复平面代数解决方法

㈠ 高一数学复数的四则运算知识点分析

高一的数学学习是很多学生比较头疼的一件事，下面是我给大家带来的有关于高一数学的部分的知识点的总结介绍，希望能够帮助到大家。

高一数学复数的四则运算知识点

复数的概念：

形如a+bi(a，b∈R)的数叫复数，其中i叫做虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。

复数的表示：

复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。

复数的几何意义：

(1)复平面、实轴、虚轴：

点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数

(2)复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即

这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。

这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。

复数的模：

复数z=a+bi(a、b∈R)在复平面上对应的点Z(a，b)到原点的距离叫复数的模，记为|Z|，即|Z|=

虚数单位i：

(1)它的平方等于-1，即i2=-1;

(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立

(3)i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是-i。

(4)i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。

复数模的性质：

复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：

对于复数a+bi(a、b∈R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数0。

复数集与其它数集之间的关系：

复数的运算：

1、复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;

2、复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;

3、复数的乘法运算规则：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i，其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数。

4、复数的除法运算规则：

。

复数加法的几何意义：

设

为邻边画平行四边形

就是复数

对应的向量。

复数减法的几何意义：

复数减法是加法的逆运算，设

，则这两个复数的差

对应，这就是复数减法的几何意义。

共轭复数：

当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。

虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。

复数z=a+bi和

=a-bi(a、b∈R)互为共轭复数。

复数的运算律：

1、复数的加法运算满足交换律：z1+z2=z2+z1;

结合律：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3);

2、减法同加法一样满足交换律、结合律。

3、乘法运算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3;(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3;(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3

㈡ 高中数学的复数运算的公式分析

数学的学习中也有些的知识点是需要学生记忆的，下面是我给大家带来的有关于高中数学的复数运算的公式的介绍，希望能够帮助到大家。
高中数学的复数运算的公式
1.知识网络图

2.复数中的难点

(1)复数的向量表示法的运算.对于复数的向量表示有些学生掌握得不好，对向量的运算的几何意义的灵活掌握有一定的困难.对此应认真体会复数向量运算的几何意义，对其灵活地加以证明.

(2)复数三角形式的乘方和开方.有部分学生对运算法则知道，但对其灵活地运用有一定的困难，特别是开方运算，应对此认真地加以训练.

(3)复数的辐角主值的求法.

(4)利用复数的几何意义灵活地解决问题.复数可以用向量表示，同时复数的模和辐角都具有几何意义，对他们的理解和应用有一定难度，应认真加以体会.

3.复数中的重点

(1)理解好复数的概念，弄清实数、虚数、纯虚数的不同点.

(2)熟练掌握复数三种表示法，以及它们间的互化，并能准确地求出复数的模和辐角.复数有代数，向量和三角三种表示法.特别是代数形式和三角形式的互化，以及求复数的模和辐角在解决具体问题时经常用到，是一个重点内容.

(3)复数的三种表示法的各种运算，在运算中重视共轭复数以及模的有关性质.复数的运算是复数中的主要内容，掌握复数各种形式的运算，特别是复数运算的几何意义更是重点内容.

(4)复数集中一元二次方程和二项方程的解法.

4. ⑴复数的单位为i，它的平方等于-1，即

.

⑵复数及其相关概念：

① 复数—形如a + bi的数(其中

);

② 实数—当b = 0时的复数a + bi，即a;

③ 虚数—当

时的复数a + bi; ④ 纯虚数—当a = 0且

时的复数a + bi，即bi.

⑤ 复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部(注意a，b都是实数)

⑥ 复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.

⑶两个复数相等的定义：

.

⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.

注：①若

为复数，则

若

，则

.(×)[

为复数，而不是实数]

若

，则

.(√) ②若

，则

是

的必要不充分条件.(当

，

时，上式成立) 5. ⑴复平面内的两点间距离公式：

. 其中

是复平面内的两点

所对应的复数，

间的距离. 由上可得：复平面内以

为圆心，

为半径的圆的复数方程：

.

⑵曲线方程的复数形式：

①

为圆心，r为半径的圆的方程. ②

表示线段

的垂直平分线的方程. ③

为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程(若

，此方程表示线段

). ④

表示以

为焦点，实半轴长为a的双曲线方程(若

，此方程表示两条射线).

⑶绝对值不等式：

设

是不等于零的复数，则 ①

. 左边取等号的条件是

，右边取等号的条件是

. ②

. 左边取等号的条件是

，右边取等号的条件是

. 注：

.

6. 共轭复数的性质：

，

(

a + bi)

(

)

注：两个共轭复数之差是纯虚数. (×)[之差可能为零，此时两个复数是相等的]

7

⑴①复数的乘方：

②对任何

，

及

有 ③

注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如

若由

就会得到

的错误结论. ②在实数集成立的

. 当

为虚数时，

，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.

⑵常用的结论：

若

是1的立方虚数根，即

，则 . 8. ⑴复数

是实数及纯虚数的充要条件： ①

. ②若

，

是纯虚数

.

⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零.

注：

. 9. ⑴复数的三角形式：

. 辐角主值：

适合于0≤

<

的值，记作

. 注：①

为零时，

可取

内任意值. ②辐角是多值的，都相差2

的整数倍. ③设

则

.

⑵复数的代数形式与三角形式的互化：

，

，

.

⑶几类三角式的标准形式：

10. 复数集中解一元二次方程：

在复数集内解关于

的一元二次方程

时，应注意下述问题： ①当

时，若

>0，则有二不等实数根

;若

=0，则有二相等实数根

;若

<0，则有二相等复数根

(

为共轭复数). ②当

不全为实数时，不能用

方程根的情况. ③不论

为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.

11. 复数的三角形式运算：

棣莫弗定理：
高中数学的知识点的口诀
高中数学口诀一、《集合与函数》

内容子交并补集，还有幂指对函数。性质奇偶与增减，观察图象最明显。

复合函数式出现，性质乘法法则辨，若要详细证明它，还须将那定义抓。

指数与对数函数，两者互为反函数。底数非1的正数，1两边增减变故。

函数定义域好求。分母不能等于0，偶次方根须非负，零和负数无对数;

正切函数角不直，余切函数角不平;其余函数实数集，多种情况求交集。

两个互为反函数，单调性质都相同;图象互为轴对称，Y=X是对称轴;

求解非常有规律，反解换元定义域;反函数的定义域，原来函数的值域。

幂函数性质易记，指数化既约分数;函数性质看指数，奇母奇子奇函数，

奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数;图象第一象限内，函数增减看正负。

高中数学口诀二、《三角函数》

三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。

同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割;

中心记上数字1，连结顶点三角形;向下三角平方和，倒数关系是对角，

顶点任意一函数，等于后面两根除。诱导公式就是好，负化正后大化小，

变成税角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不变，

将其后者视锐角，符号原来函数判。两角和的余弦值，化为单角好求值，

余弦积减正弦积，换角变形众公式。和差化积须同名，互余角度变名称。

计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。

逆反原则作指导，升幂降次和差积。条件等式的证明，方程思想指路明。

万能公式不一般，化为有理式居先。公式顺用和逆用，变形运用加巧用;

1加余弦想余弦，1 减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范;

三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围;

利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集;

高中数学口诀三、《不等式》

解不等式的途径，利用函数的性质。对指无理不等式，化为有理不等式。

高次向着低次代，步步转化要等价。数形之间互转化，帮助解答作用大。

证不等式的方法，实数性质威力大。求差与0比大小，作商和1争高下。

直接困难分析好，思路清晰综合法。非负常用基本式，正面难则反证法。

还有重要不等式，以及数学归纳法。图形函数来帮助，画图建模构造法。

高中数学口诀四、《数列》

等差等比两数列，通项公式N项和。两个有限求极限，四则运算顺序换。

数列问题多变幻，方程化归整体算。数列求和比较难，错位相消巧转换，

取长补短高斯法，裂项求和公式算。归纳思想非常好，编个程序好思考：

一算二看三联想，猜测证明不可少。还有数学归纳法，证明步骤程序化：

首先验证再假定，从 K向着K加1，推论过程须详尽，归纳原理来肯定。

高中数学口诀五、《复数》

虚数单位i一出，数集扩大到复数。一个复数一对数，横纵坐标实虚部。

对应复平面上点，原点与它连成箭。箭杆与X轴正向，所成便是辐角度。

箭杆的长即是模，常将数形来结合。代数几何三角式，相互转化试一试。

代数运算的实质，有i多项式运算。i的正整数次慕，四个数值周期现。

一些重要的结论，熟记巧用得结果。虚实互化本领大，复数相等来转化。

利用方程思想解，注意整体代换术。几何运算图上看，加法平行四边形，

减法三角法则判;乘法除法的运算，逆向顺向做旋转，伸缩全年模长短。

三角形式的运算，须将辐角和模辨。利用棣莫弗公式，乘方开方极方便。

辐角运算很奇特，和差是由积商得。四条性质离不得，相等和模与共轭，

两个不会为实数，比较大小要不得。复数实数很密切，须注意本质区别。

高中数学口诀六、《排列、组合、二项式定理》

加法乘法两原理，贯穿始终的法则。与序无关是组合，要求有序是排列。

两个公式两性质，两种思想和方法。归纳出排列组合，应用问题须转化。

排列组合在一起，先选后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考虑。

不重不漏多思考，捆绑插空是技巧。排列组合恒等式，定义证明建模试。

关于二项式定理，中国杨辉三角形。两条性质两公式，函数赋值变换式。

高中数学口诀七、《立体几何》

点线面三位一体，柱锥台球为代表。距离都从点出发，角度皆为线线成。

垂直平行是重点，证明须弄清概念。线线线面和面面、三对之间循环现。

方程思想整体求，化归意识动割补。计算之前须证明，画好移出的图形。

立体几何辅助线，常用垂线和平面。射影概念很重要，对于解题最关键。

异面直线二面角，体积射影公式活。公理性质三垂线，解决问题一大片。

高中数学口诀八、《平面解析几何》

有向线段直线圆，椭圆双曲抛物线，参数方程极坐标，数形结合称典范。

笛卡尔的观点对，点和有序实数对，两者—一来对应，开创几何新途径。

两种思想相辉映，化归思想打前阵;都说待定系数法，实为方程组思想。

三种类型集大成，画出曲线求方程，给了方程作曲线，曲线位置关系判。

四件工具是法宝，坐标思想参数好;平面几何不能丢，旋转变换复数求。

㈢ 已知复平面内等边三角形的两个顶点A、B分别对应复数z1=-i，z2=-根号3i

1、先别管是不是复数，先按照普通的向量来做。
A(0,-1),B(-√3，0）三角形ABC等边。你用作图，或者别的代数方法，都可以得到C(0,1)
那么，把C点坐标重新变成复数形态。C=i
AC=C-A=[i-(-i)]=2i

㈣ 复数的概念与代数运算

复数概念的引入最初是为了求解 这样的没有实根的方程,因此复数集可以看作实数集的一个自然的扩充.为此,首先引进一个“新数”i,使它满足 ,即 适合方程 .这个新数 称为虚数单位.将 添加到实数集中去,定义:形如 ( 、 均是实数)的表达式称为一个复数.其中的 和 分别叫做复数 的实部和虚部,分别记作

一、复数 的分类当

虚部 时,复数 是实数;

当虚部 时,复数 是虚数;

当虚部 ,且实部 时,复数 是纯虚数.

如果记
——实数集
——复数集
——虚数集
——纯虚数集

就有关系

二、复数相等的充要条件

对于两个复数 , ,二者相等的充要条件是 且 ,即

复数相等的充要条件是复数问题化归为实数问题的理论依据,“化虚为实”是解决复数问题的通性通法.

三、复数的运算法则

对于两个复数 、 .

加法: ;

减法: ;

乘法: ;

除法: .

四、复数的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律,也就是说,对于任何复数 、 、 均有

复数的乘法满足交换律、结合律,以及乘法对于加法的分配律.也就是说,对于复数 、 、 ,均有

五、共轭复数的性质

当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,就称其互为共轭复数.特别地,若复数的虚部不为零时,也称作互为共轭虚数.对于复数 ,它的共轭复数用 来表示.

共轭复数有如下基本性质:

(1) ;

(2) ;

(3) ;

(4) ;

(5) ;

(6) ;

(7) 是实数的充要条件是 ; 是纯虚数的充要条件是 且 .

六、复数的几何形式

复数 与复平面上的点 是一一对应的,点 和向量 也构成一—对应关系,点 和向量 均是复数 的几何形式.向量 的模 称为复数 的模 ,即

这种对应关系的构建,揭示了复数问题与向量问题之间的相互转化,说明了向量方法是解决复数问题的一条有效途径.

关于复数的模,有如下的基本性质:

(1) ;

(2) ;

(3) .

㈤ |z-2|-|z+2|>1怎么化简 z为复数 用代数方法化简 可以不

在复平面上,就是复数z到（2,0）点的距离和到（-2,0）点的距离只差大于1,也就是在以（2,0）和（-2,0）为焦点的双曲线左半支的左边部分
写出这个双曲线的方程x^2/A-y^2/B=1,取左半支,并把等号改成大于号就行了

㈥ 复数 在复平面上对应的点在第     象限．

分析：
通过复数的分子、分母推出复数i，化简复数我实数的形式，然后求出复数对应点的坐标，推出所在象限．

复数==1-2i，复数对应的点为（1，-2），复数在复平面上对应的点在第四象限．故答案为：四．
点评：
本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的代数表示法及其几何意义，考查计算能力．

㈦ 有关于复数的几何意义，能不能给我一些经典的题，用一些新颖易懂的方法来解释。

“复数”、“虚数”这两个名词，都是人们在解方程时引入的。为了用公式求一元二次、三次方程的根，就会遇到求负数的平方根的问题。1545年，意大利数学家卡丹诺（GirolamoCardano,1501年~1576年）在《大术》一书中，首先研究了虚数，并进行了一些计算。1572年，意大利数学家邦别利（RafaclBombclli,1525年~1650年）正式使用“实数”“虚数”这两个名词。此后，德国数学家莱布尼兹（GottfriedWilbclmLcibniz,1646年~1716年）、瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler,1707年~1783年）和法国数学家棣莫佛（AbrabamdeMoivre,1667年~1754年）等又研究了虚数与对数函数、三角函数等之间的关系，除解方程以外，还把它用于微积分等方面，得出很多有价值的结果，使某些比较复杂的数学问题变得简单而易于处理。大约在1777年，欧拉第一次用i来表示-1的平方根，1832年，德国数学家高斯（CarlFricdrichGauss,1777年~1855年）第一次引入复数概念，一个复数可以用a＋bi来表示，其中a，b是实数，i代表虚数单位，这样就把虚数与实数统一起来了。高斯还把复数与复平面内的点一一对应起来，给出了复数的一种几何解释。不久，人们又将复数与平面向量联系起来，并使其在电工学、流体力学、振动理论、机翼理论中得到广泛的实际应用，然后，又建立了以复数为变数的“复变函数”的理论，这是一个崭新而强有力的数学分支，所以我们应该深刻认识到了“虚数不虚”的道理。
16世纪意大利米兰学者卡当（Jerome Cardan1501—1576）在1545年发表的《重要的艺术》一书中，公布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”。他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家，并且在讨论是否可能把10分成两部分，使它们的乘积等于40时，他把答案写成=40，尽管他认为和这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺的，但他还是把10分成了两部分，并使它们的乘积等于40。给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔（1596—1650），他在《几何学》（1637年发表）中使“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来。

数系中发现一颗新星——虚数，于是引起了数学界的一片困惑，很多大数学家都不承认虚数。德国数学家莱布尼茨（1646—1716）在1702年说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所，它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”。瑞士数学大师欧拉（1707—1783）说；“一切形如，习的数学武子都是不可能有的，想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根。对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻。”然而，真理性的东西一定可以经得住时间和空间的考验，最终占有自己的一席之地。法国数学家达朗贝尔（1717—1783）在1747年指出，如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算，那么它的结果总是的形式（a、b都是实数）（说明：现行教科书中没有使用记号＝－i，而使用=一1）。法国数学家棣莫佛（1667—1754）在1730年发现公式了，这就是着名的棣莫佛定理。欧拉在1748年发现了有名的关系式，并且是他在《微分公式》（1777年）一文中第一次用i来表示一1的平方根，首创了用符号i作为虚数的单位。“虚数”实际上不是想象出来的，而它是确实存在的。挪威的测量学家成塞尔（1745—1818）在1779年试图给于这种虚数以直观的几何解释，并首先发表其作法，然而没有得到学术界的重视。

德国数学家高斯（1777—1855）在1806年公布了虚数的图象表示法，即所有实数能用一条数轴表示，同样，虚数也能用一个平面上的点来表示。在直角坐标系中，横轴上取对应实数a的点A，纵轴上取对应实数b的点B，并过这两点引平行于坐标轴的直线，它们的交点C就表示复数a＋bi。象这样，由各点都对应复数的平面叫做“复平面”，后来又称“高斯平面”。高斯在1831年，用实数组（a，b）代表复数a＋bi，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”。他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词，还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合。统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中，并把数轴上的点与实数—一对应，扩展为平面上的点与复数—一对应。高斯不仅把复数看作平面上的点，而且还看作是一种向量，并利用复数与向量之间—一对应的关系，阐述了复数的几何加法与乘法。至此，复数理论才比较完整和系统地建立起来了。

经过许多数学家长期不懈的努力，深刻探讨并发展了复数理论，才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱，显现出它的本来面目，原来虚数不虚呵。虚数成为了数系大家庭中一员，从而实数集才扩充到了复数集。
望采纳，谢谢。

㈧ 在扩充复平面上讨论函数f(z)=1/z(z^2+1)^3的奇点并加以分类，指出极点其级数

函数f(z)=1/z(z^2+1)^3的奇点：

实数中当某点看似 "趋近" 至 ±∞ 且未定义的点，即是一奇点x= 0。方程式g（x） = |x|（参见绝对值）亦含奇点x= 0（由于它并未在此点可微分）。同样的，在y=x有一奇点（0,0），因为此时此点含一垂直切线。

一个代数集合在（x,y）维度系统定义为y= 1/x有一奇点（0,0），因为在此它不允许切线存在。

(8)复平面代数解决方法扩展阅读

不像实变量函数，全纯函数有足够的刚性使得其孤立奇点可完全分类。一个全纯函数的奇点要么其实不是真正的奇点，即可去奇点，要么是如下两类居其一：

受黎曼定理启示，给定一个不可去奇点，我们可能问是否存在一个自然数m使得 limz→a(z - a)f(z) = 0。如果存在，a称为f的一个极点，这样最小的m称为a的阶数。所以可去奇点恰好是零阶极点。一个全纯函数在极点附近一致发散到无穷远点。

如果f的一个孤立奇点a既非可去奇点也非极点，则称本性奇点。皮卡定理指出f将任意穿孔开邻域U- {a} 映满整个复平面，至多少一个可能的例外点。

㈨ 复数代数表达式和三角表达形式各有什么优势，分别适合那些运算

复数的代数形式与三角形式，在复平面都可以像直角坐标系，表示出位置与图形。
二，对于加减乘除运算法则的运用，代数形式比较方便。
三，对于乘方开方不如三角形式。
在中等教育知道这些也就可以了。
——这些在教科书都有。
（理科高校学习一些复变函数论，那是另一回事了。）

㈩ 高三数学复数知识点整理

复数是高考选择题必考的知识点之一，想要高考得高分，选择题就一分也不能丢，我为各位学子整理了《 高三数学 复数知识点整理》感谢阅读！

【一】

两个复数相等的定义：

如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di

a=c，b=d。特殊地，a，b∈R时，a+bi=0

a=0，b=0.

复数相等的充要条件，提供了将复数问题化归为实数问题解决的途径。

复数相等特别提醒：

一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就可以比较大小，也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。

解复数相等问题的 方法 步骤：

(1)把给的复数化成复数的标准形式;

(2)根据复数相等的充要条件解之。

【二】

复数的概念：

形如a+bi(a，b∈R)的数叫复数，其中i叫做虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。

复数的表示：

复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。

复数的几何意义：

(1)复平面、实轴、虚轴：

点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数

(2)复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即

这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。

这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。

复数的模：

复数z=a+bi(a、b∈R)在复平面上对应的点Z(a，b)到原点的距离叫复数的模，记为|Z|，即|Z|=

虚数单位i：

(1)它的平方等于-1，即i2=-1;

(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立

(3)i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是-i。

(4)i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。

复数模的性质：

复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：

对于复数a+bi(a、b∈R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数0。

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