周期函数问题及解决方法

Ⅰ 有关周期函数的一些问题

(1)周期函数的规律或性质是怎么样的?
设周期函数f(x)的周期为T,那么有f(x)=f(x+nT),n∈Z

(2)如何画图?画图应注意什么?
先作出一个周期内该周期函数的图象,其他周期只要复制这个周期内的图象就能得到该周期函数的完整图象

(3)如何把y=sin2x+√3cos2x化成f(x)=Asin(ωx+ψ)的形式?
y=sin2x+√3cos2x
=2[(1/2)(sin2x)+(√3/2)(cos2x)]
=2(sin2xcosπ/3+cos2xsinπ/3)
=2sin(2x+π/3)

A=2,ω=2,ψ=π/3
周期T=2π/ω=2π/2=π
2sin(2x+π/3)=2sin[2(x+π/6)]
y=sin2x+√3cos2x的图象可以由y=sinx的图象横坐标缩小一倍,纵坐标扩大一倍,向左平移π/6个单位得到

Ⅱ 函数周期问题怎么解

函数周期性的概念．教学过程设计师：上节课我们学习了利用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象．今天我们将利用正弦函数图象，研究三角函数的一个重要性质．请同学们观察y=sinx，x∈R的图象：（老师把图画在黑板左上方．）师：通过观察，同学们有什么发现？生：正弦函数的定义域是全体实数，值域是〔-1，1〕．图象有规律地不断重复出现．师：规律是什么？生：当自变量每隔2π时，函数值都相等．师：正弦函数的这种性质叫周期性．我们将会发现，不但正弦函数具有这种性质，其它的三角函数和不少的函数也都具有这样的性质，因此我们就把它作为今天研究的课题：函数的周期性．（老师在黑板左上方写出课题）师：我们先看函数周期性的定义．（老师板书）定义 对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．师：请同学们逐字逐句的阅读定义，找出定义中的要点．生：首先T是非零常数，第二是自变量x取定义域内的每一个值时都有f（x+T）=f（x）．师：找得准！那么为什么要这样规定呢？师：如果T=0，那么f（x+T）=f（x）恒成立，函数值当然不变，没有研究价值；如果T为变数，就失去了“周期”的意义了．“每一个值”的含义是无一例外．师：除这两条外，定义中还有一个隐含的条件是什么？生：如果x属于y=f（x）的定义域，则T+x也应属于此定义域．师：对．否则f（x+T）就没有意义．师：函数周期性的定义有什么用途？生：它为我们提供判定函数是否具有周期性的理论依据．师：下面我们看例题．（老师板书）例1 证明y=sinx是周期函数．生：因为由诱导公式有sin（x+2π）=sinx．所以2π是y=sinx是一个周期．故它就是周期函数．例2师：要想判断T是不是函数y=f（x）的周期有什么方法？我们现有的理论依据只有定义，如何使用定义？对于定义域内的每一个x，都有f（x+T）=f（x），而不是有（存在着）某一个x，使f（x+T）=f（x）成立．要想证明T不是周期，只要找到一个x0，使得f（x0+T）≠f（x0）即可．所以乙是正确的．师：分析得好！同学对概念的学习应该做到真正能弄清每句话的含义，而不能只停留在字面的意思读懂了．这样才可能透彻地理解概念，为进一步的学习打下牢固的基础．例3 已知f（x+T）=f（x）（T≠0），求证f（x+2T）=f（x）．师：此题用文字如何叙述？谁能给予证明？生：若不等于零的常数T是f（x）的一个周期，证明2T仍是f（x）的周期．因为T是f（x）的周期，所以f（x+T）=f（x），f〔（x+T）+T〕=f（x+T），即f（x+2T）=f（x）．因此2T是f（x）的周期．师：这个命题推广可得到什么结论？生：如果T是f（x）的周期，那么2T，3T，…，nT（n∈Z）也都是f（x）的周期．师：这说明如果一个函数是周期函数，所有的周期就构成一个无穷集合．这无数个周期中，我们有必要研究在它们中间是否存在着最小正周期．这是为什么？生甲：如果发现一个函数存在最小正周期，就可以确定这个函数的所有周期．生乙：更具有实用性．如果找到最小正周期，就可以在其定义域的一个长度为最小正周期的范围内对函数进行研究．师：这位同学思考问题有一定的深刻性．他不但弄清最小正周期的实质，还进一步想到我们研究函数周期性的目的，那就是要研究一个周期函数在整个定义域上的性质，只要研究它在一个周期内的性质，然后经过周期延拓即可．如果能够确定最小正周期，可使研究的范围缩小在最小正周期的范围内．这无疑给我们研究周期函数的性质带来方便．（老师在函数的周期性定义下板书）如果在所有的周期中存在着一个最小正周期，就把它叫做最小正周期．例4 证明f（x）=sinx（x∈R）的最小正周期是2π．师：例1证明了y=sinx是周期函数，并且找到了一个周期T=2π．例是2π．要想证明这个命题，只要证明什么？生：只要证明任何比2π小的正数都不是它的周期．师：如何证？能否逐一证明比2π小的正数都不行呢？当然不行．因为比2π小的正数是无限的．那这样的命题应如何证？生：反证法．假设存在T∈（0，2π）使得y=sinx对于任意的x∈R都成立．推出矛盾即可．师：你能具体的给予证明吗？生：假设T是y=sinx，x∈R的最小正周期，且0＜T＜2π，那么根据周期函数的定义，当x为任意值时都有sin（x+T）=sinx．即 cosT=1．这与T∈（0，2π）时，cosT＜1矛盾．这个矛盾证明了y=sinx，x∈R的最小正周期是2π．师：请同学们在课堂练习本上证明y=cosx的最小正周期是2π．师：通过上面的例题和练习我们得出这样的结论，正弦函数y=sinx（x∈R）和余弦函数y=cosx（x∈R）都是周期函数，2πk（k∈Z且k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π．例5 求y=3cosx的周期．师：以后求周期如果没有特殊要求，都求的是最小正周期生：因为y=cosx的周期是2π，所以y=3cosx的周期也是2π．师：好．好在他能利用我们总结出的结论，也就是新知识归结到旧知识上去．你能再具体的证明吗？生：可以从数和形两个角度来证明．解（一） 因为对一切x∈R，3cos（x+2π）=3cosx，所以y=3cosx的周期是2π．解（二） 因为y=3cosx图象是把y=cosx图象上的每点的横坐标不变，纵坐标扩大3倍得到的，当自变量x（x∈R）增加到x+2π且必须增加到x+2π时，函数cosx的值才重复出现，因而函数3cosx的值也才重复出现，因此y=3cosx的周期是2π．师：数和形是我们研究数学问题的两个方面，他都想到了，并且能完整的叙述清楚，若把此题推广，能得到什么结论？生：y=Asinx，y=Acosx（A≠0，是常数）的周期都是2π，也就是说函数周期的变化与系数A无关．例6 求y=sin2x的周期．（请不同解法的三位同学在黑板上板演）生甲：解 因为y=sin（2x＋2π）=sin2x，对于任意x∈R都成立．所以y=sin2x的周期是2π．生乙：解 因为y＝sin（2x＋2π）＝sin2（x＋π）＝sin2x，所以y＝sin2x的周期是π．生丁：解 设2x＝u，因为y＝sinu的周期是2π，所以y＝sin（u＋2π）=sinu，即 sin（2x+2π）＝sin2（x+π）＝sin2x，所以y=sin2x的周期是π．师：我们一起来分析三个同学的解法．解法一是错误的，错误在对于周期函数定义中任意x都有f（x＋T）=f（x）的本质没弄清楚，要证明y=sin2x是周期函数，应证明对于任意x∈R，都有y=sin2x=sin2（x+T），而不是y=sin2x=sin（2x+T）．解法（二），（三）是正确的．区别在于解法（三）经过换元，把要研究的新问题y＝sin2x的周期转化为已有的旧知识y＝sinu的周期．这种转换的意识、换元的思想是很重要的．师：其实这个问题也可以从图象的变换来考虑．我们先看如何由y＝sinx的图象得到y＝sin2x的图象．使y=sinx的图象上的每点的纵坐标当自变量每增加2π且必须增加2π时，函数值重复出现，现在就是当sin2x的周期是π．师：通过这个例题我们看到，谁对函数的周期有影响？是x的系数．有怎样的影响？带着这个问题同学们做下面的题目．例7y＝2sin（u＋2π）=2sinu，师：通过这个例题，进一步验证了我们的猜想，函数的周期的变化仅与自变量x的系数有关．我们把例7写成一般式．例8 求y=Asin（ωx+ ）的周期．（其中A，ω， 为常数，且A≠0，ω＞0，x∈R）解 设u＝ωx＋ ．因为y＝sinu的周期是2π，所以sin（u＋2π）=sinu，师：这样就证明了我们的猜想，不但函数的周期仅与自变量的系数（老师板书）师：以后再求正弦函数或余弦函数的周期，可由上面的结论直接写出它的周期．师：（总结）通过今天的课，同学们应明确以下几个问题．（一）研究函数周期的意义是什么？周期函数是反映现实世界中具有周期现象的数学模型．如果能找到函数的最小正周期T，那么只要在以T为氏度的区间内．就可以研究函数的图象与性质，然后推断出函数在整个定义域的图象和性质．这给我们研究函数带来了方便．（二）对于函数周期的定义应注意：1．f（x＋T）=f（x）是反映周期函数本质属性的条件．对于任意常数T（T≠0），如果在函数定义域中至少能找到一个x，使f（x＋T）＝f（x）不成立，我们就断言y=f（x）不是周期函数．对于某个确定的常救T≠0．如果在函数定义域中至少能找到一个x，使f（x＋T）＝f（x）不成立．我们能断言T不是函数y=f（x）的周期，但不能说明y＝f（x）不是周期函数．2．定义中的“每一个值”是关键词．此函数对于任意确定的常数T≠0，尽管f（x＋T）=f（x）对函数定义域（-∞，+∞）中几乎所有x都成立．但仅仅由于x的个别值x=0，x=-T时，等式不成立．因此函数f（x）不是周期函数．（三）周期函数的周期与最小正周期的区别与联系．1．周期函数的周期一定存在，但最小正周期不一定存在，最小正周期如果存在必定唯一．周期函数的周期有无数个．如：f（x）=c（常数），任意非零实数都是它的周期，但由于不存在不等于零的最小正实数，所以f（x）=c没有最小正周期．这个例子也同时说明不是只有三角函数才具有周期性．2．周期函数的最小正周期一定是这个函数的周期，反之不然．例如，2π是y=sinx的最小正周期，也是函数的周期；4π是函数的周期，但不是最小正周期．作业：课本P178第6题，P132第4题．课堂教学设计说明此教学方案是按照“教师为主导，学生为主体，课本为主线．”的原则而设计的．教师的主导作用在于激发学生的求知欲，为学生创设探索的情境，指引探索的途径，引导学生不断地提出新问题，解决新问题．函数周期性概念的教学是本节课的重点．概念教学是中学数学教学的一项重要内容，不能因其易而轻视．也不能因其难而回避．概念教学应面向全体学生，但由于函数的周期的概念比较抽象，所以学生对它的认识不可能一下子就十分深刻．因此，进行概念教学时，除了逐字逐句分析，还要通过不同的例题，让学生暴露出问题，通过老师的引导，使学生对概念的理解逐步深入．

有帮助记得好评，新问题请重新发帖提问，这里不再回答谢谢

Ⅲ 高中数学关于函数周期性的问题

因为f(x+1)=-f(x)，所以f(x+2)=f[(x+1)+1]=-f(x+1)=-[-f(x)]=f(x)，
所以f(x)为周期函数，且周期为2.
当1<=x<=2时，-1<=（x-2）<=0
所以f(x)=f[(x-2)+2]=f(x-2)=(x-2)^3-2(x-2)-1=(x-2)^3-2x+3

函数，主要是变换，换元的思想方法很重要
周期函数，主要是定义，变形，好好体会第一行的变形，
又如：f(x+2)=-1/f(x)
则，f(x+4）=。。。=。。。=f(x)

.。。。处作为练习，相信你能行的。

Ⅳ 高中数学中证明奇偶函数、周期函数、含参的等问题（各种方法的思路）

题1：（1）令x=0，有f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)
令y=0，有f(x)+f(x)=2f(x)f(0)
注意到x与y是同等关系的(即x与y的位置可以调换）
于是，由上面两式可以等到f(x)=f(-x),(两式相减）定义域为R，所以为偶函数。
(2)令y=1/2，则有f(x+1/2)+f(x-1/2)=0，即f(x+1/2)=-f(x-1/2)=f(1/2-x)，（*）
再令x+1/2=t,x=t-1/2,（*）式则为f(t)=f(t+1)
所以 f（x）是周期函数。
（3）令x=1/3,y=1/6,有f(1/2)+f（1/6）=2f(1/3)f（1/6）又f（1/2）=0，
所以f（1/6）[1-2f(1/3)]=0，因为f（x）在[0,1]内是单调函数，所以f(1/6)不为0，所以f(1/3)=1/2，
同样方法可以求f(1/6)的值。
题2，在[1/2，正无穷]上是增函数，说明函数f（x）=x²+2x+a的对称轴在1/2的左边。显然，f（x）=x²+2x+a对称轴为x=-1，与a无关，则属于R。二次函数，配方可以解决单调性，值域等问题。
题3，外函数是增函数，则内涵数也要为增函数（同增异减),所以a＞0，且对称轴在1的左边，另外，还要确保当x=1时，ax²+2x+1＞＝0，即-2/a＜＝1，a+3＞＝0，即-3＜＝a＜＝-1/2。
题4最好的方法是求导，然后分离常数，你有学吗？
f'(x)=2x-a/x^2=(2x^3-a)/x^2,因为f（x）在区间（2，正无穷）上是增函数，所以f'(x)的值＞＝0（x＞2），只要2x^3-a＞＝0即2x^3＞＝a，即a＜＝12（因为当x=2时有意义，当x=2时，2x^3取最小值）
证明奇偶性，首先考虑定义域，其次再考虑其它，像第一题那种抽象函数，一般用赋值法去做。
周期性的题，有些会比较难点想到，很多时候会用换元法。
含参数的题，有分离常数，有分类讨论等等。

Ⅳ 请教一下周期函数的解题方法...

!.因为是周期为2的函数,所一f(x)在x∈[-1,1]和x∈[1,3]时完全相等,只是X值增大了2而已~而x∈[-1,1]时f(x)=x^2,所以x∈[1,3]的解析式是
f(x)=(x-2)^2
2.利用周期性:f(-3)=f(-3+2)=f(-1)=(-1)^2=1
解这种题目,要善于抓住[周期性],它给你求的区间或数值一定是能通过加减周期得到的,只要适当的加以凑合就可以了~

Ⅵ 怎样求周期函数的周期

令t=x-1;则f(t）=f(t+4）周期为4。

求周期函数的周期，可以直接利用定义来求，也可以利用基本周期函数的周期间接来求。基本周期函数的周期是：y=sinx 、y=cosx的周期是2π，y=tanx的周期是π。

比如： y=sin3x, y=sin3x=sin(3x+2π)=sin[3(x+2π/3)

∴ y=sin3x的周期是 2π/3。

再比如说：y=sin²x y=sin²x =1/2(1-cos2x) cos2x的周期是π，

∴ y=sin²x 的周期是 π。

(6)周期函数问题及解决方法扩展阅读：

周期函数的性质 共分以下几个类型：

（1）若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。

（2）若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。

（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。

（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。

（5）若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。

（6）周期函数f（x）的定义域M必定是至少一方无界的集合。

参考资料：周期函数_网络

Ⅶ 如何求函数的周期，方法是什么

1、y=sinx/cosx=tanx,T=Pi

2、周期函数的积;商:y=y1y2;y=y1/y2的周期的情况比较复杂,只能够化成一个角的一个函数以后在来求周期。例如

y=sinxcosx=1/2*sin2x,T=Pi

y=(sinx)^2+(cosx)^2,T∈R。

y=sin3x/sinx=3-4(sinx)^2=2+cos2x,T=Pi。

它的周期似乎与T(sin3x)=2P1/3和T(sinx)=2Pi的关系不大，此外二无理数之间不存在公倍数。

(7)周期函数问题及解决方法扩展阅读:

函数周期性

函数周期性的关键的几个字“有规律地重复出现”。

当自变量增大任意实数时（自变量有意义），函数值有规律的重复出现

假如函数f(x)=f(x+T)(或f(x+a)=f(x-b)其中a+b=T),则说T是函数的一个周期.T的整数倍也是函数的一个周期。

周期函数性质：

（1）若T（≠0）是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。

（2）若T（≠0）是f(X)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期。

（3）若T1与T2都是f(X)的周期，则T1±T2也是f(X)的周期。

（4）若f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。

（5）T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分别是f(X)的两个周期，则 (T1+T2)T* Q（Q是有理数集）

（6）若T1、T2是f(X)的两个周期，且 是无理数，则f(X)不存在最小正周期。

（7）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。

Ⅷ 周期函数的问题

记住三角函数sinwx的周期T=2π/w即可。一般来说周期函数的运算及复合仍为周期函数
y=cos(x-2), T=2π
y=cos4x, T=2π/4=π/2
y=1+sin πx, T=2π/π=2
y=xcosx, 此不是周期函数。因为其中的x不是周期函数。

Ⅸ 高中函数周期性的问题

要求f(x)的周期的途径有几个:
1.取一个简单且符合题目要求的图象解决它
2.根据f(x+T)=f(x)和条件求出T值
从题目可知有两个条件:
1.f(x)是定义在R上的奇函数
2.f(x+2)＋f(x)＝0
但由2可以求出了,列出两个关系式:
1.f(x+2)＋f(x)＝0
2.f(x+4)+f(x+2)=0
两式相减得f(x+4)-f(x)=0即T=4
注:条件1.可绕一个弯子得:
f(x+2)=-f(x)=f(-x)将-x=x
f(-x+2)=f(x) f(-x+4)=f(x+2)=f(-x)
再将-x=x得f(x+4)=f(x)

Ⅹ 周期函数具体做法问题

从0到1的区间，往1到2的区间去变
首先周期是2，所以g（x）=g（x-2）=f（x）
x-2的范围就是-2到-1了，又因为是偶函数，所以g（x-2）=g（2-x）=f（x），2-x正好是1到2的范围了。设t=2-x，所以x=2-t，这样g（t）=f（2-t），
所以g（x）=f（2-x），x是1到2的范围。