弹性力学的各种近似解法。这类数值分析方法包括有限差分法、有限单元法和边界单元法等，它适用于连续介质体的地下工程围岩与结构的应力分析和位移求解。

(2)非连续介质数值分析方法

非连续介质数值分析方法的理论基础是牛顿运动定律，它并不满足结构的位移连续条件，但是可以求出结构在平衡状态下的位移或者在不可能处于平衡状态时的破坏模式。此外，尽管结构不受位移连续的约束，但应满足给定的单元和交界面的本构定律。这类数值分析方法主要有离散单元法和不连续变形分析(DDA)。这些数值分析方法可用于分析节理岩体可能发生的不连续变形，如洞室围岩附近岩块的分离与滑落等。

(3)混合介质数值分析方法

混合介质数值分析方法是连续和不连续分析方法的耦合。在地下结构的某些区域(如洞室附近)，围岩体由于开挖影响而发生块体的分离而不连续，在另外区域(如远离洞室)，则岩体一般仍相互联系而处于连续状态。因此，考虑两种不同力学介质的耦合分析很必要。目前常见的耦合方法有有限元与离散元的耦合、边界元与离散元的耦合等。混合介质吸取连续介质和非连续介质两种数值分析方法中的优点，在可能发生不连续变形的岩体，采用非连续介质方法模拟，而远离洞室的岩体一般仍处于连续状态，可采用连续介质模型分析。

本章分别采用有限元强度折减法、有限元和离散元相结合的CDEM法、FLAC差分法，开展安家岭露天矿露天井工联合开采的数值模拟分析，研究露天开采和井工开采的相互作用及影响规律。

3. 在数值计算方法中,误差是如何分类的

1.1 概述

1. 定义数值计算目标: 寻找一个能迅速完成的（迭代算法）算法，同时估计计算结果的准确度。

1.2 误差分析基础

1. 误差来源：截断误差、舍入误差、数学建模时的近似、测量误差（数据误差）

2. 误差的分类：

绝对误差e(\hat{x}) = \hat{x} - x ；误差限

相对误差 e_r(\hat{x}) = \frac{\hat{x} - x}{x} 或者 e_r(\hat{x}) = \frac{\hat{x} - x}{\hat{x}} ；相对误差限

3. 定义有效数字：从左到右第一位非零数字开始的所有数字

定理：设x与其近似值\hat{x} 的第一位有效数字相同，均为d_0 ，若\hat{x} 有p位正确的有效数字，则其相对误差满足：

|e_r(\hat{x})| \leq \frac{1}{d_0} \times 10^{-p + 1}

定理：设对x保留p位有效数字后得到近似值 \hat{x} ，则相对误差满足：

|e_r(\hat{x})| = \frac{1}{2d_0} \times 10^{-p+1}

定理：设x的第一位有效数字为 d_0 ，若近似值\hat{x} 的相对误差满足 |e_r(\hat{x})| \leq \frac{1}{2(d_0 + 1)} \times 10^{-p + 1} 则\hat{x} 具有p位正确的有效数字，或者在保留p位有效数字后 \hat{x} = x

定理：若x的近似值在 \hat{x} 相对误差满足 |e_r(\hat{x})| \leq \frac{1}{2} \times 10^{-p} ，则 \hat{x} 至少有p位正确的有效数字，或者在保留p位有效数字后 \hat{x} = x

应用：可以不严谨的说如果相对误差不超过 10^{-p} 怎有p位正确的有效数字

4. 区分：精度（precision）：有效数字的位数有关

准确度（accuracy）：与准确的有效数字的位数有关

5. 数据传递误差与计算误差：考虑 f(x), f(\hat{x}), \hat{f}(\hat{x})

计算误差：计算过程中的近似引起的误差，例 \hat{f}(\hat{x}) - f(\hat{x})

数据传递误差：单纯由输入数据误差引起的计算结果的误差，例 f

4. 传统的数值计算方法包括哪些内容现在的数值计算方法包括哪些内容

随着计算机和计算方法的飞速发展，几乎所有学科都走向定量化和精确化，从而产生了一系列计算性的学科分支，如计算物理、计算化学、计算生物学、计算地质学、计算气象学和计算材料学等，计算数学中的数值计算方法则是解决“计算”问题的桥梁和工具。我们知道，计算能力是计算工具和计算方法的效率的乘积，提高计算方法的效率与提高计算机硬件的效率同样重要。科学计算已用到科学技术和社会生活的各个领域中。
数值计算方法，是一种研究并解决数学问题的数值近似解方法， 是在计算机上使用的解数学问题的方法，简称计算方法。
在科学研究和工程技术中都要用到各种计算方法。 例如，在航天航空、地质勘探、汽车制造、桥梁设计、 天气预报和汉字字样设计中都有计算方法的踪影。
计算方法既有数学类课程中理论上的抽象性和严谨性，又有实用性和实验性的技术特征， 计算方法是一门理论性和实践性都很强的学科。 在70年代，大多数学校仅在数学系的计算数学专业和计算机系开设计算方法这门课程。 随着计算机技术的迅速发展和普及， 现在计算方法课程几乎已成为所有理工科学生的必修课程。
计算方法的计算对象是微积分，线性代数，常微分方程中的数学问题。 内容包括：插值和拟合、数值微分和数值积分、求解线性方程组的直接法和迭代法、 计算矩阵特征值和特征向量和常微分方程数值解等问题。

5. 一般来讲,解决问题有经验方法、理论方法、经验对比法等,请问数值计算的方法

摘要 您好，很高兴为您解答:

6. 数值计算方法

占个位，明天下午再看看。
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
一题：（你的题目中精度没有说清楚，应当是公式复制过，丢失信息了）
你改一下精度和初始值吧(自己设计的迭代法的收敛与初值关系比较大)

f=inline('(x^2+2-exp(x))/3'); %注意这里是x(n+1)=**的迭代公式
acc=1e-8; %精度
x0=1.5;

%(1)迭代法
x1=x0;
for i_iter=1:10000 %迭代最大次数
x2=f(x1);
if (abs(x1-x2)<acc)
break;
end
x1=x2;
end
x2,i_iter

%(2)斯蒂芬森
x1_s=x0;
for i_steff=1:10000 %迭代最大次数
y=f(x1_s);
z=f(y);
x2_s=x1_s-(y-x1_s)^2/(z-2*y+x1_s);
if (abs(x1_s-x2_s)<acc)
break;
end
x1_s=x2_s;
end
x2_s,i_steff

%(3)牛顿法
syms x
fNew=x^2-3*x+2-exp(x);
df=diff(fNew); %导数
f_df=fNew/df;
x1_n=x0;
for i_New=1:10000 %迭代最大次数
x2_n=x1_n-subs(f_df,x1_n);
if (abs(x1_n-x2_n)<acc)
break;
end
x1_n=x2_n;
end
x2_n,i_New

============
二题、

syms x1 x2
f(1)=3*x1^2-x2^2;
f(2)=3*x1*x2^2-x1^3-1;
df=jacobian(f);
f_df=(df\f')';

acc=1e-6;
x0=[1,1];

xold=x0;
for i_New=1:1000 %迭代最大次数
xnew=xold-subs(subs(f_df,x1,xold(1)),x2,xold(2));
if (norm(xnew-xold)<acc)
break;
end
xold=xnew;
end
xnew,i_New

7. 【数学】！！！

首先这是超越函数，所以它的绝大部分数值都是超越数，即不是任何多项式方程的根。
谁说不能算具体的数值问题？
精确值就是y=根号[cos(sinx)]
近似值可以用各种方法逼近，在数值计算方法这门学科中算这个东西的方法很多的
但要注意，现实中用的都是近似值，精确值得不到，也没意义（工程上的应用要求把数字表示成小数，但超越数连实数都不是，怎么可能表示成小数呢？所以只能表示成近似值，但这也已经足够了）
另外计算定义域和值域和你所谓的解数值问题根本就是两回事，一个函数如果连定义域和值域都搞不清楚，那也没什么研究的价值了。这是基本的东西
就好比我们能研究地球是圆还是方，但是我们没必要也没能力去讨论地球上有多少只蚂蚁，这是不同层面上的问题

8. 数值分析怎么计算根号112的近似值

先平方，例如，求√156
12的平方=144<156<169=13的平方
所以： 12< √156 <13

9. 数学常识中数值分析法有哪些特点

在数值分析中用到迭代法的情形会比直接法要多。例如像牛顿法、二分法、雅可比法、广义最小残量方法（GMRES）及共轭梯度法等。在计算矩阵代数中，大型的问题一般会需要用迭代法来求解。许多时候需要将连续模型的问题转换为一个离散形式的问题，而离散形式的解可以近似原来的连续模型的解，此转换过程称为离散化。例如求一个函数的积分是一个连续模型的问题，也就是求一曲线以下的面积若将其离散化变成数值积分，就变成将上述面积用许多较简单的形状（如长方形、梯形）近似，因此只要求出这些形状的面积再相加即可。

利用离散化的方式，可以假设赛车在0:00到0:40之间的速度、0:40到1:20之间的速度及1:20到2:00之间的速度分别为三个定值，因此前40分钟的总位移可近似为(2/3h×140km/h)=93.3公里。可依此方式近似二小时内的总位移为93.3公里 + 100公里 + 120公里 = 313.3公里。位移是速度的积分，而上述的作法是用黎曼和进行数值积分的一个例子。