分解分式的方法與技巧

『壹』 分式因式分解的方法

把一個多項式化為幾個最簡整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個因式分解（也叫作分解因式）。它是中學數學中最重要的恆等變形之一，它被廣泛地應用於初等數學之中，是我們解決許多數學問題的有力工具。

因式分解方法靈活，技巧性強，學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內容所必需的，而且對於培養學生的解題技能，發展學生的思維能力，都有著十分獨特的作用。

定義：把一個多項式化為幾個最簡整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解（也叫作分解因式）。

意義：它是中學數學中最重要的恆等變形之一，它被廣泛地應用於初等數學之中，是我們解決許多數學問題的有力工具。因式分解方法靈活，技巧性強，學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內容所必需的。

而且對於培養學生的解題技能，發展學生的思維能力，都有著十分獨特的作用。學習它，既可以復習整式的四則運算，又為學習分式打好基礎；學好它，既可以培養學生的觀察、思維發展性、運算能力，又可以提高學生綜合分析和解決問題的能力。

分解因式與整式乘法互逆。

同時也是解一元二次方程中因式分解法的重要步驟。

『貳』 怎麼分解分式

因式分解沒有普遍的方法，初中數學教材中主要介紹了提公因式法、公式法。而在競賽上，又有拆項和添減項法，分組分解法和十字相乘法，待定系數法，雙十字相乘法，對稱多項式，輪換對稱多項式法，余式定理法，求根公式法，換元法，長除法，短除法，除法等。實際上經典例 2.證明：對於任何數x,y，下式的值都不會為33 x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5 解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5) =x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y) =(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4) =(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y) 就是把簡單的問題復雜化） 注意三原則 1 分解要徹底 2 最後結果只有小括弧 3 最後結果中多項式首項系數為正（例如：-3x^2+x=x(-3x+1）） 歸納方法：北師大版八下課本上有的 1、提公因式法。 2、公式法。 3、分組分解法。 4、湊數法。[x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)] 5、組合分解法。 6、十字相乘法。 7、雙十字相乘法。 8、配方法。 9、拆項法。 10、換元法。 11、長除法。 12、加減項法。 13、求根法。 14、圖象法。 15、主元法。 16、待定系數法。 17、特殊值法。 18、因式定理法。 編輯本段基本方法提公因式法各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式。 如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。 具體方法：當各項系數都是整數時，公因式的系數應取各項系數的最大公約數；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數取次數最低的；取相同的多項式，多項式的次數取最低的。當各項的系數有分數時，公因式系數的分母為各分數分母的最小公倍數，分子為各分數分子的最大公約數（最大公因數） 如果多項式的第一項是負的，一般要提出「-」號，使括弧內的第一項的系數成為正數。提出「-」號時，多項式的各項都要變號。 口訣：找准公因式，一次要提凈；全家都搬走，留1把家守；提負要變號，變形看奇偶。 例如：-am+bm+cm=-(a-b-c)m； a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)。 注意：把2a+1/2變成2(a+1/4)不叫提公因式 公式法如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法。 平方差公式: (a+b)(a-b)=a^2-b^2 反過來為a^2-b^2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 反過來為a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 注意：能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形式，另一項是這兩個數(或式)的積的2倍。 兩根式：ax^2+bx+c=a(x-(-b+√(b^2-4ac))/2a)(x-(-b-√(b^2-4ac))/2a) 立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)； 立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)； 完全立方公式：a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3． 公式：a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) 例如：a^2+4ab+4b^2 =(a+2b)^2。 分解因式技巧1。 2.分解因式技巧掌握： ①等式左邊必須是多項式； ②分解因式的結果必須是以乘積的形式表示； ③每個因式必須是整式，且每個因式的次數都必須低於原來多項式的次數；④分解因式必須分解到每個多項式因式都不能再分解為止。 註：分解因式前先要找到公因式，在確定公因式前，應從系數和因式兩個方面考慮。 3.提公因式法基本步驟： （1）找出公因式； （2）提公因式並確定另一個因式： ①第一步找公因式可按照確定公因式的方法先確定系數再確定字母； ②第二步提公因式並確定另一個因式，注意要確定另一個因式，可用原多項式除以公因式，所得的商即是提公因式後剩下的一個因式，也可用公因式分別除去原多項式的每一項，求的剩下的另一個因式； ③提完公因式後，另一因式的項數與原多項式的項數相同。 編輯本段競賽用到的方法分組分解法分組分解是解方程的一種簡潔的方法，我們來學習這個知識。 能分組分解的方程有四項或大於四項，一般的分組分解有兩種形式：二二分法，三一分法。 比如： ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(a+b)(x+y) 我們把ax和ay分一組，bx和by分一組，利用乘法分配律，兩兩相配，立即解除了困難。 同樣，這道題也可以這樣做。 ax+ay+bx+by =x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y) 幾道例題： 1. 5ax+5bx+3ay+3by 解法：=5x(a+b)+3y(a+b) =(5x+3y)(a+b) 說明：系數不一樣一樣可以做分組分解，和上面一樣，把5ax和5bx看成整體，把3ay和3by看成一個整體，利用乘法分配律輕松解出。 2. x^3-x^2+x-1 解法：=(x^3-x^2)+(x-1) =x^2(x-1)+ (x-1) =(x-1)(x^2+1) 利用二二分法，提公因式法提出 x2，然後相合輕松解決。 3. x^2-x-y^2-y 解法：=(x^2-y^2)-(x+y) =(x+y)(x-y)-(x+y) =(x+y)(x-y-1) 利用二二分法，再利用公式法a^2-b^2=(a+b)(a-b)，然後相合解決。 十字相乘法這種方法有兩種情況。 ①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解 </b>這類二次三項式的特點是：二次項的系數是1；常數項是兩個數的積；一次項系數是常數項的兩個因數的和。因此，可以直接將某些二次項的系數是1的二次三項式因式分解：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ． 例：x2-2x-8 =(x-4)(x+2) ②kx^2+mx+n型的式子的因式分解 </b>如果有k=ab，n=cd，且有ad+bc=m時，那麼kx^2+mx+n=(ax+c)(dx+b)． 圖示如下： a╲╱c b╱╲d 例如：因為 1 ╲╱2 -3╱╲ 7 -3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19， 所以7x2-19x-6=(7x+2)(x-3)． 十字相乘法口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中 拆項、添項法這種方法指把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項（或幾項），使原式適合於提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解。要注意，必須在與原多項式相等的原則下進行變形。 例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)． 配方法對於某些不能利用公式法的多項式，可以將其配成一個完全平方式，然後再利用平方差公式，就能將其因式分解，這種方法叫配方法。屬於拆項、補項法的一種特殊情況。也要注意必須在與原多項式相等的原則下進行變形。 例如：x^2+3x-40 =x^2+3x+2.25-42.25 =(x+1.5)^2-(6.5)^2 =(x+8)(x-5)． 應用因式定理對於多項式f(x)=0，如果f(a)=0，那麼f(x)必含有因式x-a． 例如：f(x)=x^2+5x+6，f(-2)=0，則可確定x+2是x^2+5x+6的一個因式。(事實上，x^2+5x+6=(x+2)(x+3)．) 注意：1、對於系數全部是整數的多項式，若X=q/p（p,q為互質整數時）該多項式值為零，則q為常數項約數，p最高次項系數約數； 2、對於多項式f(a)=0,b為最高次項系數，c為常數項，則有a為c/b約數 換元法有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數，然後進行因式分解，最後再轉換回來，這種方法叫做換元法。 相關公式注意:換元後勿忘還元. 例如在分解(x2+x+1)(x2+x+2)-12時，可以令y=x^2+x,則 原式=(y+1)(y+2)-12 =y^2+3y+2-12=y^2+3y-10 =(y+5)(y-2) =(x^2+x+5)(x2+x-2) =(x^2+x+5)(x+2)(x-1)． 也可以參看右圖。 求根法</B>令多項式f(x)=0,求出其根為x1，x2，x3，……xn，則該多項式可分解為f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) ． 例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6時，令2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0， 則通過綜合除法可知，該方程的根為0.5 ，-3，-2，1． 所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)． 圖象法</B>令y=f(x)，做出函數y=f(x)的圖象，找到函數圖像與X軸的交點x1 ,x2 ,x3 ,……xn ，則多項式可因式分解為f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)． 與方法⑼相比，能避開解方程的繁瑣，但是不夠准確。 例如在分解x^3 +2x^2-5x-6時，可以令y=x^3; +2x^2 -5x-6. 作出其圖像，與x軸交點為-3，-1，2 則x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)． 主元法</B>先選定一個字母為主元，然後把各項按這個字母次數從高到低排列，再進行因式分解。 特殊值法</B>將2或10代入x，求出數p，將數p分解質因數，將質因數適當的組合，並將組合後的每一個因數寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。 例如在分解x^3+9x^2+23x+15時，令x=2，則 x^3 +9x^2+23x+15=8+36+46+15=105， 將105分解成3個質因數的積，即105=3×5×7 ． 注意到多項式中最高項的系數為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時的值， 則x^3+9x^2+23x+15可能等於(x+1)(x+3)(x+5)，驗證後的確如此。 待定系數法</B>首先判斷出分解因式的形式，然後設出相應整式的字母系數，求出字母系數，從而把多項式因式分解。 例如在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4時，由分析可知：這個多項式沒有一次因式，因而只能分解為兩個二次因式。 於是設x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d) 相關公式=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd 由此可得a+c=-1， ac+b+d=-5， ad+bc=-6， bd=-4． 解得a=1，b=1，c=-2，d=-4． 則x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4)． 也可以參看右圖。 雙十字相乘法</B>雙十字相乘法屬於因式分解的一類，類似於十字相乘法。 雙十字相乘法就是二元二次六項式，啟始的式子如下: ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f x、y為未知數，其餘都是常數 用一道例題來說明如何使用。 例：分解因式：x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12． 分析：這是一個二次六項式，可考慮使用雙十字相乘法進行因式分解。 解：圖如下，把所有的數字交叉相連即可 x 2y 2 ① ② ③ x 3y 6 ∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)． 雙十字相乘法其步驟為： ①先用十字相乘法分解2次項，如十字相乘圖①中x^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y)； ②先依一個字母（如y）的一次系數分數常數項。如十字相乘圖②中6y²+18y+12=(2y+2)(3y+6)； ③再按另一個字母（如x）的一次系數進行檢驗，如十字相乘圖③，這一步不能省，否則容易出錯。 利用根與系數的關系對二次多項式進行因式分解 例：對於二次多項式 aX^2+bX+c(a≠0) aX^2+bX+c=a[X^2+(b/a)X+(c/a)X]. 當△=b^2-4ac≥0時， =a(X^2-X1-X2+X1X2) =a(X-X1)(X-X2). 編輯本段多項式因式分解的一般步驟①如果多項式的各項有公因式，那麼先提公因式； ②如果各項沒有公因式，那麼可嘗試運用公式、十字相乘法來分解； ③如果用上述方法不能分解，那麼可以嘗試用分組、拆項、補項法來分解； ④分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。 也可以用一句話來概括：「先看有無公因式，再看能否套公式。十字相乘試一試，分組分解要合適。」 幾道例題 1．分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2． 解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（補項） =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（完全平方） =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2 =[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x] =(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1) =[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)] =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)． 2．求證：對於任何實數x,y，下式的值都不會為33： x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5． 解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5) =x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y) =(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4) =(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)． 當y=0時，原式=x^5不等於33；當y不等於0時，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四個以上不同因數的積，所以原命題成立。 3.．△ABC的三邊a、b、c有如下關系式：-c^2+a^2+2ab-2bc=0，求證：這個三角形是等腰三角形。 分析：此題實質上是對關系式的等號左邊的多項式進行因式分解。 證明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0， ∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0． ∴(a-c)(a+2b+c)=0． ∵a、b、c是△ABC的三條邊， ∴a+2b+c>0． ∴a－c=0， 即a=c，△ABC為等腰三角形。 4．把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。 解：-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1) =-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1)． 編輯本段四個注意因式分解中的四個注意，可用四句話概括如下：首項有負常提負，各項有「公」先提「公」，某項提出莫漏1，括弧裡面分到「底」。 現舉下例 可供參考 例1 把－a2－b2+2ab+4分解因式。 解：－a2－b2+2ab+4=－（a2－2ab+b2－4）=－（a－b+2）（a－b－2） 這里的「負」，指「負號」。如果多項式的第一項是負的，一般要提出負號，使括弧內第一項系數是正的。防止學生出現諸如－9x2+4y2=（－3x）2－（2y）2=（－3x+2y）（－3x－2y）=（3x－2y）（3x+2y）的錯誤 例2把－12x2nyn+18xn+2yn+1－6xnyn－1分解因式。解：－12x2nyn+18xn+2yn+1－6xnyn－1=－6xnyn－1（2xny－3x2y2+1） 這里的「公」指「公因式」。如果多項式的各項含有公因式，那麼先提取這個公因式，再進一步分解因式；這里的「1」，是指多項式的某個整項是公因式時，先提出這個公因式後，括弧內切勿漏掉1。 分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。即分解到底，不能半途而廢的意思。其中包含提公因式要一次性提「干凈」，不留「尾巴」，並使每一個括弧內的多項式都不能再分解。防止學生出現諸如4x4y2－5x2y2－9y2=y2（4x4－5x2－9）=y2（x2+1）（4x2－9）的錯誤。 考試時應注意： 在沒有說明化到實數時，一般只化到有理數就夠了,有說明實數的話,一般就要化到整數！ 由此看來，因式分解中的四個注意貫穿於因式分解的四種基本方法之中，與因式分解的四個步驟或說一般思考順序的四句話：「先看有無公因式，再看能否套公式，十字相乘試一試，分組分解要合適」等是一脈相承的。

『叄』 因式分解的方法與技巧

因式分解的十二種方法
把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解。因式分解的方法多種多樣，現總結如下:
1、
提公因法
如果一個多項式的各項都含有公因式，那麼就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式。
例1、
分解因式x
-2x
-x(2003淮安市中考題)
x
-2x
-x=x(x
-2x-1)
2、
應用公式法
由於分解因式與整式乘法有著互逆的關系，如果把乘法公式反過來，那麼就可以用來把某些多項式分解因式。
例2、分解因式a
+4ab+4b
(2003南通市中考題)
解:a
+4ab+4b
=(a+2b)
3、
分組分解法
要把多項式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前兩項分成一組，並提出公因式a，把它後兩項分成一組，並提出公因式b，從而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，從而得到(a+b)(m+n)
例3、分解因式m
+5n-mn-5m
解:m
+5n-mn-5m=
m
-5m
-mn+5n
=
(m
-5m
)+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、
十字相乘法
對於mx
+px+q形式的多項式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，則多項式可因式分解為(ax+d)(bx+c)
例4、分解因式7x
-19x-6
分析:
1
-3
7
2
2-21=-19
解:7x
-19x-6=(7x+2)(x-3)
5、配方法
對於那些不能利用公式法的多項式，有的可以利用將其配成一個完全平方式，然後再利用平方差公式，就能將其因式分解。
例5、分解因式x
+3x-40
解x
+3x-40=x
+3x+(
)
-(
)
-40
=(x+
)
-(
)
=(x+
+
)(x+
-
)
=(x+8)(x-5)
6、拆、添項法
可以把多項式拆成若幹部分，再用進行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
解:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
7、
換元法
有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數，然後進行因式分解，最後再轉換回來。
例7、分解因式2x
-x
-6x
-x+2
解:2x
-x
-6x
-x+2=2(x
+1)-x(x
+1)-6x
=x
[2(x
+
)-(x+
)-6
令y=x+
,
x
[2(x
+
)-(x+
)-6
=
x
[2(y
-2)-y-6]
=
x
(2y
-y-10)
=x
(y+2)(2y-5)
=x
(x+
+2)(2x+
-5)
=
(x
+2x+1)
(2x
-5x+2)
=(x+1)
(2x-1)(x-2)
8、
求根法
令多項式f(x)=0,求出其根為x
,x
,x
,……x
,則多項式可因式分解為f(x)=(x-x
)(x-x
)(x-x
)……(x-x
)
例8、分解因式2x
+7x
-2x
-13x+6
解:令f(x)=2x
+7x
-2x
-13x+6=0
通過綜合除法可知，f(x)=0根為
，-3，-2，1
則2x
+7x
-2x
-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
9、
圖象法
令y=f(x)，做出函數y=f(x)的圖象，找到函數圖象與X軸的交點x
,x
,x
,……x
，則多項式可因式分解為f(x)=
f(x)=(x-x
)(x-x
)(x-x
)……(x-x
)
例9、因式分解x
+2x
-5x-6
解:令y=
x
+2x
-5x-6
作出其圖象，見右圖，與x軸交點為-3，-1，2
則x
+2x
-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
10、
主元法
先選定一個字母為主元，然後把各項按這個字母次數從高到低排列，再進行因式分解。
例10、分解因式a
(b-c)+b
(c-a)+c
(a-b)
分析:此題可選定a為主元，將其按次數從高到低排列
解:a
(b-c)+b
(c-a)+c
(a-b)=a
(b-c)-a(b
-c
)+(b
c-c
b)
=(b-c)
[a
-a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
11、
利用特殊值法
將2或10代入x，求出數P，將數P分解質因數，將質因數適當的組合，並將組合後的每一個因數寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。
例11、分解因式x
+9x
+23x+15
解:令x=2，則x
+9x
+23x+15=8+36+46+15=105
將105分解成3個質因數的積，即105=3×5×7
注意到多項式中最高項的系數為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時的值
則x
+9x
+23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)
12、待定系數法
首先判斷出分解因式的形式，然後設出相應整式的字母系數，求出字母系數，從而把多項式因式分解。
例12、分解因式x
-x
-5x
-6x-4
分析:易知這個多項式沒有一次因式，因而只能分解為兩個二次因式。
解:設x
-x
-5x
-6x-4=(x
+ax+b)(x
+cx+d)
=
x
+(a+c)x
+(ac+b+d)x
+(ad+bc)x+bd
所以
解得
則x
-x
-5x
-6x-4
=(x
+x+1)(x
-2x-4)

『肆』 怎樣分解部分分式如：

分解部分分式通常使用待定系數法，或直接用整式長除法來進行。
因為x^2+x+1無法繼續分解，因此我們可以反復使用x^2+x+1作為除式對被除式反復進行除法運算，直至商式的次數小於2：

x^5+2x^4-7x^3+5x^2-3x+1=(x^2+x+1)(x^3+x^2-9x+13) - (7x+12)
x^3+x^2-9x+13=(x^2+x+1)x -(10x-13)

則原式=[(x^2+x+1)(x^3+x^2-9x+13) - (7x+12)]/(x^2+x+1)^3
=(x^3+x^2-9x+13)/(x^2+x+1)^2 - (7x+12)/(x^2+x+1)^3
=[(x^2+x+1)x -(10x-13)]/(x^2+x+1)^2 - (7x+12)/(x^2+x+1)^3
=x/(x^2+x+1) - (10x-13)/(x^2+x+1)^2 - (7x+12)/(x^2+x+1)^3
這就是所要求的分解部分分式

『伍』 分解因式的方法與技巧是什麼

1、提公因式法

幾個多項式的各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式。 如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。

2、公式法

如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法。

注意事項

1、等式左邊必須是多項式;

2、分解因式的結果必須是以乘積的形式表示;

3、每個因式必須是整式，且每個因式的次數都必須低於原來多項式的次數;

4、分解因式必須分解到每個多項式因式都不能再分解為止。

『陸』 求總結性的方法分母拆分有什麼技巧

一個假分數可以化為帶分數的形式，與其相類似，如果一個分式的分子的次數高於或等於分母的次數，那麼就可以將分式化成整式部分與分式部分的和。這種方法稱為拆分法。運用拆分法可以解決許多分式運算中較為復雜的問題。
首先，看分母上最高次項的系數，與分母最高次項系數的比值，提出最大公約數乘以分母，減去多餘出來的項，加上減出去的項
3x^4
=3x^2(x^2+x-6)-3x^3+18x^2

3x^4+x^2+1
=3x^2(x^2+x-6)-3x^3+18x^2+x^2+1
=3x^2(x^2+x-6)-3x^3+19x^2+1
然後，通向的方法拆分剩下的最高次項
-3x^3
=-3x(x^2+x-6)+3x^2-18x

3x^2(x^2+x-6)-3x^3+19x^2+1
=3x^2(x^2+x-6)-3x(x^2+x-6)+3x^2-18x+19x^2+1
=3x^2(x^2+x-6)-3x(x^2+x-6)+22x^2-18x+1

最後，剩下的和分母的最高次項相同，還能拆解最後一次，同樣的方法
22x^2
=22(x^2+x-6)-22x+132

3x^2(x^2+x-6)-3x(x^2+x-6)+22x^2-18x+1
=3x^2(x^2+x-6)-3x(x^2+x-6)+22(x^2+x-6)-22x+132-18x+1
=3x^2(x^2+x-6)-3x(x^2+x-6)+22(x^2+x-6)-40x+133

約分以後剩下：3x^2-3x+22-(40x-133)/(x^2+x-6)
分母可以分解因式，分解後得(x+3)(x-2)
剩下的分數分母上剩下的明顯可以分成(x-2)的倍數加一個常數的式子
3x^2-3x+22-(40x-133)/(x^2+x-6)
=3x^2-3x+22-[40(x-2)-53)/(x+3)(x-2) 約分，得
=3x^2-3x+22-40/(x+3)+53/(x+3)(x-2)

『柒』 方程的分式分解有什麼技巧嗎

1．一般法
所謂一般法，就是先去分母，將分式方程轉化為一個整式方程。然後解這個整式方程。
解
原方程就是
方程兩邊同乘以（x＋3）（x－3），約去分母，得4（x－3）＋x（x＋3）=x2－9－2x。
2．換元法
換元法就是恰當地利用換元，將復雜的分式簡單化。
分析
本方程若去分母，則原方程會變成高次方程，很難求出方程的
解
設x2＋x=y，原方程可變形為
解這個方程，得y1=－2，y2=1。
當y=－2時，x2＋x=－2。
∵δ＜0，∴該方程無實根；
當y=1時，x2＋x=1，
∴
經檢驗，
是原方程的根，所以原方程的根是
。
3．分組結合法
就是把分式方程中各項適當結合，再利用因式分解法或換元法來簡化解答過程。
4．拆項法
拆項法就是根據分式方程的特點，將組成分式方程的各項或部分項拆項，然後將同分母的項合並使原方程簡化。特別值得指出的是，用此法解分式方程很少有增根現象。
例4
解方程
解
將方程兩邊拆項，得
即x=－3是原方程的根。
5．因式分解法
因式分解法就是將分式方程中的各分式或部分分式的分子、分母分解因式，從而簡化解題過程。
解
將各分式的分子、分母分解因式，得
∵x－1≠0，∴兩邊同乘以x－1，得
檢驗知，它們都是原方程的根。所以，原方程的根為x1=－1，x2=0。
6．配方法
配方法就是先把分式方程中的常數項移到方程的左邊，再把左邊配成一個完全平方式，進而可以用直接開平方法求解。
∴x2±6x＋5=0，
解這個方程，得x=±5，或x=±1。
檢驗知，它們都是原方程的根。所以，原方程的根是x1=5，x2=－5，x3=1，x4=－1。
7．應用比例定理
上述例5，除了用因式分解法外，還可以應用合比和等比定理來解。下面以合比定理為例來說明。
∴x（x2－3x＋2）－x（2x2－3x＋1）=0，
即
x（x2－1）=0，
∴x=0或x=±1。
檢驗知，x=1是原方程的增根。所以，原方程的根是x1=0，x2=－1。

『捌』 分式因式分解方法

分解因式的分解方法有提取公因式法，十字相乘法，配方法，公式法等，不過有的題需要幾種方法並用，這樣解題更便捷。

『玖』 怎麼快速學會分解因式和分式

最有效的方法就是多做題！數學沒有捷徑。

提公因式法
各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式.
如果一個多項式的各項有公因式,可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積的形式,這種分解因式的方法叫做提公因式法.
具體方法：當各項系數都是整數時,公因式的系數應取各項系數的最大公約數；字母取各項的相同的字母,而且各字母的指數取次數最低的；取相同的多項式,多項式的次數取最低的.
如果多項式的第一項是負的,一般要提出「-」號,使括弧內的第一項的系數成為正數.提出「-」號時,多項式的各項都要變號.
口訣：找准公因式,一次要提凈；全家都搬走,留1把家守；提負要變號,變形看奇偶.
例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；
a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b).
注意：把2a^2+1/2變成2(a^2+1/4)不叫提公因式

⑵公式法
如果把乘法公式反過來,就可以把某些多項式分解因式,這種方法叫公式法.
平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)；
完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2；
注意：能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式,其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形式,另一項是這兩個數(或式)的積的2倍.
立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)；
立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)；
完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3=(a±b)^3．
公式：a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
例如：a^2 +4ab+4b^2 =(a+2b)^2.
（3）分解因式技巧
1.分解因式與整式乘法是互為逆變形.
2.分解因式技巧掌握：
①等式左邊必須是多項式；
②分解因式的結果必須是以乘積的形式表示；
③每個因式必須是整式,且每個因式的次數都必須低於原來多項式的次數；
④分解因式必須分解到每個多項式因式都不能再分解為止.
註：分解因式前先要找到公因式,在確定公因式前,應從系數和因式兩個方面考慮.
3.提公因式法基本步驟：
（1）找出公因式；
（2）提公因式並確定另一個因式：
①第一步找公因式可按照確定公因式的方法先確定系數在確定字母；
②第二步提公因式並確定另一個因式,注意要確定另一個因式,可用原多項式除以公因式,所得的商即是提公因式後剩下的一個因式,也可用公因式分別除去原多項式的每一項,求的剩下的另一個因式；
③提完公因式後,另一因式的項數與原多項式的項數相同.

『拾』 這個分式分解有什麼技巧，我一開始分成2項，分不出來，大一做過。

簡單的或熟悉的，憑眼睛看即可
復雜的就要用待定系數法了，比如：
1/[(t-1)(t+1)(t+1)]，這三個因式，分解後有三種組合方式
①A/(t²-1)+B/(t+1)，二次方無法消掉，顯然無解
②A/(t-1)+B/(t+1)²，二次方同樣無法消掉，無解
③A/(t-1)+B/(t+1)+C/(t+1)²
=[A(t+1)²+B(t²-1)+C(t-1)]/[(t²-1)(t+1)]
與原式對比，可得
A+B=0
2A+C=0
A-B-C=1
聯立可解得
A=1/4，B=-1/4，C=-1/2
∴分解後的結果為
1/[(t²-1)(t+1)]=1/4{1/(t-1)-1/(t+1)-2/(t+1)²}
順便說，你那方框內分解結果怕是不大對的