㈠ 对于方程f(x)=0求根的迭代法,如何理解和分析其收敛性
f(x)=0求根的迭代法有很多种。比较容易判断的收敛性的是二分法，比较难以判断的是牛顿法。还有许多改进的方法，都是为了尽快得到一个收敛的结果。但收敛性的分析除了简单的，不一定适用的外，真能解决实际问题的不是根据数学上是否能证明其收敛，而是根据其计算结果是否满足自然条件下的一些约束。
“
Most numerical root-finding methods use iteration, procing a sequence of numbers that hopefully converge towards the root as a limit. They require one or more initial guesses of the root as starting values, then each iteration of the algorithm proces a successively more accurate approximation to the root. Since the iteration must be stopped at some point these methods proce an approximation to the root, not an exact solution. Many methods compute subsequent values by evaluating an auxiliary function on the preceding values. The limit is thus a fixed point of the auxiliary function, which is chosen for having the roots of the original equation as fixed points, and for converging rapidly to these fixed points.
The behaviour of general root-finding algorithms is studied in numerical analysis. However, for polynomials, root-finding study belongs generally to computer algebra, since algebraic properties of polynomials are fundamental for the most efficient algorithms. The efficiency of an algorithm may depend dramatically on the characteristics of the given functions. For example, many algorithms use the derivative of the input function, while others work on every continuous function. In general, numerical algorithms are not guaranteed to find all the roots of a function, so failing to find a root does not prove that there is no root. However, for polynomials, there are specific algorithms that use algebraic properties for certifying that no root is missed, and locating the roots in separate intervals (or disks for complex roots) that are small enough to ensure the convergence of numerical methods (typically Newton's method) to the unique root so located.”
㈡ 如何判断雅各比迭代法，高斯赛德尔迭代法是否收敛
高斯迭代法可看作是雅克比迭代法的一种修正。两者的收敛速度在不同条件下不同，不能直接比较，即使在同样条件下，有可能对于同样的系数矩阵出现一种方法收敛，一种方法发散。
计算谱半径，普半径小于1，则收敛，否则不收敛。其中谱半径就是迭代矩阵J或者G的最大特征值。
也可用列范数或行范数判断,列范数或者行范数小于1，则收敛。但范数大于1时，不能说明其发散，还要通过计算谱半径来确定其收敛性。
在数值线性代数中是用于求解线性方程组的迭代方法。 它以德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）和菲利普·路德维希·冯·塞德尔（Philipp Ludwig von Seidel）命名，与雅可比方法相似。
虽然它可以应用于对角线上具有非零元素的任何矩阵，但只能在矩阵是对角线主导的或对称的和正定的情况下，保证收敛。
㈢ 迭代矩阵收敛定理
按上节方法，将A分解成A＝D－L－U，则G－S迭代法计算公式（5－2）可写成
x（k＋1）＝D－1（Lx（k＋1）＋Ux（k））＋D－1b
或
地球物理数据处理基础
其中，S＝（D－L）－1U称为G－S迭代法的迭代矩阵，f＝（D－L）－1b。
上节例题中G－S迭代法的迭代矩阵S为
地球物理数据处理基础
下面给出判断G－S迭代法收敛的两个定理：
★定理三：若方程组系数矩阵A为按行或列对角占优，则其G－S迭代法收敛。
★定理四：若方程组系数矩阵A为正定矩阵，则其G－S迭代法收敛。
㈣ 如何判断雅各比迭代法、高斯赛德尔迭代法是否收敛
计算谱半径，谱半径小于1，则收敛，否则不收敛。其中谱半径就是迭代矩阵J或者G的最大特征值!!望采纳！！不懂再问！也可用列范数或行范数判断,列范数或者行范数小于1，则收敛。但范数大于1时，不能说明其发散，还要通过计算谱半径来确定其收敛性。
㈤ 数值分析迭代法中怎么判断是线性收敛
局部收敛性有如下定理
设已知 f(x) = 0 有根 a,f(x) 充分光滑(各阶导数存在且连续).
若 f'(a) != 0(单重零点),则初值取在 a 的某个邻域内时,迭代法 x[n+1] = x[n] - f(x[n])/f'(x[n]) 得到的序列 x[n] 总收敛到 a,且收敛速度至少是二阶的.
若 f'(a) == 0(多重零点),则初值取在 a 的某个邻域内时,收敛速度是一阶的.
记 g(x)=x-f(x)/f'(x),其中"某个邻域"可由 |g'(x)|
㈥ 数值计算中，迭代法怎么和收敛性扯上关系了
这和生活中类似啊。比如你要想去北京，可以走路，速度慢，可以坐汽车，速度能快些，可以坐飞机，速度最快。你可以考虑选择哪一种方式。
迭代法也是这样，要考虑收敛性和收敛速度问题。收敛性就是你能不能到北京的问题，万一你坐了一趟到南京的列车，那不是越走越远了？收敛速度就是走的快慢问题，有的迭代法收敛快，有的就慢些。
这些肯定要进行研究的，要给别人提供理论上的收敛性和收敛速度的依据，使得以后的人用起来可以有所选择。
㈦ 怎样判断 雅克布迭代法 和 高斯-赛德尔 是否收敛
有好几种方法，最简单的是直接看给的迭代公式中的B矩阵的谱半径，如果小于1，那么两种方法都收敛。（或者严格对角占优？好像有这一条，忘记了）
然后就是第二种方法，算雅克比迭代格式的迭代矩阵BJ的谱半径，如果小于1，那么雅克比迭代法收敛，高斯赛德尔方法不一定收敛。
第三种方法，算高斯赛德尔格式的迭代矩阵BG的谱半径，如果小于1，那么高斯赛德尔迭代法收敛，雅克比方法不一定收敛。
BJ和BG的格式参考课本吧
㈧ 迭代法的收敛速度有哪几个衡量标准
摘要 亲，您好！迭代法的收敛速度衡量标准:
㈨ 牛顿迭代法的收敛条件是什么
一、收敛条件：
1、全局收敛性是指初值在定义域内任取时算法是否收敛,若收敛其速度如何,收敛到哪个根.具体来说。
2、局部收敛性有如下定理
设已知 f(x) = 0 有根 a,f(x) 充分光滑(各阶导数存在且连续).
若 f'(a) != 0(单重零点),则初值取在 a 的某个邻域内时,迭代法 x[n+1] = x[n] - f(x[n])/f'(x[n]) 得到的序列 x[n] 总收敛到 a,且收敛速度至少是二阶的.
若 f'(a) == 0(多重零点),则初值取在 a 的某个邻域内时,收敛速度是一阶的.
记 g(x)=x-f(x)/f'(x),其中"某个邻域"可由 |g'(x)|
二、牛顿迭代法的简单介绍：
牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x）的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广泛用于计算机编程中。
㈩ 怎么判断不同迭代格式的收敛性和收敛速度
对各个迭代式求导，代入附近的猜测值（此处代入1.5），看起倒数的绝对值是否小于1，小于1则收敛，大于则发散。倒数值越小收敛速度越快。
设已知 f(x) = 0 有根 a，f(x) 充分光滑(各阶导数存在且连续)
若 f'(a) != 0(单重零点)，则初值取在a的某个邻域内时，迭代法 x[n+1] = x[n] - f(x[n])/f'(x[n])得到的序列 x[n] 总收敛到a，且收敛速度至少是二阶的。
若 f'(a) == 0(多重零点)，则初值取在a的某个邻域内时，收敛速度是一阶的。
(10)计算方法迭代法怎么判断收敛区间扩展阅读：
迭代法的主要研究课题是对所论问题构造收敛的迭代格式，分析它们的收敛速度及收敛范围。迭代法的收敛性定理可分成下列三类：
①局部收敛性定理：假设问题解存在，断定当初始近似与解充分接近时迭代法收敛；
②半局部收敛性定理：在不假定解存在的情况下，根据迭代法在初始近似处满足的条件，断定迭代法收敛于问题的解；
③大范围收敛性定理：在不假定初始近似与解充分接近的条件下，断定迭代法收敛于问题的解。
迭代法在线性和非线性方程组求解，最优化计算及特征值计算等问题中被广泛应用。