二次根式的除法解题技巧和方法

① 二次根式除法运算如何进行

很简单，除法公式：√a
÷√b=√(a/b)【a≥0,b＞0】
如：1、√8÷√2=√（8÷2）=√4=2
2、√6÷√（1/2）=√（6÷1/2）=√12=2√3
3、√（1/6）÷√3=√（1/6
÷3）=√（1/18）=√（2/36）=√2/6
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② 二次根式化简方法

把一个二次根式化简成最简二次根式，有以下两种情况：

1、如果被开方数是整式或整数，先将它分解因式或分解因数，然后将完全平方式或平方数开除根号，使根式化简。

2、如果被开方数是分式或分数（包括小数），先分母有理化，再按被开方数是整式或整数的情形化简。

由此可见，化简二次根式要领有两条：一是分母有理化；二是分解因式（因数），将完全平方式（数）开出根号。

最简根式是根式的一个重要概念，在根式运算过程中，自始至终贯穿着根式的化简，同学们要学会化简根式的方法，化简二次根式的步骤可简要地概括为“开”、“补”两个字。

第一步，“开”，即在被开方式的各因式中，可以用它们的算术平方根来代替，能移到根号外面的，都移到根号外面去，使新的被开方式的每一个因式的指数都小于根指数2；

第二步，“补”，即把新的被开方式的分母与分子同时补乘以分母本身，使分母自乘后，新分母可以全部开出根号外面去，达到被开方式不含分母的目的。

(2)二次根式的除法解题技巧和方法扩展阅读：

二次根式的应用主要体现在两个方面：

（1）利用从特殊到一般，再由一般到特殊的重要思想方法，解决一些规律探索性问题；

（2）利用二次根式解决长度、高度计算问题，根据已知量，求出一些长度或高度，或设计省料的方案，以及图形的拼接、分割问题。这个过程需要用到二次根式的计算，其实就是化简求值。

③ 二次根式计算的方法

加减法

1、同类二次根式

一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。 化简：根号12等于4的根号3

2.合并同类二次根式

把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。

3.二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。

例如：（1）

用语言叙述为：两个数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根。

(3)二次根式的除法解题技巧和方法扩展阅读：

运算方法

1、确定运算顺序。

2、灵活运用运算定律。

3、正确使用乘法公式。

4、多数分母有理化要及时。

5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化（但最后结果必须是分母有理化的）。

6、字母运算时注意隐含条件和末尾括号的注明。

7、提公因式时可以考虑提带根号的公因式。

④ 二次根式的乘除法则是

二次根式的乘法：

（1）法则：根a ·根b =根ab （a≥0且b≥0）

（2）类型：

单项二次根式乘以单项二次根式；

单项二次根式乘以多项二次根式；

多项二次根式乘以多项二次根式

在进行乘法运算时,有时可以应用乘法公式,使计算简便.

3.二次根式的除法：

（1）法则：根a/根b =根a/b （a≥0且b>0）

（2）类型：

单项二次根式除以单项二次根式（应用运算法则计算）

多项二次根式除以单项二次根式（转化为单项二次根式除以单项二次根式）

除数是二个二次根式的和或是一个二次根式与一个有理数的和（把分母有理化进行运算,或与分式的运算类比思考,约去分子,分母中的公因式）.

(4)二次根式的除法解题技巧和方法扩展阅读：

一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a叫做被开方数。当a≥0时，√a表示a的算术平方根；当a小于0时，√a的值为纯虚数（在一元二次方程求根公式中，若根号下为负数，则方程有两个共轭虚根）。

判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察。

最简二次根式条件：

1.被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；

2.被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。

二次根式化简一般步骤：

1.把带分数或小数化成假分数；

2.把开方数分解成质因数或分解因式；

3.把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外；

4.化去根号内的分母，或化去分母中的根号；

5.约分。

二次根式的应用主要体现在两个方面：

（1）利用从特殊到一般，再由一般到特殊的重要思想方法，解决一些规律探索性问题；

（2）利用二次根式解决长度、高度计算问题，根据已知量，求出一些长度或高度，或设计省料的方案，以及图形的拼接、分割问题。这个过程需要用到二次根式的计算，其实就是化简求值。

⑤ 二次根式的乘法和除法法则

如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。a可以是具体的数，也可以是含有字母的代数式。
即：若
，则
叫做a的平方根，记作x=
。其中a叫被开方数。其中正的平方根被称为算术平方根。
关于二次根式概念，应注意：
被开方数可以是数 ，也可以是代数式。被开方数为正或0的，其平方根为实数；被开方数为负的，其平方根为虚数。[1]
最简二次根式
最简二次根式条件：
1.被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；
2.被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。
二次根式化简一般步骤：
1.把带分数或小数化成假分数；
2.把开方数分解成质因数或分解因式；
3.把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外；
4.化去根号内的分母，或化去分母中的根号；
5.约分。[1]
算术平方根
非负数
的平方根统称为算术平方根，用
（a≥0）来表示。
负数没有算术平方根，0的算术平方根为0。[1]

⑥ 二次根式计算与化解的技巧是什么急用

一般地，形如√ā（a≥0）的式子叫做二次根式。
1）二次根式√ā的化简
a（a≥0）
√ā=|a|={
-a（a＜0）
2）积的平方根与商的平方根
√ab=√a·√b（a≥0，b≥0）
√a/b=√a
/√b（a≥0，b≥0）
3）最简二次根式
条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。
1
运算法则
√a·√b=√ab（a≥0，b≥0）
√a/b=√a
/√b（a≥0，b≥0）
2
共轭因式
如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做共轭因式，也称互为有理化根式。
1
同类二次根式
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
2
合并同类二次根式
把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。

⑦ 二次根式的乘法及除法的法则是什么

1.二次根式的加减运算:
先把式子中各项二次根式化成最简二次根式，再参照多项式的加减运算，去括号与合并同类二次根式。
2.二次根式的乘法:
(1)法则:根a
·根b
=根ab
(a≥0且b≥0)
(2)类型:
(i)单项二次根式乘以单项二次根式;
(ii)单项二次根式乘以多项二次根式;
(iii)多项二次根式乘以多项二次根式
在进行乘法运算时，有时可以应用乘法公式，使计算简便。
3.二次根式的除法:
(1)法则:根a/根b
=根a/b
(a≥0且b>0)
(2)类型:
(i)单项二次根式除以单项二次根式(应用运算法则计算)
(ii)多项二次根式除以单项二次根式(转化为单项二次根式除以单项二次根式)
(iii)除数是二个二次根式的和或是一个二次根式与一个有理数的和(把分母有理化进行运算，或与分式的运算类比思考，约去分子，分母中的公因式)。

⑧ 谁能告诉我二次根式计算的方法啊

二次根式的化简与计算的策略与方法

二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后，进行二次根式的化简与运算时，一般遵循以下做法：

①先将式中的二次根式适当化简

②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式 （ ， ）

③对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算．

④二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类项．

⑤运算结果一般要化成最简二次根式．

化简二次根式的常用技巧与方法

二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二次根式的化简，除了掌握基本概念和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，会收到事半功倍的效果，下面通过具体的实例进行分类解析．

1．公式法

【例1】计算① ； ②

【解】①原式

②原式

【解后评注】以上解法运用了“完全平方公式”和“平方差公式”，从而使计算较为简便．

2．观察特征法

【例2】计算：

【方法导引】若直接运用根式的性质去计算，须要进行两次分母有理化，计算相当麻烦，观察原式中的分子与分母，可以发现，分母中的各项都乘以 ，即得分子，于是可以简解如下：

【解】原式 ．

【例3】 把下列各式的分母有理化．

（1） ；（2） （ ）

【方法导引】①式分母中有两个因式，将它有理化要乘以两个有理化因式那样分子将有三个因式相等，计算将很繁，观察分母中的两个因式如果相加即得分子，这就启示我们可以用如下解法：

【解】①原式



【方法导引】②式可以直接有理化分母，再化简．但是，不难发现②式分子中 的系数若为“1”，那么原式的值就等于“1”了！因此，②可以解答如下：

【解】②原式





3．运用配方法

【例4】化简

【解】原式



【解后评注】注意这时是算术根，开方后必须是非负数，显然不能等于“ ”

4．平方法

【例5】化简

【解】∵





∴ ．

【解后评注】对于这类共轭根式 与 的有关问题，一般用平方法都可以进行化简

5．恒等变形公式法

【例6】化简

【方法导引】若直接展开，计算较繁，如利用公式 ，则使运算简化．

【解】原式





6．常值换元法

【例7】化简

【解】令 ，则：

原式











7．裂项法

【例8】化简

【解】原式各项分母有理化得

原式



【例9】化简



【方法导引】这个分数如果直接有理化分母将十分繁锁，但我们不难发现每一个分数的分子等于分母的两个因数之和，于是则有如下简解：

【解】原式







8．构造对偶式法

【例10】化简

【解】构造对偶式，于是没

，

则 ， ，

原式



9．由里向外，逐层化简



【解】∵



而



∴原式

【解后评注】对多重根式的化简问题，应采用由里向外，由局部到整体，逐层化简的方法处理．

10．由右到左，逐项化简

【例11】化简



【方法导引】原式从右到左是层层递进的关系，因此从右向左进行化简．

【解】原式







．

【解后评注】平方差公式和整体思想是解答本题的关键，由平方差公式将多重根号逐层脱去，逐项化简，其环节紧凑，一环扣一环，如果不具有熟练的技能是难以达到化简之目的的．

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二次根式大小比较的常用方法

二次根式的化简具有极强的技巧性，而在不求近似值的情况下比较两个无理数（即二次根式）的大小同样具有很强的技巧性，对初中生来说是一个难点，但掌握一些常见的方法对它的学习有很大的帮助和促进作用．

1．根式变形法

【例1】比较 与 的大小

【解】将两个二次根式作变形得

，

∵ ，∴ 即

【解后评注】本解法依据是：当 ， 时，① ，则 ；②若 ，则

2．平方法

【例2】比较 与 的大小

【解】 ，

∵ ，∴

【解后评注】本法的依据是：当 ， 时，如果 ，则 ，如果 ，则 ．

3．分母有理化法

通过运用分母有理化，利用分子的大小来判断其倒数的大小．

【例3】比较 与 的大小

【解】∵



又∵

∴

4．分子有理化法

在比较两个无理数的差的大小时，我们通常要将其进行分子有理化，利用分母的大小来判断其倒数的大小．

【例4】比较 与 的大小

【解】∵



又∵

∴ ．而

5．等式的基本性质法

【例5】比较 与 的大小

【解法1】∵



又



∴

即

【解后评注】本解法利用了下面两个性质：①都加上同一个数后，两数的大小关系不变．②非负底数和它们的二次幂的大小关系一致．

【解法2】将它们分别乘以这两个数的有理化因式的积，得





又∵ ∴

【解后评注】本解法的依据是：都乘以同一个正数后，两数的大小关系不变．

6．利用媒介值传递法

【例6】比较 与 的大小

【解】∵ ∴

又∵ ∴

∴

【解后评注】适当选择介于两个无理数之间的媒介法，利用数值的传递性进行比较．

7．作差比较法

在对两数进行大小比较时，经常运用如下性质：

① ；②

【例7】比较 与 的大小

【解】∵



∴

8．求商比较法

与求差比较法相对应的还有一种比较的方法，即作商比较法，它运用的是如下性质，当 ， 时，则：

① ；②

【例8】比较 与 的大小．

【解】

∵

∴

∴

【解后评注】得上所述，含有根式的无理数大小的比较往往可采用多种方法，来求解．有时还需各种方法配合使用，其中根式变形法，平方法是最基本的，对于具体的问题要作具体分析，以求用最佳的方法解出正确的结果．

⑨ 二次根式的乘除法是怎么推导出来的

解答过程如下：

（根号a）*（根号b）=根号（ab）

证明过程：

设根号a=m 根号b=n

则 m²=a，n²=b

所以m²n²=ab

所以两边开方

mn=根号（ab）

又有 根号a=m 根号b=n

所以（根号a）*（根号b）=根号（ab）

(9)二次根式的除法解题技巧和方法扩展阅读

运算方法

1、确定运算顺序。

2、灵活运用运算定律。

3、正确使用乘法公式。

4、多数分母有理化要及时。

5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化（但最后结果必须是分母有理化的）。

6、字母运算时注意隐含条件和末尾括号的注明。

7、提公因式时可以考虑提带根号的公因式。

⑩ 二次根式的乘除法是怎么计算的最好举例！

1.
二次根式的乘法
两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即
（
≥0，
≥0）。
说明：（1）法则中
、
可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，
、
都是非负数；
（2）
（
≥0，
≥0）可以推广为
（
≥0，
≥0）；
（
≥0，
≥0，
≥0，
≥0）。
（3）等式
（
≥0，
≥0）也可以倒过来使用，即
（
≥0，
≥0）。也称“积的算术平方根”。它与二次根式的乘法结合，可以对一些二次根式进行化简。
2.
二次根式的除法
两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即
（
≥0，
＞0）。
说明：
（1）法则中
、
可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，
≥0，
在分母中，因此
＞0；
（2）
（
≥0，
＞0）可以推广为
（
≥0，
＞0，
≠0）；
（3）等式
（
≥0，
＞0）也可以倒过来使用，即
（
≥0，
＞0）。也称“商的算术平方根”。它与二根式的除法结合，可以对一些二次根式进行化简。