快速算平面法向量方法

‘壹’ 怎样求平面的法向量

平面法向量的具体步骤：（待定系数法）

1、建立恰当的直角坐标系

2、设平面法向量n=（x，y，z）

3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2, a3） b=（b1，b2，b3）

4、根据法向量的定义建立方程组①n·a=0 ②n·b=0

5、解方程组，取其中一组解即可。

例如已知三个点求那个平面的法向量：

设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3)是已知平面上的3个点

A,B,C可以形成3个向量,向量AB,向量AC和向量BC

则AB（x2-x1,y2-y1,z2-z1）,AC(x3-x1,y3-y1,z3-z1),BC(x3-x2,y3-y2,z3-z2)

设平面的法向量坐标是（x,y,z）

有(x2-x1)*x+(y2-y1)*y+(z2-z1)*z=0 且(x3-x1)*x+(y3-y1)*y+(z3-z1)*z=0 且(x3-x2)*x+(y3-y2)*y+(z3-z2)*z=0

可以解得x,y,z。

(1)快速算平面法向量方法扩展阅读

三维平面的法线是垂直于该平面的三维向量。曲面在某点P处的法线为垂直于该点切平面（tangent plane）的向量。

法线是与多边形（polygon）的曲面垂直的理论线，一个平面（plane）存在无限个法向量（normal vector）。在电脑图学（computer graphics）的领域里，法线决定着曲面与光源（light source）的浓淡处理（Flat Shading），对于每个点光源位置，其亮度取决于曲面法线的方向。

如果一个非零向量n与平面a垂直，则称向量n为平面a的法向量。

垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。每一个平面存在无数个法向量。

‘贰’ 如何求一平面的法向量

向量AB（100,0,0）
向量BC（100,100,0）
设法向量为（x，y，z）
则100x+0y+0z=0
则x=0
100x+100y+0z=0
则y=0
z可以任意

‘叁’ 法向量的计算方法

平面法向量的具体步骤：（待定系数法）

1、建立恰当的直角坐标系

2、设平面法向量n=（x，y，z）

3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2, a3） b=（b1，b2，b3）

4、根据法向量的定义建立方程组：

①n·a=0；

②n·b=0。

5、解方程组，取其中一组解即可。

如果曲面在某点没有切平面，那么在该点就没有法线。

例如，圆锥的顶点以及底面的边线处都没有法线，但是圆锥的法线是几乎处处存在的。通常一个满足Lipschitz连续的曲面可以认为法线几乎处处存在。

(3)快速算平面法向量方法扩展阅读：

法向量的主要应用如下：

1、求斜线与平面所成的角：求出平面法向量和斜线的夹角,这个角和斜线与平面所成的角互余.利用这个原理也可以证明线面平行；

2、求二面角：求出两个平面的法向量所成的角,这个角与二面角相等或互补；

3、点到面的距离： 任一斜线(平面为一点与平面内的连线)在法向量方向的射影；

如点B到平面α的距离d=|BD·n|/|n|（等式右边全为向量,D为平面内任意一点,向量n为平面α的法向量）。

利用这个原理也可以求异面直线的距离。

‘肆’ 如何快速找出一个给出方程的平面的一个法向量（立体解析几何）

如果已经给出平面方程如：ax+by+cz+d=0
则这个平面的法向量就是（a,b,c）

‘伍’ 在数学中，“平面的法向量”要怎么求

平面法向量的具体步骤：（待定系数法）

1、建立恰当的直角坐标系

2、设平面法向量n=（x，y，z）

3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2, a3） b=（b1，b2，b3）

4、根据法向量的定义建立方程组①n·a=0 ②n·b=0

5、解方程组，取其中一组解即可。

依据：

①由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，因此一个平面都存在无数个法向量（包括两个单位法向量）。

②如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。

(5)快速算平面法向量方法扩展阅读：

一、平面的法向量(normal vector of a plane)确定平面位置的重要向量，指与平面垂直的非零向量，一个平面的法向量可有无限多个，但单位法向量有且仅有两个。

例如在空间直角坐标系中平面Ax+By+Cz+D=0的法向量为n=(A,B,C)，而它的单位法向量即法向量除以法向量的长度，正负代表方向。

二、对于像三角形这样的多边形来说，多边形两条相互不平行的边的叉积就是多边形的法线。

三、用方程ax+by+cz=d表示的平面，向量(a,b,c)就是其法线。

四、如果曲面在某点没有切平面，那么在该点就没有法线。例如，圆锥的顶点以及底面的边线处都没有法线，但是圆锥的法线是几乎处处存在的。通常一个满足Lipschitz连续的曲面可以认为法线几乎处处存在。

五、待定系数法的一般用法：

设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用两个多项式恒等式同类项系数相等的原理或其他已知条件确定这些系数，从而得到待求的值。例如，将已知多项式分解因式，可以设某些因式的系数为未知数，利用恒等的条件，求出这些未知数。

‘陆’ 如何计算平面的法向量

在平面内找两个不共线的向量，待求的法向量与这两个向量各做数量积为零就可以确定出法向量了，为方便运算，提取公因数，若其中含有未知量x，为x代值即可得到一个最简单的法向量。

如已知向量a和b为平面ɑ内不共线的两个非零向量，且a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，设n为平面ɑ的一个法向量，n=(x，y，z)，根据方程组，可得到法向量n中x，y，z的关系式，从而求出平面ɑ的一个法向量。

(6)快速算平面法向量方法扩展阅读：

数学答题注意事项：

1、巧解选择，填空题，解选择，填空题的基本原则是小题不可大做。

2、直接从题干出发考虑，探求结果，从题干和选择联合考虑，从选择出发探求满足题干的条件。

3、规范答题很重要，找到解题方法后书写要简明扼要，快速规范，不拖泥带水，高考评分是按步给分，关键步骤不能丢，但允许合理省略非关键步骤。

4、答题时尽量使用数学符号，这比文字叙述要节省时间且严谨。即使过程比较简单，也要简要地写出基本步骤，否则会被扣分。

‘柒’ 已知一个平面的两个空间向量，如何根据这两个向量快速算出这个平面的法向量不要传统赋值解方程方法

向量在一个平面里面，相交或平行。平行就是重合，不能确定平面。相交时，两个向量的矢积，就是平面的法线方向。因为矢积，与两个向量都垂直。

‘捌’ 某一平面法向量的快速求法

你好！设三点为a、b、c,则向量ab与向量ac可求。（ab、ac、bc三个选哪两个都可以）
设这个法向量是a=（x,y,z),则有向量a点乘向量ab为0，向量a点乘向量ac为0，
则可解出向量a,这里要注意的是我们解出的a是含有一个参量的，可是是x、y、z中的任何一个，在具体题里，可以根据已知去确定把三者的哪个定为参量，假设我们解出的是a=(2y,y,3y/5),再把y赋具体的值就可以，这里可以是1，为了不出分数，也可以是5.