不等式的解題方法與技巧

『壹』 不等式解題技巧高中

高中數學經典的解題技巧和方法（不等式）

【編者按】不等式是高中數學考試的必考內容，而且是這幾年考試解答題的必選，無論是期中、期末還是會考、高考，都是高中數學的必考內容之一。因此，馬博士教育網數學頻道編輯部特意針對這部分的內容和題型總結歸納了具體的解題技巧和方法，希望能夠幫助到高中的同學們，讓同學們有更多、更好、更快的方法解決數學問題。好了，下面就請同學們跟我們一起來探討下集合跟常用邏輯用語的經典解題技巧。

首先，解答不等式這方面的問題時，先要搞清楚以下幾個方面的基本概念性問題，同學們應該先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解決問題：

1．不等關系

了解現實世界和日常生活中的不等關系，了解不等式（組）的實際背景。

2．一元二次不等式

（1）會從實際情境中了解一元二次不等式與相應的二次函數、一元二次方程的聯系。

（3）會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會設計求解的程序框圖。

3．二元一次不等式組與簡單線性規劃問題

（1）會從實際情境中抽象出二元一次不等式組。

（2）了解二地一次不等式的幾何意義，能用平面區域表示二元一次不等式組。

（3）會從實際情境中抽出一些簡單的二元線性規劃問題，並能加以解決。

4．基本不等式：

（1）了解基本不等式的證明過程。[來源:學科網]

（2）會用基本不等式解決簡單的最大（小）值問題。

好了，搞清楚不等式的基本內容之後，下面我們就看下針對這方面內容的具體的解題技巧。

一、不等式的求解問題

考情聚焦：1.求不等式解集及構建不等求參數取值范圍問題是高考中對不等式考查的一個重要考向,每年高考均有重要體現。

2.常考查一元二次不等及可轉化為一元二次不等式的簡單分式不等式、指數、對數不等式的解法。以選擇、填空為主，屬中檔題。

解題技巧：1.求解一元二次方程不等式的基本思路：先化為一般形式，再求相應一元二次方程的根，最後根據相應二次函數圖象與x軸的位置關系，確定一元二次不等式的解集。

2.解簡單的分式、指數、對數不等式的基本思想是利用相關知識轉化為整式不等式（一般為一元二次不等式）求解。

3.解含參數不等的難點在於對參數的恰當分類，關鍵是找到對參數進行討論的原因。確定分類標准、層次清楚地求解。

例1：（2010·全國卷Ⅰ文科·T13）)不等式的解集是 .

【命題立意】本小題主要考查不等式及其解法

【思路點撥】首先將因式分解，然後將化為三個因式乘積的形式，

採用「序軸標根法」即穿根法求解集.

【規范解答】，

數軸標根得：

【答案】

二、不等式恆成立問題

考情聚集：1.不等式恆成立以及可轉化為不等式恆成立的問題是近幾年高考的熱點，在各省市高考中占較大比重且點重要的位置。

2.常與函數的圖象、性質、方程及重要的思想方法交匯命題，多以解答題的形式出現，屬中檔偏上題目。

解題技巧：求解不等式恆成立問題的常用思想方法：

1.分離參數法：通過分離參數，轉化為不含參數的函數的最值問題求解。

2.函數思想：轉化為求含參數的最值問題求解。

3.數形結合思想：轉化為兩熟悉函數圖象間的上、下關系求解。

例2：已知二次函數f(x)滿足f(-1)=0,且8x≤f(x)≤4(x2+1)對於x∈R恆成立.

(1)求f(1);

(2)求f(x)的表達式；

(3)設,定義域為D，現給出一個數學運算程序：

若xn∈D,則運算繼續下去；若xnD,則運算停止.給出, 請你寫出滿足上述條件的

集合D={x1,x2,x3,…,xn}.．（滿分13分）

解析：(1)由8x≤f (x)≤4(x2+1),令x=1得8≤f (1)≤8,

∴f (1)=8.

(2)設f (x)=ax2+bx+c(a≠0),由(1)及f (-1)=0得b=4,a+c=4.

又ax2+bx+c≥8x,即ax2-4x+c≥0,對x∈R恆成立,

∴,即(a-2)2≤0,∴a=2,c=2.故f (x)=2(x+1)2.

(3)由g(x)=

由題意x1=,x2=g(x1)=,x3=g(x2)=-,x4=g(x3)=-1,x5無意義，故D={,,-,-1}

三、線性規劃問題

考情聚焦:1.線性規劃是中學教材中僅有的幾個具有實際應用操作的考點之一,又具有全面考查直線知識與數形結合思想的強大功能,是各省市高考的重點.

2.常與函數、直線、實際問題等交匯命題，多以選擇、填空題形式出現。

解題技巧：1.線性規劃問題一般有三種題型:一是求最值;二是求區域面積;三是最優解情況或可行域情況確定參數的值或取值范圍.

2.解決線性規劃問題首先要找到可行域,再注意目標函數所表示的幾何意義,數形結合找到目標函數達到最值時可行域的頂點(或邊界上的點),但要注意作圖一定要准確,整點問題要驗證解決.

例3: （2010·安徽高考文科·T8）設x,y滿足約束條件則目標函數z=x+y的最大值是（ ）

（A）3 （B） 4 （C） 6 （D）8

【命題立意】本題主要考查線性規劃問題，考查考生的作圖、運算求解能力。

【思路點撥】由約束條件畫可行域確定目標函數的最大值點計算目標函數的最大值

【規范解答】選C．約束條件表示的可行域是一個三角形區域，3個頂點分別是，目標函數在取最大值6，故C正確．

【方法技巧】解決線性規劃問題，首先作出可行域，若為封閉區域（即幾條直線圍成的區域），則區域中的某個端點使目標函數取得最大或最小值．

四、利用基本不等式求最值問題

考情聚焦:1.利用基本不等式求函數最值是確定函數最值的重要方法,為近幾年各省市高考的熱點.

2.常與函數、解析幾何、立體幾何和實際問題交匯命題，多以中檔題形式出現.

例4: （2009江蘇高考）按照某學者的理論，假設一個人生產某產品單件成本為元，如果他賣出該產品的單價為元，則他的滿意度為；如果他買進該產品的單價為元，則他的滿意度為.如果一個人對兩種交易(賣出或買進)的滿意度分別為和，則他對這兩種交易的綜合滿意度為.

現假設甲生產A、B兩種產品的單件成本分別為12元和5元，乙生產A、B兩種產品的單件成本分別為3元和20元，設產品A、B的單價分別為元和元，甲買進A與賣出B的綜合滿意度為，乙賣出A與買進B的綜合滿意度為

(1)求和關於、的表達式；當時，求證：=；

(2)設，當、分別為多少時，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大？最大的綜合滿意度為多少？

(3)記(2)中最大的綜合滿意度為，試問能否適當選取、的值，使得和同時成立，但等號不同時成立？試說明理由。

【解析】(1)

當時，,

, =

（2）當時，

由，故當即時，

甲乙兩人同時取到最大的綜合滿意度為。

（3）由（2）知：=

由得：，

令則，即：。

同理，由得：

另一方面，

當且僅當，即=時，取等號。由（1）知=時h甲=h乙

所以不能否適當選取、的值，使得和同時成立，但等號不同時成立。

『貳』 解基本不等式 的方法 （竅門）

加油！！
1.不等式的基本性質:
性質1:如果a>b,b>c,那麼a>c(不等式的傳遞性).
性質2:如果a>b,那麼a+c>b+c(不等式的可加性).
性質3:如果a>b,c>0,那麼ac>bc;如果a>b,c<0,那麼acb,c>d,那麼a+c>b+d.
性質5:如果a>b>0,c>d>0,那麼ac>bd.
性質6:如果a>b>0,n∈N,n>1,那麼an>bn,且.
例1:判斷下列命題的真假,並說明理由.
若a>b,c=d,則ac2>bd2;(假)
若,則a>b;(真)
若a>b且ab<0,則;(假)
若a若,則a>b;(真)
若|a|b2;(充要條件)
命題A:a命題A:,命題B:0說明:本題要求學生完成一種規范的證明或解題過程,在完善解題規范的過程中完善自身邏輯思維的嚴密性.
a,b∈R且a>b,比較a3-b3與ab2-a2b的大小.(≥)
說明:強調在最後一步中,說明等號取到的情況,為今後基本不等式求最值作思維准備.
例4:設a>b,n是偶數且n∈N*,試比較an+bn與an-1b+abn-1的大小.
說明:本例條件是a>b,與正值不等式乘方性質相比在於缺少了a,b為正值這一條件,為此我們必須對a,b的取值情況加以分類討論.因為a>b,可由三種情況(1)a>b≥0;(2)a≥0>b;(3)0>a>b.由此得到總有an+bn>an-1b+abn-1.通過本例可以開始滲透分類討論的數學思想.
練習:
1.若a≠0,比較(a2+1)2與a4+a2+1的大小.(>)
2.若a>0,b>0且a≠b,比較a3+b3與a2b+ab2的大小.(>)
3.判斷下列命題的真假,並說明理由.
(1)若a>b,則a2>b2;(假) (2)若a>b,則a3>b3;(真)
(3)若a>b,則ac2>bc2;(假) (4)若,則a>b;(真)
若a>b,c>d,則a-d>b-c.(真).

『叄』 高中不等式解題方法與技巧

1、解決絕對值問題（化簡、求值、方程、不等式、函數），把含絕對值的問題轉化為不含絕對值的問題。具體轉化方法有：

（1）分類討論法:根據絕對值符號中的數或式子的正、零、負分情況去掉絕對值。

（2）零點分段討論法：適用於含一個字母的多個絕對值的情況。

（3）兩邊平方法：適用於兩邊非負的方程或不等式。

（4）幾何意義法：適用於有明顯幾何意義的情況。

2、根據項數選擇方法和按照一般步驟是順利進行因式分解的重要技巧。

3、利用完全平方公式把一個式子或部分化為完全平方式就是配方法，它是數學中的重要方法和技巧。配方法的主要根據有：

4、解某些復雜的特型方程要用到:換元法。換元法解方程的一般步驟是：

5、待定系數法是在已知對象形式的條件下求對象的一種方法。適用於求點的坐標、函數解析式、曲線方程等重要問題的解決。

『肆』 不等式的解題技巧

你要仔細審題，看題目中超過、不少於、少於等字分析不等式符號然後就要看你方程的基礎，對了，有的不等式組，是方程和不等式聯立的，可以代入解決，祝你成功（我也上初一哦）

『伍』 不等式選講解題技巧

一、基礎知識

1．含有絕對值的不等式的解法：

(1)|f(x)|>a(a>0)等價於f(x)>a或f(x)<－a；

(2)|f(x)|<a(a>0)等價於－a<f(x)<a；

(3)形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，一是可以利用零點法進行分段討論，二是利用絕對值的幾何意義求解，此法會更加簡單。

2．含有絕對值的不等式的性質：

|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.

在利用這個性質解題時，一定要注意取「=」的條件是：不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右側「＝」成立的條件是ab≥0，左側「＝」成立的條件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右側「＝」成立的條件是ab≤0，左側「＝」成立的條件是ab≥0且|a|≥|b|.

3.柯西不等式：

設a，b，c，d為實數，則(a^2＋b^2)·(c^2＋d^2)≥(ac＋bd)^2，當且僅當ad＝bc時等號成立．

二、2018年高考真題賞析

不等式選講在高考中的難度不大，但是對於基本概念要掌握牢固，防止計算錯誤。

『陸』 不等式的解題方法與技巧

不等式的解法：1、找出未知數的項、常數項，該化簡的化簡。2、未知數的項放不等號左邊，常數項移到右邊。3、不等號兩邊進行加減乘除運算。4、不等號兩邊同除未知數的系數，注意符號的改變。
1.符號：

不等式兩邊都乘以或除以一個負數，要改變不等號的方向。

2.確定解集：

比兩個值都大，就比大的還大；

比兩個值都小，就比小的還小；

比大的大，比小的小，無解；

比小的大，比大的小，有解在中間。

三個或三個以上不等式組成的不等式組，可以類推。

3.另外，也可以在數軸上確定解集：

把每個不等式的解集在數軸上表示出來，數軸上的點把數軸分成若干段，如果數軸的某一段上面表示解集的線的條數與不等式的個數一樣，那麼這段就是不等式組的解集。有幾個就要幾個。帶=號的，數軸上的點是實心的，反之，就是空心的。

用符號「>」「<」表示大小關系的式子，叫作不等式。用「≠」表示不等關系的式子也是不等式。

通常不等式中的數是實數，字母也代表實數，不等式的一般形式為F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z )（其中不等號也可以為 中某一個），兩邊的解析式的公共定義域稱為不等式的定義域，不等式既可以表達一個命題，也可以表示一個問題。
一般地，用純粹的大於號「>」、小於號「<」表示大小關系的式子，叫作不等式。用「≠」表示不等關系的式子也是不等式。
其中，兩邊的解析式的公共定義域稱為不等式的定義域。
整式不等式兩邊都是整式（即未知數不在分母上）。
一元一次不等式：含有一個未知數(即一元),並且未知數的次數是1次(即一次)的不等式。如3-x>0
同理，二元一次不等式：含有兩個未知數(即二元),並且未知數的次數是1次(即一次)的不等式。
①如果x>y，那麼y<x；如果y<x，那麼x>y；（對稱性）
②如果x>y，y>z；那麼x>z；（傳遞性）
③如果x>y，而z為任意實數或整式，那麼x+z>y+z；（加法原則，或叫同向不等式可加性）
④ 如果x>y，z>0，那麼xz>yz；如果x>y，z<0，那麼xz<yz；[1] （乘法原則）
⑤如果x>y，m>n，那麼x+m>y+n；(充分不必要條件)
⑥如果x>y>0，m>n>0，那麼xm>yn；
⑦如果x>y>0，xn>yn（n為正數)，xn<yn（n為負數）;
或者說，不等式的基本性質的另一種表達方式有：
①對稱性；
②傳遞性；
③加法單調性，即同向不等式可加性；
④乘法單調性；
⑤同向正值不等式可乘性；
⑥正值不等式可乘方；
⑦正值不等式可開方；
⑧倒數法則。
如果由不等式的基本性質出發，通過邏輯推理，可以論證大量的初等不等式。
另，不等式的特殊性質有以下三種：
①不等式性質1：不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數（或式子），不等號的方向不變；
②不等式性質2：不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；
③不等式性質3：不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個負數，不等號的方向變。 總結：當兩個正數的積為定值時，它們的和有最小值；當兩個正數的和為定值時，它們的積有最大值。

『柒』 不等式的解題方法

很簡單，奧數老師對我們說——給我細心地湊

『捌』 初中不等式的解題方法與技巧有哪些

可利用不等式的三個性質

1、不等式兩邊同時加或減一個數或一個式子，不等式仍然成立。

2、不等式兩邊同時乘或除一個正數，不等式仍然成立。

3、不等式兩邊同時乘或除一個負數，不等號要發生改變。

基本性質

①如果x>y，那麼y<x；如果y<x，那麼x>y；（對稱性）

②如果x>y，y>z；那麼x>z；（傳遞性）

③如果x>y，而z為任意實數或整式，那麼x+z>y+z；（加法原則，或叫同向不等式可加性）

④ 如果x>y，z>0，那麼xz>yz；如果x>y，z<0，那麼xz<yz；（乘法原則）

『玖』 不等式方程解題方法

根據題意
有方程縮對應的函數圖像與X軸有交點，所以a*a-8>=0
有其跟小於-1，所以
-a/2<-1
聯合求解得：a>2=2根號2

『拾』 基本不等式的解題技巧

基本不等式中：
一正：正數
二定：為定值
三相等：何時取等號
例：a+b≥2√ab
一正：a,b均為正數
二定：ab為一定值
三相等：當a=b時，不等式才能取等號。