數學教學中如何用類比方法

『壹』 數學類比法的介紹

特指類比法在數學教學中的應用。在數學教學中應用類比法，可幫助學生理解各種概念、性質、定理、公式等，既有助於學生加深認識與記憶，也有助於激發學生的學習興趣。

『貳』 中學數學中常見得幾種類比法

1、降維類比
將三維空間的對象降到二維（或一維）空間中的對象，此種類比方法即為降維類比。
2、結構類比
某些待解決的問題沒有現成的類比物，但可通過觀察，憑借結構上的相似性等尋找類比問題，然後可通過適當的代換，將原問題轉化為類比問題來解決。
3、簡化類比
簡化類比，就是將原命題類比到比原命題簡單的類比命題，通過類比命題的解決思路和方法的啟發，尋求原命題的解決思路與方法。比如可先將多元問題類比為少元問題，高次問題類比到低次問題，普遍問題類比為特殊問題等。

『叄』 數學類比推理的運用

類比是常見而重要的一種數學思想方法，它是指在新事物與已知事物之間的某些方面作類似的比較，把已經獲得的知識、方法、理論遷移到新事物中，從而解決新問題。類比不僅是一種富有創造性的方法，而且更能體現數學的美感。
（一）不同知識點之間的類比
數學中的不同知識點在教材中是相對分散的，知識點之間的聯系需要教師通過自己的數學設計展示給學生，從而使得學生的概念圖網路更加豐富和結構化。它不僅可以在知識復習中使用，也可以在新知識的學習中進行。
1、立體幾何中的類比推理
【例1】若從點O所作的兩條射線OM、ON上分別有點M1、M2與點N1、N 2，則三角形面積之比為： 若從點O所作的不在同一個平面內的三條射線OP、OQ和OR上分別有點P1、P2與點Q1、Q2和R1、R2，則類似的結論為： 。
【分析】在平面中是兩三角形的面積之比，憑直覺可猜想在空間應是體積之比，故猜想
（證明略）
評注 本題主要考查由平面到空間的類比。要求考生由平面上三角形面積比的結論類比得出空間三棱錐體積比的相應結論。
【例2】在 中有餘弦定理： 拓展到空間，類比三角形的餘弦定理，寫出斜三稜柱 的3個側面面積與其中兩個側面所成二面角之間的關系式，並予以證明。
【分析】根據類比猜想得出 其中 為側面為 與 所成的二面角的平面角。
證明：作斜三稜柱 的直截面DEF，則 為面 與面 所成角，在 中有餘弦定理： ，同乘以 ，得

即
評注 本題考查由平面三角形的餘弦定理到空間斜三角柱的拓展推廣，因為類比是數學發現的重要源泉，因此平時的教學與復習中更要注意類比等思想方法的學習。
【例3】 在平面幾何中有「正三角形內任一點到三邊的距離之和為定值」，那麼在立體幾何中有什麼結論呢？
解析 「正三角形」類比到空間「正四面體」，「任一點到三邊距離之和」類比到空間為「任一點到四個面的距離之和」，於是猜想的結論為：正四面體內任一點到其各面距離之和為定值。
如圖1，設邊長為 的正三角形 內任一點
到其三邊的距離分別為 、 、 ，
將 分割成三個小三角形
，
則有 ，
即距離之和為正三形的高（定值）。
類似地，如圖2,設棱長為 的正四面體
內任一點 到四個面的距離分別為
、 、 、 ，將正四面體分割成以 為頂點，
以四個面為底面的小三棱錐，則有
，
於是
。
所以 為定值。
【例4】 在平面幾何中，有勾股定理：設 的兩邊 、 互相垂直，則 。拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側面面積與底面面積間的關系，可得出的正確結論是：「設三棱錐 的三個側面 、 、 兩兩互相垂直，則 。」
答案為 。
類比不僅可以提供探求新背景下結論的思路，而且也為尋求結論的證明提供方法上的指導。將平面圖形中的三角形與立體圖形中的多面體進行類比，使不同數學分支之間的知識得到了巧妙的溝通，也使解題過程得到美化，讓人有意猶未盡卻又順理成章的感覺。
2、解析幾何中的類比推理
【例5】已知兩個圓： ① 與 ②，則由①式減去②式可得上述兩圓的對稱軸方程，將上述命題在曲線仍為圓的情況下加以推廣，既要求得到一個更一般的命題，而已知命題要成為所推廣命題的一個特例，推廣的命題為 。
【分析】將題設中所給出的特殊方程①、②推廣歸納到一般情況：
設圓的方程為 ③與 ④，其中 或 ，則由③式減去④式可得兩圓的對稱軸方程。
評注 本題通過類比推廣，可以由特殊型命題直接歸納概括出一般型命題。
3、數列中的類比推理
【例6】定義「等和數列」：在一個數列中，如果每一項與它的後一項的和都為同一個常數，那麼這個數列叫做等和數列，這個常數叫做該數列的公和。已知數列 ，是等和數列，且 ，公和為5，那麼 的值為 ，這個數列的前n項和 的計算公式為 。
【分析】由等和數列的定義，易知 故
當n為偶數時， ；當n為奇數時，
評注 本題以「等和數列」為載體，解決本題的關鍵是課本中所學的等差數列的有關知識及其數學活動的經驗，本題還考查分類討論的數學思想方法。
4、函數中的類比推理
【例7】設函數 ，利用課本中推導等差數列前n項和公式的方法，可求得 的值 。
【分析】此題得用類比課本中推導等差數列前n項和公式的倒序相加法，觀察每一個因式的特點，嘗試著計算
∵
∴
發現 正好是一個定值，∴ ，∴
評注 此題依據大綱和課本，在常見中求新意，在平凡中見奇巧，將分析和解決問題的能力的老本放在了突出的位置。本題通過弱化或強化條件與結論，揭示出它與某類問題的聯系與區別並變更出新的命題。這樣，通過從課本出發，無論是對內容的發散，還是對解題思維的深入，都能收到固本拓新之用，收到「秀枝一株，嫁接成林」之效，從而有效於發展學生創新的思維。
5、排列組合中的類比推理
【例8】已知數列 （n為正整數）的首項為 ，公比為的q等比數列。
（1）求和：
（2）由（1）的結果，歸納概括出關於正整數n的一個結論，並加以證明。
【分析】本題由（1）的結論，通過大膽猜測，歸納猜想出一般性的結論：
（1）

（2）歸納概括的結論為：若數列 是首項為 ，公比為q的等比數列，則
（證明略）
評注 本題主要考查探索能力、類比歸納能力與論證能力，突出了創新能力的考查；通過抓住問題的實質，探討具有共同的屬性，可以由特殊型命題直接歸納概括出一般型命題。
6、新定義、新運算中的類比
【例9】若記號「*」表示兩個實數a與b的算術平均的運算，即 ，則兩邊均含有運算符號「*」和「+」，且對於任意3個實數a，b，c都能成立的一個等式可以是 。
【分析】由於本題是探索性和開放性問題，問題的解決需要經過一定的探索過程，並且答案不惟一。這題要把握住 ，還要注意到試題的要求不僅類比推廣到三個數，而且等式兩邊均含有運算符號「*」和「+」，則可容易得到
正確的結論還有： 等。
【例10】對於直角坐標平面內的任意兩點 ，定義它們之間的一種「距離」：
給下列三個命題：
①若點C線段AB上，則 ;
②在 中，若 °，則 ;
③在 中，
其中真命題的個數為（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【分析】對於直角坐標平面內的任意兩點 定義它們之間的一種「距離」： ①若點C在線段AB上，設C點坐標為 ， 在 、 之間， 在 、 之間，
則 ③
在 中，

∴命題①成立，命題③錯誤。而命題②在在 中，若則 明顯不成立，選B。
【例11】設P是一個數集，且至少含有兩個數，若對任意 ，都有
（除數 ）則稱P是一個數域，例如有理數集Q是數域，數集 也是數域。有下列命題：
①整數集是數域；
②若有理數集 ,則數集M必為數域；
③數域必為無限集；
④存在無窮多個數域。
其中正確的命題的序號是 。（把你認為正確的命題的序號都填上）
【分析】①錯。4,5是整數，但 不是整數。②錯。設M由有理數集合Q和元素 組成，則1, ，但是 不屬於M。③正確。設 ，其中一個必定不等於零，設 ，則 ，所以 所以 ，所以 所有負整數都屬於P，而負整數有無窮多個，所以③正確。④正確。把數域 中的 改為 ，仍是數域，有無窮多個。
故應填③④。
（二）數學知識與實際生活問題的類比
學生在處理常規數學問題時較易上手，而對有生活背景的問題則「怵」。數學知識與生活問題本身存在這樣那樣的聯系，如果注意挖掘，那麼對於培養學生的應用意識是十分有利的。
【例12】從1樓到2樓總共有20級台階，如果規定每步只能跨上一級或二級，問從1樓爬上2樓共有幾種不同的走法？
解析 這是生活中常見的一個問題，直接思考覺得走法太多，所以思考這個問題能否在數學中找到相應的模型，記上第 級台階共有 種方法，若想上第20級台階，則可從第18級跨兩級或從第19級跨一級而到達，所以 ，類似地 ，… .注意到 ，運用以上遞推關系（斐波那契數列），逐項計算得 ，那上2樓共有10946種方法。
生活中的不少問題往往可以找到其數學根源，通過思考將這種聯系（數學模型）挖掘出來，就把生活中的問題與數學知識、方法進行了類比，有意識在引導或發現這種思考方法，有利於增加學生的數學應用意識和解決實際問題的能力。
（三）結束語
講解雙曲線的性質時常用橢圓的性質來類比，講解等比數列的時候用等差數列來類比。不僅數學知識如此，實際上惠更斯提出的波動說，就是與水波、聲波類比而受到的啟發。英國醫生詹納發現的種牛痘可以預防天花，就是從擠奶女工感染了牛痘而不患天花中得到啟發，從樹葉的鋸齒形狀發明了鋸，從雄鷹的飛起到製造飛機上天等，總之，類比思想方法博大精深，能夠收到嚴格邏輯推理所不能達到的效果，它能提高人們的數學素質，改善思維品質，既富有創造性，又讓人產生柳暗花明又一村的美感。

『肆』 如何用類比思想進行中學數學教學

3、類比思想
類比思想是指依據兩類數學對象的相似性，有可能將已知的一類數學對象的性質遷移到另一類數學對象上去的思想。類比思想不僅使數學知識容易理解，而且使公式的記憶變得順水推舟的自然和簡潔。如講授乘法分配律時，教師出示：(45＋25)＋13○45＋(25＋13),讓學生猜猜它們的結果可能會怎樣？再出示：(36＋18)＋22○36＋(18＋22),大膽猜猜一下，這兩題的結果會怎樣？你為什麼這么肯定？理由是什麼？仔細觀察這些等式，你有什麼發現？這樣的發現會不會是巧合？如果換成其他的加數是否也存在著這樣的規律？然後請每個同學再模仿寫一個，進行驗證。最後讓學生用a、b、c三個字母把自己的發現表示出來。由於學生學習了加法交換律後，學生就能很容易用字母來表示加法結合律了。教師歸納總結出(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)。類比思想還可以應用到長方形的面積公式、平行四邊形面積公式和三角形的面積公式。
4、轉化思想方法
轉化就是在研究和解決有關數學問題時，採用某種手段將一個問題轉化成為另外一個問題來解決。一般是將復雜的問題轉化為簡單的問題，將難解問題轉化為容易求解的問題，將未解決的問題轉化為已解決的問題。
例如：上「整十、整百相乘」一課時，先讓學生觀察，然後問一問，能不能把整十相乘轉化為我們以前所學過的幾乘與幾，這樣學生不僅很快能掌握新學得知識，還可以自己解決整百相乘。我想這是不是再滲透轉化思想方法呢？
5、符號化思想方法
符號化思想是新課程的一個重要理念。數學的符號化能夠不分國家和種族；符號化思想以濃縮的形式表達大量信息；加快了數學思維的速度。小學數學中有數字元號、運算符號、關系符號、單位符號、約定符號等。單位符號有厘米（cm）、米（m）、分米（dm）、毫米（mm）、千米（km）、千克（kg）、克（g）、噸（t）、平方米（㎡ ） 、平方分米 （d㎡ ）、平方厘米（c㎡ ） 、立方厘米（c m3
）、立方分米（dm3
）、 立方米（m3
）、毫升（mL）、升（L）。運算符號：＋ － × ÷。關系符號：= ＜ ＞ ≈ ≠。約定符號：% ℃ ∠ 。數學中各種數量關系，量的變化及量與量之間進行推導和演算，都是用小小的字母表示數，以符號的濃縮形式表達大量的信息。使數學學習簡單、明了。

『伍』 初中數學方法大全（比如類比法）

待定系數法，配方法，消元法，執果索因法，反證法，淘汰法，換元法，分類討論法，數學歸納法，描點法，類比法，轉換法，化歸法，歸納法，概括法，猜想法，方程法，函數法，同一法，
求差法，求商法，求和法，求積法，整體代入法，降次法，圖像法，坐標法，完全歸納法，
不完全歸納法，公式法，因式分解法。

『陸』 如何應用比較方法進行數學教學

小學數學中很多內容既有聯系又有區別，如果教師在教學中充分運用比較的方法，將有助於幫助教師突出課堂教學重點，突破教學難點，使學生容易接受新知識，從而提高課堂教學的有效性，發展學生的數學素養和能力。比較能使學生在識同辨異的過程中，深刻認識事物的各種屬性，便於抽象、概括，達到對事物的本質的認識。我在小學中、高年級的數學教學中，充分運用比較的方法，使學生學得輕松、愉快，學得扎實，從而有效地提高學習效率。下面結合筆者的研究與實踐，淺談在小學數學中如何更好地運用比較法。
1、 聯系新舊知識之間的同異，分析比較它們的聯系和區別。
當原有知識能促進新知識的理解，起到正遷移作用時，運用比較法教學，能使學生主動地利用舊知識去認識新知識。這種比較有兩種情況：一是在引入一個新知識之前，教師首先要分析清楚這個知識是建立在哪些已學的數學知識基礎上，然後從復習舊知識的過程中，自然地引出新知識，使學生明確新舊知識之間的區別與聯系，為准確理解新概念打下堅實的基礎。如：在教學「一個數乘以分數的意義」時，這是整數乘法意義在分數范圍內的引申。教師先提出（1）1桶油重多少千克，3桶油重多少千克？（2）1桶油重100千克，桶油重多少千克？，桶油重多少千克？這樣就藉助了「求一數的幾倍是多少？用乘法」。把倍數從整數概念拓寬為分數，讓學生通過比較推理，得到「求一個數的幾分之幾也是用乘法」這樣就順里成章地推導也了「一個數乘以分數的意義」，就是「求這個數的幾分之幾是多少的概念。
2. 通過對比練習，區分相近知識間的相同於不同。
學生掌握概念需要有一個分析、思考、加工、整理的過程，通過對兩個事物的屬性對照比較，能夠看出相同中的相異處，相異處的共同點，從而進一步認識這兩個事物的本質。學習新課之後，不僅要集中練習所學的內容，還要帶練以前學過的內容，特別要帶練與心學內容相似而易混淆的題目，使學生既能深刻理解新的知識，又能掌握新舊知識之間的「同」和「異」，區別應用。因此，設計對比題，可以提高學生的辨別能力，如：1、一根電線長6米，用去1/3，還剩下多少米？2、一根電線6米，用去1/3米，還剩多少米？這兩題是形同實異，讓學生比較分析、正確地解答。再如練習「歸一應用題」，應帶練「歸總應用題」；學完「連除應用題」後的練習，也應有「連乘應用題」的題目。通過比較它們的解題思路，明確它們之間的相互聯系，可使各個零碎的知識串成線、聯成網，從而構建起完整的知識結構。
3. 將同一類的知識進行類比，通過概括和總結，區分同異。
這其實就是把同一類題型進行比較，這是教師在課堂教學中使用最多的一種方法。對不同層次的同類知識的內在聯系進行橫向比較，可達到理解知識系統化的目的。例如：除法中商不變的性質，分數的基本性質和比的基本性質分散在三、四、五年級三個階段。這些知識在不同層次上與不同范圍內可以自成系統。但是，它們之間又彼此聯系。這三個性質形式上不一樣。但反映事物本身的屬性是相通的。例如在教學中將除法、分數和比的概念列表比較，讓學生找出三者之間的相互聯系與區別，從而使學生更深入地了解這三個概念的本質，進一步深化對這三個概念的認識。具體地說，就是以學生已學過的同類題目為基礎，與新講的知識進行比較，以引導學生發現所學知識的個性或共性。
綜上所述，在小學數學教學中適時、恰當地運用比較法，不但能使學生學得輕松、愉快，更能有效地提高課堂上的學習效 率，從而提升學生的數學素養，提高課堂教學的實效性。

『柒』 類比的數學類比

數學解題與數學發現一樣，通常都是在通過類比、歸納等探測性方法進行探測的基礎上，獲得對有關問題的結論或解決方法的猜想，然後再設法證明或否定猜想，進而達到解決問題的目的．類比、歸納是獲得猜想的兩個重要的方法．
運用類比法解決問題，其基本過程可用框圖表示如下：

可見，運用類比法的關鍵是尋找一個合適的類比對象．按尋找類比對象的角度不同，類比法常分為以下三個類型． 將三維空間的對象降到二維（或一維）空間中的對象，此種類比方法即為降維類比．
【例2】以棱長為1的正四面體的各棱為直徑作球，S是所作六個球的交集．證明S中沒有一對點的距離大於1。
【分析】考慮平面上的類比命題：「邊長為1的正三角形，以各邊為直徑作圓，S『是所作三個圓的交集」，通過探索S』的類似性質，以尋求本題的論證思路．如圖，易知S『包含於以正三角形重心為圓心，以為半徑的圓內．因此S』內任意兩點的距離不大於1以此方法即可獲得解本題的思路。
證明：如圖，正四面體 ABCD中，M、N分別為BC、AD的中點，G
為△BCD的中心，MN∩AG=O．顯然O是正四面體ABCD的中心．易知OG=·AG=，並且可以推得以O為球心、OG為半徑的球內任意兩點間的距離不大於，其球O必包含S．現證明如下。
根據對稱性，不妨考察空間區域四面體OMCG．設P為四面體OMCG內任一點，且P不在球O內，現證P亦不在S內。
若球O交OC於T點。△TON中，ON=，OT=，cos∠TON=cos（π-∠TOM)=-。由餘弦定理：
TN2=ON2+OT2+2ON·OT·=，∴TN=。
又在 Rt△AGD中，N是AD的中點，∴GN=。由GN= NT=， OG=OT， ON=ON，得 △GON≌△TON。∴∠TON=∠GON，且均為鈍角．
於是顯然在△GOC內，不屬於球O的任何點P，均有∠PON>；∠TON，即有PN>TN=，P點在 N為球心，AD為直徑的球外，P點不屬於區域S．
由此可見，球O包含六個球的交集S，即S中不存在兩點，使其距離大於． 某些待解決的問題沒有現成的類比物，但可通過觀察，憑借結構上的相似性等尋找類比問題，然後可通過適當的代換，將原問題轉化為類比問題來解決．
【例3】任給7個實數xk（k=1，2，…，7)．證明其中有兩個數xi，xj，滿足不等式0≤≤·
【分析】若任給7個實數中有某兩個相等，結論顯然成立．若7個實數互不相等，則難以下手．但仔細觀察可發現：與兩角差的正切公式在結構上極為相似，故可選後者為類比物，並通過適當的代換將其轉化為類比問題．作代換：xk=tanαk（k =l，2，…，7），證明必存在αi，αj，滿足不等式0≤tan（αi-αj）≤·
證明：令xk=tanαk（k =l，2，…，7），αk∈（-，），則原命題轉化為：證明存在兩個實數αi，αj∈（-，），滿足0≤tan（αi-αj）≤·
由抽屜原則知，αk中必有 4個在[0，）中或在（-，0）中，不妨設有4個在[0，）中．注意到tan0=0，tan=，而在[0，）內，tanx是增函數，故只需證明存在αi，αj，使0<；αi-αj <即可。為此將[0，）分成三個小區間：[0，]、（，]、（，）。又由抽屜原則知，4個αk中至少有2個比如αi，αj同屬於某一區間，不妨設αi>；αj，則0≤αi-αj ≤，故0≤tan（αi-αj）≤·這樣，與相應的xi=tanαi、xj=tanαj，便有0≤≤· 簡化類比，就是將原命題類比到比原命題簡單的類比命題，通過類比命題解決思路和方法的啟發，尋求原命題的解決思路與方法．比如可先將多元問題類比為少元問題，高次問題類比到低次問題，普遍問題類比為特殊問題等．
【例4】已知xi≥0（i=1，2，…，n），且xl+x2+…+xn=1。
求證：1≤++…+≤．
【分析】我們可先把它類比為一簡單的類比題：「已知xl≥0，x2≥0，且xl+x2 =1，求證1≤+≤」．本類比題的證明思路為：∵2≤xl+x2=l，∴0≤2≤1，則1≤xl+x2+2≤2，即1≤（+)2≤2，∴1≤+≤．這一證明過程中用到了基本不等式和配方法．這正是要尋找的證明原命題的思路和方法．
證明：由基本不等式有0≤2≤xi+xj，則
0≤2≤（n-1)(xl+x2+…+xn)=n-1
∴1≤xl+x2+…+xn +2≤n，即1≤（++…+)2≤n
∴1≤++…+≤．
所謂歸納，是指通過對特例的分析來引出普遍結論的一種推理形式．它由推理的前提和結論兩部分構成：前提是若干已知的個別事實，是個別或特殊的判斷、陳述，結論是從前提中通過推理而獲得的猜想，是普遍性的陳述、判斷．其思維模式是：設Mi（i=1，2，…，n）是要研究對象M的特例或子集，若Mi（i=1，2，…，n）具有性質P，則由此猜想M也可能具有性質P．
如果=M，這時的歸納法稱為完全歸納法．由於它窮盡了被研究對象的一切特例，因而結論是正確可靠的．完全歸納法可以作為論證的方法，它又稱為枚舉歸納法．
如果是M的真子集，這時的歸納法稱為不完全歸納法．由於不完全歸納法沒有窮盡全部被研究的對象，得出的結論只能算猜想，結論的正確與否有待進一步證明或舉反例．
本節主要介紹如何運用不完全歸納法獲得猜想，對於完全歸納法，將在以後結合有關內容（如分類法）進行講解．
【例5】證明：任何面積等於1的凸四邊形的周長及兩條對角線的長度之和不小於4十．
【分析】四邊形的周長和對角線的長度和混在一起令人棘手，我們可以從特例考察起：先考慮面積為1的正方形，其周長恰為4，對角錢之和為2即．其次考察面積為1的菱形，若兩對角線長記為l1、l2，那麼菱形面積S=l1·l2，知
l1+ l2≥2=2=，菱形周長：l=4≥2=4。
由此，可以猜想：對一般的凸四邊形也可將其周長和對角線長度和分開考慮．
【證明】設ABCD為任意一個面積為1的凸四邊形，其有關線段及角標如圖．則
SABCD= (eg+gf+fh+he)sinα
≤ (e+f)(g+h）≤，
∴e+f+g+h≥2，即對角線長度之和不小於．
∴a+b+c+d≥4，即周長不小於4．
綜上所述，結論得證，

『捌』 淺談類比法在初中數學教學中的應用

摘要：數學類比和對比法是數學教學中常用的一種重要方法，文章通過實例闡述數學類比和對比法在初中數學教學中的應用。

數學問題浩如煙海，面對一個個數學問題如何著手求解?有些學生做了大量的題目，但考試遇到新題型或只是稍稍變換一下，就不知所措，原因是在平時的學習中，缺乏掌握數學思考方法。掌握一種新的思考方法要比學會解幾道具體習題更為重要，這些解題方法和技巧是進一步學習數學不可缺少的工具，數學方法的學習，在數學學習中起到事半功倍的效果，本文就數學類比和對比法在初中教學中的具體應用進行闡述。

類比是根據兩個對象有一部分性質類似，推出與這兩個對象的其他性質相類似的一種推理方法。因此，類比是從特殊到特殊的推理。通過類比，可以發現新舊知識的相同點，利用已有的舊知識，來認識新知識。

對比是通過比較，找出一事物區別其他事物的特點，通過對比可以找出差異，有助於進一步加深對新知識的理解。

類比和對比這兩種方法是相輔相成的，都是通過新舊知識的相互聯系，利用已有的舊知識，揭示新知識的本質。

例如：在學習分式這章時，關鍵是要用與分數類比的方法導出分式概念，分式基本性質與分式的四則運演算法則，這樣新知識易為學生接受與掌握，具體操作如下：

首先，復習小學學過的分數概念：兩數相除，可以表示成分數的形式.如3÷4= ,(-7)÷2=- ,5÷(-9)= ， 一個分數由分子、分母和分數線構成，分子、分母都是數，但分母不能是零，為什麼分母不能為零呢?因為零不能做除數，分數有正分數、負分數，如果分子等於零，只要分母不是零(不論是正數還是負數)，這個分數的值就是零。把分數的概念引伸到代數式來，如 這兩個式子有什麼特點?(1)分式由分子、分母與分數線構成；(2)分母中含有字母，這就是分式，這樣就很自然地引入了分式的概念，接著，指出分數與分式的區別所在：分數與分式形式相同，但分式中的分子、分母均為整式，且分母是含有字母的整式。

其次，在講分式的基本性質時，先復習分數的基本性質，推想分式的基本性質，我們來看如何做不同分母的分數的加法： ； ，這里先將異分母化為同分母， ，這是根據什麼呢?根據分數的基本性質：分數的分子與分母都乘以(

或除以)同一個不等於零的數，分數的值不變，分式是一般化了的分數，因此，分式應該有 ，這里，A、B、M是整式，根據分式的概念應該要求B 0，由分數的基本性質應該想到M 0 。因此，分式的基本性質是分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個不等於零的整式，分式的值不變。

第三，分式的四則運算順序也可以類比分數進行，先做括弧內的運算，然後再進行乘除運算，最後進行加減運算，這個順序和步驟正是分式四則混合運算的順序和步驟。概括地說是：「先乘除，後加減、括弧內先進行」。

在幾何教學中，在講解相似三角形判定定理可類比全等三角形得到，全等形與相似形的關系：全等三角形是相似三角形，當相似比值K＝l時的特例，全等與相似條件的比較：

(1)兩角相等——兩三角形相似

兩角相等，夾邊相等——兩三角形全等；

(2)兩邊成比例、夾角相等——兩三角形相似

兩邊相等，夾角相等——兩三角形全等；

(3)三邊對應成比例——兩三角形相似

三邊對應相等——兩三角形全等。

此外，在多項式除法與多位數除法，因式分解與質因數分解：開立方與開平方，中心對稱與軸對稱；分比定理與合並定理；扇形面積公式與三角形面積公式等等，都可以通過類比和對比進行教學，這種數學方法的教學，學生在學習過程中能較輕松地接受新知識，在實踐中也證明，這種類比和對比的數學方法，學生掌握的知識扎實，理解也較好。當然，類比和對比只能用來幫助我們建立猜想，作為研究問題的線索。