多元函數的極限與連續計算方法

⑴ 多元函數的連續和極限題

這類題在許多《數學分析》和《高等數學》教材了都有，不是作為例題就是習題。
該題在這里寫起來很麻煩的，你自己翻翻書，依樣畫葫蘆就行。

⑵ 多元函數的極限求法有幾種

多元函數的極限求法有十種，分別為：

1、利用極限四則運算性質或者函數連續性求極限

2、利用恆等變形求極限，主要是消去分母中極限為零的因子（分子分母有理化）

3、利用等價無窮小求極限

4、利用無窮小量與有界量的乘積仍為無窮小量求極限

5、利用夾逼准則

6、利用兩個重要極限

7、利用極坐標法

8、利用取對數法

9、運用洛必達法則求二元函數的極限

10、利用二元函數極限定義求二元函數極限

(2)多元函數的極限與連續計算方法擴展閱讀：

夾逼准則

夾逼定理是有關函數極限的定理。它指出若有兩個函數在某點的極限相同，且有第三個函數的值在這兩個函數之間，則第三個函數在該點的極限也相同。

定義為如果數列{Xn},{Yn}及{Zn}滿足下列條件：當n＞N0時，其中N0∈N*，有Yn≤Xn≤Zn，{Yn}、{Zn}有相同的極限a，設-∞<a<+∞,則數列{Xn}的極限存在，且當 n→+∞，limXn =a。

洛必達法則求多元函數極限的應用條件

在運用洛必達法則之前，首先要完成兩項任務：一是分子分母的極限是否都等於零(或者無窮大)；二是分子分母在限定的區域內是否分別可導。

如果這兩個條件都滿足，接著求導並判斷求導之後的極限是否存在：如果存在，直接得到答案；如果不存在，則說明此種未定式不可用洛必達法則來解決；如果不確定，即結果仍然為未定式，再在驗證的基礎上繼續使用洛必達法則。

參考資料來源：網路-多元函數

⑶ 多元函數在某點極限存在與連續的關系

如果極限存在，並且與極限點的函數值相等，則在給點連續，否則就不連續。

細分有連續有三條;

1. 極限存在

2. 在該點有定義

3. 極限值與給點函數值相等。

   此時，函數在該點連續。

   破壞上面三條中的任何一條，都不連續。

   兩者的關系：

   連續極限一定存在，極限存在不一定連續。連續是極限存在的從分條件，極限存在是連續的必要條件。

⑷ 請教多元函數的極限 可導性 連續性的問題解法 倆題~~

① 由均值不等式, -(x²+y²)/2 ≤ xy ≤ (x²+y²)/2,
故|f(x,y)| ≤ |(x²+y²)/2|/√(x²+y²) = √(x²+y²)/2 → 0, 當(x,y) → (0,0).
於是lim{(x,y) → (0,0)} f(x,y) = 0 = f(0,0).
即在原點極限存在且連續.

在原點, ∂f/∂x = lim{x → 0} (f(x,0)-f(0,0))/x = 0,
∂f/∂y = lim{y → 0} (f(0,y)-f(0,0))/x = 0, 即兩個偏導數存在並得0.
但沿y = x方向的方向導數lim{x → 0} (f(x,x)-f(0,0))/√2x = 1/2 ≠ 0.
故f(x,y)在原點不是可微的.

② 當x = 0時, 有f(x,y) = 0, 故(x,y)沿x = 0趨近原點時, f(x,y) → 0.
而當x = y時, 有f(x,y) = 1, 故(x,y)沿y = x趨近原點時, f(x,y) → 1.
因此lim{(x,y) → (0,0)} f(x,y)不存在.
於是f(x,y)在原點不連續, 也不可微.

在原點, ∂f/∂x = lim{x → 0} (f(x,0)-f(0,0))/x = 0,
∂f/∂y = lim{y → 0} (f(0,y)-f(0,0))/x = 0, 即兩個偏導數存在並得0.

⑸ 多元函數的極限與連續 求函數極限 第(6)不會做

令x=a, y=a 所以原函數可以看做(2a的二次方)a的4次方
令括弧內為k, a的四次方為z，k和z接近無限小的時候，無限接近於1.
所以最後結果1，累啊

⑹ 二元函數的極限和連續

解：不一定。根據二元函數極限的定義知，是以任意方式趨於某個點時極限存在，則二元函數的極限存在，
若y=x^2,x趨於0，f(x,y)=A，它是以y=x^2的路徑趨於（0,0）時，極限為A。但不能說明任意方式趨於（0,0）時，極限為A。

謝謝！

⑺ 多元函數和一元函數關於極限,連續,微分等概念的區別

關於這些概念的區別，應該有學生自己總結，才有助於理解，別人給的算什麼？

⑻ 多元函數的極限怎麼求

多元函數的極限一般是利用一元函數求極限的方法、換元或者迫斂准則等來求：

例如：

1.lim(x,y)->(0,0) sin(x²+y²) / (x²+y²) 令 u = x²+y²

= lim(u->0) sinu / u = 1

2.f(x,y) = x²y / (x²+y²)

∵ | x²y | / (x²+y²) ≤ (1/2) |x|

lim(x,y)->(0,0) |x| = 0

∴ lim(x,y)->(0,0) x²y / (x²+y²) = 0

在如圖的題目中，這里都是應用偏導數的定義

記住limh趨於0[f(x+h，y)-f(x，y]/h得到的就是f'x

同理limh趨於0[f(x，y+h)-f(x，y]/h得到的就是f'y

顯然這里就是-2f'x=6以及1/3f'y=2/3

(8)多元函數的極限與連續計算方法擴展閱讀：

求多元函數的注意事項：

1. 二元函數的極限成一元函數的極限，即將二重極限化成累次極限，在很多情況下方便求極限（但是有個限制條件，必須是二重極限和累次極限都存在的情況下才能這么做）

2.在某些情況下直接計算二重極限比較方便，例如lim(x→0,y→1)[(x^2+3x)/xy]=lim(x→0,y→0)[(x+3)/y]=3 。這個可以在最後一步時將x,y的極限值直接代入

3.二重極限化累次極限是有限定條件的，不滿足條件則不能化成累次極限。

⑼ 高等數學 簡單的多元函數極限 問題:求f(x,y)在哪些點是連續的

這個是連續問題，如何定義連續的，就是
左極限=右極限=f（這個點有意義）的值，但是多元函數是要求四面八方向這個點的極限都相等，且這個點的函數值相等於這個極限。

⑽ 多元函數的極限與連續 求極限