求函數解析式的四種常用方法視頻

A. 函數解析式的求解析式常用方法

[題型一]配湊法
例1.已知f(■+1)=x+2■，求f(x)。
分析：函數的解析式y=f(x)是自變數x確定y值的關系式，其實質是對應法則f：x→y，因此解決這類問題的關鍵是弄清對「x」而言，「y」是怎樣的規律。
解：∵f(■+1)=x+2■=(■+1)2-1
(■+11)
∴f(x)=x2-1(x1)
小結：此種解法為配湊法，通過觀察、分析，將右端「x+2■」變為接受對象「■+1」的表達式，即變為含(■+1)的表達式，這種解法對變形能力、觀察能力有一定的要求。
[題型二]換元法
例2.已知f(1-cosx)=sin2x，求f(x)。
分析：視1-cosx為一整體，應用數學的整體化思想，換元即得。
解：設t=1-cosx
∵-1cosx1∴01-cosx2即0t2
∴cosx=1-t
∴sin2x=1-cos2x=1-(1-t)2=-t2+2t
∴f(t)=-t2+2t(0t2)
即f(x)=-x2+2x(0x2)
小結：①已知f[g(x)]是關於x的函數，即f[g(x)]=F(x)，求f(x)的解析式，通常令g(x)=t，由此能解出x=(t)，將x=(t)代入f[g(x)]=F(x)中，求得f(t)的解析式，再用x替換t，便得f(x)的解析式。
注意：換元後要確定新元t的取值范圍。
②換元法就是通過引入一個或幾個新的變數來替換原來的某些變數的解題方法，它的基本功能是：化難為易、化繁為簡，以快速實現未知向已知的轉換，從而達到順利解題的目的。常見的換元法是多種多樣的，如局部換元、整體換元、三角換元、分母換元等，它的應用極為廣泛。
[題型三]待定系數法
例3.設二次函數f(x)滿足f(x+2)=f(2-x)，且f(x)=0的兩實根平方和為10，圖象過點(0，3)，求f(x)的解析式。
分析：由於f(x)是二次函數，其解析式的基本結構已定，可用待定系數法處理。
解：設f(x)=ax2+bx+c(a≠0)
由f(x+2)=f(2-x)可知，該函數圖象關於直線x=2對稱
∴-■=2，即b=-4a……①
又圖象過點(0，3)∴c=3……②
由方程f(x)=0的兩實根平方和為10，得(-■)2-■=0
即b2-2ac=10a2……③
由①②③解得a=1，b=-4，c=3
∴f(x)=x2-4x+3
小結：我們只要明確所求函數解析式的類型，便可設出其函數解析式，設法求出其系數即可得到結果。類似的已知f(x)為一次函數時，可設f(x)=ax+b(a≠0)；f(x)為反比例函數時，可設f(x)=■(k≠0)；f(x)為二次函數時，根據條件可設
①一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)
②頂點式：f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)
③雙根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
[題型四]消元法
例4.已知函數y=f(x)滿足af(x)+bf(■)=cx，其中a、b、c都是非零常數，a≠±b，求函數y=f(x)的解析式。
分析：求函數y=f(x)的解析式，由已知條件知必須消去f(■)，不難想到再尋找一個方程，構成方程組，消去f(■)得f(x)。如何構成呢？充分利用x和■的倒數關系，用■去替換已知中的x便可得到另一個方程。
解：在已知等式中，將x換成■，得af(■)+bf(x)=■，把它與原條件式聯立，得af(x)+bf(■)=cx……①af(■)+bf(x)=■……②
①×a-②×b得(a2-b2)f(x)=c(ax-■)
∵a≠±b∴f(x)=■(ax-■)(x≠0)
問1.已知：方程：x2+ax+a+1=0的兩根滿足一個條件：一根大於k，一根小於k(k是實數)，求a的取值范圍。(此題一種方法是圖象法，還有一種方法，能告訴這兩種方法嗎？)
答：方法一：∵f(x)=x2+ax+a+1圖象為開口向上的拋物線，因此只需f(k)<0即可。
∴k2+ak+a+1<0，即a(k+1)<-k2-1
∴當k>-1時，a<■；當k■；當k=-1時，a無解。
方法二：(x1-k)(x2-k)0
只需(x1-k)(x2-k)<0即可，x1x2-k(x1+x2)+k2<0
即a+1+ka+k2<0，以下同方法一。
問2.為什麼求解時只需求(x1-k)(x2-k)<0，而不需再求根的判別式是否大於0？
答：法二不需要驗判別式，原因可以舉個簡單例子說明，如：若研究x2+ax+b=0兩根滿足：一個根大於0，一個根小於0，只需x1x20恆成立。

B. 求函數解析式的四種常用方法

待定系數法：若已知f(x)的解析式的類型，設出它的一般形式，根據特殊值確定相關的系數即轎培可。2.換元法：設t=g(x),解出x,代入f（g(x)）,求f(t)的解析式即可。3.配湊法：對f(g(x))的解析式進行配湊變形，使它能用g(x)表示出來，再用x代替兩邊所有的「g(x)」即可。4.方程組法：當同一個對應關系中的兩個之間有互為相反數或互為倒數關系時，可構造方程組

解析式比較直觀，一般把自變數和因變數寫在等號兩邊的常稱為解析式：比如直線解析式y=kx+b。而關系式，通俗的理解就是在一邊表達自變數及因變數之間關系的表達式，可以在等號的一邊，也可以是兩邊。比如直線的一般方程：ax+by-c=0，就是一個關系式。

解析式是用表示運算類型和運算次序的符號把數和字母連結而成的表達形式，單獨的一個數或字母也叫解析式。就初等數學而言，解析式涉及的運算有兩類，並且運算次數是有限的。