多目標決策問題常用的方法加權

① 請問多目標線性規劃的常用求解演算法有哪些呢

多目標線性規劃的常用求解演算法主要包括以下幾種：

1. 線性加權和法：

   • 簡介：這是將多目標問題轉化為單目標問題的一種常用方法。通過對每個目標賦予不同的權重，將這些目標線性組合成一個總目標函數，然後求解這個單目標線性規劃問題。

2. 分層序列法：

   • 簡介：根據目標的重要性對目標進行排序，然後依次求解。首先求解最重要的目標的最優解，在保證該目標最優的前提下，再求解次重要目標的最優解，依此類推。

3. 目標規劃法：

   • 簡介：為每個目標設定一個期望值，然後在滿足系統約束條件的前提下，尋找與目標期望值最接近的解。這種方法適用於需要同時考慮多個目標且每個目標都有明確期望值的場景。

4. 多屬性效用法：

   • 簡介：通過為每個目標定義一個效用函數來表示該目標的滿足程度，然後將這些效用函數組合成一個綜合效用函數來評價不同方案的優劣。這種方法適用於目標之間難以直接比較或存在復雜相互關系的場景。

5. 直接求非劣解法：

   • 簡介：直接尋找一組非劣解，然後根據特定的評價標准從中選擇一個滿意的解。這種方法適用於需要權衡多個目標且難以確定優先順序的情況。

注意：雖然上述方法在多目標線性規劃中較為常用，但具體選擇哪種方法取決於問題的具體特點和決策者的偏好。在實際應用中，可能還需要結合問題的約束條件、目標之間的相互關系以及決策者的需求進行綜合考慮。

② 多目標決策方法

求解多目標優化問題的途徑有兩個：第一，用某種適當的方法將向量最優化的問題轉換為一個標量最優化問題，則所有單目標規劃的最優化均能用於求解這一類多目標問題；第二，多目標中的目標幾乎總是不可公度，而且相互矛盾的，因此至少有些解是不可比較的，這稱為不完全序問題。引用價值判斷（擇優）於解題過程，可把這種不完全序轉變為完全序。

相應上述兩種途徑，產生兩大類多目標規劃方陵源法：一是生成法，如權重法、約束法；二是擇優取向法，如字典編輯法、無差別分析法、目標規劃法、代用價值權衡法、步進法等^{［107～117］}。目前常用的幾種方法的基本原理如下。

1.生成法

生成法是用適當的方法將向量最優化問題轉換成等價的標量最優化問題，從而可應用一般的最優化技術，直接求得原問題的最佳權衡解。或者，先生成非劣解集，為決策者提供更多的有關目標權衡比較的信息，以便選擇最佳權衡解。該類方法的特點是不需要事先表達對目標的傾向性或任何價值判斷，所以在較復雜的決策情況下亦可應用。該方法對決策過程的普遍適用性是其突出的優點，而主要缺點是計算工作量相當大。

（1）權重法。該方法是給多目標規劃中每一個目標按其在整體規劃中的重要性，賦予一個相對權重，以將目標向量式（3-7）轉換為一個標量，即各個目標函數的加權和，此時多目標模型成為：

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式中：W_k為第k個目標的權重，其餘符號同前。

式（3-11）至（3-14）所定義的標量最優化問題，可應用常規最優化技術求解，加權問題的最優解就是原多目標規劃尺隱態問題的一個非劣解。如某一組權重（W₁，W₂，…，W_p）反映了決策者對各目標的態度和傾向，則這組權重相應的非劣解也就是原問題的最佳權衡解。

（2）約束法。該法的基本原理是每次最優化一個規劃目標，該目標稱為基本目標，將其他規劃目標限定於某特定范圍，作為約束條件。實際工作中，規劃者可先判斷各目標間的重要性，而將比較重要的目標作為基本目標。

約束法求解p維多目標規劃問題的一般數學模型為：

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式中：Z_j（x）為所選定的基本目標；Z_k（x）為其餘各目標，（k=1，2，…，（j-1），（j+1），…，p）；L_k為預先設定的第k個目標的下限。

式（3-15）至（3-17）構成單目標規劃問題，變化參數L_k，重復求解上述問題即可生成非劣解集，直至L_k增大至不能滿足原問題的約束條件為止。

2.代用價值權衡法

該方法是以決策者對基本目標k與每個其他目標之間的權衡評估為基礎，此時假定其餘的目標是固定的。實際該方法是約束法的一種擴展。具體作法是將原來p個目標的向量最優化問題變為一系列兩個目標問題，即對（p-z）個目標先設定值，其中一個目標取最大化，另一個目標限於不同范圍，其一般形式為：

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式中：Z_j（x）為選定作為求取最大化的第j個目標的值；Z_k（x）為第k個限定在一定范圍內變化的目標的值；Z_r（x）（r≠k，攜團j）為第r個目標的值，它取定值L_r。

由L_k的變化來進行Z_j與Z_k之間的權衡，以t_k，j來表示，則有

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權衡值（t_k，j）表明Z_k每增加（或減少）一個單位值，Z_j值的變化量。此時決策者要進行權衡，可選取-10≤t_k，j≤+10的范圍內的t_k，j值（稱為代用值）來表示。所選定的代用值稱為代用價值函數，因它是Z_k的一個函數，用W_k，j（Z_k）表示目標Z_k（x）變化（或損耗）一個單位所導致的目標Z_j（x）值變化的相對價值。它是相應於W_k，j（Z_k）時式（3-18）至（3-21）所構成的多目標規劃問題的最佳權衡解。同理，不斷改變k，可求得相應的權衡和代用價值函數，即能求出（p-1）個代用價值函數，相應可找出（p-1）個權衡解。此時成為求解下列單目標的約束最優化問題：

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它的最優解就是原多目標規劃問題的最佳權衡解。代用價值權衡法適用於求解目標值較多的多目標規劃，採用對各目標兩兩比較的方法，改進約束法，可減少高維目標空間隨意組合引起的混亂。但很明顯，由於價值函數是在兩個目標之間的變化得到，其餘目標取固定約束值，說明價值函數隨目標水平的變化受到一定范圍限制，同時，L_r的選值亦是一個難題，因而該法仍需改進。

③ 多目標決策方法的主要的方法

（1）化多為少法：將多目標問題化成只有一個或二個目標的問題，然後用簡單的決策方法求解，最常用的是線性加權和法。
（2）分層序列法：將所有目標按其重要性程度依次排序，先求出第一個最重要的目標的最優解，然後在保證前一目標最優解的前提下依次求下一目標的最優解，一直求到最後一個目標為止。
（3）直接求非劣解法：先求出一組非劣解，然後按事先確定好的評價標准從中找出一個滿意的解。
（4）目標規劃法：對於每一個目標都事先給定一個期望值，然後在滿足系統一定約束條件下，找出與目標期望值最近的解。
（5）多屬性效用法：各個目標均用表示效用程度大小的效用函數表示，通過效用函數構成多目標的綜合效用函數，以此來評價各個可行方案的優劣。
（6）層次分析法：把目標體系結構予以展開，求得目標與決策方案的計量關系。
（7）重排序法：把原來的不好比較的非劣解通過其他辦法使其排出優劣次序來。
（8）多目標群決策和多目標模糊決策等。 多目標決策一般包括多目標決策和多屬性決策，是一門應用非常廣泛的學科。目前，無論在理論上、方法上和應用方面都取得了迅速的發展。書中以方法和實例相結合，既介紹目前常用的多目標決策方法，又包含模糊多目標優化、多屬性群體決策求解方法。
本書總結了編者多年來教學與科學的成果，既可作為高等學校有關專業高年級學生和研究生教材，也可為運籌學、管理學、計算機科學、系統科學、信息科學與工程等各行各業，進行生產經營、生產計劃、生產作業管理的高級管理人員和系統分析人員，應用計算機輔助決策提供參考。 前言
第1章線性規劃
1.1基本概念
1.1.1線性規劃問題舉題
1.1.2二維線性規劃的幾何圖解
1.1.3線性規劃的標准形式
1.2單純形法求解
1.3單純形表
1.4人工變數與兩階段法
第2章非線性規劃
2.1非線性規劃問題舉例
2.2基礎知識
2.2.1梯度
2.2.2凸集
2.2.3凸函數
2.3無約束問題的最優解
2.4有等式約束問題的最優解
2.5有不等式約束問題的最優解
2.6無約束問題的近似解法
2.6.1梯度法
2.6.2牛頓法
2.7有約束問題的近似解法
2.7.1罰函數法（外點法）
2.7.2障礙函數法（內點法）
第3章整數規劃
3.1整數規劃問題舉例
3.2分支定界方法
3.3分支定界法求解步驟
第4章決策的基本理論
4.1決策分析基礎
4.1.1隨機情況下決策問題的基本特點
4.1.2不確定情況的決策規劃
4.1.3風險決策的決策——期望貨幣價值規則（EMV）
4.2主觀概率
4.2.1主觀概率的基本概念
4.2.2主觀設定先驗分布的方法
4.2.3利用過去數據設定先驗分布
4.3價值和價值函數
4.3.1結局集上的選好結構
4.3.2確定型問題的價值函數
4.4效用函數
4.4.1貨幣結局的效用
4.4.2價值和效用函數的估值
4.4.3效用函數的型式
4.4.4多屬性價值函數
4.4.5多屬性效用函數
第5章多目標最優化基本概念
5.1多目標最優化問題舉例
5.2多目標優化問題的非劣解
5.2.1劣解與非劣解
5.2.2在決策空間的非劣解
5.3錐的概念
5.4非劣解的幾何意義
5.5弱非劣解的幾何意義
5.6多目標優化問題的求解方法
第6章求解非劣的方法
6.1用加權法求非劣解集
6.1.1P（ω）問題的數值解法
6.1.2非劣解集估計法（NISE法）
6.2用Ρ（ε）約束法求非劣解集
6.2.1Ρ（ε）問題的數值解法
6.2.2Ρ（ε）問題的分析法求解
第7章有總體選好信息的求解方法
7.1選好函數與選好最優解
7.2字典序法
7.3理想點法
7.4目的規劃法
……
第8章基於局部選好信息的互動式方法
第9章多屬性問題求解方法
第10章模糊多目標化問題
第11章多屬性群體決策方法
參考文獻