向心加速度推导的方法有哪些

Ⅰ 高中物理向心加速度怎么推导

如图甲，一质点绕O点做匀速圆周运动，A点到B点的切线，即线速度Va和Vb，其大小相等。则向心加速度a就是由Vb到Va线速度的单位变化矢量。方法：如图乙，平移矢量Va，使其起点与B点重合，则矢量△V=矢量Vb－矢量Va（即转过某一弧度时线速度的改变量），设矢量Va与Vb的夹角θ就是质点做匀速圆周运动所转过的角（用弧度制表示）。
又如图丁（圆O的一部分，即扇形，OQ=OP=r，同时有弦PQ和弧PQ），设θ为OQ与OP夹角的弧度数（其实是数学上这个角对应的弧长与圆半径的比值，即弧PQ ：半径r的值，如一弧度≈57.3°）那么我们知道 X·Y/X=Y，则弧PQ的长度可以表示为“半径r·弧PQ/半径r”即弧长=半径×对应弧度。 当夹角θ很小很小时，可近似认为弧PQ=弦PQ，也就是说弯曲的弧长与笔直的线段长度几乎一样，这就为后面的求△V提供了依据。
回到图乙，如图当OB,OA之间的夹角（等于Vb与Va的夹角）很小很小时，那么对应的△V就很小很小了，并且以B为顶点，母线长为Va（或Vb）的扇形中由A点到B点所扫过的弧△V就可近似等于弦△V，即根据图丁作介绍的，若把图丁中的半径r看做线速度Va（或Vb），弧长=半径×对应弧度（也就是先前的V=ω·r）用在图乙中就是弧△V=△V=线速度（视为半径r）×弧度θ（弧△V与可视为圆半径r的线速度Va或Vb的比值） 而当△V这个量小到单位时（即一秒钟内△V的量），那么这个△V就是我们所说的向心加速度a，向心加速度a=△V/△t，而弧△V=弦△V，所以向心加速度a=弧△V/△t。
首先弧度θ是质点经过某一时间（△t）做圆周运动所转过的角度的弧度数，则角速度ω=θ/△t，表示一秒钟内转过的弧度数，即弧度θ=ω·△t，① 并且△V=弧△V=向心加速度a×△t。② 再根据弧长=半径×对应弧度，弧△V=△V=线速度V×弧度θ（如图丙，当θ小到一定程度时，弧△V=△V，小到单位弧度时就存在这样的关系）再根据①②两式，得出向心加速度a×△t=线速度V（这个矢量的大小始终不变）×角速度ω·△t，同时除去等式左右的△t，于是最终化简为： 向心加速度a=线速度V×角速度ω，即a(n)=ω·V，还有a(n)=ω2·r，a(n)=V2/r等等 都是根据此式以及V=ω·r推理出来的。

Ⅱ 向心加速度公式谁最先推导出来是怎么推导的

方法一：（课本上的方法）利用加速度的定义推导（又称矢量合成法）：
向左转|向右转
如上图所示：设小球在很短的时间t内从a运动到b，在时间t内速度变化为△v，
因为△oab∽△bdc（可自己证一下），所以有：△v/v=ab/r
当t→0时，ab=弧ab
所以：v=弧ab/t，a=△v/t
所以a=v²/r
补充：在矢量合成法中应用三角函数推导：
向左转|向右转
如上图所示，物体自半径为r的圆周a匀速率运动至b，所经时间为△t，若物体在a、b点的速率为va=vb=v，则其速度的增量△v=vb-va=vb+（-va），由平行四边形法则作出其矢量图如图1。由余弦定理可得：（由于公式难于表述，用图片替代）
向左转|向右转
可见当θ→0时，α=90°，即△v的方向和vb垂直，由于vb方向为圆周切线方向，故△v的方向指向圆心.因△v的方向即为加速度的方向，可见匀速圆周运动中加速度的方向指向圆心，
方法二：利用运动的合成与分解推导（简称运动合成法）
由于惯性,
小球有离开圆心沿切线运动的趋势,
而细线的拉力却拉着小球向圆心运动。这样小球运动可分解成沿切线方向的匀速直线运动和沿半径方向的初速度为零的匀加速直线运动
向左转|向右转
设在很短的时间t内,
小球沿圆周从a到b，可分解为沿切线ac方向的匀速直线运动和沿ad方向初速度为零的匀加速直线运动。如图一：
向左转|向右转
方法三：利用开普勒第三定律、万有引力定律和牛顿第二定律推导向心加速度
设：质量为m的人造地球卫星以速率v在半径为r的近圆轨道上绕地球运行，
运行周期为t，地球质量为m.
根据开普勒第三定律：t²/r³=k（k为常量）
根据万有引力定律：f=gmm/r²
对于圆周运动的物体有：t=2πr/v
根据牛顿第二定律：a=f/m
联立上述各式有：a=（gmk/4π²）×（v²/r）
所以：a∝v²/r
——上述三方法自己总结
方法四：曲率圆法
向左转|向右转
向左转|向右转
——来自网络贴吧
方法五：类比法：
设有一位置矢量r绕o点旋转，其矢端由a至b时发生的位移为△s（如图）.若所经时间为△t，则在此段时间内的平均速率v=△s/△t，显然这个速率描述的是位置矢量矢端的运动速率，当△t趋近于零时，这个平均速率就表示位置矢量的矢端在某一时刻的即时速率，如果旋转是匀角速的，则其矢端的运动也是匀速率的，易知其速率：v=2πr/t（1）
向左转|向右转
（1）式中t为旋转周期.再如图5是一物体由a至b过程中，每转过1/8圆周，速度变化的情况。现将其速度平移至图6中，容易看出图6和图5相类似，所不同的是图5表示的是位置矢量的旋转.，而图6则是速度矢量的旋转，显然加速度是速度的变化率，即
a=△v/△t
（2）
由图6可知，这个速度变化率其实就是速度矢量矢端的旋转速率，其旋转半径就是速率v的大小，故联立（1）（2）两式就可得出结论：a=v²/r
方向的判断：比较图5图6可以看出当△t→o时△v的方向和△s的方向相垂直.故加速度的方向和速度方向相垂直.

Ⅲ 向心加速度的公式是怎么推导出来的

向心加速度直观上和直线加速度不同
直线加速度容易以直线速度的单位变化量来表示定义
而向心加速度不应将"向心"两个字简单理解一定做规则半径的圆周运动而使加速度的概念被打乱

实际上如果把方向作为前缀
直线加速度就是和原速度方向相同或相反的直线方向上的速度微分和时间微分比
向心加速度就是和原速度方向垂直(这里用向心两个字表示),此时此方向的速度微分和时间微分比
由于圆周运动不限于最初方位,故而向心加速度总是相对于新的方位和新的速度
而直线运动中新的方位在方向上保持直线,故而容易直观理解
这是他们在理解上的不同注意点
本质上他们是一样的,定义公式也是一样
都是a=F/M,都是对即将改变的最新的速度方位的微分改变率

向心加速度只是临时向着某个圆心,如果加速度变化,则圆心也会变化,运动轨迹不一定是规则圆,只是某个时刻,总是认为正在做圆周运动的微分过程而已
除非一直相对最新方位存在固定的垂直分力大小和切向速度比恒等,则向心运动恒定画出圆圈,物体做圆周运动(是否切线加速无关)

Ⅳ 向心加速度公式是如何推出的（写出步骤）

方法一：（课本上的方法）利用加速度的定义推导（又称矢量合成法）：
向左转|向右转
如上图所示：设小球在很短的时间t内从A运动到B,在时间t内速度变化为△v,
因为△OAB∽△BDC（可自己证一下）,所以有：△v/v=AB/R
当t→0时,AB=弧AB
所以：v=弧AB/t,a=△v/t
所以a=v²/R
补充：在矢量合成法中应用三角函数推导：
向左转|向右转
如上图所示,物体自半径为r的圆周a匀速率运动至b,所经时间为△t,若物体在a、b点的速率为va=vb=v,则其速度的增量△v=vb-va=vb+（-va）,由平行四边形法则作出其矢量图如图1.由余弦定理可得：（由于公式难于表述,用图片替代）
向左转|向右转
可见当θ→0时,α=90°,即△v的方向和vb垂直,由于vb方向为圆周切线方向,故△v的方向指向圆心.因△v的方向即为加速度的方向,可见匀速圆周运动中加速度的方向指向圆心,
方法二：利用运动的合成与分解推导（简称运动合成法）
由于惯性,小球有离开圆心沿切线运动的趋势,而细线的拉力却拉着小球向圆心运动.这样小球运动可分解成沿切线方向的匀速直线运动和沿半径方向的初速度为零的匀加速直线运动
向左转|向右转
设在很短的时间t内,小球沿圆周从A到B,可分解为沿切线AC方向的匀速直线运动和沿AD方向初速度为零的匀加速直线运动.如图一：
向左转|向右转
方法三：利用开普勒第三定律、万有引力定律和牛顿第二定律推导向心加速度
设：质量为m的人造地球卫星以速率v在半径为r的近圆轨道上绕地球运行,运行周期为T,地球质量为M.
根据开普勒第三定律：T²/r³=k（k为常量）
根据万有引力定律：F=GMm/r²
对于圆周运动的物体有：T=2πr/v
根据牛顿第二定律：a=F/m
联立上述各式有：a=（GMk/4π²）×（v²/r）
所以：a∝v²/r
——上述三方法自己总结
方法四：曲率圆法
向左转|向右转
向左转|向右转
——来自网络贴吧
方法五：类比法：
设有一位置矢量r绕o点旋转,其矢端由a至b时发生的位移为△s（如图）.若所经时间为△t,则在此段时间内的平均速率v=△s/△t,显然这个速率描述的是位置矢量矢端的运动速率,当△t趋近于零时,这个平均速率就表示位置矢量的矢端在某一时刻的即时速率,如果旋转是匀角速的,则其矢端的运动也是匀速率的,易知其速率：v=2πR/T（1）
向左转|向右转
（1）式中t为旋转周期.再如图5是一物体由a至b过程中,每转过1/8圆周,速度变化的情况.现将其速度平移至图6中,容易看出图6和图5相类似,所不同的是图5表示的是位置矢量的旋转.,而图6则是速度矢量的旋转,显然加速度是速度的变化率,即
a=△v/△t （2）
由图6可知,这个速度变化率其实就是速度矢量矢端的旋转速率,其旋转半径就是速率v的大小,故联立（1）（2）两式就可得出结论：a=v²/r
方向的判断：比较图5图6可以看出当△t→o时△v的方向和△s的方向相垂直.故加速度的方向和速度方向相垂直.

Ⅳ 向心加速度公式推导是什么

向心加速度公式推导是设做匀速圆周运动的物体的线速度的大小为v ，轨迹半径为r。经过时间△t，物体从A点运动到B点。尝试用v 、r 写出向心加速度的表达式。

设小球在很小的时间t内，从A运动到B，在时间t内，速度变化为△v。因为：△OAB∽△BDC，所以：△v/v=AB/R，当t→0时,AB=弧AB=vt，所以△v/vt=v，a=△v/t，所以：a=v²/R。

向心加速度性质

向心加速度是矢量，并且它的方向无时无刻不在改变且指向圆心。所有做曲线运动的物体都有向心加速度，向心加速度反映的是圆周运动在半径方向上的速度方向(即径向即时速度方向·)改变的快慢。向心加速度又叫法向加速度，意思是指向曲线的法线方向的加速度。

当物体的速度大小也发生变化时，还有沿轨迹切线方向也有加速度，叫做切向加速度，向心加速度的方向始终与速度方向垂直，也就是说线速度始终沿曲线切线方向。学生对变速直线运动记忆犹新，尤对该运动中“加速度总导致速度大小的改变”印象更为深刻。

他们立足于已有的知识和经验来看待匀速圆周运动的加速度，于是难免以老框框套新问题，这种思维定势的负迁移作用，使他们的思维限制在已有的运动模式之中而忽视了问题的不同本质。

Ⅵ 物体的向心加速度的公式怎么推导

1
矢量合成法
如图1所示，物体自半径为r的圆周a匀速率运动至b，所经时间为△t，若物体在a、b点的速率为va=vb=v，则其速度的增量△v=vb-va=vb+（-va），由平行四边形法则作出其矢量图如图1。由余弦定理可得

可见当θ→0时，α=90°，即△v的方向和vb垂直，由于vb方向为圆周切线方向，故△v的方向指向圆心.因△v的方向即为加速度的方向，可见匀速圆周运动中加速度的方向指向圆心，
。.
.
2
运动合成法
众所周知，物体作圆周运动的条件一是受到一个指向圆心的向心力的作用.另一是有一个初速度.可以设想，若没有初速度则物体将向着圆心方向作匀加速运动.若没有向心力，则物体将沿初速度方向作匀速运动.可见圆周运动应当是沿圆心方向的匀加速直线运动和沿初速度方向的匀速运动的合运动.如图2所示，物体自a至b的运动，可看成先由a以速度v匀速运动至c，再由c以加速度α匀加速运动至b，由图可知
当△t→o时ac方向的运动可以忽略.故物体只有指向圆心方向的加速度α.
3
位移合成法
如图3所示，设物体自a点经△t沿圆周运动至b，其位移ab可看成是切向位移s1和法向位移s2的矢量和.由以上分析可知，其法向运动为匀加速
由图知：△acb∽△adb，故有ac∶ab=ab∶ad，
4
类比法
设有一位置矢量r绕o点旋转，其矢端由a至b时发生的位移为△s（如图4）.若所经时间为△t，则在此段时间内的平均速率
显然这个速率描述的是位置矢量矢端的运动速率，当△t趋近于零时，这个平均速率就表示位置矢量的矢端在某一时刻的即时速率，如果旋转是匀角速的，则其矢端的运动也是匀速率的，易知其速率
（1）式中t为旋转周期.再如图5是一物体由a至b过程中，每转过1/8圆周，速度变化的情况。现将其速度平移至图6中，容易看出图6和图5相类似，所不同的是图5表示的是位置矢量的旋转.，而图6则是速度矢量的旋转，显然加速度是速度的变化率，即
由图6可知，这个速度变化率其实就是
端的旋转速率，其旋转半径就是速率v的大小，故有
比较图5图6可以看出当△t→o时△v的方向和△s的方向相垂直.故加速度的方向和速度方向相垂直.

Ⅶ 向心加速度的表达式是怎么推导出来的

设速度为V，半径为R在一个极小的时间T里，转过角度a为VT/R，这个角度很小，所以sina=a；然后对这个时间末的速度分解，法向速度为Vsina，这个是速度在法向的增量，在除以这个T 就是加速度了

Ⅷ 向心加速度表达式的推导过程

现设一质点以R为半径作匀速圆周运动，质点的线速度为V，周期为T，角速度为ω。

当质点运动一周时，周角为2π，是间为T，由定义有：

ω＝2π/T

因为线速度又等于周长与周期比值

∵V＝L/T=2πR/T＝ωR

∴V=ωR…………………………（1）

如图甲，质点在时间差Δt内从a点运动到b点，则它的速度变化量为ΔV，

如图乙。速度变化的角等于圆心角θ。

在Va、Vb、ΔV组成的小三角形成中，

把它补成小扇形。在数学上有弧长等于半径与圆心角的积。

当θ足够小时，则可以认为弧长等于弦长。

这时ΔV相当扇形的弦，Va＝Vb＝V相当于半径

所以有

ΔV＝θV……………………………………（2）

因为圆心角等于角速度与时间的积

θ=ωΔt……………………………………（3）

由（1）、（2）、（3）可得

a=ΔV/Δt=θV/Δt=θωR/Δt＝ωΔtωR/Δt＝ω2R

即a=ω2R

还可以推出

a＝ω2R＝ωRω＝ωV=(V/R)V=V2/R

即a=ωV＝ω2R＝V2/R

(8)向心加速度推导的方法有哪些扩展阅读

向心加速度是矢量，并且它的方向无时无刻不在改变且指向圆心（曲率中心）。

所有做曲线运动的物体都有向心加速度，向心加速度反映的是圆周运动在半径方向上的速度方向(即径向即时速度方向·)改变的快慢。

向心加速度又叫法向加速度，意思是指向曲线的法线方向的加速度。

当物体的速度大小也发生变化时，还有沿轨迹切线方向也有加速度，叫做切向加速度。

向心加速度的方向始终与速度方向垂直，也就是说线速度始终沿曲线切线方向。

Ⅸ 向心加速度的公式是怎么推导出来的

匀速圆周运动中速度的大小不变，而方向不断变化。加速度的效果就是不断改变这个方向。切向不需要力，如果切向有力，那速度不光方向变，大小也要变。
那个公式严谨的推导需要微积分知识。我可以给你一个简单的你能理解的推导。
一个速度v绕半径r的元周转。在很小很小一段时间t里。这个速度在圆周上转过的角度是vt/r。
那这个速度的改变量是多少呢？速度大小不变，方向转动过一个很小的角度vt/r，可以近似得出速度的变化量为速度v乘这个角度，即vvt/r。由a=v/t
得出a=vv/r